Không gian con bất biến

Luận văn tốt nghiệp Hoàng Thuỳ Dơng Cử nhân s phạm Toán Lớp 40A 1 - Toán Trang 3 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Khoa toán Không gian con bất biến Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành học : cử nhân s phạm Toán Chuyên ngành : Đại số và Lý thuyểt số Cán bộ hớng dẫn khoá luận : ThS. Nguyễn Văn Giám Sinh viên thực hiện : Hoàng Thị Thuỳ Dơng Lớp 40A 1 - Toán Vinh - 2003 Luận văn tốt nghiệp Hoàng Thuỳ Dơng Cử nhân s phạm Toán Lớp 40A 1 - Toán Lời nói đầu húng ta đều biết rằng có một tơng ứng 1-1 hai chiều giữa các toán tử tuyến tính của một không gian hữu hạn chiều trên trờng K và tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K. Do đó việc nghiên cứu các toán tử tuyến tính đợc chuyển sang nghiên cứu các ma trận của chúng. Khái niệm không gian bất biến đóng một vai trò quan trọng trong việc tìm các dạng đơn giản cho các ma trận của các toán tử tuyến tính. Lý thuyết về các toán tử tuyến tính đợc đề cập tới rất sớm bởi Einstein (1884), sau đó là Jordan (1922), Pincherle (1936), tuy nhiên cho đến nay lý thuyết này vẫn có các ứng dụng rộng rãi và có vai trò quan trọng trong các ngành khác nhau của Toán học nh Đại số, Giải tích, Hình học Tôpô hay Vật lý, Cơ học, . C Khoá luận này nghiên cứu các không gian con bất biến của các toán tử tuyến tính nhằm mục đích tìm các biểu diễn đơn giản của các toán tử tuyến tính. Khoá luận đợc trình bày thành 3 phần: Đ1. Không gian con bất biến. Đ2. Đa thức đặc trng. Đ3. Toán tử đa thức. Các kết quả chủ yếu của khoá luận đạt đợc trong Đ1 là: Nếu E phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn các không gian con bất biến E i , i = n,1 thì (E) cũng phân tích thành tổng trực tiếp của các (E i ), i = n,1 (Mệnh đề 1.9). Một toán tử tuyến tính của không gian E là chéo hoá đ- ợc khi và chỉ khi mọi không gian con bất biến khác 0 của E đều chứa ít nhất một vectơ riêng của (Mệnh đề 1.10). Tiết Đ2 nghiên cứu về đa thức đặc trng. Tiết này đã chứng minh đợc: Mọi toán tử tuyến tính của không gian tuyến tính thực E, hữu hạn chiều n 1 đều có ít nhất một không gian con bất biến một chiều hoặc hai chiều (Mệnh đề 2.4). Mọi ma trận A cấp n đều là nghiệm của đa thức đặc trng f A (t) của nó (Định lý 2.6). Tiết Đ3 nghiên cứu về toán tử đa thức. Các kết quả chính của tiết này là: Nếu đa thức cực tiểu g của toán tử phân tích thành tích các đa thức bất khả quy g = 1 1 p g . r p r g thì E phân tích thành tổng trực tiếp H( Trang 4 Luận văn tốt nghiệp Hoàng Thuỳ Dơng Cử nhân s phạm Toán Lớp 40A 1 - Toán 1 1 p g ) .H( r p r g ) trong đó H( i p i g ) là hạt nhân của nhân tử i p i g , i = n,1 (Định lý 3.8). Trong định lý 3.8 đã chứng minh đợc rằng nếu E là không gian con bất biến của toán tử của không gian E thì E là không gian xích khi và chỉ khi dimE bằng bậc của đa thức cực tiểu của ánh xạ thu hẹp của trên E. Để hoàn thành khoá luận tác giả đã đợc sự hớng dẫn, giúp đỡ tận tình chu đáo của thầy giáo ThS. Nguyễn Văn Giám, sự góp ý của các thầy giáo trong tổ Đại số - khoa Toán - trờng ĐH Vinh và sự động viên của gia đình, bạn bè đồng nghiệp. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo hớng dẫn cùng các thầy cô giáo và các bạn. Với thời gian và năng lực hạn chế chắc rằng khoá luận còn những hạn chế hay thiếu sót. Rất mong đợc sự góp ý của các thầy cùng các bạn. Vinh 20 - 4 - 2003 Tác giả Trang 5 Luận văn tốt nghiệp Hoàng Thuỳ Dơng Cử nhân s phạm Toán Lớp 40A 1 - Toán Đ1. Không gian con bất biến Định nghĩa 1.1. Một không gian con E của E gọi là không gian con bất biến của nếu (E) E. Nhận xét: - {0} và E là không gian con bất biến . - : E E là phép biến đổi tuyến tính thì ker là không gian con bất biến của . Bổ đề 1.2. Không gian con E của E là không gian con bất biến của khi và chỉ khi ảnh của một hệ sinh của E nằm trong E . Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Ta chứng minh điều kiện đủ: Giả sử S là hệ sinh của E và (S) E do mọi phần tử x E là tổ hợp tuyến tính của S nên (x) cũng là tổ hợp tuyến tính của (S). Vậy (x) E. Bổ đề 1.3. Cho E là không gian con của E với dimE = r ; S = {x 1 , ., x n } là một cơ sở của E; R = {x 1 , ., x r } là một cơ sở của E. E là không gian con bất biến của khi và chỉ khi ma trận A của theo S có dạng: A = C BA 0 ' (1) Với A là ma trận vuông cấp r. Khi đó A là ma trận thu hẹp của của theo R. Chứng minh. Giả sử A = (a ij ). Nếu E là không gian con bất biến của thì (x j ), j = r,1 là tổ hợp tuyến tính của R. Tọa độ theo S của (x j ) phải có dạng (a ij , ., a rj , 0, ., 0). Vì vậy ma trận của phải có dạng (1). Trang 6 Luận văn tốt nghiệp Hoàng Thuỳ Dơng Cử nhân s phạm Toán Lớp 40A 1 - Toán Đảo lại, nếu A có dạng (1) thì a ij = 0, i > r, j = 1, ., r. Điều này có nghĩa là (x 1 ), ., (x r ) là tổ hợp tuyến tính của R. Vậy theo bổ đề 1.2 thì E là không gian con bất biến của . Do tọa độ của (x j ) = (x j ) theo R là (a ij , .,a rj ), j = r,1 và A = (a ij ) r ì r nên A là ma trận của theo R. Định lý 1.4. Nếu E = E 1 . E r là tổng trực tiếp các không gian con bất biên E 1 , ., E r . S là một cơ sở của E sao cho S 1 , S 2 , ., S r là các cơ sở tơng ứng của E 1 , ., E r sao cho S = r i i S 1 = . A là ma trận của theo S. Gọi A 1 , ., A r lần lợt là ma trận của ánh xạ thu hẹp của trên E 1 , ., E r . Ta có : A = r A A A 00 00 00 2 1 Chứng minh . Ta sắp xếp S theo thứ tự các phần tử trong S 1 rồi S 2 . cuối cùng là S r . Theo bổ đề 1.3 thì ma trận của đối với S có dạng trên. Định nghĩa 1.5. Số c thuộc trờng K gọi là giá trị riêng của nếu tồn tại x 0 của E sao cho (x) = cx. Trong trờng hợp đó x gọi là vectơ riêng của . Tập hợp tất cả các giá trị riêng gọi là phổ của . Định nghĩa 1.6. Toán tử tuyến tính của không gian vectơ E gọi là chéo hoá đợc nếu nó biểu diễn đợc bởi một ma trận chéo. Định lý 1.7. S = {x 1 , ., x n } là một cơ sở của không gian E. Ma trận của toán tử của E theo S là một ma trận chéo khi và chỉ khi x 1 , ., x n là những vectơ riêng của . Khi đó các phần tử trên đờng chéo là các giá trị riêng của x 1 , , x n . Chứng minh. Trang 7 Luận văn tốt nghiệp Hoàng Thuỳ Dơng Cử nhân s phạm Toán Lớp 40A 1 - Toán Ma trận của theo S là ma trận chéo khi và chỉ khi tồn tại các số c i sao cho (x i ) = c i x i , i = 1, ., n. Điều đó chính là c i là các giá trị riêng còn x i là các vectơ riêng của . Ta cũng biết rằng nếu x 1 , ., x r là các vectơ riêng của toán tử và c 1 , ., c r là các giá trị riêng tơng ứng, nếu c 1 , ., c r hoàn toàn khác nhau thì x 1 , ., x r độc lập tuyến tính. Một toán tử tuyến tính của không gian n -chiều E có không quá n giá trị riêng phân biệt. Trong trờng hợp có n giá trị riêng phân biệt thì chéo hoá đợc. Mệnh đề 1.8. Nếu E là không gian con bất biến của toán tử và là ánh xạ thu hẹp của trên E . Khi đó mọi không gian con bất biến của cũng là không gian con bất biến của . Chứng minh. Giả sử E 1 là không gian con bất biến của E đối với , nghĩa là (E 1 ) E 1 . Khi đó do là thu hẹp của trên E nên (E 1 ) = (E 1 ) E 1 . Vậy E 1 là không gian con bất biến đối với . Mệnh đề 1.9. Nếu là toán tử tuyến tính của E và E 1 , ., E r là những không gian con bất biến của sao cho: E thì (E) =E 1 E 2 E r = (E 1 ) (E 2 ) . (E r ) Chứng minh. y (E) khi đó phải tồn tại x E sao cho (x) = y. Từ x E mà E = E 1 E 2 . E r nên x = x 1 + . + x r với x i E, i = r,1 . Do là toán tử tuyến tính của E nên : y = (x) = (x 1 ) + . + (x r ). Đặt y i y = (x i ) E i , i = 1, ., r ta có : = y 1 + y 2 + . + y r (E 1 ) . (E r ) Trang 8 Luận văn tốt nghiệp Hoàng Thuỳ Dơng Cử nhân s phạm Toán Lớp 40A 1 - Toán Mặt khác do E i , i = 1, ., r là các không gian con bất biến của nên (E i ) E i nên ta có : hay (E i ) (E j ) E i E j (E i ) (E j ) ={0} ={0} Vậy (E) phân tích đợc thành tổng trực tiếp của các (E i ), i = r,1 . Mệnh đề 1.10. Một toán tử tuyến tính của E là chéo hoá đợc khi và chỉ khi mọi không gian con bất biến khác 0 của E đều chứa ít nhất một vectơ riêng của . Chứng minh. - Điều kiện cần: Giả sử một toán tử của E là chéo hoá đợc và E là một không gian con khác 0 của E. Khi đó trong E phải có một cơ sở S = {x 1 , ., x n } gồm toàn vectơ riêng. Do E là không gian con bất biến khác không của E nên phải tồn tại một số vectơ nào đó trong S làm cơ sở của E. Chẳng hạn {x 1 , ., x k }, 1 k n. Các vectơ x 1 , ., x k cũng chính là các vectơ riêng của E. - Điều kiện đủ: Nếu một toán tử tuyến tính của E mà mọi không gian con bất biến khác không của E đều có ít nhất một vectơ riêng. Khi đó lấy một không gian con bất biến E 1 khác 0 của E thì trong E 1 phải có các vectơ riêng x 1 , x 2 , ., x r ; 1 r n độc lập tuyến tính. Xét không gian con L = L(x 1 , x 2 , ., x r ). Nếu r < n thì tồn tại không gian con bù của nó E trong E, hay L E = E. Lặp lại quy trình trên đối với E giống E và tiếp tục quá trình trên ta đợc một cơ sở gồm n vectơ riêng của E. Ma trận của hệ cơ sở đó sẽ là ma trận chéo. Trang 9 Luận văn tốt nghiệp Hoàng Thuỳ Dơng Cử nhân s phạm Toán Lớp 40A 1 - Toán Đ2. đa thức đặc trng Định nghĩa 2.1. Cho A = (a ij ) là ma trận vuông cấp n trên trờng K. Xét ma trận A - tI = taaa ataa aata nnnn n n 21 22221 11211 Đa thức f A (t) = |A - tI| gọi là đa thức đặc trng của ma trận A. Định nghĩa 2.2. E là một không gian hữu hạn sinh và là một toán tử tuyến tính của E. Đa thức đặc trng của , kí hiệu là f (t) là đa thức đặc trng của một ma trận biểu diễn của . Mệnh đề 2.3. Mọi ma trận trên trờng số phức đều có giá trị riêng và vectơ riêng. Chứng minh. Theo Định lý cơ bản của Đại số thì đa thức đặc trng của ma trận trên trờng số phức là một đa thức bậc n với hệ số phức phải có một nghiệm phức. Một nghiệm nh vậy là giá trị riêng của ma trận đã cho. Mệnh đề 2.4. Mọi toán tử tuyến tính của không gian tuyến tính thực E hữu hạn chiều n 1 đều có ít nhất một không gian con bất biến một chiều hoặc 2 chiều. Chứng minh. Gọi A là ma trận của đối với cơ sở e 1 , ., e n (1) nào đó của E. - Nếu đa thức đặc trng f A (t) có một nghiệm thực r thì có trong E một vectơ riêng. Không gian con sinh bởi vectơ riêng đó là không gian bất biến một chiều của E. - Nếu đa thức đặc trng f A (t) của không có nghiệm thực và số chiều của E là n 2. Trờng hợp này f A (t) có ít nhất một nghiệm phức = a + bi. Trang 10 Luận văn tốt nghiệp Hoàng Thuỳ Dơng Cử nhân s phạm Toán Lớp 40A 1 - Toán Xét phơng trình A n x x 1 = n x x 1 (2) trong đó x 1 , ., x n là tọa độ của vectơ riêng cần tìm đối với cơ sở (1) Phơng trình (2) trở thành [A - I] n x x 1 = 0 (3) Do f A ( ) = |A - I| = 0 nên hệ phơng trình (3) có nghiệm khác nghiệm không trong trờng số phức là: x 1 = a 1 + b 1 i ; x 2 = a 2 + b 2 i, , x n = a n + b n i Thay các giá trị trên và thay = a + bi vào (2) rồi tách phần thực và phần ảo, ta đợc: (t 1 , t 2 , ., t n )A = và (v 1 , v 2 , ., v n )A = a(t 1 , t 2 , ., t n ) - b(v 1 , v 2 , ., v n ) a(v 1 , v 2 , ., v n ) + b(t 1 , t 2 , ., t n ). Gọi u là vectơ có tọa độ trong cơ sở (1) là t 1 , t 2 , ., t n và v là vectơ có tọa độ trong cơ sở (1) là v 1 , v 2 , ., v n thì các đẳng thức trên viết thành (u) = au - bv và (v) = av + bu. điều đó chứng tỏ không gian con 2 chiều sinh bởi u và v là bất biến đối với . Mệnh đề 2.5. Mỗi toán tử tuyến tính của không gian tuyến tính thực với số chiều lẻ có ít nhất một không gian con bất biến một chiều. Chứng minh. Vì đa thức đặc trng f (t) là một đa thức bậc lẻ trên trờng số thực nên có ít nhất 1 nghiệm thực. Định lý 2.6 (Cayley - Hamintơn). Mỗi ma trận vuông A cấp n là nghiệm của đa thức đặc trng f A (t) của nó. Nghĩa là f A (A) = 0. Chứng minh. Trang 11 Luận văn tốt nghiệp Hoàng Thuỳ Dơng Cử nhân s phạm Toán Lớp 40A 1 - Toán Xét ma trận B = (b ij ) trong đó mỗi b ij là phần phụ đại số của mỗi phần tử ở vị trí (i, j) của ma trận A - tI; i, j = 1, 2, ., n. Khi đó )( 1 tf A B là ma trận nghịch đảo của ma trận A - tI nên ta có )( 1 tf A B(A - tI) = I hay B(A - tI) = f A (t).I (2) Vì mỗi phần phụ đại số b ij của |A - tI| là một đa thức của t với bậc bé hơn n nên ta có thể viết B dới dạng B = B 0 + B 1 t + . + B n -1 t n -1 trong đó các B 0 , B 1 , ., B n -1 là các ma trận vuông cấp n trên K không phụ thuộc vào t. Giả sử đa thức đặc trng f A (t) = (-1) n (c 0 + c 1 t + . + c n t n ). Từ (2) ta có : (B 0 + B 1 t + . + B n -1 t n -1 )(A - tI) = (-1) n (c 0 + c 1 t + . + c n t n )I Khai triển vế trái rồi so sánh các hệ số của luỹ thừa của t ta có các đẳng thức: B 0 A = (-1) n c 0 I. B 1 A - B 0 = (-1) n c 1 I. B n -1 A - B n -2 = (-1) n c n -1 I. - B n -1 = (-1) n c n I. Nhân lần lợt các đẳng thức trên lần lợt với I, A, ., A n ta có vế trái triệt tiêu nên bằng 0, còn vế phải chính là f A (A). Vậy f A (A) = (-1) n (C 0 I + C 1 A + . C n A n ) = 0. Định lý 2.7. Nếu E = E 1 E 2 . E r là tổng trực tiếp của các không gian con bất biến E 1 , E 2 , ., E r . Cho các i là ánh xạ thu hẹp của toán tử tuyến tính trên E i , i = 1, 2, ., r. Khi đó: f (t) = )( 1 tf )( 2 tf . )(tf r . Trang 12