Phép biến hình học trong đại số tuyến tính

ĐỀ TÀI: CÁC KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN CỦA CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH HỌC Ở THPT KHOA TOÁN ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÁI NGUYÊN BÀI THẢO LUẬN NHÓM MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH II... : hai phép biến hình : phép

ĐỀ TÀI: CÁC KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN CỦA CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH

HỌC Ở THPT

KHOA TOÁN

ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÁI NGUYÊN

BÀI THẢO LUẬN NHÓM MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH II

: hai phép biến hình : phép biến hình

Định nghĩa: Phép biến hình là 1 quy tắc để với mỗi điểm M

của mặt phẳng xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó

1 Các phép biến hình cơ sở

1.1 Phép tịnh tiến /dời hình: (translation)

• Phép tịnh tiến dùng để dịch chuyển đối tượng từ vị trí này sang vị trí khác

• Ảnh của phép tịnh tiến theo vector (a,b) của điểm P(x,y) là điểm Q(x’,y’)

''

1 Các phép biến hình cơ sở

1.2 Phép tỷ lệ /vị tự: (scaling)

• Phép biến đổi tỷ lệ làm thay đổi kích thước của đối tượng

trong đó ty, tx là hệ số co dãn theo trục tung và trục hoành

• Khi tx,ty nhỏ hơn 1, phép biến đổi sẽ thu nhỏ đối tượng

• Khi tx,ty lớn hơn 1, phép biến đổi sẽ phóng to đối tượng

• Khi tx=ty: ta gọi đó là phép đồng dạng (uniform scaling),

nó bảo toàn tỷ lệ về kích thước của vật thể

tx=ty=3

tx=3; ty=1

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

6

6

' '

1 Các phép biến hình cơ sở

1.3 Phép quay: (rotation)

• Phép quay làm thay đổi hướng của đối tượng

• Để xác định phép quay, ta cần biết tâm quay và góc quay Phép quay điểm P(x,y) quanh gốc tọa độ một góc  tạo thành điểm ảnh Q(x’,y’) có công thức như sau:

Phép quay quanh một điểm

180 0

y

' cos sin ' sin cos

2 Phép biến hình tuyến tính

Thật vậy, vì mỗi vecto bất kì đều có biểu diễn là với x ,y

là các tọa độ của nến ta có :

Tính chất đặc biệt của phép biến hình tuyến tính là” ta

cần biết được thì sẽ tìm được tất cả các với là vecto bất kỳ” (ở đây là các vector đơn vị)

2 Phép biến hình tuyến tính

2.1 Bài toán 1: Tìm công thức tọa độ của phép quay:

Xét T là phép quay tâm O, góc α Ta tìm ảnh của hai vector ,

2 Phép biến hình tuyến tính

Như vậy ta thấy rõ chỉ cần lưu lại 2 ảnh

Hơn nữa ta có thể viết lại công thức (**) thành:

(trong cách viết này tất cả các vecto đều xuất hiện ở dạng cột)

Và do đó ma trận

được gọi là ma trận biến đổi của phép quay tâm O góc

 1 (cos ,sin ),  2 ( sin , cos )

' cos sin ' sin cos

A    

2 Phép biến hình tuyến tính

2.2 Bài toán 2: Tìm công thức tọa độ của phép đối xứng trục:

Tương tự ta sẽ tìm được ma trận biến đổi của phép đối xứng

trục là đường thẳng (d) đi qua O:

Trong đó θ là góc tạo bởi đường thẳng (d) và trục hoành Ox.

Tuy nhiên đối với đường thẳng ta hay dùng dạng phương trình tổng quát

Do đó ta dùng với là vector chỉ phương của đường thẳng (d) Ta chuyển ma trận B thành

3.1 Ma trận của PBH:

3 Ma trận của phép biến hình

Nếu ta biểu diễn điểm P,Q dưới dạng vector dòng (x,y)

(x*,y*) như trên thì ma trận của các phép biến hình như

x

0

0 ,

0

0

cos ,

*

*, y x y x

3 Ma trận của phép biến hình

3.2 Hệ tọa độ thuần nhất (homogeneous coordinates)

Tọa độ thuần nhất (đôi khi còn gọi là “đồng nhất”) của điểm

(x,y) trên mặt phẳng được biểu diễn bằng bộ ba (xh,yh,h) liên hệ với tọa độ (x,y) bởi công thức

Nếu một điểm có tọa độ thuần nhất là (x,y,z) trong không

gian Decac thì nó cũng có tọa độ thuần nhất là trong đó h là số thực khác không bất kỳ

Ngược lại điểm ) trong hệ tọa độ thuần nhất sẽ có tương ứng với điểm ( trong hệ tọa độ Decac

h

y y

h x

0 0 1

b a T

3 Ma trận của phép biến hình

Phép tỷ lệ:

Hay Q = P  S trong đó S là ma trận của phép tỷ lệ

Phép quay quanh gốc tọa độ:

Hay Q = P  R trong đó R là ma trận của phép quay

0 0

0

0

ty

tx S

0

0 cos

sin

0 sin

*, (

) ' ,' ( ' )

, ( x y 1( , ) Q x y 2( , ) Q x y

0

0 0

1 1

0 1 0

0 0 1 1

0 1 0

0 0 1

) ,

( )

, ( ).

,

1

d b c a d

c b

a

d b c a T d

c T b a T

0 0

0 0

1 0 0

0 0

0 0

1 0 0

0 0

0 0

2 1

2 1 1

2 1

1

ty ty

tx tx ty

tx ty

0

0 cos

sin

0 sin

cos 1

0 0

0 cos

sin

0 sin

cos 1

0 0

0 cos

sin

0 sin

cos

2 1 2

1

2 1 2

1 2

2

2 2

1 1

1 1

4 Kết hợp các phép biến hình

4.4 Phép quay với tâm quay bất kỳ

Phép quay quanh tâm quay A(x,y) góc quay  có thể phân tích thành các phép biến hình cơ sở sau:

• Tịnh tiến theo vector (-x,-y) để đưa tâm quay về gốc tọa độ

• Quay quanh gốc tọa độ một góc 

• Tịnh tiến theo vector (x,y) để đưa đối tượng về chỗ cũ

1

sin sin

cos

1

0 cos

sin

0 sin

cos

1

0 1 0

0 0 1

1 0

0

0 cos

sin

0 sin

cos 1

0 1

0

0 0

1

y x

y x

y x y

4 Kết hợp các phép biến hình

4.5 Phép đối xứng

Phép đối xứng trục có thể xem là phép quay 1800 quanh trục đối xứng Phép đối xứng qua trục hoành và trục tung có ma trận lần lượt là

0 1 0

0 0 1 ,

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Oy

M

0 1 0

0 1

, 1 0 0

0 1

0 0

M t

4 Kết hợp các phép biến hình

Giả sử phép biến hình M có ma trận như sau:

giả thiết ad-bc  0 Khi đó phép biến đổi ngược của M, ký

hiệu là M-1, được biểu diễn như sau:

4.7 Phép biến đổi ngược

0

f e

d c

b a M

0 1

1

af be de

cf

a c

b d

bc ad

M

0 cos

sin

0 sin

0

0

1 0

0 0

1 ,

1

ty

tx ty

tx S

5 Các phép biến hình trong không gian 3 chiều

0 0 1 0

0 0 0 1 )

, , (

c b a

c b a T

0 0

0

0 0 0

0 0 0 )

, , (

c b

a c

b a S

5 Các phép biến hình trong không gian 3 chiều

5 Các phép biến hình trong không gian 3 chiều

Phép quay

Nếu trong mặt phẳng ta có phép quay quanh một tâm quay

thì trong không gian 3 chiều ta có phép quay quanh một trục

Ký hiệu ma trận của các phép quay quanh 3 trục Ox, Oy, Oz

lần lượt là R(x,), R(y,), R(z,) với  là góc quay Ta có

0 0

0 cos

sin 0

0 sin

cos 0

0 0

0 1

) , ( 1

0 0

0

0 cos

0 sin

0 0

1 0

0 sin

0 cos

) , (

1 0 0

0

0 1 0

0

0 0 cos

sin

0 0 sin

cos )

, (

R z R

5 Các phép biến hình trong không gian 3 chiều

y

Phép quay quanh trục Oz

BÀI THUYẾT TRÌNH CỦA NHÓM 1 ĐẾN ĐÂY LÀ KẾT

THÚC

CẢM ƠN THẦY GIÁO VÀ CÁC BẠN ĐÃ CHÚ Ý LẮNG

NGHE!!!!