Phép biến hình học trong đại số tuyến tính

ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÁI NGUYÊN KHOA TOÁN BÀI THẢO LUẬN NHÓM MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH II Đề tài: không gian bất biến CỦA phép biến đổi hình học THPT GVHD: Dương Quang Hải Nhóm thực hiện: Nhóm Lớp học phần: MOA341M Nội dung thảo luận Các phép biến hình sở Phép biến hình tuyến tính Ma trận phép biến hình Kết hợp phép biến hình Các phép biến hình không gian chiều Các phép biến hình sở *Phép biến hình: Định nghĩa: Phép biến hình quy tắc để với điểm M mặt phẳng xác định M’ mặt phẳng Kí hiệu: phép biến hình T T : M → M' Ta có: M ' = f (M) ⇒ T phép đồng ⇔ M = f ( M ), ∀M *Phép biến hình hợp Thực phép biến hình liên tiếp ta phép biến hình gọi hợp thành phép biến hình f1 , f2 : hai phép biến hình ⇒ f1 o f2 : phép biến hình Các phép biến hình sở 1.1 Phép tịnh tiến /dời hình: (translation) • Phép tịnh tiến dùng để dịch chuyển đối tượng từ vị trí sang vị trí khác • Ảnh phép tịnh tiến theo vector (a,b) điểm P(x,y) điểm Q(x’,y’) x ' = x + a  y ' = y + b • Vector tịnh tiến (a,b) gọi “vector độ dời” Chúng ta áp dụng quy tắc cho điểm đối tượng để dịch chuyển y O x Các phép biến hình sở 1.2 Phép tỷ lệ /vị tự: (scaling) • Phép biến đổi 5tỷ lệ làm thay đổi kích thước đối tượng tx=ty=3  x ' = tx.x   y ' = ty.y tx=3; ty=1 ty, tx hệ số co dãn theo trục tung trục hoành • Khi tx,ty nhỏ 1, phép biến đổi thu nhỏ đối tượng • Khi tx,ty lớn 1, phép biến đổi phóng to đối tượng • Khi tx=ty: ta gọi phép đồng dạng (uniform scaling), bảo toàn tỷ lệ kích thước vật thể Các phép biến hình sở 1.3 Phép quay: (rotation) • Phép quay làm thay đổi hướng đối tượng • Để xác định phép quay, ta cần biết tâm quay góc quay Phép quay điểm P(x,y) quanh gốc tọa độ góc α tạo thành điểm ảnh Q(x’,y’) có công thức sau:  x ' = x cos α − y.sin α   y ' = x.sin α + y.cos α y 180 O Phép quay quanh điểm x Phép biến hình tuyến tính Một phép biến hình T gọi tuyến tính thỏa mãn tính chất sau đây: r r r r rr T u + v = T u + T v , ∀ u ,v ) ( ) ( ) a) Cộng tính: ( r r r b) Tỷ lệ: T ( ku ) = kT ( u ) , ∀u, ∀k ∈ Κ r r Từ tính chất cộng tính T dễ dàng suy T = ( ) hay điều kiện cần để T tuyến tính T phải giữ cố định gốc tọa độ O Phép biến hình tuyến tính Tính chất đặc biệt phép biến hình tuyến tính là” ta r r r cần biết T ( e1 ) , T ( e2 ) tìm tất T ( u ) với vecto bất kỳ” (ở vector đơn vị) Thật vậy, vecto có biểu diễn với x ,y tọa độ nến ta có : r r r r r T ( u ) = T ( xe1 + ye2 ) = T ( xe1 ) + T ( ye2 ) r r r ⇒ T ( u ) = xT ( e1 ) + yT ( e2 ) ( * ) Phép biến hình tuyến tính 2.1 Bài toán 1: Tìm công thức tọa độ phép quay: Xét T phép quay tâm O, góc α Ta tìm ảnh hai vector , Rõ ràng: r r T ( e1 ) = (cos α,sin α), T ( e2 ) = ( − sin α,cos α) Thế vào công thức (*) ta thu công thức biểu diễn phép quay tâm O góc là: r r r r r T ( u ) = T ( xe1 + ye2 ) = T ( xe1 ) + T ( ye2 ) Hay công thức tọa độ điểm ảnh ( x ', y ') = T ( x, y ) = ( x cos α − y sin α, x sin α + y cos α)  x ' = x cos α − y sin α ⇔ (**)  y ' = x sin α + y cos α Phép biến hình tuyến tính Như ta thấy rõ cần lưu lại ảnh r r T ( e1 ) = (cos α,sin α ), T ( e2 ) = ( − sin α,cos α) Hơn ta viết lại công thức (**) thành:  x '   cos α − sin α  x   ÷=  ÷ ÷ y ' sin α cos α     y  (trong cách viết tất vecto xuất dạng cột)  cos α − sin α  Và ma trận A =  ÷ sin α cos α   gọi ma trận biến đổi phép quay tâm O góc Ma trận phép biến hình 3.3 Ma trận phép biến hình hệ tọa độ Phép tịnh tiến: 1 0 ( x ', y ',1) = ( x, y,1)  ÷÷ a b 1÷   Hay Q = P × T T ma trận phép tịnh tiến  0   T =  0  a b 1   Ma trận phép biến hình Phép tỷ lệ:  tx 0  ( x ', y ',1) = ( x, y,1)  tx ÷÷  0 1÷    tx 0    Hay Q = P × S S ma trận phép tỷ lệ S =  ty   0 1   Phép quay quanh gốc tọa độ:  cos α sin α  ( x ', y ',1) = ( x, y,1)  − sin α cos α ÷÷  ÷   Hay Q = P × R R ma trận phép quay  cos α  R =  − sin α   sin α cos α 0  0  Kết hợp phép biến hình 4.1 Kết hợp phép tịnh tiến Ta thực phép tịnh tiến T1 với vector tịnh tiến (a,b) lên điểm P(x,y) thu ảnh Q’, sau thực tiếp phép tịnh tiến T2(c,d) Q’ thu Q(x*,y*) ( a ,b ) ( c ,d ) P ( x, y ) T → Q ' ( x' , y ' ) T → Q ( x*, y*) Kết hợp hay nhiều phép tịnh tiến cho kết phép tịnh tiến có ma trận tổng ma trận hành phần: T1 (a, b).T2 (c, d ) = T (a + c, b + d )  0 1 0       × 1    = a b 1  c d 1  a + c b + d      0  0  Kết hợp phép biến hình 4.2 Kết hợp phép tỷ lệ Giả sử ta kết hợp hai phép tỷ lệ sau: S = S1 S2 Ma trận kết hợp  tx1   ty1 0    tx   0 ×    0 ty1 0   tx1tx   0 =    0 ty1ty 0  0  4.3 Kết hợp phép quay Giả sử phép quay R1có góc quay α1, phép quay R2 có góc quay α2, ma trận kết hợp hai phép quay R1 R2  cos α   − sin α   sin α cos α 0   cos α    ×  − sin α   sin α cos α 0   cos( α + α ) sin ( α + α )      =  − sin ( α + α ) cos( α + α )    0  Kết hợp phép biến hình 4.4 Phép quay với tâm quay Phép quay quanh tâm quay A(x,y) góc quay α phân tích thành phép biến hình sở sau: • Tịnh tiến theo vector (-x,-y) để đưa tâm quay gốc tọa độ • Quay quanh gốc tọa độ góc α • Tịnh tiến theo vector (x,y) để đưa đối tượng chỗ cũ 0   cos α sin α   0          ×  − sin α cos α  ×   =   − x − y 1  0   x y     cos α sin α 0    = − sin α cos α 0  x(1 − cos α ) + y sin α − sin α x + (1 − cos α ) y    Kết hợp phép biến hình 4.5 Phép đối xứng Phép đối xứng trục xem phép quay 1800 quanh trục đối xứng Phép đối xứng qua trục hoành trục tung có ma trận M Ox 1 0  −1 0     =  −  , M Oy =   0 1  0 1     4.6 Phép biến dạng Là phép biến hình làm thay đổi tỷ lệ kích thước, nói cách khác làm méo mó đối tượng Hai phép biến dạng là: • Phép biến dạng theo trục hoành làm thay đổi hoành độ tung độ giữ nguyên • Phép biến dạng theo trục tung làm thay đổi tung độ hoành độ giữ nguyên Kết hợp phép biến hình M Ox (1,3) (1,1) 1 0 1 t 0     =  t  , M Oy =   0 1 0 1     (3,3) (3,1) (10,3) (4,1) (6,1) Phép biến dạng theo trục Ox, hệ số biến dạng t =3 (12,3) Kết hợp phép biến hình 4.7 Phép biến đổi ngược Giả sử phép biến hình M có ma trận sau: a  M = c e  b d f 0  0  giả thiết ad-bc ≠ Khi phép biến đổi ngược M, ký hiệu M-1, biểu diễn sau: M −1 −b  d  = a  −c ad − bc   cf − de be − af 0  0  Kết hợp phép biến hình Phép quay quanh gốc tọa độ R(α) có biến đổi ngược sau:  cos α  −1 R ( α ) =  sin α   − sin α cos α 0   = R (−α )  Gọi S (tx,ty) phép đồng dạng, S-1 biểu diễn sau: 1   tx S −1 (tx , ty ) =   0   ty  0  0  1   Các phép biến hình không gian chiều Phép tịnh tiến Ma trận phép tịnh tiến T(a,b,c) 1  0 T (a, b, c ) =   a  b 0 c 0  0 0   Phép tỷ lệ Ma trận phép tỷ lệ S(a,b,c) a  0 S ( a , b, c ) =   0  b 0 0 c 0  0 0   a,b,c hệ số tỷ lệ tương ứng theo trục tọa độ Ox,Oy,Oz Các phép biến hình không gian chiều y y x x z z Phép tỷ lệ Phép tịnh tiến Các phép biến hình không gian chiều Phép quay Nếu mặt phẳng ta có phép quay quanh tâm quay không gian chiều ta có phép quay quanh trục Ký hiệu ma trận phép quay quanh trục Ox, Oy, Oz R(x,α), R(y,α), R(z,α) với α góc quay Ta có  cos α sin α 0    − sin α cos α 0   R( z, α ) =  0 0    0    cos α − sin α   R( y, α ) =  sin α cos α   0  0  0 0   1   cos α R ( x, α ) =  − sin α  0  sin α cos α 0  0 0   Các phép biến hình không gian chiều y y x z x z Phép quay quanh trục Oy Phép quay quanh trục Ox y x z Phép quay quanh trục Oz BÀI THUYẾT TRÌNH CỦA NHÓM ĐẾN ĐÂY LÀ KẾT THÚC CẢM ƠN THẦY GIÁO VÀ CÁC BẠN ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE!!!! [...]... tung độ giữ nguyên • Phép biến dạng theo trục tung làm thay đổi tung độ còn hoành độ giữ nguyên 4 Kết hợp các phép biến hình M Ox (1,3) (1,1) 1 0 0 1 t 0     =  t 1 0  , M Oy =  0 1 0  0 0 1 0 0 1     (3,3) (3,1) (10,3) (4,1) (6,1) Phép biến dạng theo trục Ox, hệ số biến dạng t =3 (12,3) 4 Kết hợp các phép biến hình 4.7 Phép biến đổi ngược Giả sử phép biến hình M có ma trận như... các phép biến hình 4.5 Phép đối xứng Phép đối xứng trục có thể xem là phép quay 1800 quanh trục đối xứng Phép đối xứng qua trục hoành và trục tung có ma trận lần lượt là M Ox 1 0 0  −1 0 0     =  0 − 1 0  , M Oy =  0 1 0  0 0 1  0 0 1     4.6 Phép biến dạng Là phép biến hình làm thay đổi tỷ lệ về kích thước, nói cách khác là làm méo mó đối tượng Hai phép biến dạng là: • Phép biến. .. Ngược lại điểm ) trong hệ tọa độ thuần nhất sẽ có tương ứng với điểm ( trong hệ tọa độ Decac 3 Ma trận của phép biến hình 3.3 Ma trận của các phép biến hình trong hệ tọa độ thuần nhất Phép tịnh tiến: 1 0 0 ( x ', y ',1) = ( x, y,1)  0 1 0 ÷÷ a b 1÷   Hay Q = P × T trong đó T là ma trận của phép tịnh tiến  1 0 0   T =  0 1 0  a b 1   3 Ma trận của phép biến hình Phép tỷ lệ:  tx 0... trận của phép biến hình 3.1 Ma trận của PBH: Nếu ta biểu diễn điểm P,Q dưới dạng vector dòng (x,y) (x*,y*) như trên thì ma trận của các phép biến hình như sau: Phép tịnh tiến: (x*,y*) = (x,y) + (a,b) Q = P + T trong đó T = (a,b) Phép tỷ lệ:  tx 0   ( x*, y *) = ( x, y )   0 ty  Q = P×S trong đó  tx 0   là ma trận của phép đồng dạng S =   0 ty  3 Ma trận của phép biến hình Phép quay... 0  1   5 Các phép biến hình trong không gian 3 chiều Phép tịnh tiến Ma trận của phép tịnh tiến T(a,b,c) là 1  0 T (a, b, c ) =  0  a  0 1 0 b 0 0 1 c 0  0 0  1  Phép tỷ lệ Ma trận của phép tỷ lệ S(a,b,c) là a  0 S ( a , b, c ) =  0  0  0 b 0 0 0 0 c 0 0  0 0  1  trong đó a,b,c là hệ số tỷ lệ tương ứng theo các trục tọa độ Ox,Oy,Oz 5 Các phép biến hình trong không gian... ứng theo các trục tọa độ Ox,Oy,Oz 5 Các phép biến hình trong không gian 3 chiều y y x x z z Phép tỷ lệ Phép tịnh tiến 5 Các phép biến hình trong không gian 3 chiều Phép quay Nếu trong mặt phẳng ta có phép quay quanh một tâm quay thì trong không gian 3 chiều ta có phép quay quanh một trục Ký hiệu ma trận của các phép quay quanh 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt là R(x,α), R(y,α), R(z,α) với α là góc quay Ta... 0 0    Hay Q = P × S trong đó S là ma trận của phép tỷ lệ S =  0 ty 0   0 0 1   Phép quay quanh gốc tọa độ:  cos α sin α 0  ( x ', y ',1) = ( x, y,1)  − sin α cos α 0 ÷÷  0 ÷ 0 1   Hay Q = P × R trong đó R là ma trận của phép quay  cos α  R =  − sin α  0  sin α cos α 0 0  0 1  4 Kết hợp các phép biến hình 4.1 Kết hợp các phép tịnh tiến Ta thực hiện phép tịnh tiến T1 với vector...2 Phép biến hình tuyến tính 2.2 Bài toán 2: Tìm công thức tọa độ của phép đối xứng trục: Tương tự ta sẽ tìm được ma trận biến đổi của phép đối xứng trục là đường thẳng (d) đi qua O:  cos2θ sin 2θ  B = ÷ sin 2 θ − cos2 θ   Trong đó θ là góc tạo bởi đường thẳng (d) và trục hoành Ox Tuy nhiên đối với đường thẳng... 0 1  4 Kết hợp các phép biến hình 4.2 Kết hợp các phép tỷ lệ Giả sử ta kết hợp hai phép tỷ lệ sau: S = S1 S2 Ma trận kết hợp sẽ là  tx1 0   0 ty1 0 0  0   tx 2   0 ×  0 1   0 0 ty1 0 0   tx1tx 2   0 =  0 1   0 0 ty1ty 2 0 0  0 1  4.3 Kết hợp các phép quay Giả sử phép quay R1có góc quay là α1, phép quay R2 có góc quay α2, ma trận kết hợp của hai phép quay R1 R2 là  cos... α 2 0 0   cos( α 1 + α 2 ) sin ( α 1 + α 2 ) 0     0  =  − sin ( α 1 + α 2 ) cos( α 1 + α 2 ) 0  1   0 0 1  4 Kết hợp các phép biến hình 4.4 Phép quay với tâm quay bất kỳ Phép quay quanh tâm quay A(x,y) góc quay α có thể phân tích thành các phép biến hình cơ sở sau: • Tịnh tiến theo vector (-x,-y) để đưa tâm quay về gốc tọa độ • Quay quanh gốc tọa độ một góc α • Tịnh tiến theo vector ... Các phép biến hình sở Phép biến hình tuyến tính Ma trận phép biến hình Kết hợp phép biến hình Các phép biến hình không gian chiều Các phép biến hình sở *Phép biến hình: Định nghĩa: Phép biến hình. .. phép biến hình T T : M → M' Ta có: M ' = f (M) ⇒ T phép đồng ⇔ M = f ( M ), ∀M *Phép biến hình hợp Thực phép biến hình liên tiếp ta phép biến hình gọi hợp thành phép biến hình f1 , f2 : hai phép. .. Κ r r Từ tính chất cộng tính T dễ dàng suy T = ( ) hay điều kiện cần để T tuyến tính T phải giữ cố định gốc tọa độ O Phép biến hình tuyến tính Tính chất đặc biệt phép biến hình tuyến tính là”