Các không gian con bất biến của các phép biến hình ở THPT

BÀI LÀMTrong chương trình học lớp 11 cũng như đối với học sinh chuyên Toán, các phép biến hình đã trở nên quen thuộc và là công cụ hữu hiệu để giải các bài toán quỹ tích, dựng hình,… tu

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÁI NGUYÊN

KHOA TOÁN

 BÀO CÁO THẢO LUẬN

Bộ môn: Đại số tuyến tính II

Đề tài:

Các không gian con bất biến của các phép biến đổi

hình học ở THPT

GVHD: Dương Quang Hải Nhóm thực hiện: Nhóm 1 Lớp học phần: MOA341M

DANH SÁCH NHÓM 1

1 Cù Thị Hiền

2 Bùi Bích Huệ

3 Nguyễn Thị Liên

4 Nguyễn Thị Loan

5 Vũ Thị Ninh

6 Dương Lan Phương

7 Đỗ Thị Quỳnh

8 Nguyễn Thị Thu

9 Lý Thị Kiều Trang

BÀI LÀM

Trong chương trình học lớp 11 cũng như đối với học sinh chuyên Toán, các phép biến hình đã trở nên quen thuộc và là công cụ hữu hiệu để giải các bài

toán quỹ tích, dựng hình,… tuy nhiên một điều thù vị là các PBH không chỉ

thuần túy liên quan đến Hình học mà chúng còn có quan hệ sâu sắc với Đại số

1 Phép biến hình:

1.1 Phép biến hình:

a) Phép biến hình trong E2 (hoặc E3) là một ánh xạ đi từ mặt phẳng (hoặc không gian) vào chính nó

Cho ánh xạ f và hình 

( ) '

f

  





Ta có ' { '  M f M( )}, M 

 là tạo ảnh của ' và ' là ảnh của  qua f

Ví dụ: Cho mặt phẳng (P), mặt cầu (O) và điểm S( )O

Lập ánh xạ

: (P) ( )



 Qua S dựng mặt phẳng (Q) // (P), (Q) cắt (O) theo giao tuyến là đường tròn (C) Những điểm ' ( )N  C thì N’ không có tạo ảnh trên (P)

b) Tính chất:

 Nếu f là song ánh thì f được gọi là phép biến hình 1-1 Khi đó  f1

là phép biến hình ngược của f

 Điểm kép: ( )f M M khi đó M được gọi là điểm kép

 Phép biến hình có tính chất kết hợp

Ví dụ: Trong mặt phẳng cho phép đối xứng qua đường thẳng a Kí hiệu: Đ a

1.2.Các phép biến hình cơ sở

1.2.1 Phép tịnh tiến

Ảnh của phép tịnh tiến theo vector (a,b) của điểm P(x,y) là điểm Q(x’,y’)

{ x∗ ¿ x+a ¿¿¿¿

Vector tịnh tiến (a,b) còn gọi là “vector độ dời” Chúng ta có thể áp dụng quy tắc trên cho mọi điểm của đối tượng để dịch chuyển nó Đơn giản hơn, để tịnh tiến một đa giác chỉ cần tịnh tiến các đỉnh của nó rồi vẽ lại đa giác mới Tương

tự, đối với đường tròn, ellip ta tịnh tiến tâm của chúng tới vị trí mới rồi vẽ lại

x y

tx=ty=3

tx=3; ty=1

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

6 6

1.2 Phép tỷ lệ

Làm thay đổi kích thước của đối tượng

' '

x tx x

y ty y











trong đó ty, tx là hệ số co dãn theo trục tung và trục hoành Khi tx,ty nhỏ hơn

1, phép biến đổi sẽ thu nhỏ đối tượng Khi tx,ty lớn hơn 1, phép biến đổi sẽ

phóng to đối tượng Khi tx=ty: ta gọi đó là phép đồng dạng (uniform scaling),

nó bảo toàn tỷ lệ về kích thước của vật thể

Phép quay

O

Phép tỷ lệ

Phép quay quanh một điểm

1800

Phép quay làm thay đổi hướng của đối tượng Để xác định phép quay, ta cần biết tâm quay và góc quay Phép quay điểm P(x,y) quanh gốc tọa độ một góc  tạo thành điểm ảnh Q(x*,y*) có công thức như sau:

{ x∗ ¿ x.cosα−y.sinα ¿¿¿¿

2 Phép biến hình tuyến tính

Một phép biến hình T được gọi là tuyến tính nếu nó thỏa mãn 2 tính chất sau đây:

a) Cộng tính: T u v T u  T v  , u v ,

b) Tỷ lệ: T ku  kT u  ,    u, k

Từ tính chất cộng tính của T dễ dàng suy ra là T 0  0

hat một điều kiện cần

để T tuyến tính là T phải giữ cố định gốc tọa độ O

Câu hỏi: Các phép biến hình tuyến tính có các tính chất gì đặc biệt mà ta cần

xèm xét chúng???

Tính chất đặc biệt của phép biến hình tuyến tính là” ta cần biết được

 1 ,  2

T e T e thì sẽ tìm được tất cảvcác T u  với u

là vecto bất kỳ” (ở đây là các

vecto đơn vị)

Thật vậy, vì mỗi vecto u

bất kì đều có biểu diễn là uxe1 ye2 với x ,y là các tọa độ của u

nến ta có :

T u T xe ye T xe T ye

T u xT e yT e

Đẳng thức trên cho thấy ảnh T u  được xác định hoàn toàn từ 2 ảnh

 1 ,  2

T e T e của e e 1, 2 , nói cách khác T được xác định hoàn toàn khi biết

 1 ,  2

T e T e Do đó co thể tìm công thức biểu diễn cỉa một phép biến hình T ta chỉ cần tìmT e 1 , T e 2 rồi sử dụng công thức (*) để xác định T u 

Câu hỏi : vậy thì các PBH đã học có phải là PBH tuyến tính k???

Đối với phép quay, phép đối xứng, phép vị tự là các phép biến hình tuyến

tính (phép biến hình phải giữ cố định gốc tọa độ O)

Bây giờ ta hãy thử áp dụng các phân tích trên để đi tìm công thức biểu diễn

phép quay và phép đối xứng trục

2.1 Bài toán 1: Tìm công thức tọa độ của phép quay:

Để có tính chất tuyến tính thì gốc tọa độ phải là điểm bất động trong phép

quay, do đó trước hết ta phải xem xét với những phép quay với tâm O (phép

quay bới tâm I bất kì được chuyển về trường hợp này bằng cách dùng phép

tịnh tiến theo OI

 Phép quay với tâm O gốc tọa độ:

Xét T là phép quay tâm O, góc α Ta tìm ảnh của hai vecto e e 1, 2 Rõ ràng

 1 (cos ,sin ),  2 ( sin , cos )

T e    T e    

Thế vào công thức (*) ta thu được công thức biểu diễn của phép quay tâm

O góc α là:

T u T xe ye T xe T ye

Hay công thức tọa độ của điểm ảnh

( ', ') ( , ) ( cos sin , sin cos )

(**)



 

 Như vậy ta thấy rõ chỉ cần lưu lại 2 ảnh

 1 (cos ,sin ),  2 ( sin , cos )

T e    T e     Hơn nữa ta có thể viết lại công thức (**) thành:



(trong cách viết này tất cả các vecto đều xuất hiện ở dạng cột)

Và do đó ma trận

sin cos

A   

được gọi là ma trận biến đổi của phép quay tâm O góc α

Xét điểm P(P.x,P.y) quay quanh điểm V(V.x, V.y) một góc θ đến điểm Q(Q.x,Q.y) Ta có thể xem phép quay quanh tâm V được kết hợp từ phép các biến đổi cơ bản sau:

- Phép tịnh tiến (-V.x, -V.y) để dịch chuyển tâm quay về gốc tọa độ

- Quay quanh gốc tọa độ O một góc θ

- Phép tịnh tiến (+V.x, +V.y) để đưa tâm quay về vị trí ban đầu

Ta cần xác định tọa độ của điểm Q (xem hình 2 )

- Từ phép tịnh tiến (-V.x,-V.y) biến đổi điểm P thành P' ta được:

P' = P + V

hay

- Phép quay quanh gốc tọa độ biến đổi điểm P' thành Q'

Q' = P'.M

- Phép tịnh tiến (+V.x, +V.y) biến đổi điểm Q' thành Q ta được:

Q = Q' + V

hay

Vậy Q = P.M + tr Với

2.2 Bài toán 2: tìm công thức tọa độ của phép đối xứng trục:

Tương tự ta sẽ tìm được ma trận biến đổi của phép đối xứng trục là đường

thẳng (d) đi qua O:

cos2 sin 2

sin 2 cos2

B    

Trong đó θ là góc tạo bởi đường thẳng (d) và trục hoành Ox

Tuy nhiên đối với đường thẳng ta hay dùng dạng phương trình tổng quát

Do đó ta dùng tan

b a

  với u( , )a b là vecto chỉ phương của đường thẳng (d) ta chuyển ma trận B thành:

2 2

2 1

2

B

3 Ma trận của phép biến hình

3.1 Ma trận của PBH:

Nếu ta biểu diễn điểm P,Q dưới dạng vector dòng (x,y) (x*,y*) như trên thì ma trận của các phép biến hình như sau:

Phép tịnh tiến:

(x*,y*) = (x,y) + (a,b)

Q = P + T trong đó T = (a,b)

Phép tỷ lệ:

¿ ¿

Q = PS trong đó S= ¿ (tx 0 ¿ ) ¿

¿ ¿¿ là ma trận của phép đồng dạng

Phép quay quanh gốc tọa độ:

¿ ¿

hay Q=PR trong đó R= ¿ (cos α sinα ¿ ) ¿

¿ ¿¿ là ma trận của phép quay

Tuy nhiên, cách biểu diễn trên sẽ gặp khó khăn khi kết hợp các phép biến đổi lại với nhau vì biểu diễn của phép tịnh tiến (cộng ma trận) khác với hai phép

biến hình còn lại (nhân ma trận) Chẳng hạn, khi thiết kế một động cơ, ta muốn

tháo riêng một chi tiết ra ngoài (tịnh tiến), xoay 1 góc (quay) rồi lắp vào chỗ cũ (tịnh tiến) Khi đó ta phải thực hiện 3 phép tính trên ma trận (+  + ) Người ta

đã tìm ra cách biểu diễn trong hệ tọa độ thuần nhất, nhờ đó rút gọn chuỗi biến đổi trên về chỉ một phép tính

3.2 Hệ tọa độ thuần nhất (homogeneous coordinates)

Tọa độ thuần nhất (đôi khi còn gọi là “đồng nhất”) của điểm (x,y) trên mặt

phẳng được biểu diễn bằng bộ ba (xh,yh,h) liên hệ với tọa độ (x,y) bởi công thức

x= x h

h , y =

y h h

Nếu một điểm có tọa độ thuần nhất là (x,y,z) trong không gian Decac thì nó cũng có tọa độ thuần nhất là (x.h,y.h,z.h,h) trong đó h là số thực khác không bất

kỳ Ngược lại điểm (x,y,z) trong hệ tọa độ thuần nhất sẽ có tương ứng với điểm (x z , y

z ) trong hệ tọa độ Decac

Tọa độ thuần nhất của một điểm trong không gian 3 chiều hay nhiều chiều cũng được xác định theo cách tương tự Để đơn giản hóa, người ta thường chọn h=1, lúc này điểm P(x,y) sẽ được biểu diễn dưới dạng tọa độ thuần nhất là

(x,y,1)

3.3 Ma trận của các phép biến hình trong hệ tọa độ thuần nhất

Phép tịnh tiến:

( x*, y*,1)=( x , y,1)× ( 1 0 0 0 1 0

a b 1 )

Hay Q = P  T trong đó T là ma trận của phép tịnh tiến

T= ( 1 0 0 0 1 0

a b 1 )

Phép tỷ lệ:

( x*, y*,1 ) = ( x , y,1 ) × ( tx 0 0 0 ty 0

Hay Q = P  S trong đó S là ma trận của phép tỷ lệ

S= ( tx 0 0 0 ty 0

0 0 1 )

Phép quay quanh gốc tọa độ:

( x*, y*,1 ) = ( x , y,1 ) × ( − cos α sin α cosα 0 sin α 0

Hay Q = P  R trong đó R là ma trận của phép quay

R= ( −sin α cosα 0 cos α sin α 0

4 Kết hợp các phép biến hình

Bất kỳ phép biến hình nào cũng được kết hợp từ phép tịnh tiến, tỷ lệ và quay Khi áp dụng liên tiếp các phép biến hình trên đối tượng, ta phải thực hiện

nhiều phép nhân với các ma trận tương ứng Thay vào đó, ta sẽ chuẩn bị sẵn ma trận tích và sử dụng như ma trận của phép biến hình tổng thể

4.1 Kết hợp các phép tịnh tiến

Ta thực hiện phép tịnh tiến T1 với vector tịnh tiến (a,b) lên điểm P(x,y) và thu được ảnh Q’, sau đó thực hiện tiếp phép tịnh tiến T2(c,d) đối với Q’ và thu được Q(x*,y*)

P( x , y ) T1(a, b ) Q' ( x ', y ' ) T2(c , d )Q( x *, y∗)

Kết hợp của 2 hay nhiều phép tịnh tiến cho kết quả là phép tịnh tiến có ma trận là tổng các ma trận hành phần:

T1( a ,b ).T2( c, d)=T ( a+c ,b +d )

( 1 0 0 0 1 0

a b 1 ) × ( 1 0 0 0 1 0

c d 1 ) = ( 1 0 0 1 0 0

a+c b+d 1 )

4.2 Kết hợp các phép tỷ lệ

Tương tự như phép tịnh tiến, kết hợp của nhiều phép tỷ lệ là một phép tỷ lệ Giả sử ta kết hợp hai phép tỷ lệ sau: S = S1 S2 Ma trận kết hợp sẽ là

0 ty 1 0

0 0 1)×(tx 2 0 0

0 ty 1 0

0 0 1)=(tx 1 tx 2 0 0

0 ty 1 ty 2 0

4.3 Kết hợp các phép quay

Tương tự như phép tịnh tiến, kết hợp của nhiều phép quay quanh gốc tọa độ cũng là một phép quay quanh gốc tọa độ Giả sử phép quay R1có góc quay là 1, phép quay R2 có góc quay 2, ma trận kết hợp của hai phép quay R1 R2 là

(cos α1 sin α1 0

−sin α1 cos α1 0

0 0 1)×(cosα2 sin α2 0

−sin α2 cosα2 0

0 0 1)=(cos(α1 +α2) sin(α1 +α2) 0

−sin(α1 +α2) cos(α1 +α2) 0

4.4 Phép quay với tâm quay bất kỳ

Phép quay quanh tâm quay A(x,y) góc quay  có thể phân tích thành các

phép biến hình cơ sở sau:

- Tịnh tiến theo vector (-x,-y) để đưa tâm quay về gốc tọa độ

- Quay quanh gốc tọa độ một góc 

- Tịnh tiến theo vector (x,y) để đưa đối tượng về chỗ cũ

( 1 0 0 1 0 0

− x − y 1 ) × ( cosα −sin α cosα 0 sin α 0

0 0 1 ) × ( 1 0 0 0 1 0

x y 1 ) =

x ( 1−cos α ) + y sin α −sin α x+ ( 1−cos α ) y 1 )

4.5 Phép đối xứng

Phép đối xứng trục có thể xem là phép quay 1800 quanh trục đối xứng Phép đối xứng qua trục hoành và trục tung có ma trận lần lượt là

(1,3) (3,3)

(3,1) (1,1) (4,1) (6,1)

(10,3) (12,3)

Phép biến dạng theo trục Ox, hệ số biến dạng t =3

MOx= ( 1 0 0 0 −1 0

0 0 1 ) , MOy= ( −1 0 0 0 1 0

0 0 1 )

4.6 Phép biến dạng

Là phép biến hình làm thay đổi tỷ lệ về kích thước, nói cách khác là làm méo

mó đối tượng Hai phép biến dạng là:

- Phép biến dạng theo trục hoành làm thay đổi hoành độ còn tung độ giữ nguyên

- Phép biến dạng theo trục tung làm thay đổi tung độ còn hoành độ giữ

nguyên

MOx= ( 1 0 0 t 1 0

0 0 1 ) , MOy= ( 1 t 0 0 1 0

4.7 Phép biến đổi ngược

Một ví dụ cho phép biến đổi ngược chính là thao tác Undo mà các phần mềm

vẽ thiết kế luôn có Giả sử phép biến hình M có ma trận như sau:

giả thiết ad-bc  0 Khi đó phép biến đổi ngược của M, ký hiệu là M-1, được biểu diễn như sau:

M−1= 1

Gọi S (tx,ty) là phép đồng dạng, S-1 được biểu diễn như sau:

S−1( tx ,ty ) = ( tx 1 0 0

ty 0

Phép quay quanh gốc tọa độ R() có biến đổi ngược như sau:

R−1( α ) = ( cosα −sin α 0 sin α cos α 0

5 Các phép biến hình trong không gian 3 chiều

Hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng, ta cũng sử dụng các ma trận trong

hệ tọa độ thuần nhất để biểu diễn các phép biến hình: tịnh tiến, quay và đồng dạng

Phép tịnh tiến

Ma trận của phép tịnh tiến T(a,b,c) là

T( a,b,c)= ( 1 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0

a b c 1 )

Ví dụ: Dời tứ diện có 4 đỉnh O(0,0,0) ; A(2,0,0) ; B(0,2,0) ; C(0,0,2)

Theo phương Ox là 1 đơn vị, phương Oy là 2 đơn vị, phương Oz là 3 đơn vị

Ta có:

Phép tỷ lệ Phép tịnh tiến

z

x

x z

[ '] [P].[ ]

T

Phép tỷ lệ

Ma trận của phép tỷ lệ S(a,b,c) là

S(a,b,c)= ( 0 b 0 0 a 0 0 0

0 0 c 0

trong đó a,b,c là hệ số tỷ lệ tương ứng theo các trục tọa độ Ox,Oy,Oz

Phép quay

Nếu trong mặt phẳng ta có phép quay quanh một tâm quay thì trong không

gian 3 chiều ta có phép quay quanh một trục Ký hiệu ma trận của các phép

x

x z

y

Phép quay quanh trục Oz

quay quanh 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt là R(x,), R(y,), R(z,) với  là góc

quay Ta có

R( z ,α)=(cosα−sin α cos α 0 0sin α 0 0

R ( y,α )=(cos α 0 −sin α 00 1 0 0

sin α 0 cosα 0

0 0 0 1) R( x,α )=(1 00 cosα 0sin α 00

0 −sin α cosα 0

Chú ý: vẫn như trước, góc quay  có giá trị đại số Chiều quay dương được

xác định theo quy tắc như sau:

- Quay quanh trục Ox: chiều quay dương là chiều quay từ trục y đến trục z

- Quay quanh trục Oy: chiều quay dương là chiều quay từ trục z đến trục x

- Quay quanh trục Oz: chiều quay dương là chiều quay từ trục x đến trục y

Nói cách khác, nếu đặt mắt nhìn thẳng vào trục tọa độ đi tới thì chiều quay dương là ngược chiều kim đồng hồ Hoặc có thể dùng quy tắc bàn tay phải:

ngón cái chỉ chiều đi tới (vector pháp tuyến), bốn ngón khum lại chỉ chiều quay dương