Các không gian con bất biến của các phép biến hình ở THPT

Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÁI NGUYÊN KHOA TOÁN  BÀO CÁO THẢO LUẬN Bộ môn: Đại số tuyến tính II Đề tài: Các không gian bất biến phép biến đổi hình học THPT GVHD: Dương Quang Hải Nhóm thực hiện: Nhóm Lớp học phần: MOA341M 1 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm DANH SÁCH NHÓM 1 Cù Thị Hiền Bùi Bích Huệ Nguyễn Thị Liên Nguyễn Thị Loan Vũ Thị Ninh Dương Lan Phương Đỗ Thị Quỳnh Nguyễn Thị Thu Lý Thị Kiều Trang 2 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm BÀI LÀM Trong chương trình học lớp 11 học sinh chuyên Toán, phép biến hình trở nên quen thuộc công cụ hữu hiệu để giải toán quỹ tích, dựng hình,… nhiên điều thù vị PBH không túy liên quan đến Hình học mà chúng có quan hệ sâu sắc với Đại số Phép biến hình: 1.1 Phép biến hình: a) Phép biến hình E2 (hoặc E3 ) ánh xạ từ mặt phẳng (hoặc không gian) vào Cho ánh xạ f hình Φ f : Φ → Φ' M a f (M ) = M ' Ta có Φ ' = {M ' = f ( M )} , M ∈ Φ Φ tạo ảnh Φ ' Φ ' ảnh Φ qua f Ví dụ: Cho mặt phẳng (P), mặt cầu (O) điểm S ∈ (O) Lập ánh xạ f : (P) → (O) M a M ' = SM ∩ (O) Qua S dựng mặt phẳng (Q) // (P), (Q) cắt (O) theo giao tuyến đường tròn (C) Những điểm N ' ∈ (C) N’ tạo ảnh (P) 3 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm b) Tính chất: −1 • Nếu f song ánh f gọi phép biến hình 1-1 Khi ∃ f phép biến hình ngược f • Điểm kép: f ( M ) = M M gọi điểm kép • Phép biến hình có tính chất kết hợp Ví dụ: Trong mặt phẳng cho phép đối xứng qua đường thẳng a Kí hiệu: 1.2.Các phép biến hình sở 1.2.1 Phép tịnh tiến Ảnh phép tịnh tiến theo vector (a,b) điểm P(x,y) điểm Q(x’,y’)  x* = x + a   y* = y + b Vector tịnh tiến (a,b) gọi “vector độ dời” Chúng ta áp dụng quy tắc cho điểm đối tượng để dịch chuyển Đơn giản hơn, để tịnh tiến đa giác cần tịnh tiến đỉnh vẽ lại đa giác Tương tự, đường tròn, ellip ta tịnh tiến tâm chúng tới vị trí vẽ lại 4 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm y x 1.2 Phép tỷ lệ Làm thay đổi kích thước đối tượng  x ' = tx.x   y ' = ty.y ty, tx hệ số co dãn theo trục tung trục hoành Khi tx,ty nhỏ 1, phép biến đổi thu nhỏ đối tượng Khi tx,ty lớn 1, phép biến đổi phóng to đối tượng Khi tx=ty: ta gọi phép đồng dạng (uniform scaling), bảo toàn tỷ lệ kích thước vật thể 5 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm tx=ty=3 tx=3; ty=1 O Phép tỷ lệ Phép quay Phép quay làm thay đổi hướng đối tượng Để xác định phép quay, ta cần biết tâm quay góc quay Phép quay điểm P(x,y) quanh gốc tọa độ góc α tạo thành điểm ảnh Q(x*,y*) có công thức sau:  x* = x cos α − y sin α   y* = x sin α + y cos α 6 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm 1800 Phép biến hình tuyến tính Một phép biến hình T gọi tuyến tính thỏa mãn tính chất sau đây: 7 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên r r r Nhóm r r r T u + v ) = T ( u ) + T ( v ) , ∀u, v a) Cộng tính: ( b) Tỷ lệ: r r r T ( ku ) = kT ( u ) , ∀u, ∀k ∈ Κ r r T =0 Từ tính chất cộng tính T dễ dàng suy ( để T tuyến tính T phải giữ cố định gốc tọa độ O ) hat điều kiện cần Câu hỏi: Các phép biến hình tuyến tính có tính chất đặc biệt mà ta cần xèm xét chúng??? Tính chất đặc biệt phép biến hình tuyến tính là” ta cần biết r r T ( e1 ) , T ( e2 ) r r T u tìm tất cảvcác ( ) với u vecto bất kỳ” (ở vecto đơn vị) r r r r Thật vậy,r vecto u có biểu diễn u = xe1 + ye2 với x ,y tọa độ u nến ta có : r r r r r T ( u ) = T ( xe1 + ye2 ) = T ( xe1 ) + T ( ye2 ) r r r ⇒ T ( u ) = xT ( e1 ) + yT ( e2 ) ( * ) r T ( u) Đẳng thức cho thấy ảnh xác định hoàn toàn từ ảnh r r r r T ( e1 ) , T ( e2 ) e1 , e2 , nói cách khác T xác định hoàn toàn biết r r T ( e1 ) , T ( e2 ) Do co thể tìm công thức biểu diễn cỉa phép biến hình T ta r r r T ( e1 ) , T ( e2 ) T ( u) cần tìm sử dụng công thức (*) để xác định Câu hỏi : PBH học có phải PBH tuyến tính k??? Đối với phép quay, phép đối xứng, phép vị tự phép biến hình tuyến tính (phép biến hình phải giữ cố định gốc tọa độ O) Bây ta thử áp dụng phân tích để tìm công thức biểu diễn phép quay phép đối xứng trục 2.1 Bài toán 1: Tìm công thức tọa độ phép quay: Để có tính chất tuyến tính gốc tọa độ phải điểm bất động phép quay, trước hết ta phải xem xét với phép quay với tâm O (phép quay bới tâm I ubất ur kì chuyển trường hợp cách dùng phép tịnh tiến theo OI • Phép quay với tâm O gốc tọa độ: 8 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm r r e Xét T phép quay tâm O, góc Ta tìm ảnh hai vecto , e2 Rõ ràng r r T ( e1 ) = (cos α,sin α), T ( e2 ) = (− sin α, cos α) Thế vào công thức (*) ta thu công thức biểu diễn phép quay tâm O góc là: r r r r r T ( u ) = T ( xe1 + ye2 ) = T ( xe1 ) + T ( ye2 ) Hay công thức tọa độ điểm ảnh ( x ', y ') = T ( x, y ) = ( x cos α − y sin α, x sin α + y cos α)  x ' = x cos α − y sin α ⇔ (**) y ' = x sin α + y cos α  Như ta thấy rõ cần lưu lại ảnh r r T ( e1 ) = (cos α,sin α), T ( e2 ) = (− sin α,cos α) Hơn ta viết lại công thức (**) thành:  x '   cos α − sin α  x   ÷=  ÷ ÷  y '   sin α cos α  y  (trong cách viết tất vecto xuất dạng cột)  cos α − sin α  A= ÷ sin α cos α   Và ma trận gọi ma trận biến đổi phép quay tâm O góc 9 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm Xét điểm P(P.x,P.y) quay quanh điểm V(V.x, V.y) góc θ đến điểm Q(Q.x,Q.y) Ta xem phép quay quanh tâm V kết hợp từ phép biến đổi sau: - Phép tịnh tiến (-V.x, -V.y) để dịch chuyển tâm quay gốc tọa độ - Quay quanh gốc tọa độ O góc θ - Phép tịnh tiến (+V.x, +V.y) để đưa tâm quay vị trí ban đầu Ta cần xác định tọa độ điểm Q (xem hình ) - Từ phép tịnh tiến (-V.x,-V.y) biến đổi điểm P thành P' ta được: P' = P + V hay - Phép quay quanh gốc tọa độ biến đổi điểm P' thành Q' Q' = P'.M - Phép tịnh tiến (+V.x, +V.y) biến đổi điểm Q' thành Q ta được: Q = Q' + V hay Vậy Q = P.M + tr Với 2.2 Bài toán 2: tìm công thức tọa độ phép đối xứng trục: 10 10 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm Tương tự ta tìm ma trận biến đổi phép đối xứng trục đường thẳng (d) qua O:  cos2θ sin 2θ  B = ÷  sin 2θ − cos2θ  Trong góc tạo đường thẳng (d) trục hoành Ox Tuy nhiên đường thẳng ta hay dùng dạng phương trình tổng quát b r a với u = (a, b) vecto phương đường thẳng Do ta dùng (d) ta chuyển ma trận B thành: tan θ =  a2 − b2 B=  a + b  ab ab  ÷ b2 − a2  Ma trận phép biến hình 3.1 Ma trận PBH: Nếu ta biểu diễn điểm P,Q dạng vector dòng (x,y) (x*,y*) ma trận phép biến sau: Phép tịnh tiến: (x*,y*) = (x,y) + (a,b) Q = P + T T = (a,b) Phép tỷ lệ: ( x*, y *) = ( x, y )  tx   ty    tx   S =  ty   ma trận phép đồng dạng Q = P×S Phép quay quanh gốc tọa độ: sin α    − sin α cos α  ( x*, y *) = ( x, y )  11 cos α 11 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm  cos α sin α   R =  − sin α cos α   ma trận phép quay hay Q=P×R Tuy nhiên, cách biểu diễn gặp khó khăn kết hợp phép biến đổi lại với biểu diễn phép tịnh tiến (cộng ma trận) khác với hai phép biến hình lại (nhân ma trận) Chẳng hạn, thiết kế động cơ, ta muốn tháo riêng chi tiết (tịnh tiến), xoay góc (quay) lắp vào chỗ cũ (tịnh tiến) Khi ta phải thực phép tính ma trận (+ × + ) Người ta tìm cách biểu diễn hệ tọa độ nhất, nhờ rút gọn chuỗi biến đổi phép tính 3.2 Hệ tọa độ (homogeneous coordinates) Tọa độ (đôi gọi “đồng nhất”) điểm (x,y) mặt phẳng biểu diễn ba (xh,yh,h) liên hệ với tọa độ (x,y) công thức x= xh , h y= yh h Nếu điểm có tọa độ (x,y,z) không gian Decac có tọa độ (x.h,y.h,z.h,h) h số thực khác không Ngược lại điểm (x,y,z) hệ tọa độ có tương ứng với điểm ( ) hệ tọa độ Decac Tọa độ điểm không gian chiều hay nhiều chiều xác định theo cách tương tự Để đơn giản hóa, người ta thường chọn h=1, lúc điểm P(x,y) biểu diễn dạng tọa độ (x,y,1) 3.3 Ma trận phép biến hình hệ tọa độ Phép tịnh tiến:  0   ( x*, y*,1) = ( x, y,1) ×    a b 1   12 12 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm  0   T =  0  a b 1   Hay Q = P × T T ma trận phép tịnh tiến Phép tỷ lệ:  tx 0    ( x*, y*,1) = ( x, y,1) ×  ty   0 1    tx 0    S =  ty   0 1   Hay Q = P × S S ma trận phép tỷ lệ Phép quay quanh gốc tọa độ:  cos α  ( x*, y*,1) = ( x, y,1) ×  − sin α   sin α cos α Hay Q = P × R R ma trận phép quay 0  0   cos α  R =  − sin α   sin α cos α 0  0  Kết hợp phép biến hình Bất kỳ phép biến hình kết hợp từ phép tịnh tiến, tỷ lệ quay Khi áp dụng liên tiếp phép biến hình đối tượng, ta phải thực nhiều phép nhân với ma trận tương ứng Thay vào đó, ta chuẩn bị sẵn ma trận tích sử dụng ma trận phép biến hình tổng thể 4.1 Kết hợp phép tịnh tiến Ta thực phép tịnh tiến T1 với vector tịnh tiến (a,b) lên điểm P(x,y) thu ảnh Q’, sau thực tiếp phép tịnh tiến T2(c,d) Q’ thu Q(x*,y*) ( a ,b ) ( c ,d ) P ( x, y ) T → Q ' ( x' , y ' ) T → Q ( x*, y*) 13 13 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm Kết hợp hay nhiều phép tịnh tiến cho kết phép tịnh tiến có ma trận tổng ma trận hành phần: T1 (a, b).T2 (c, d ) = T (a + c, b + d )  0 1 0        0 ×  0 =   a b 1  c d 1  a + c b + d      0  0  4.2 Kết hợp phép tỷ lệ Tương tự phép tịnh tiến, kết hợp nhiều phép tỷ lệ phép tỷ lệ Giả sử ta kết hợp hai phép tỷ lệ sau: S = S1 S2 Ma trận kết hợp  tx1   ty1 0    tx   0 ×    0   tx1tx   ty1  =  0   0 ty 1ty 0  0  4.3 Kết hợp phép quay Tương tự phép tịnh tiến, kết hợp nhiều phép quay quanh gốc tọa độ phép quay quanh gốc tọa độ Giả sử phép quay R1có góc quay α1, phép quay R2 có góc quay α2, ma trận kết hợp hai phép quay R1 R2  cos α   − sin α   sin α cos α 0   cos α    ×  − sin α   sin α cos α 0   cos( α + α ) sin( α + α )      =  − sin( α + α ) cos( α + α )    0  4.4 Phép quay với tâm quay Phép quay quanh tâm quay A(x,y) góc quay α phân tích thành phép biến hình sở sau: - Tịnh tiến theo vector (-x,-y) để đưa tâm quay gốc tọa độ - Quay quanh gốc tọa độ góc α - Tịnh tiến theo vector (x,y) để đưa đối tượng chỗ cũ 14 14 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm 0   cos α sin α   0          ×  − sin α cos α  ×   =  − x − y 1  0   x y     cos α sin α 0    = − sin α cos α 0  x(1 − cos α ) + y sin α − sin α x + (1 − cos α ) y    4.5 Phép đối xứng Phép đối xứng trục xem phép quay 1800 quanh trục đối xứng Phép đối xứng qua trục hoành trục tung có ma trận M Ox 1 0  −1 0     =  −  , M Oy =   0 1  0 1     4.6 Phép biến dạng Là phép biến hình làm thay đổi tỷ lệ kích thước, nói cách khác làm méo mó đối tượng Hai phép biến dạng là: Phép biến dạng theo trục hoành làm thay đổi hoành độ tung độ giữ nguyên - Phép biến dạng theo trục tung làm thay đổi tung độ hoành độ giữ nguyên - M Ox (1,3) (1,1) 1 0 1 t 0     =  t  , M Oy =   0 1 0 1     (3,3) (3,1) (10,3) (4,1) (12,3) (6,1) Phép biến dạng theo trục Ox, hệ số biến dạng t =3 15 15 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm 4.7 Phép biến đổi ngược Một ví dụ cho phép biến đổi ngược thao tác Undo mà phần mềm vẽ thiết kế có Giả sử phép biến hình M có ma trận sau: a  M = c e  b d f 0  0  giả thiết ad-bc ≠ Khi phép biến đổi ngược M, ký hiệu M-1, biểu diễn sau: M −1 −b  d  = a  −c ad − bc   cf − de be − af 0  0  Gọi S (tx,ty) phép đồng dạng, S-1 biểu diễn sau: 1   tx S −1 ( tx , ty ) =   0   ty  0  0  1   Phép quay quanh gốc tọa độ R(α) có biến đổi ngược sau:  cos α  R −1 ( α ) =  sin α   − sin α cos α 0   = R(−α )  Các phép biến hình không gian chiều Hoàn toàn tương tự mặt phẳng, ta sử dụng ma trận hệ tọa độ để biểu diễn phép biến hình: tịnh tiến, quay đồng dạng Phép tịnh tiến Ma trận phép tịnh tiến T(a,b,c) 16 16 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm 1  0 T ( a , b, c ) =   a  b 0 c 0  0 0   Ví dụ: Dời tứ diện có đỉnh O(0, 0,0) ; A(2,0,0) ; B(0,2,0) ; C(0,0,2) Theo phương Ox đơn vị, phương Oy đơn vị, phương Oz đơn vị Ta có: 0 2 [P '] = [P].[T ]T =  0  0 0 1  0 1  1   1  0  1 0  3 =  1    1 1 1 1  1 Phép tỷ lệ Ma trận phép tỷ lệ S(a,b,c) a  0 S ( a , b, c ) =   0  b 0 0 c 0  0 0   a,b,c hệ số tỷ lệ tương ứng theo trục tọa độ Ox,Oy,Oz 17 17 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm y y x x z z Phép tỷ lệ Phép tịnh tiến Phép quay Nếu mặt phẳng ta có phép quay quanh tâm quay không gian chiều ta có phép quay quanh trục Ký hiệu ma trận phép quay quanh trục Ox, Oy, Oz R(x,α), R(y,α), R(z,α) với α góc quay Ta có  cos α   − sin α R( z, α ) =      cos α   R( y, α ) =  sin α    sin α cos α 0 0 0  0 0   − sin α 0 cos α 0 0  0 0   18 1   cos α R ( x, α ) =  − sin α  0  sin α cos α 0  0 0   18 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm Chú ý: trước, góc quay α có giá trị đại số Chiều quay dương xác định theo quy tắc sau: - Quay quanh trục Ox: chiều quay dương chiều quay từ trục y đến trục z - Quay quanh trục Oy: chiều quay dương chiều quay từ trục z đến trục x - Quay quanh trục Oz: chiều quay dương chiều quay từ trục x đến trục y Nói cách khác, đặt mắt nhìn thẳng vào trục tọa độ tới chiều quay Phép quay quanhcó trục Oxdùng quy tắc bàn tay phải: dương ngược chiều kim đồng hồ Hoặc thể ngón chiều tới (vector pháp tuyến), bốn ngón khum lại chiều quay dương Phép quay quanh trục Oz Phép quay quanh trục Oy y z 19 19 [...]... ma trận của phép quay 0  0 1   cos α  R =  − sin α  0  sin α cos α 0 0  0 1  4 Kết hợp các phép biến hình Bất kỳ phép biến hình nào cũng được kết hợp từ phép tịnh tiến, tỷ lệ và quay Khi áp dụng liên tiếp các phép biến hình trên đối tượng, ta phải thực hiện nhiều phép nhân với các ma trận tương ứng Thay vào đó, ta sẽ chuẩn bị sẵn ma trận tích và sử dụng như ma trận của phép biến hình tổng... ÷ b2 − a2  3 Ma trận của phép biến hình 3.1 Ma trận của PBH: Nếu ta biểu diễn điểm P,Q dưới dạng vector dòng (x,y) (x*,y*) như trên thì ma trận của các phép biến hình như sau: Phép tịnh tiến: (x*,y*) = (x,y) + (a,b) Q = P + T trong đó T = (a,b) Phép tỷ lệ: ( x*, y *) = ( x, y )  tx 0   0 ty    tx 0   S =  0 ty   là ma trận của phép đồng dạng Q = P×S trong đó Phép quay quanh gốc tọa... y 1    4.5 Phép đối xứng Phép đối xứng trục có thể xem là phép quay 1800 quanh trục đối xứng Phép đối xứng qua trục hoành và trục tung có ma trận lần lượt là M Ox 1 0 0  −1 0 0     =  0 − 1 0  , M Oy =  0 1 0  0 0 1  0 0 1     4.6 Phép biến dạng Là phép biến hình làm thay đổi tỷ lệ về kích thước, nói cách khác là làm méo mó đối tượng Hai phép biến dạng là: Phép biến dạng theo... như sau:  cos α  R −1 ( α ) =  sin α  0  − sin α cos α 0 0  0  = R(−α ) 1  5 Các phép biến hình trong không gian 3 chiều Hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng, ta cũng sử dụng các ma trận trong hệ tọa độ thuần nhất để biểu diễn các phép biến hình: tịnh tiến, quay và đồng dạng Phép tịnh tiến Ma trận của phép tịnh tiến T(a,b,c) là 16 16 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm 1 1  0 T ( a , b,... ma trận của phép quay hay Q=P×R trong đó Tuy nhiên, cách biểu diễn trên sẽ gặp khó khăn khi kết hợp các phép biến đổi lại với nhau vì biểu diễn của phép tịnh tiến (cộng ma trận) khác với hai phép biến hình còn lại (nhân ma trận) Chẳng hạn, khi thiết kế một động cơ, ta muốn tháo riêng một chi tiết ra ngoài (tịnh tiến), xoay 1 góc (quay) rồi lắp vào chỗ cũ (tịnh tiến) Khi đó ta phải thực hiện 3 phép tính... 0 1  4.2 Kết hợp các phép tỷ lệ Tương tự như phép tịnh tiến, kết hợp của nhiều phép tỷ lệ là một phép tỷ lệ Giả sử ta kết hợp hai phép tỷ lệ sau: S = S1 S2 Ma trận kết hợp sẽ là  tx1 0   0 ty1 0 0  0   tx 2   0 ×  0 1   0 0 0   tx1tx 2   ty1 0  =  0 0 1   0 0 ty 1ty 2 0 0  0 1  4.3 Kết hợp các phép quay Tương tự như phép tịnh tiến, kết hợp của nhiều phép quay quanh gốc... số thực khác không bất kỳ Ngược lại điểm (x,y,z) trong hệ tọa độ thuần nhất sẽ có tương ứng với điểm ( ) trong hệ tọa độ Decac Tọa độ thuần nhất của một điểm trong không gian 3 chiều hay nhiều chiều cũng được xác định theo cách tương tự Để đơn giản hóa, người ta thường chọn h=1, lúc này điểm P(x,y) sẽ được biểu diễn dưới dạng tọa độ thuần nhất là (x,y,1) 3.3 Ma trận của các phép biến hình trong hệ... 1 5 3 1  2 5 1 Phép tỷ lệ Ma trận của phép tỷ lệ S(a,b,c) là a  0 S ( a , b, c ) =  0  0  0 b 0 0 0 0 c 0 0  0 0  1  trong đó a,b,c là hệ số tỷ lệ tương ứng theo các trục tọa độ Ox,Oy,Oz 17 17 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm 1 y y x x z z Phép tỷ lệ Phép tịnh tiến Phép quay Nếu trong mặt phẳng ta có phép quay quanh một tâm quay thì trong không gian 3 chiều ta có phép quay quanh một... nguyên - Phép biến dạng theo trục tung làm thay đổi tung độ còn hoành độ giữ nguyên - M Ox (1,3) (1,1) 1 0 0 1 t 0     =  t 1 0  , M Oy =  0 1 0  0 0 1 0 0 1     (3,3) (3,1) (10,3) (4,1) (12,3) (6,1) Phép biến dạng theo trục Ox, hệ số biến dạng t =3 15 15 Đại học Sư Phạm Thái Nguyên Nhóm 1 4.7 Phép biến đổi ngược Một ví dụ cho phép biến đổi ngược chính là thao tác Undo mà các phần... sử phép biến hình M có ma trận như sau: a  M = c e  b d f 0  0 1  giả thiết ad-bc ≠ 0 Khi đó phép biến đổi ngược của M, ký hiệu là M-1, được biểu diễn như sau: M −1 −b  d 1  = a  −c ad − bc   cf − de be − af 0  0 1  Gọi S (tx,ty) là phép đồng dạng, S-1 được biểu diễn như sau: 1   tx S −1 ( tx , ty ) =  0  0   0 1 ty 0  0  0  1   Phép quay quanh gốc tọa độ R(α) có biến ... trận phép quay 0  0   cos α  R =  − sin α   sin α cos α 0  0  Kết hợp phép biến hình Bất kỳ phép biến hình kết hợp từ phép tịnh tiến, tỷ lệ quay Khi áp dụng liên tiếp phép biến hình. .. Đối với phép quay, phép đối xứng, phép vị tự phép biến hình tuyến tính (phép biến hình phải giữ cố định gốc tọa độ O) Bây ta thử áp dụng phân tích để tìm công thức biểu diễn phép quay phép đối... R(−α )  Các phép biến hình không gian chiều Hoàn toàn tương tự mặt phẳng, ta sử dụng ma trận hệ tọa độ để biểu diễn phép biến hình: tịnh tiến, quay đồng dạng Phép tịnh tiến Ma trận phép tịnh