PHƯƠNG PHÁP số TRONG đại số TUYẾN TÍNH

PHƯƠNG PHÁP số TRONG đại số TUYẾN TÍNH

Bài giảng PHƯƠNG PHÁP SỐ Chương 3: PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1. Đặt vấn đề  Trong thực tế, để giải được bài toán nhiều khi cần phải tính định mức của ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính, tìm ma trận nghịch đảo,…  Giả sử cần giải hệ phương trình tuyến tính: AX = B                nn n21n 2n2221 1n1211 a .a a . a . a a a . a a A                n b . b b B 2 1                n x . x x X 2 1 Đặt vấn đề (tiếp theo)  Nếu det(A)0 thì hệ có nghiệm duy nhất  Phương pháp giải thuộc 2 hai nhóm: o Trực tiếp (giải đúng): Cramer, Gauss,… o Lặp (gần đúng)  Phương pháp Cramer )Adet( )Adet( x i i  Trong đó: A: Ma trận các hệ số A i : Ma trận có được từ A bằng cách thay cột i bởi B Đặt vấn đề (tiếp theo)                   nn1nin1ni1n n21i221i221 n11i111i111 i a .aba .a . a .aba .a a .aba .a A Thay cột thứ i trong A bởi B để có A i Phương pháp Cramer Ví dụ 3.1: Giải hệ sau bằng phương pháp Cramer: Giải: Ta có:         123 22 32 321 321 321 xxx xxx xxx 101)-3(22)-(1-4)2(-1 21 11 .3 12 11 .1 12 21 .2 123 211 112 )det(              A 101)-(2-2)-2(1-4)3(-1 21 11 12 11 .2 12 21 3 121 212 113 )det( 1              A 302)3(61)-(3-2)(22 22 13 3 11 13 11 22 2 113 221 132 )det( 2           A Phương pháp Cramer 203)3(26)(-1-4)2(1 21 31 .3 12 31 12 21 .2 123 211 312 )det( 3          A 1 10 10 )det( )det( 1 1  A A x 3 10 30 )det( )det( 2 2  A A x 2 10 20 )det( )det( 3 3  A A x Phương pháp Cramer Ví dụ 3.2: Tìm nghiệm của hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer:         6x3x3x 5xxx2 4xxx 321 321 321 Phương pháp Cramer                       6 5 4 B , 331 112 111 A 4 331 112 111 )Adet(  3 4 12 x12 336 115 114 11  0 4 0 x0 361 152 141 22  1 4 4 x4 631 512 411 23  Vậy nghiệm của hệ là: x 1 =3; x 2 = 0; x 3 = 1 Phương pháp Cramer  Nhận xét:  Nếu xem như trong quá trình tính toán không có sai số quy tròn thì phương pháp Cramer là một phương pháp giải đúng.  Việc giải hệ gồm n phương trình bằng phương pháp Cramer cần phải tính n+1 định thức cấp n, mỗi định thức cấp n cần: n!-1 phép cộng, (n-1)n! phép nhân . Khi n lớn  số lượng phép tính là rất lớn  khó thực hiện được trong thực tế. 2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (phương pháp khử)  Nội dung của phương pháp: Gồm 2 quá trình:  Quá trình thuận: Biến đổi ma trận A về ma trận tam giác trên:                               )n( n )2( 2 )1( 1 (n) )2( n2 )1( n1 )1( 12 )n( b . b b B ; 1 a 1 a a1 A )()( , k i k ij ba Trong đó: là phần tử ở hàng i cột j của ma trận A và phần tử Thứ i của ma trận B sau bước biến đổi thứ k.