Bài toán không gian con bất biến

Bài toán không gian con bất biến (Phần 1) 21/12/2005 Bài toán không gian con bất biến ( kgcbb ) là câu hỏi đơn giản :" Phải chăng mọi toán tử liên tục ( ttlt ) T trên 1 kg Hilbert phức đều có một kgcbb không tầm thường (kgcbbktt ) ?" BÀI TOÁN KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN Bài toán không gian con bất biến ( kgcbb ) là câu hỏi đơn giản :" Phải chăng mọi toán tử liên tục ( ttlt ) T trên 1 kg Hilbert phức đều có một kgcbb không tầm thường (kgcbbktt ) ?" . "Bất biến " có nghĩa là T ánh xạ nó vào chính nó còn "Không gian con không tầm thường (ktt)" có nghĩa là không gian con đóng khác {0} và khác H . Bài toán phát biểu tuy đơn giản nhưng đến nay vẫn còn để ngỏ . Trong trường hợp tổng quát cho các kg Banach , câu trả lời là không . Cũng có một số lớp các ttlt trên kg Hilbert mà đối với chúng , câu trả lời là có ( dĩ nhiên 1 lớp không có nghĩa là tất cả -ND). Tôi không rõ ai là người đưa ra bài toán (1) . Có lẽ nó xuất hiện sau kết quả cơ bản của Beurling công bố trên Acta . Math năm 1949 về kgcbb của các phép dịch chuyển đơn ( simple shifts) hoặc sau công trình ( không công bố ) của V.Neumann về các toán tử compact . Lịch sử bài toán Cho H là một kg Hilbert phức và T là 1 ttlt trên H . Một giá trị riêng của T xác định một kgcbb của T , đó là . Do đó , nếu T có giá trị riêng thì bài toán sẽ được giải ( trường hợp đặc biệt khi T là phép nhân theo thì mọi kg con là kgcbb ) . Tuy nhiên , không phải ttlt nào cũng có giá trị riêng . Ví dụ , toán tử dịch chuyển trên , kg Hilbert các dãy số phức bình phương khả tổng ( square-summable) , xác định bởi: với mỗi vector , không có giá trị riêng . Tuy nhiên , nếu H là hữu hạn chiều thì với mọi T bất kì đều có giá trị riêng (2) và do đó , bài toán là giải được . Tiếp theo , giả sử H vô hạn chiều và không khả li ( not separable) , T là ttlt trên H . Lấy vector x 0 và xét kg con đóng M sinh bởi . Khi đó M là kgcbb của T và dĩ nhiên M {0} . Hơn nữa , M cũng khác H vì H không khả li . Do đó , một ttlt trên một kg Hilbert phức vô hạn chiều không khả li đều có kgcbbktt . Như vậy , vấn đề còn lại là của bài toán là :"Phải chăng mọi ttlt trên kg Hilbert phức khả li vô hạn chiều đều có kgcbbktt ? " . Lời giải trong trường hợp Không gian Banach Trong cuộc họp thường niên của hội toán học Mỹ ở Toronto năm 1976 , nhà toán học trẻ tuổi người Thụy Điển là Per Enflo đã công bố sự tồn tại của một kg Banach và một ttlt trên nó không có kgcbbktt . Khi đó , ông đang ở thăm trường đại học tổng hợp California ở Berkerley . Nhưng mãi đến năm 1981 , ông mới gửi kết quả này đến tạp chí Acta.Math . Điều đáng tiếc là bài báo đã "được" thẩm định trong hơn 5 năm , mặc dù bản viết tay đã lưu hành rộng rãi trong giới toán học . Theo những người thẩm định , điều này xảy ra là vì bài báo quá khó và trình bày không tốt . Việc thẩm định kết thúc vào năm 1985 và được công bố năm 1987 với một vài sự chỉnh sửa nhỏ nhặt . Tuy nhiên , ông đã trình bày phản ví dụ của mình ở " Xêmina Maurey-Schwarz" ( 195-76) và sau đó là ở học viện Mittag-Leffler ( 1980 ) Trong thời gian này , C.J.Read , theo ý tưởng của Enflo , cũng xây dựng được một phản ví dụ và gửi đến tạp chí Bulletin của hội toán học Luân Đôn . Bài báo nhanh chóng được thẩm đinh và công bố năm 1984 , sau khi đã nhảy cóc qua một dãy những công việc tuần tự . Read cũng đã thu gọn lại chứng minh này và công bố năm 1986 . Ông cũng xây dựng được một ttlt trên không có kgcbbktt . Read rất muốn vượt qua Enflo như là người đầu tiên giải quyết bài toán , và nhiều nhà toán học đã đánh giá không công bằng ( với Enflo -ND ) (3) . Nói riêng , cm của Read đã dựa trên các ý tưởng của Enflo . Một vd , nhà toán học Pháp Beauzamy , sau khi phát triển thêm ( sharpen) các kĩ thuật của Enflo cũng đã xây dựng được một vd . Ông trình bày nó tại "xêmina giải tích hàm" của trường đại học Paris 6-7 vào tháng 2 năm 1984 . Nhưng ông đã từ chối công bố kết quả trên Bulletin của hội toán học Luân Đôn , mặc dù các biên tập viên đã gợi ý ông sẽ có sự thuận lợi như Read . Bài báo của Beauzamy công bố muộn hơn vào năm 1985 trên tạp chí " Các phương trình tích phân và lý thuyết toán tử " . Vd trên đã được A.M.Davie đơn giản hóa rất nhiều . Có thể tìm thấy nó trong cuốn sách của Beauzamy xuất bản năm 1988 . Ta không nên nghĩ răng các vd đã biết đều trực tiếp hay gián tiếp dựa trên các kĩ thuật của Enflo . Sự thực , một loạt các bài báo của Read sau bài đầu tiên năm 1984 đã tạo ra những điều sâu sắc cho bài toán . Chẳng hạn phản vd của ông về l^1 năm 1985 khá khác biệt và đơn giản hơn Enflo và có thể coi đó là một thành tựu đáng kể . Một cái khác là bài báo năm 1988 , Read đã xây dưng 1 ttlt trên không có tập con đóng bất biến ( không nhất thiết là không gian con đóng ) ngoại trừ các trường hợp tầm thường . Đây không những là kết quả mạnh hơn mà nó còn đưa ra một vấn đề mới : Giả sử đến một ngày nào đó bài toán kgcbb có câu trả lời phủ định ( như trường hợp kg Banach ) , ta vẫn có thể đặt câu hỏi " Phải chăng mọi ttlt đều có tập con đóng bất biến không tầm thường " Dựa trên các kết quả trước đó , vào năm 1997 , Read đã công bố vd về một toán tử liên tục giả lũy linh (quasinilpotent bouded operatorl) , tức là , trên kg Banach không có kgcbbktt . Kết quả đẹp đẽ này được mô tả trong [8] Kết quả không công bố của Von Neumann Von Neumann đã chứng minh ( không công bố ) mọi toán tử compact trên một kg Hilbert đều có kgcbbktt . Năm 1954 , Aronszajn và Smith đã công bố chứng minh đầu tiên cho kết quả này . Sau đó , A.R.Berntein và A.Robinson đã mở rộng kết quả đó cho các toán tử compact đa thức ( polynomially compact operators ) bằng công cụ của giải tích không chuẩn mực (non-standard analysis )(4) do chính Robinson đưa ra . Halmos đã chỉnh sửa lại chứng minh của họ trong khuôn khổ của giải tích chuẩn mực . Rất khôi hài là Pacific Journal of Math đã đăng bài báo của ông và của Berntein-Robinson trong cùng một số . Năm 1967 , Arvenson và Feldman , sử dụng các kĩ thuật của Halmos , đã thu được kết quả trên ở dạng tổng quát hơn : nếu T là một toán tử compact đa thức sao cho đại số đóng đều ( uniformly closed algebra ) sinh bởi T chứa một toán tử compact không tầm thường ( non-zero compact operator ) thì T có kgcbbktt Kĩ thuật của Lomonosov Theo một nghĩa nào đó , kết quả của Arveson và Feldman là kết quả không thể tốt hơn trong cách tiếp cận của Neumann . Tuy nhiên , vào năm 1973 , các nhà lý thuyết toán tử đã phải kinh ngạc trước một kết quả rất tổng quát của nhà toán học trẻ tuổi người Nga là V.Lomonosov : Nếu một toán tử liên tục không vô hướng ( non-saclar bounded operator )(5) giáo hoán với một toán tử compact không tầm thường , thì T có một không gian con siêu bất biến không tầm thường ( non-trivial hyperinvariant subspace) ( có nghĩa là kg này bất biến với mọi ttlt giao hoán với T ) Định lý này rất hấp dẫn vì các lí do sau : 1)Lomonosov đã dùng một kĩ thuật hoàn toàn mới ( ông vận dụng tài tình nguyên lí điểm bất động Shauder (6) ) , rất khác so với cách tiếp cận sau này của nhiều nhà toán học . Kết quả của ông mạnh hơn nhiều so với điều đã biết : Mọi toán tử compact đa thức đều có kgcbbktt . 3) Kết quả cảu ông đã làm nổi bật một vấn đề mới , cũng ở dạng " Không gian con bất biến " nhưng mạnh hơn , đó là : " Phải chăng mọi ttlt trên kg Hilbert đều có một không gian con siêu bất biến không tầm thường (kgcsbbktt) " 4)Nhiều nhà toán học đã cố gắng thay đổi chứng minh của Lomonosov bằng cách dùng nguyên lí ánh xạ co Banach thay cho nguyên lí Shauder nhưng đl vẫn không suy chuyển cho đến ngày nay . Tuy nhiên , M. Hilden đã cm được một trường hợp riêng của định lí mà không cần dùng bất kì nguyên lí điểm bất động nào . Trường hợp riêng này là : Mọi toán tử compact không tầm thường đều có kgcsbbktt . Sự thật , Hildel đã giả thiết mọi toán tử compact không tầm thường đều là toán tử giả lũy linh . Điều này không làm giảm tổng quát vì nếu một toán tử compact không tầm thường không phải là giả lũy linh thì nó phải có một giá trị riêng khác 0 , và khi đó không gian riêng ứng với giá trị riêng này sẽ là kgcsbbktt . Tính chất giả lũy linh của toán tử compact không tầm thường đã giúp Hilden hoàn thành chứng minh của mình . 5) Khi ra đời , định lí Lomonosov gây cảm giác rằng nó sẽ dẫn đến câu trả lời khẳng định cho bài toán kgcbb . Nhưng 7 năm sau đó , năm 1980 , Hadvin-Nordgren-Radjavi-Rosenthal đã đưa ra vd về một ttlt không giao hoán với tất cả các toán tử compact không tầm thường . 6) Các mở rộng và ứng dụng của định lí Lomonosov đã được tim ra bởi một số nhà toán học . Còn nữa -------------------------------------------------------------------- Chú thích : Một toán tử T trên kg Banach X gọi là compact nếu nó biến mỗi tập bị chặn thành tập hoàn toàn bị chặn . T gọi là ' compact đa thức ' nếu tồn tại đa thức P sao cho P(T) là toán tử compact . Dĩ nhiên mọi toán tử compact đa thức là compact nhưng ngược lại nói chung không đúng . ( 1) : Theo TSKH Đỗ Hồng Tân trong cuốn sách nhỏ " các đl về điểm bất động " thì Banach là người đưa ra bài toán này năm 1930 . (2) : Đây là kết quả cơ bản của đstt năm 1 . (3) : Nguyên văn The temptation on the part of Read to have precedence over Enflo for solving the problem was considered professionally unthical by many mathematicians . Dịch : Read đã có phần bị lôi cuốn bời bài toán trong nỗ lực tìm kiếm lời giải tiên phong, trước Enflo, mà theo nhiều nhà toán học thì đây là một hành động không đúng với tinh thần của khoa học 4) Về giải tích không mẫu mực , có thể xem ở http://diendantoanhoc.org/forum/index.php?showtopic=7687 5) T không vô hướng có nghĩa là dim(ImT)>1 6) Nguyên lí Shauder nói rằng mọi ax liên tục từ một tập lồi , compact trong kg định chuẩn vào chính nó đều có điểm bất động . Xem cm và mở rộng trong cuốn của TSKH Đỗ Hồng Tân hoặc cuốn của Edward . ------------------------------------------------- N.V.Minh (Theo B.S Yadav . Bài toán không gian con bất biến (Phần 1) 21/12/2005 Bài toán không gian con bất biến ( kgcbb ) là câu hỏi đơn giản :" Phải chăng mọi toán tử. Hilbert phức đều có một kgcbb không tầm thường (kgcbbktt ) ?" BÀI TOÁN KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN Bài toán không gian con bất biến ( kgcbb ) là câu hỏi đơn