Sach dai so tuyen tinh1

BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐẠI HỌC THĂNG LONG Học kỳ I, năm học 2005 - 2006 MỤC LỤC Trang Bài Khái niệm trường 1.1 Các tính chất số thực 1.2 Định nghĩa trường 1.3 Một số tính chất trường 1.4 Trường số hữu tỷ 1.5 Trường số nguyên modulo p Bài Không gian vectơ không gian 2.1 Định nghĩa không gian vectơ 2.2 Ví dụ khơng gian vectơ 2.3 Một số tính chất không gian vectơ 2.4 Không gian vectơ 2.5 Giao số không gian 2.6 Tổng hai không gian 2.7 Tổ hợp tuyến tính 2.8 Không gian sinh số vectơ Bài Cơ sở số chiều không gian vectơ 3.1 Độc lập phụ thuộc tuyến tính 3.2 Một số tính chất độc lập phụ thuộc tuyến tính 3.3 Khái niệm sở không gian vectơ 3.4 Sự tồn sở 3.5 Khái niệm số chiều không gian vectơ hữu hạn sinh 3.6 Cơ sở không gian vectơ n chiều 3.7 Tọa độ vectơ 3.8 Số chiều không gian i 1 5 8 11 13 14 15 15 16 20 20 21 24 25 26 27 28 30 ii MỤC LỤC 3.9 Hạng hệ vectơ Bài Ánh xạ tuyến tính 4.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính 4.2 Ví dụ ánh xạ tuyến tính 4.3 Một số tính chất ánh xạ tuyến tính 4.4 Ảnh nhân ánh xạ tuyến tính Bài Định thức 5.1 Phép 5.2 Khái niệm định thức 5.3 Các tính chất định thức 5.4 Các tính chất định thức suy từ tính chất 5.5 Tính định thức cách đưa dạng tam giác 5.6 Khai triển định thức theo dòng cột 5.7 Định lý Laplace Bài Ma trận 6.1 Các phép toán ma trận 6.2 Tính chất phép tốn ma trận 6.3 Định thức tích hai ma trận vng cấp 6.4 Nghịch đảo ma trận vuông 6.5 Một ứng dụng vui: mã hóa 6.6 Hạng ma trận 6.7 Ma trận ánh xạ tuyến tính 6.8 Tính chất ma trận ánh xạ tuyến tính Bài Hệ phương trình tuyến tính 7.1 Khái niệm 7.2 Tiêu chuẩn có nghiệm 7.3 Hệ Cramer 7.4 Phương pháp Gauss 7.5 Biện luận số nghiệm 7.6 Hệ phương trình tuyến tính 7.7 Khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính 33 38 38 39 40 41 45 45 48 51 53 55 57 60 65 65 66 67 68 71 74 76 78 84 84 85 86 88 90 91 91 iii MỤC LỤC 7.8 Hệ phương trình tuyến tính liên kết Tài liệu tham khảo Chỉ mục 93 99 100 Bài Khái niệm trường 1.1 Các tính chất số thực Tập số thực ký hiệu R Ta biết hai phép toán cộng (+) nhân (.) thơng thường R có tính chất sau: • Phép cộng có tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ R , • Có số ∈ R cho: + a = a + = a, ∀a ∈ R , • Với số thực a có số thực đối a −a cho: a + (−a) = (−a) + a = 0, • Phép cộng có tính chất giao hốn: a + b = b + a, ∀a, b ∈ R , • Phép nhân có tính chất kết hợp: (a.b).c = a.(b.c), ∀a, b, c ∈ R , • Phép nhân có tính chất giao hốn: a.b = b.a, ∀a, b ∈ R , • Có số cho với số thực a ta có: a.1 = 1.a = a, • Với số thực a ̸= ln có số thực a cho a a = 1, • Phép nhân phân phối phép cộng: a.(b+c) = a.b+a.c (b+c).a = b.a + c.a với a, b, c ∈ R Tập số thực với hai phép tốn có tính chất nói đủ phép ta tiến hành tính tốn thực tế nhìn chung, tập hợp trang bị hai phép tốn thỏa mãn tính chất nói coi "đủ mạnh" để xem xét cách cụ thể 1.2 Định nghĩa trường 1.2 Định nghĩa trường Định nghĩa 1.2.1 Cho tập hợp K có hai phần tử Trên K có hai phép toán phép cộng (ký hiệu +) phép nhân (ký hiệu ×) K với hai phép tốn gọi trường thỏa mãn tính chất sau: Phép cộng có tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ K Có phần tử ∈ K cho: + a = a + = a, ∀a ∈ K Phần tử gọi phần tử trung lập Với phần tử a ∈ K tồn phần tử a′ ∈ K cho: a + (a′ ) = (a′ ) + a = Phần tử a′ gọi phần tử đối a ký hiệu −a Phép cộng có tính chất giao hốn: a + b = b + a, ∀a, b ∈ K Phép nhân có tính chất kết hợp: (a.b).c = a.(b.c), ∀a, b, c ∈ K Có phần tử ∈ K cho với phần tử a ta có: a.1 = 1.a = a Phần tử gọi phần tử đơn vị phép nhân K Với phần tử a ̸= ln có phần tử a′ ∈ K cho a.a′ = a′ a = Phần tử a′ gọi phần tử nghịch đảo a ký hiệu a−1 Phép nhân có tính chất giao hốn: a.b = b.a, ∀a, b ∈ K Phép nhân phân phối phép cộng: a.(b+c) = a.b+a.c (b+c).a = b.a + c.a, ∀a, b, c ∈ K Các tính chất cịn gọi tiên đề trường Ví dụ: • Tập hợp số thực R với phép tốn cộng nhân thơng thường trường Xét tập hợp số N , Z , Q hai phép tốn cộng nhân thơng thường • Phần tử ∈ N khơng có phần tử a ∈ N cho + a = nên tập số tự nhiên N trường (tiên đề khơng thoả mãn) • Số ngun ̸= khơng có số ngun x thỏa mãn 2.x = 1, tập số nguyên Z trường (tiên đề khơng thoả mãn) 1.3 Một số tính chất trường • Tập hợp số hữu tỷ Q với phép tốn cộng nhân thơng thường trường thỏa mãn tiên đề trường Số phần tử trung lập, số phần tử đơn vị trường Q Nếu a ∈ Q đối a −a, nghịch đảo a ̸= a 1.3 Một số tính chất trường Cho K trường, a, b, c ∈ K , đó: Tính chất 1.3.1 (Luật giản ước phép cộng) Nếu a + b = a + c (1) b = c Chứng minh: Do K trường, a ∈ K nên a có đối −a ∈ K Cộng phía bên trái đẳng thức (1) với −a, ta được: (−a) + (a + b) = (−a) + (a + c) ⇒ [(−a) + a] + b = [(−a) + a] + c (theo tiên đề 1) ⇒ 0+b=0+c (theo tiên đề 3) ⇒ b=c (theo tiên đề 2) ✷ Tính chất 1.3.2 (Quy tắc chuyển vế) Định nghĩa a − b = a + (−b) Khi a + b = c (2) a = c − b Chứng minh: Cộng hai vế (2) với −b, ta được: (a + b) + (−b) = c + (−b) ⇒ a + [b + (−b)] = c + (−b) (theo tiên đề 1) ⇒ a + = c + (−b) (theo tiên đề 3) ⇒ ⇒ a = c + (−b) a=c−b (theo tiên đề 2) (theo định nghĩa) ✷ Tính chất 1.3.3 a.0 = 0.a = Chứng minh: Ta có: a.0 = a.(0 + 0) = a.0 + a.0 Mặt khác: a.0 = a.0 + Do đó: a.0 + a.0 = a.0 + Giản ước cho a.0 ta a.0 = Tương tự ta được: 0.a = ✷ 1.3 Một số tính chất trường Tính chất 1.3.4 Nếu a.b = a = b = Chứng minh: Giả sử a.b = (3) a ̸= Ta chứng minh b = Thật vậy, từ a ̸= 0, nhân hai vế (3) với a−1 , ta được: a−1 (a.b) = a−1 ⇒ [a−1 a].b = a−1 (theo tiên đề 5) ⇒ 1.b = a−1 (theo tiên đề 7) ⇒ b = a−1 (theo tiên đề 6) ⇒ b=0 (theo tính chất 1.3.3) ✷ Tính chất 1.3.5 a.(−b) = (−a).b = −(a.b) Chứng minh: Ta có: a.(−b) + a.b = a.[(−b) + b] = a.0 = (−a).b + a.b = [(−a) + a].b = 0.b = Do đó: a.(−b) = (−a).b = −(a.b) ✷ Tính chất 1.3.6 a(b − c) = ab − ac Chứng minh: Ta có a.(b − c) = a.[b + (−c)] = a.b + a.(−c) = a.b + [−(ac)] = a.b − a.c ✷ Tính chất 1.3.7 Nếu a.b = a.c a ̸= b = c Chứng minh: Từ a ̸= 0, ta nhân hai vế biểu thức a.b = a.c với a−1 , ta được: ⇒ a−1 (a.b) = a−1 (a.c) ⇒ (a−1 a).b = (a−1 a).c (theo tiên đề 5) ⇒ 1.b = 1.c (theo tiên đề 7) ⇒ b=c (theo tiên đề 6) ✷ 1.4 Trường số hữu tỷ 1.4 Trường số hữu tỷ Định nghĩa 1.4.1 Số thực r gọi số hữu tỷ tồn hai số nguyên m, n(n ̸= 0) m cho r = n Nhận xét: Một số hữu tỷ biểu diễn dạng số thập phân hữu hạn số thập phân vơ hạn tuần hồn Ví dụ: • • 23 40 13 = 2, 875 = 3, 0769230769230 (được viết gọn lại thành 3, 076923) Ngược lại, số thập phân hữu hạn vơ hạn tuần hồn viết dạng phân số • Trường hợp số thập phân hữu hạn: phần thập phân số có k chữ số nhân chia số với 10k Ví dụ: x = 15, 723 = 15723 1000 • Trường hợp số thập phân vơ hạn tuần hồn: Ví dụ: a x = 12, 357 Ta có 1000x = 12357, 357, nên 1000x − x = 999x = 12345 Vậy x = 12345 999 = 4115 333 b y = 7, 26 Ta có 100y = 726, 10y = 72, nên 90y = 654 654 109 Vậy y = = 90 15 1.5 Trường số nguyên modulo p Cho p số nguyên Đặt Z p = {1, 2, 3, , p − 1} Trên Z p xác định hai phép toán cộng (+) nhân ( ×) sau: a + b = (a + b) mod p, a.b = (a.b) mod p 1.5 Trường số nguyên modulo p Ví dụ: Phép cộng nhân Z cho bảng sau: + 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 Mệnh đề 1.5.1 Z p trường p số nguyên tố Việc chứng minh mệnh đề coi tập dành cho bạn sinh viên Phần tử trung lập phép cộng phần tử đơn vị phép nhân Đối 0, < a < p đối a −a = p − a Nếu < a < p nghịch đảo a phần tử b (0 < b < p) cho a.b ≡ (mod p) Ví dụ: • Trong Z ta có: 1−1 = 1, 2−1 = 4, 3−1 = 5, 4−1 = 2, 5−1 = 3, 6−1 = • Trường Z 29 trường hữu hạn quan trọng thường sử dụng việc mã hóa (29 số nguyên tố nhỏ không nhỏ số chữ bảng chữ tiếng Anh (26 chữ)) Ta có: 20 + 13 = (20 + 33) mod 29 = 33 mod 29 = 20.13 = (20.13) mod 29 = 260 mod 29 = 28 −7 = 22, −12 = 17 Ta có nghịch đảo số phần tử Z 29 sau: 1−1 = 1.1 = mod 29 = 1, 2−1 = 15 2.15 = 30 mod 29 = Tương tự 3−1 = 10, 4−1 = 22, 12−1 = 17 87 7.3 Hệ Cramer Do tính chất định thức ta viết a11 a21 Dj = x1 an1 a11 a21 an1 a1n a2n + ann a11 a21 + xj an1 a1j a2j anj a1n a2n + ann + xn a11 a21 an1 a1n a2n ann a1n a2n ann Định thức thứ j vế phải D định thức khác Dj = xj D Do Dj xj = , j = 1, 2, , n D ✷ Ví dụ: Giải hệ phương trình:   x + z = −x + 2y + z =  2x − y + 2z = Lời giải: Ta có: 1 D = −1 = ̸= −1 Do hệ cho hệ Cramer 2 D1 = 2 = 2; D2 = −1 = 2; 3 −1 2 D3 = −1 2 = 2 −1 7.4 Phương pháp Gauss 88 Áp dụng công thức nghiệm cho hệ Cramer ta có:   x = D1 /D = 1, y = D2 /D = 1,  z = D3 /D = Hệ có nghiệm nhất: (1, 1, 1) 7.4 Phương pháp Gauss Các phép biến đổi sau không làm thay đổi tập nghiệm hệ phương trình: Đổi chỗ hai phương trình hệ cho Nhân hai vế phương trình hệ với phần tử k ̸= K Nhân hai vế phương trình hệ với số k ∈ K cộng vế với vế vào phương trình khác hệ Từ hệ phương trình tuyến tính cho trước sử dụng số phép biến đổi sơ cấp để đưa hệ phương trình mà ma trận hệ số có dạng hình thang   ′ ′ ′ a11 a12 a1n  a′ a′2n    22      ′ ′  arr arn           0 Ký hiệu b′1 , b′2 , , b′m hệ số tự hệ phương trình Nếu ∃i > r để b′i ̸= hệ vơ nghiệm Nếu b′i = 0, ∀i > r, từ r dòng ma trận ta định dạng chéo cấp r khác Khơng tính tổng quát ta giả sử a′11 , a′22 , , a′rr ̸= hệ (7.1) tương đương với hệ sau:  ′ a11 x1 + a′12 x2 + + a′1n xn = b′1    a′22 x2 + + a′2n xn = b′2    a′rr xr + + a′rn xn = b′r Để giải hệ ta chuyển ta chuyển số hạng chứa xi với i > r qua vế phải (các ẩn gọi ẩn tự ) Từ phương trình cuối, tính xr (qua 89 7.4 Phương pháp Gauss ẩn tự do) Thay xr vào phương trình thứ r − ta tính xr−1 Tiếp tục q trình ta tính xr−2 , , x2 , x1 Ví dụ: Giải hệ phương trình:  2x1    4x1 2x1    x1 Lời giải: + + + +  Abs − − − − 5x2 3x2 3x2 8x2  =  3 8x3 9x3 5x3 7x3 −8 −9 −5 −7 = = = = 12     12 Đổi chỗ dòng thứ cho dòng thứ tư:   −7 12  −9     −5  −8 Nhân dòng thứ ba với −2 cộng vào dòng 1, nhân dòng thứ tư với −1 cộng vào dòng thứ ba, nhân dòng thứ với −2 cộng vào dòng thứ tư ta được:   12 −7  −3 −5      −2 −1 −11 −16 Nhân dòng thứ ba với −1 cộng vào dòng thứ tư, nhân dòng thứ hai với −2/3 cộng vào dòng thứ ba:   12 −7  −3 −5     7/3  7/3 −9 −15 Nhân dòng thứ hai với −3 cộng vào dòng thứ tư, nhân dòng thứ ba với 90 7.5 Biện luận số nghiệm 3:  12 −5     −7  −3   0 0 Vậy ta hệ sau:   x1 + 8x2 − 7x3 = 12 − 3x2 + x3 = −5  7x3 = Từ phương trình cuối rút x3 = thay lên hai phương trình ta có x2 = 2, x3 = (Phương trình cuối ln đúng) Vậy nghiệm hệ là: (3, 2, 1) (Khơng có ẩn tự do) 7.5 Biện luận số nghiệm Cho hệ phương trình tuyến tính n ẩn với ma trận hệ số A ma trận bổ sung Abs • Nếu hạng A ̸= hạng Abs hệ vơ nghiệm • Giải sử hạng A = hạng Abs = r, có hai trường hợp: r = n r < n Trường hợp hạng A = hạng Abs đương với hệ có dạng:  ′ a11 x1 + a′12 x2 +    a′22 x2 +    = r = n Hệ phương trình tương + a′1n xn + a′2n xn a′nn xn = = = b′1 b′2 b′n (a′11 , a′22 , a′nn ̸= 0) Hệ có nghiệm Trường hợp hạng A = hạng Abs = đương với hệ có dạng:  ′ a11 x1 + a′12 x2 +    a′22 x2 +    a′rr xr + r < n, Hệ phương trình(7.1) tương + a′1n xn + a′2n xn + a′rn xn = = = b′1 b′2 b′r 91 7.6 Hệ phương trình tuyến tính Cho ẩn xr+1 , xr+2 , ,xn (các ẩn tự do) giá trị tùy ý ta tính x1 , x2 , ,xr qua ẩn tự Điều chứng tỏ hệ phương trình có vơ số nghiệm Tóm lại: - Nếu hạng A ̸= hạng Abs : hệ phương trình vơ nghiệm - hạng A = hạng Abs = n: hệ phương trình có nghiệm - hạng A = hạng Abs < n: hệ phương trình có vơ số nghiệm 7.6 Hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa 7.6.1 Hệ phương trình tuyến tính hệ số tự gọi hệ phương trình tuyến tính Như hệ phương trình tuyến tính có dạng: n aij xj = 0, i = 1, m (7.2) j=1 Nhận xét: Hệ phương trình tuyến tính nhận (0, 0, , 0) làm nghiệm Nghiệm gọi nghiệm tầm thường hệ Mệnh đề 7.6.2 Điều kiện cần đủ để hệ n phương trình tuyến tính n ẩn có nghiệm khơng tầm thường det A = Chứng minh: Hệ (7.2) có nghiệm khơng tầm thường tương đương hệ có vơ số nghiệm, theo phần biện luận số nghiệm, mục 7.5 Điều tương đương với rank A = r < n tức det A = ✷ 7.7 Không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Mệnh đề 7.7.1 Gọi G tập hợp nghiệm hệ phương trình tuyến tính (7.2) Ta có: G không gian K n dim G = n − rank A 92 7.7 Không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Chứng minh: Vì (7.2) ln có nghiệm tầm thường nên G = ̸ ∅ Giả sử γ = (c1 , c2 , , cn ) η = (d1 , d2 , , dn ) thuộc G; k, l ∈ K ; ta chứng minh kγ + lη ∈ G Viết hệ (7.2) dạng vectơ: n xi αi = θ i=1 n n Vì γ, η nghiệm (7.2) nên ci αi = θ i=1 Suy ra: di αi = θ i=1 n n (lci + kdi )αi = i=1 n (lci )αi + i=1 n =l (kdi )αi i=1 n ci αi + k i=1 di αi i=1 =θ+θ =θ Điều chứng tỏ kγ + lη nghiệm hệ (2), hay kγ + lη ∈ G Và G khơng gian K Xét ánh xạ tuyến tính: ϕ: K n −→ K n n cho bởi:ϕ(x1 , x2 , , xn ) = ( n a1j xj , j=1 n a2j xj , , j=1 anj xj ) Tập j=1 nghiệm G hệ phương trình ker ϕ Theo định lý (4.4.4) ta có: dim G = dim K n − dim Im ϕ = n − dim Im ϕ Ta có Im ϕ sinh ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), ,ϕ(en ) đó: e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0) , en = (0, 0, , 1) Mà ϕ(e1 ) = (a11 , a21 , , am1 ), , ϕ(en ) = (a1n , a2n , , amn ) Vậy dim Im ϕ = rank{ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), ,ϕ(en )} rank (aij )m×n Suy dim G = n−rank (aij )m×n ✷ Định nghĩa 7.7.2 Mỗi sở khơng gian nghiệm G hệ phương trình tuyến tính gọi hệ nghiệm hệ Để tìm hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất, trước tiên ta giải hệ (chẳng hạn phương pháp Gauss) để tìm nghiệm tổng qt Giả sử hạng ma trận r số ẩn n 93 7.8 Hệ phương trình tuyến tính liên kết Nếu r = n khơng gian nghiệm {θ} khơng có sở Nếu r < n n − r ẩn chọn làm ẩn tự Cho ẩn tự nhận giá trị: (1, 0, , 0), (0, 1, , 0) , (0, 0, , 1) tính nghiệm γ1 , γ2 , , γr ứng với giá trị Khi hệ γ1 , γ2 , , γr sở không gian nghiệm hệ nghiệm Chú ý không gian véc tơ có nhiều sở khác nên hệ phương trình tuyến tính có nhiều hệ nghiệm khác Ví dụ: Tìm hệ nghiệm hệ phương trình:  =  x1 − x2 + x3 + 3x4 2x1 + x2 + 2x3 + 6x5 =  2x1 + x3 + 3x4 + 3x5 = Lời giải: Đưa hệ phương trình dạng:  =  x1 − x2 + x3 + 3x4 x2 − 2x4 + 2x5 =  − x3 + x4 − x5 = Chọn hai ẩn tự x4 , x5 Cho x4 = 1, x5 = ta tìm nghiệm ε1 = (−2, 2, 1, 1, 0) Cho x4 = 0, x5 = ta tìm nghiệm ε2 = (−1, −2, −1, 0, 1) Ta tìm hệ nghiệm hệ cho {ε1 = (−2, 2, 1, 1, 0), ε2 = (−1, −2, −1, 0, 1)} 7.8 Hệ phương trình tuyến tính liên kết Định nghĩa 7.8.1 Cho hệ phương trình tuyến tính:   a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn =    a x + a x + + a x = 21 22 2n n     a x + a x + · · · + a x = m1 m2 mn n b1 b2 bm (7.3) 7.8 Hệ phương trình tuyến tính liên kết Hệ phương trình tuyến tính nhất:   a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn =    a x + a x + + a x = 21 22 2n n     a x + a x + · · · + a x = m1 m2 mn n 94 (7.4) gọi hệ phương trình liên kết với hệ (7.3) Mệnh đề 7.8.2 Cho α0 nghiệm (cố định) hệ (7.3) Khi α nghiệm (7.3) α có dạng α0 + ε ε nghiệm hệ phương trình liên kết (7.3) Chứng minh: Viết hệ dạng vec tơ, α0 = (c1 , c2 , , cn ) nghiệm (7.3) nên ta có: n ci αi = β i=1 Khi η = (d1 , d2 , , dn ) nghiệm (7.3) khi: n di αi = β i=1 Tương đương với n (di − ci )αi = θ i=1 tức η − α ∈ G Nhận xét: Mệnh đề thường áp dụng hai trường hợp: ✷ • Vì lí dó ta biết trước nghiệm riêng hệ (7.3) • Cần phải giải nhiều hệ phương trình tuyến tính mà chúng có chung hệ liên kết BÀI TẬP VII VII.1 Hệ phương trình sau có nghiệm:   2x1 + 3x2 = 3x1 + x2 = a  x1 + x2 = 95 7.8 Hệ phương trình tuyến tính liên kết   x1 − x2 + x3 − 2x4 = x1 − x2 + 2x3 − x4 = b  5x1 − 5x2 + 8x3 − 7x4 = c 2x1 + 2x2 − 3x3 − 4x4 = 2x1 − x2 + x3 − 3x4 =  x1    2x1 d x1    4x1  2x1    x1 e    − 3x3 + x3 − x3 − 3x3 − 4x4 − x4 + 2x4 − 3x4 = = = = −7 + 3x2 + 3x3 + x2 − x3 x2 + 2x3 4x3 − 3x4 − 5x4 + 4x4 + x4 + x5 + 7x5 − 8x5 − x5 + + + − 2x2 3x2 3x2 4x2 VII.2 Tìm điều kiện để hệ sau có nghiệm   ax1 + x2 + x3 = a x1 + ax2 + x3 =   x1 + x2 + ax3 = = 10 = = =   x1 + ax2 + a x3 = a b x1 + bx2 + b2 x3 = b3   x1 + cx2 + c2 x3 = c3 96 7.8 Hệ phương trình tuyến tính liên kết VII.3 Giải hệ phương trình sau: a 3x1 + 2x2 + x3 − x4 − x5 = 2x1 + 3x2 + 2x3 − 2x4 − 2x5 =   2x1 + 3x2 + x3 b 4x1 + 6x2 − 5x3  6x1 + 9x2 − 4x3  3x1 + x2 − 2x3    2x1 − x2 + 7x3 c x1 + 3x2 − 2x3    3x1 − 2x2 + 7x3  x1 + x2 − x3    2x1 + 2x2 + 5x3 d 7x3    3x1 + 3x2 + 4x3  x1 + x2      x1 + x2 + x3 x2 + x3 + e   x3 +    = = = + x4 − 3x4 + 5x4 − 5x4 − x5 + 5x5 − 7x5 + 8x5 + x4 − 3x4 − 5x4 − 2x4 = = = −1 = x4 x4 + x5 x4 + x5 = = = = 3 = = = −3 = = −1 VII.4 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số a:   3x1 + 2x2 + x3 = −1 a 7x1 + 6x2 + 5x3 = a  5x1 + 4x2 + 3x3 =   ax1 + x2 + x3 = x1 + ax2 + x3 = b  x1 + x2 + ax3 = −3  x − 2y + 3z + t    2x − 2y + 7z + t c x − 2y + (a + 3)z + 2t    (a − 3)x − (2a − 6)y − 9z + (a − 6)t  2x + 3y + z + 2t =    4x + 6y + 3z + 4t = d 6x + 9y + 5z + 6t =    8x + 12y + 7z + at = = = = = 3a − 13 VII.5 Tìm đa thức f (x) bậc nhỏ hay thỏa mãn: f (−1) = 3, f (1) = −3, f ′(1) = −3, f (2) (1) = 12, f (3) (1) = 42 97 7.8 Hệ phương trình tuyến tính liên kết VII.6 VII.7 f (3) = VII.8 Tìm đa thức f (x) bậc thỏa mãn: f (1) = −1, f (−1) = 9, f (2) = −3 Tìm đa thức f (x) bậc thỏa mãn: f (−1) = 0, f (1) = 4, f (2) = 3, 16 Áp dụng định lý Cramer giải hệ sau:   2x − 2y − z = −1 y + z = a  −x + y + z = −1   3x + 2y + z = b 2x + 3y + z =  2x + y + 3z = 11 VII.9 Tìm điều kiện để hệ sau có nghiệm khơng tầm thường:   ax − 3y + z = (1 − a)x + 2y = a 2x + y + z = b 2x + (4 − a)y =  3x + 2y − 2z = VII.10 Chứng minh đa thức bậc nhỏ hay n hoàn toàn xác định biết n + giá trị yi = f (xi ) với i = 0, 1, , n, xi ̸= xj , ∀i ̸= j Tức tồn đa thức f (x) thỏa mãn f (xi ) = yi , i = 0, n VII.11 * Giải hệ phương trình sau:   xn + a1 xn−1 + + an−1 x1 + an1 =    n−1 x + a x x1 + an2 = n n−1 + + a2 a     x + a x n−1 x1 + ann = n n n−1 + + an  n−1  x + a x + + a xn = b1 1    x + a x + + an−1 x = b 2 n 2 b     x + a x + + an−1 x = b n n n (7.5) n (ai đôi khác ) VII.12 Tìm hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ véc tơ sau R : α ⃗1 = (1, 2, 0, −1); α ⃗2 = (0, 1, 3, −2); α ⃗3 = (−1, 0, 2, 4); α ⃗4 = (1, 1, 2, 3) VII.13 Tìm nghiệm tổng quát hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính sau đây: 98 7.8 Hệ phương trình tuyến tính liên kết a b c d e 3x1 − 4x2 + x3 − x4 = 6x1 − 8x2 + 2x3 + 3x4 =   x1 x1  4x1  x1    x1 2x1    3x1  2x1    x1 4x1    5x1   3x1 x1  − 2x2 + 3x3 − x4 = + x2 − x3 + 2x4 = − 5x2 + 8x3 + x4 = + + + + 3x2 3x2 6x2 9x2 − + + − x2 x2 x2 x2 − x3 − x3 − 2x3 − 3x3 + x3 + 3x3 + 7x3 + 5x3 + 4x4 − x5 + 4x4 + x5 + x4 + x4 + x5 + 3x4 + x4 + 5x4 + 7x4 = = = = = = = = 0 0 0 0 + x2 + x3 − 6x4 − 12x5 + 3x6 = + + x3 − x4 − 5x5 = x2 + x3 − 3x5 = VII.14 Cho hệ vectơ không gian R α1 = (−1, 2, −4); α2 = (2, 1, 5); α3 = (12, 1, 33) Hãy tìm số x1 , x2 , x3 cho x1 α1 + x2 α2 + x3 α3 = Từ kết luận hệ {α1 , α2 , α3 } có độc lập tuyến tính hay khơng? VII.15 Trong không gian vectơ R cho vectơ: α1 = (1, 1, 1, 1), α1 = (2, 2, 2, 2), α3 = (3, 0, −1, 1) Hãy biểu thị α4 = (−12, 3, 8, −2) qua hệ vectơ cho VII.16  0x1      −2002x1 2003x1   −2004x1    155x1 Chứng minh + 2002x2 + 0x2 − 324x2 + 534x2 + 723x2 hệ phương − 2003x3 + 324x3 + 0x3 − 723x3 + 71x3 trình sau + 2004x4 − 534x4 + 723x4 + 0x4 − 231x4 có nghiệm − 155x5 − 723x5 − 71x5 + 231x5 + 0x5 = = = = = khác 0 0 0: Tài liệu tham khảo [1] Đoàn Quỳnh, Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Dỗn Tuấn, Giáo trình Tốn Đại cương, Phần I, Đại số tuyến tính Hình học Giải tích, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, - 1997 [2] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học Cao cấp, Tập I, Đại số Hình học Giải tích, NXB Giáo Dục, 2003 [3] Nguyễn Duy Thuận, Toán Cao cấp A1 - Phần Đại số tuyến tính, NXB Giáo Dục, 2000 [4] Phan Huy Phú, Nguyễn Doãn Tuấn, Bài tập Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, - 2001 [5] Ngơ Thúc Lanh, Đại số tuyến tính, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1970 [6] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2000 [7] Hoàng Hiền Quang, Linear algebra, McGraw - Hill Book Company, 1968 Chỉ mục A độc lập tuyến tính 20 ánh xạ đồng 40 tối đại 33 ánh xạ tuyến tính 38 G ảnh 41 ánh xạ tuyến tính 42 giao không gian 14 ảnh ngược 41 H hạng B cột 74 biểu diễn tuyến tính .15 ma trận 74 C dòng 74 sở 24 hệ vectơ 33 tắc 24 hệ phương trình hữu hạn 27 tuyến tính 84 hệ phương trình tuyến tính 91 D hệ sinh 17, 24 dạng tam giác 50 hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại 33 Đ đơn cấu 39 K đường chéo 48 không gian 13 đường chéo phụ 48 không gian sinh hệ vectơ 17 đẳng cấu 39 không gian vectơ định lý Laplace 60 hình học 9, 24 định thức hữu hạn chiều 31 định thức cấp k 57 hữu hạn sinh 24 khai triển theo cột 58 không gian đa thức 11 khai triển theo dòng 58 khai triển theo cột 58 khai triển theo nhiều dòng (cột) 60 khai triển theo dòng 58 phần bù đại số 57 tính chất 51 M định thức ma trận 49 ma trận 48 đồng cấu không 39 ánh xạ tuyến tính 78 100 CHỈ MỤC đường chéo 48 đường chéo phụ 48 cột 48 chuyển vị 48 dòng 48 dạng tam giác 50 phần tử 48 vuông 48 ánh xạ tuyến tính 76 chuyển sở 78, 79 khả nghịch 68 nghịch đảo 68 ma trận hệ số hệ phương trình 85 N nghịch 46 nghiệm hệ phương trình 84 nhân ánh xạ tuyến tính 42 101 tích nhiều phép 46 phép vị tự 39 phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Gauss-Jordan 70 phần bù đại số 57 phần tử đối phụ thuộc tuyến tính 20 S số chiều 27 số hữu tỷ T tập ma trận 48 tọa độ vectơ 28 tổ hợp tuyến tính 15 tổng hai không gian 15 tự đồng cấu 38 tiên đề trường toàn cấu 39 trường P phép biến đổi tuyến tính 38 phép đồng 45 V nghịch 46 tích hai phép 45 vectơ không .9 ... đẳng cấu Khi f −1 : V → U đẳng cấu 4.4 Ảnh nhân ánh xạ tuyến tính 41 Chứng minh: Ta biết f song ánh f −1 song ánh ta cần chứng minh f −1 ánh xạ tuyến tính Thật vậy, giả sử α, β ∈ V, t ∈ K Đặt α′... trường K f : U → V ánh xạ tuyến tính f gọi đơn cấu đơn ánh, f gọi tồn cấu toàn ánh, f gọi đẳng cấu song ánh Trong trường hợp ta nói khơng gian U V đẳng cấu với nhau, ký hiệu U ∼ =V 4.2 Ví dụ ánh... (x1 , x2 , x3 ) = (0, 0, 0) Bài Định thức 5.1 Phép Định nghĩa 5.1.1 Cho n số tự nhiên khác Một song ánh σ từ tập In = {1, 2, , n} đến gọi phép bậc n Phép σ bậc n biểu diễn dạng: n σ= a1