ĐẠI số TUYẾN TÍNH

TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU PHẦN I Ma trận Dạng 1: Hệ phương trình tuyến tính Bài (K63)    Cho A   , B       1 Tính 2A + 3C,    , C        Ax3B Bài làm:  2A      3B  3           1       12   3        3C  3              11     2A  3C        11           12   32 6 30    A ´ 3B      3   3         Bài (K62)  1  Cho ma trận: A   a 1   a   -1  Với giá trị a A khả nghịch Tìm A a =   Bài làm: Để A khả nghịch det A ≠ det A = a11.detM11 - a21.detM21 + a31.detM31 (+)(-1)i+jaij.detMij  1 1   1  det A   a   0  1   a  TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU   a  a(2 1)     a  a   a   a det A ¹ ị a a 1  A   1   1  1  (A / I n )    1       1 0    0   (In ma trận đơn vị cấp n)  H Þ H  H1  1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  2 H ® H  H1  0  0  1   1    H1 ® H1  H  ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  1 2  0  1  1   1    H1 ® H  3H1  0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  H ® H  2H  0  1 3  3   1    1 3  Þ A 1   3   1      CÁC BÀI TẬP CÒN LẠI SẼ ĐƯỢC CHỮA TRỰC TIẾP TẠI CLB THAM GIA GROUP: “Góc Học Tập ĐHXD” để nhận tài liệu thông tin lớp chữa đề  21 Bài (K62) Cho A    Tính A.AT  31   TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MÔN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU Dạng 2: Hạng ma trận (r(A))  1    Bài (K61) Cho A    Tìm hạng ma trận A    2  Bài làm:  1   1    H ® H  4H1     ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  7 10    H ® H  2H1    2   0 0  r(A) = (Vì có hàng khác 0) Bài 2: (Đề kỳ K62)  1  Cho A        Biện luận hạng A theo a   Ta có:  1  H ® 2H  H1   A ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  1 2a 15   H ® 2H  3H  1    H ® 7H 15H  ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  1 2a 1   15     8 14a   Nếu -1 + 2a =  a  Þ r(A) =  Nếu -8 -14a =  a  4 Þ r(A) = CÁC BÀI TẬP CÒN LẠI SẼ ĐƯỢC CHỮA TRỰC TIẾP TẠI CLB THAM GIA GROUP: “Góc Học Tập ĐHXD” để nhận tài liệu thông tin lớp chữa đề TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU     Bài Cho A   a  Biện luận hạng A theo a    a  Dạng 3: Giải biện luận hệ phương trình ì2x1  5x2  8x3  ï ï 4x  3x2  9x3  Bài (K64) Giải hệ phương trình í ï2x1  3x2  5x3  ïỵ x  8x  7x  12 Bài làm: Ma trận hệ số mở rộng               8 9 5 7 8 1 0 11 6  H ® H  2H1   ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯   H ® H3  H4    12  H ® 2H  H1  8 7 2 11 6    H ® H 11H   ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯     H ®1H  4   16   8 1 0 0  7   1  16       TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU   H4 ® H4  H2  ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯     8 1 0 0      Vì hạng r(A) = r(𝐴̅) = → r(A) = r(𝐴̅) → hệ có nghiệm (theo lý thuyết) ì2x1  5x2  8x3 ị H phng trỡnh ợ x2 x3  ì x1  3  ï    í x2  => X    1  ïx  ỵ   CÁC BÀI TẬP CÒN LẠI SẼ ĐƯỢC CHỮA TRỰC TIẾP TẠI CLB THAM GIA GROUP: “Góc Học Tập ĐHXD” để nhận tài liệu thông tin lớp chữa đề Bài (K61) ì x1  2x2  3x3  ï Cho hệ PT: í2x1  4x2  x3  (với m tham số) ï mx  6x  (m 1)x  ỵ Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MÔN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU Dạng 4: Bài tốn thực tế (Dạng khó) Bài 1: Để đánh giá sinh viên hàng tháng, GVCN có mức đánh giá A, B, C với tốt, đạt,  Nếu SV mức A tháng sau có xác suất lại mức A 1/2, xuống mức B 1/2  Nếu sinh viên mức B tháng sau có xác suất lại B 1/3, lên mức A 1/3 xuống mức C 1/3  Nếu SV mức C xác suất lại 1/2, lên mức B 1/2 Hỏi SV mức A sau tháng xác suất để sinh viên lại mức C bao nhiêu? Bài làm: Lúc đầu gọi số sinh viên đạt mức A x0 B y0 C z0 Tháng 1: sinh viên mức A x1 B y1 C z1  ì 1  x  x  y  0z ï  x1   ï ï    1 1 Theo đề ta có: í y1  x0  y0  z0 Þ  y1    z   ï  1  ï 1  ïỵ z1  0x0  y0  z0     x  1   y    z 1     x2   x1   x0       2  y2   A  y1   A  y0  z  z  z   2  1  0  x4   x0     4  y4   A  y  z  z   4  0 TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU Do đề bài, SV mức A, hỏi sau tháng đưa mức C nên: 1   x4     x4  55     35     A     y4  Þ z  A     y4  Þ z  216 216 0  z  0  z     4    4 Bài toán thực tế: VD2: Ơng A có thần kì ơng tưới lít nước cho ngày hôm sau cao thêm 1dm Nhưng sợ bị úng nên ơng A tăng lượng nước khoảng 10% sau ngày Hỏi sau ngày thần kỳ cao gấp đôi? Biết lúc đầu cao 1m ngày ơng A tưới cho 2lít nước TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU Phần II Không gian tuyến tính Dạng 1: Chứng minh khơng gian không gian không gian khác Bài (Đề K61) Trong không gian R3 cho hệ vectơ B= (1;2;3);(2;4;1);(1;9; 7) Chứng B sở không gian R3 Bài làm (Hướng làm cần CM độc lập TT) Gọi 1, 2, 3 R Xét PT : 1 (1;2;3)   (2;4;1)  3 (1;9;7)  (0;0;0) Ta có hệ PT ì1  2    ì1  ï ï í21  4  93  Þ í  ï3    7  ï  ỵ ỵ 3  1 2   1 2   1 2    H ® H  2H1   H3 « H2   ® Ma trận:  2 4  ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  0  ⎯⎯⎯⎯⎯⎯          H ® H  3H1    3  0  → Hệ phương trình: ì1  2    ì1  ï ï Þ í  í 7  4  ï 7  ï  ỵ ỵ → B độc lập tuyến tính → B sở R3 Bài 2: (K63) Trên R3, xét không gian vectơ A sinh hệ vectơ a1 (1, 2,1); a2 (2,1,1); a3 (1,1, 0) CMR: hệ vectơ B = 1,   sở A TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MÔN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU Bài làm   Xét ma trận M =  1   1    H ® H  2H1   ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  3 3  H ® H  H1    1 1     H2 ® H2    ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  1      H ® H  2H1  0  → dimA = (vectơ ¹ sở) → ℒ(A) = ℒ(a1, a2, a3) = ℒ(a1, a2) = ℒ(B) Þ B sở A CÁC BÀI TẬP CÒN LẠI SẼ ĐƯỢC CHỮA TRỰC TIẾP TẠI CLB THAM GIA GROUP: “Góc Học Tập ĐHXD” để nhận tài liệu thông tin lớp chữa đề TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU Bài (K63) Trong không gian R3, cho hệ vectơ: B  (1;2;3);(2;1;0);(4;5;m) Với m = CMR B sở R3 Bài (K63) Trên R3, xét không gian vectơ A sinh hệ vectơ a1  (1;1;1), a2  (1;1;3), a3  (1;0;1) CMR hệ vectơ B = a1, a2  sở A Bài (K64) Cho A = ( x, y, z )  R / x  y  z  0 CMR A không gian R3 Bài (K62) Trong R3 cho:   A  (x, y, z)  R3 2x  y  3z  CMR: A KGC R3 Bài (K61) Trong không gian P2(x), cho A   P(x)  P2 (x).P(x)  P(6x )  CM: A không gian P2(x) Dạng 2: Tìm sở số chiều KG vectơ Bài 8(K61) Trong không gian vectơ R3 cho không gian con, ký hiệu A, sinh hệ vectơ a1  (1;2;3), a2  (1;2;1), a3  (0;1;1) Tìm số chiều sở A Bài 10 (K61) Trong khơng gian vectơ R3, cho khơng gian kí hiệu A, sinh hệ vectơ a1= (1;2;3); a2= (1;-2;1); a3 = (1;0;2) Tìm số chiều sở A TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU DẠNG TÌM CƠ SỞ, SỐ CHIỀU Im  , Ker  Bài (K64) Cho phép biến đổi tuyến tính biết f ( x, y , z )  (2 x  y; y  z; x  y  z ) a Viết ma trận biểu diễn f sở tắc R3 b Tìm kerf Bài làm: a E  {e1 (1, 0, 0), e2 (0,1, 0), e3 (0, 0,1)  R } f (e1 )  f (1, 0, 0)  (2, 0, 2)  2e1  2e3 f (e2 )  f (0,1, 0)  (1,1, 2)  e1  e2  2e3 f (e3 )  f (0, 0,1)  (0, 1, 1)  e2  e3 => ma trận f sở tắc R3 là: 2     1   2 1    b Chọn u : ( x, y, z )  R ker  : f ( x, y , z )  (0, 0, 0) ì2 x  y  ï  í y  z  => ma trận hệ số mở rộng ï2 x  y  z  ỵ     2 0 2 0          1  ®  2 1 ®  1  ®  1  2 1  1   1   0          c ì ï x ï ì2 x  y  ì2 x  y  í í yc í ỵ yz 0 ỵ yz ïz  c  R ï ỵ TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU  1  2  x   =>  y   c   c  R z         Chọn u=   ,1,1   => sở Ker  = (-1/2,1,1) dimker  =1 Bài (K63) Cho phép biến đổi tuyến tính R =>R2 f ( x , y ) ® ( x  y; x  y ) Tìm khơng gian nhân ker  Hỏi có  song ánh không Bài 3(K62) Cho phép biến đổi tuyến tính R3 f ( x, y , z )  (3 x  y  z; x  y  z , x  y  z ) Tìm số chiều khơng gian ker  DẠNG TÌM VECTO RIÊNG, TRỊ RIÊNG, CHÉO HĨA MA TRẬN Bài 1( K64) Cho phép biến đổi tuyến tính f: R2 R2 Biết f (1,1)  (9,13), f (1, 2)  ( 9, 17) Tìm giá trị riêng vecto riêng f Bài làm Cách làm: xem lại bước phần lí thuyết Ta có: f : R ® R f ( x, y ) ® (1 x   y;  x   y ) Xét B  {b1  (1,1), b  (1, 2)} Ta có: TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU f(b1 )  f (1,1)  (1   ,    )  (9,13) f(b )  f (1, 2)  (1  2 ,   2 )  (9, 17) ì1    ì1   í  í î1  2  9 î  ì    13 ì   í í ỵ  2  17 ỵ  10  f : R ® R f ( x, y ) ® (3x  y.3 x  10 y ) E  {e1 (1, 0), e (0,1)} f(e1 )  f (1, 0)  (3, 3)  3e1  3e2 f(e )  f (0,1)  (6,10)  6e1  10e2 3   [ f ]E     10  TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU f ( x)  3 10   0 « (3   )(10   )  18  «   13  12  1  « 2  12 1  v  ( x, y ) ¹  IR   x            y    ì2 x  y  í  x  y  1 ỵ3 x  y    v1 E  (3, 1)  v1  (3, 1)   12  x           10  12  y    3 3 ì 9 x  y  Xét f ( x)  0 í  x  y  3 10   ỵ3 x  y    v2 E  (2, 3)  v  (2,3)   1, cv1  c(3, 1)(c ¹ 0)   12, cv  c(2, 3)(c ¹ 0) « (3   )(10   )  18  «   13  12    « 2  12 Với 1  ta có Chọn v  ( x, y) ¹  IR ta có: TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU   x      y          ì2 x  y  í  x  y  1 ỵ3x  y    v1 E  (3, 1)  v1  (3, 1) Chọn 2  12 Chọn v2 vecto riêng tương ứng Lấy (x,y) tọa độ ≠ vecto v2 sở tắc   12  x           10  12  y    3 ì 9 x  y  í  x  y  ỵ3 x  y    v2 E  (2, 3)  v  (2, 3) Vậy với   1, cv1  c(3, 1)(c ¹ 0) vecto tương ứng   12, cv  c(2, 3)(c ¹ 0) vecto tương ứng Bài (K63) Cho phép biến đổi tuyến tính f: R2 R2 F(x,y): (2x, 2x +4y) Tìm trị riêng vecto riêng f CÁC BÀI TẬP CÒN LẠI SẼ ĐƯỢC CHỮA TRỰC TIẾP TẠI CLB THAM GIA GROUP: “Góc Học Tập ĐHXD” để nhận tài liệu thông tin lớp chữa đề TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU PHẦN III KHÔNG GIAN EUCLIDE VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG Dạng 1: Trực chuẩn hóa hệ vecto Đề (K64) Trên R3 với tích vơ hướng thơng thường Hãy trực chuẩn hóa hệ vecto B  {u1  (1, 0,1), u2  (0,1,1), u3  (1,1, 0)} u1  a1  (1,1,1) u1  a2   a2 , u1   (0,1,1), (1, 0,1)  u1  (0,1,1)  (1, 0,1)  u1 , u1   (1, 0,1), (1, 0,1)  1  (0,1,1)  (1,0,1)  ( ;1; ) 2 B  {u1  (1, 0,1), u2  (0,1,1), u3  (1,1, 0)} Bài làm Chọn u1  a1  (1,1,1) u1  a2   a2 , u1   (0,1,1), (1,0,1)  u1  (0,1,1)  (1, 0,1)  u1 , u1   (1, 0,1), (1, 0,1)  1  (0,1,1)  (1, 0,1)  ( ;1; ) 2 u2  (1, 2,1) u3 '  a3   a3 , u1   a3 , u2  u1  u2  u1 , u1   u2 , u  1  (1,1, 0)  (1,0,1)  (0,1,1) 2 1  ( ; ; 1) 2  u  (1,1, 2) 1 ; 0; ) 2 1 u2  ( ; ; ) 6 1 2 u3  ( ; ; ) 6 u1  ( TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MÔN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU CÁC BÀI TẬP CÒN LẠI SẼ ĐƯỢC CHỮA TRỰC TIẾP TẠI CLB THAM GIA GROUP: “Góc Học Tập ĐHXD” để nhận tài liệu thông tin lớp chữa đề Bài (K63) Trên khơng gian R3 với tích vơ hướng trực chuẩn hóa hệ vecto B  {b1 : (1, 1, 0), b2 : (1,1, 0), b3 : (1, 2,1)} phương pháp Gram-Smith Bài (K62) Trong không gian EUCIDE R3 cho không gian A sinh hệ vecto {a1 : (1, 2,3), a : (1, 2,1), a3 : (0,1,1)} Hãy tìm sở trực chuẩn A Dạng Tìm sở trực chuẩn cho ma trận f sở có dạng đường chéo Bài (K61) Cho  : R ® R ( x, y ) ® ( x  y; x  y ) Tìm hệ sở trực chuẩn R2 mà ma trận  có dạng chéo Bài làm Ma trận hệ sở tắc R2 1 2 A  2  p ( )  A   I  1   (1   )   (1   )(3   ) 1    1 p ( )      Vậy 𝜑 có giá trị riêng 1  1 ; 2   1  1 TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MÔN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU  2  1  A  I   ®  2 2 0 0 x u     R ( A   I ).u   x  y   y x  1   u     x   x  R  x   1  1 ; ) 2 Chọn u1  (1, 1)  u1  (  2   2  1 1 A  I   ®   2  0  ( A   I ).u   x  y   x  y  x  1  u     x   x  R  x  1 Chọn u2  (1,1)  u2  ( 1 ; ) 2 =>Hệ sở trực chuẩn {u1 ; u2 } R2 ma trận 𝜑 có dạng chéo  1  0    Điều kiện cần đủ để dạng tồn phương xđ (+), xđ (-), khơng xác định dấu Nếu 𝜔(𝑥) dạng tắc  ( x)  1 x12  2 x2   n xn  𝜔 xđ (+)  i  0i  1, n  𝜔 xđ (-)  i  0i  1, n ïìi  1, n ïỵi j   𝜔 bán xđ (+)  i  í ïìi  0i  1, n ïỵi j   𝜔 bán xđ (-)  í TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU  𝜔 không xđ dấu  i, J 1, n : i J  Gọi A ma trận 𝜔 theo sở trực chuẩn Rn  11   A   21   n1 12  22  n2  1n    n     nn   ∆ =1>0 ∆ = ∆   11 21   11 12 22 ∆ : Định thức gốc cấp i A ∆ = 𝑑𝑒𝑡𝐴 Khi 𝜔 xđ (+)  ∆ > i  0, n 𝜔 xđ (-)  ∆ đan dấu Nếu ∆ < 0𝜔 không xđ dấu Dạng 3: Đưa dạng tồn phương dạng tắc phép biến đổi trực giao Bài (K64) Cho  ( x)  x12  x2  x32  x1 x2  x1 x3  x2 x3 đưa dạng tồn phương dạng tắc phép biến trực giao Bài làm: TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU Ma trận 𝜔 hệ sở chuẩn tắc R3 3 1 1  A   3 1   1  1  1   3   p ( )  A   I  3 1     1    1  2 p ( )   2  3  1  2 3 3 1 1  A   I   3  ®  0   1   0  ì x  y  z  u  ( x, y , z )  R  í ỵz   x 1  ìx  y      í  u   x   x 1  ỵz  0  0     Chọn u  (1,1, 0)  u1  ( 1 ; ;0) 2 2   3 3 1 1  3 2  ®  5 5       1  0 5 5 1 2 ® 0 1    0 0  ì x  y  z  ( A   I ).u   í ỵy  z  1  ìx  z    í  u  z  1 z  R ỵ y  z 1    TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU Chọn u2  (1, 1,1)  u2  ( 1 ; ; ) 3 2   5 3 1 1 1  A   I   3 5  ® 0 1     1 0 0   1 ìx  y  z  ( A   I ).u   í ỵ2 y  z  ìx   y ï  í y  y ïz  y ỵ  1   u  y 1  y  R 2    Chọn u3  (1,1, 2)  u3  ( 1 ; ; ) 6 Ma trận trực giao       0   1 3 1   6     Chéo hóa A thành  2 0  p  A p  0  0     x1   x1        Ta có  x2   p  x2    x  x    3   0   1 3 1   6 x  1   x2    x    TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU ì ï x1  ï ï  í x2  ï ï ï x3  î x1  x1  x2  x2  x2  x3 x3 x3 Đưa 𝜔 dạng tắc là:  ( x)  2 x12  x2  x32 Bài (K64) 2  Viết dạng toàn phương 𝜔(𝑥, 𝑦) R2 nhận A    ma trận sở tắc 1  Đưa dạng tồn phương 𝜔(𝑥, 𝑦) dạng tắc phép biến đổi trực giao TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU PHẦN IV ĐƯỜNG VÀ MẶT BẬC HAI Bài (K64) Đưa phương trình đường bậc sau dạng tắc phép biến đổi trực giao nhận dạng x  xy  y  16 x  y   Bài làm Dạng toàn phương tương ứng  ( x, y )  x  xy  y Ma trận dạng tồn phương sở tắc R2 2  9    2     2  p ( )  Det ( A   I )    6  2  (9   )(6   )     15    p ( )      10  2   2   ®  2   0  1   ( A   I )   u ( x, y )  R ( A   I ).u   4x  y  ìx  x ï í ïỵ y  x x  1     u   x   x  R  x   2  2 =>vecto riêng ứng với 1  u  (1, )  u1  ( ; ) 5 TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU  1 2     ®  2 4   0  ì x  2 y ( A  2 I ).u   x  y   í ỵy  y  2 y   2   u2     y  yR y  1  2  10  ( A  2 I )   Với   10 có vecto riêng u2  (2,1)  u2  ( 2 ; ) 5 2) Hệ số trực chuẩn R2 gồm vecto riêng A 𝜔 có dạng tắc  (x, y)  x  10 y  x  Phép biến đổi trực giao      y    ì ïï x   í ïy  ïỵ X X 5 2    x     y   5 Y Y Thay x,y theo X,Y vào pt đầu ta 2 X Y )  8( X Y)   5 5 40  X  10Y  Y 2   X  10(Y  Y  )  10  5 2  X  10(Y  )  10 5 X  10Y  16( X'  X Đặt Y 'Y   Ta có X ' 10Y '  10 TÀI LIỆU TỔNG HỢP BÀI TẬP MƠN GIẢI TÍCH NẰM TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ CÁC NĂM GẦN ĐÂY VÀ LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI MẪU  X '2 Y2  1 ( 2)  Là elip Bài 2(K64) Đưa pt đường bậc sau dạng tắc phép biến đổi trực giao nhận dạng x  xy  y  x  y   Bài (K62) Hãy đưa đường bậc 2: x  xy  y  dạng tắc phép biến đổi trực giao nhận dạng Bài (K63) Cho đường bậc (E) có pt: x  xy  11 y  12 10( x  y )  Chứng minh (E) đường elip tìm bán trục (E) CÁC BÀI TẬP CÒN LẠI SẼ ĐƯỢC CHỮA TRỰC TIẾP TẠI CLB THAM GIA GROUP: “Góc Học Tập ĐHXD” để nhận tài liệu thông tin lớp chữa đề ... MỘT SỐ BÀI MẪU Dạng 3: Chứng minh ánh xạ tuyến tính Bài 1: (Đề K61) Cho ánh xạ f: R3 ® R2, (z; y; z) ® f(x; y; z): (x - y + z; x+ z) CM: f ánh xạ tuyến tính Bài làm: Để c/m ánh xạ tuyến tính. .. phép biến đổi tuyến tính R3 Bài (K61) Cho ánh xạ