chuong 3 quy hoach tuyen tinh

Chương QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CÁC VÍ DỤ DẪN ĐẾN BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 Bài toán vận tải Một nhà máy gồm m phân xưởng P1 , P2 , , Pm sản xuất loại hàng hóa với sản lượng hàng tháng a1 , a , , a m Hàng hóa trực tiếp chuyên chở từ phân xưởng đến n đại lý D1 , D2 , , Dn với nhu cầu hàng tháng b1 , b2 , , bn Giả sử cước phí chuyên chở hàng hóa từ phân xưởng đến đại lý tỉ lệ thuận với số lượng hàng hóa vận chuyển chiều dài quãng đường Bài toán vận tải đặt lập kế hoạch vận chuyển hàng hóa từ phân xưởng đến đại lý cho tổng chi phí vận chuyển thấp Trước hết, để đơn giản toán, ta xét trường hợp cân thu phát, nghĩa tổng cung cầu m ∑ = i =1 n ∑b j =1 j Gọi x ij số lượng hàng hóa vận chuyển từ phân xưởng Pi đến đại lý D j k ij chi phí vận chuyển đơn vị hàng hóa từ Pi đến D j , với i = 1, m j = 1, n Chẳng hạn, x12 số lượng hàng hóa vận chuyển từ P1 đến D2 với chi phí vận chuyển đơn vị hàng hóa k 12 Khi đó, chi phí vận chuyển số lượng hàng hóa k12 x12 Do đó, tổng chi phí vận chuyển f = m n ∑∑k i = j =1 x (1.1) ij ij 84 Hiển nhiên ta có x ij ≥ , với i = 1, m , j = 1, n (1.2) Do tốn cân thu phát nên hàng hóa từ phân xưởng chuyển hết đến đại lý n ∑x j =1 ij = a i , i = 1, m (1.3) đại lý nhận đủ hàng theo nhu cầu m ∑x i =1 ij = b j , j = 1, n (1.4) Từ đó, ta nhận tốn quy hoạch tuyến tính tìm kế hoạch tối ưu (tốt nhất) cho tốn vận tải : Tìm nghiệm ( x ij ) thỏa (1.2), (1.3) (1.4) cho giá trị f (1.1) nhỏ nhất, f → Ta viết lại hệ thống dạng f = m n ∑∑k i = j =1 x (1.5) ij ij n ∑ x ij = a i , i = 1, m  j =1 m  x = b , j = 1, n j ∑ ij  i =1 (1.6) x ij ≥ , với i = 1, m , j = 1, n (1.7) Một giá trị ẩn x ij gọi phương án Phương án thỏa (1.6) gọi phương án chấp nhận Mỗi phương án chấp nhận cho ta chi phí vận chuyển f mà ta gọi hàm mục tiêu Phương án chấp nhận cho giá trị hàm mục tiêu nhỏ nghiệm toán khảo sát gọi phương án tối ưu 85 Ví dụ Một cơng ty bách hóa có cửa hàng B1 , B2 , B3 , B4 có nhu cầu loại hàng tương ứng 40, 75, 60, 70 (tấn) Công ty đặt mua loại hàng xí nghiệp A1 , A , A với khối lượng tương ứng 45, 90, 110 (tấn) Giá cước vận chuyển hàng (ngàn đồng/tấn) từ xí nghiệp đến cửa hàng cho bảng sau Cửa hàng B1 B2 B3 B4 A1 82 73 74 79 A2 80 75 81 79 A3 80 77 77 82 Xí nghiệp Bài tốn đặt lập kế hoạch vận chuyển hàng từ xí nghiệp đến cửa hàng cho lượng hàng đặt mua xí nghiệp phải lấy hết, lượng hàng mà cửa hàng yêu cầu phải đáp ứng đầy đủ tổng chi phí vận chuyển thấp Vì cơng ty bách hóa đặt mua hàng sở yêu cầu cửa hàng Tổng phát = 45 + 90 + 110 = 245 (tấn) Tổng thu = 40 + 75 + 60 + 70 = 245 (tấn) Do đó, có cân tổng số lượng hàng đặt mua xí nghiệp (tổng phát) với tổng số lượng hàng mà cửa hàng yêu cầu (tổng thu) Gọi x ij ≥ số hàng vận chuyển từ A i đến B j , với i = 1, , j = 1, Ta có x ij ≥ , với i = 1, , j = 1, Tổng chi phí vận chuyển f = 82x11 + 73x12 + 74x13 + 79x14 + 80x21 + 75x22 + +81x23 + 79x24 + 80x 31 + 77x32 + 77x 33 + 82x34 → Lượng hàng lấy từ xí nghiệp (trạm phát) A : x11 + x12 + x13 + x14 = 45 A : x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 90 86 A : x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 110 Lượng hàng thu cửa hàng (trạm thu) B1 : x11 + x 21 + x 31 = 40 B2 : x12 + x 22 + x 32 = 75 B3 : x13 + x 23 + x 33 = 60 B4 : x14 + x 24 + x 34 = 70 Từ phân tích trên, ta có tốn vận tải sau f = 82x11 + 73x12 + 74x13 + 79x14 + + 80x21 + 75x22 + 81x 23 + 79x 24 + + 80x31 + 77x 32 + 77x33 + 82x34 →  x11   x 21 x  31  x11 x  12 x  13  x14 + x12 + x13 + x14 = 45 + x22 + x23 + x 24 = 90 + x32 + x33 + x 34 = 110 + x21 + x31 = 40 + x22 + x32 = 75 + x23 + x33 = 60 + x24 + x34 = 70 x ij ≥ 0, i = 1, 3, j = 1, 1.2 Bài toán vật tư Một xí nghiệp sản xuất m mặt hàng M1 , M , , M m , từ n loại vật tư chủ yếu V1 , V2 , , Vn Gọi a ij số đơn vị vật tư Vi dùng để sản xuất đơn vị sản phẩm M j c j lợi nhuận thu đơn vị mặt hàng M j , với i = 1, m , j = 1, n Giả sử xí nghiệp tồn kho bi đơn vị vật tư Vi , với i = 1, m 87 Bài toán vật tư nhằm đưa phương án sản xuất, nghĩa lập kế hoạch sản xuất mặt hàng M j , j = 1, n , cho xí nghiệp đạt lợi nhuận cao Gọi x j số đơn vị sản phẩm M j cần sản xuất Hiển nhiên, ta có x j ≥ , tổng lợi nhuận thu f = n ∑c x j =1 j j Ngoài ra, số đơn vị vật tư Vi dùng để sản xuất không số lượng vật tư tồn kho bi , nghĩa n ∑a j =1 ij x j ≤ bi , i = 1, m Khi đó, ta nhận toán f = n ∑c x j =1 n ∑a j =1 ij j j → max x j ≤ bi , (1.8) i = 1, m (1.9) x j ≥ 0, j = 1, n (1.10) Ví dụ Một xí nghiệp sản xuất giấy có số lượng bột gỗ chất hồ keo tương ứng 5.580 m 90 Các yếu tố sản xuất khác có số lượng lớn Xí nghiệp sản xuất ba loại giấy A, B, C Biết số liệu loại nguyên liệu để sản xuất giấy thành phẩm cho bảng sau Sản phẩm A B C Bột gỗ ( m ) 1,5 1,8 1,6 Chất hồ keo (kg) 20 30 24 Nguyên liệu 88 Ngoài ra, giả sử sản phẩm sản xuất tiêu thụ hết với lợi nhuận sản xuất giấy A, B, C tương ứng 2,7; 3,6; (triệu đồng) Yêu cầu lập kế hoạch sản xuất tối ưu Gọi x1 , x2 , x số giấy A, B, C cần phải sản xuất Vì số sản phẩm sản xuất khơng thể số âm nên ta có điều kiện x j ≥ , j = 1, 2, Tổng lợi nhuận thu f = 2, 7x1 + 3, 6x + 3x (triệu đồng) Do số lượng nguyên liệu cần để sản xuất vượt số lượng có nên từ số lượng bột gỗ tồn kho, ta có 1, 5x1 + 1, 8x + 1, 6x ≤ 5580 , số lượng chất hồ keo cho 20x1 + 30x + 24x ≤ 90000 Từ phân tích trên, ta toán vật tư sau f = 2, 7x1 + 3, 6x + 3x → max 1, 5x1 + 1, 8x + 1, 6x3  20x1 + 30x + 24x ≤ 5580 ≤ 90000 x j ≥ 0, j = 1, 2, PHÂN LOẠI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Trong phần này, xét dạng tốn quy hoạch tuyến tính nhằm phục vụ cho việc xây dựng giải thuật đơn hình khảo sát phần Ngoài ra, ta xét giải thuật chuyển tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc, dạng thuật tốn đơn hình 89 2.1 Các dạng tốn quy hoạch tuyến tính 2.1.1 Dạng tổng quát Tìm x = ( x1 , x , , x n ) cho n f = c0 + ∑ c j x j → (max) j =1 với điều kiện ràng buộc ( i = 1, k ) n ∑ a ij x j = bi  j =1  n ∑ a ij x j ≤ bi  j =1 n ∑ a ij x j ≥ bi  j=1 ( i = k + 1, l) (1) ( i = l + 1, m) ràng buộc dấu ( ) x j ≥ , x j ≤ hay x j ∈ ℝ , j = 1, n a Phương án Một véc tơ x = (x1 , x , , x n ) gọi phương án (hay phương án chấp nhận được) tốn thỏa hệ ràng buộc (1) Tập hợp tất phương án toán gọi miền ràng buộc, ký hiệu D X, Y Chú ý Một ràng buộc gọi chặt phương án x, xảy dấu “ = ”, nghĩa n ∑= a ij x j = bi ; x j = j Một ràng buộc gọi lỏng phương án x, xảy dấu “ > < ”, n nghĩa ∑= a j n ij x j > bi ; ∑ a ij x j < bi ; x j < 0; x j > j =1 90 b Phương án tối ưu Một phương án làm cho hàm mục tiêu đạt cực tiểu (ứng với toán min) đạt cực đại (ứng với toán max) gọi phương án tối ưu Ký hiệu x∗ Khi f (x∗ ) gọi giá trị tối ưu toán c Bài tốn giải Bài tốn quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu gọi tốn giải Bài tốn quy hoạch tuyến tính khơng có phương án hay có phương án làm cho hàm mục tiêu không bị chặn (với tốn cực tiểu) khơng bị chặn (với tốn cực đại) miền ràng buộc gọi tốn khơng giải Giải tốn quy hoạch tuyến tính tìm tất phương án tối ưu (nếu có) giá trị tối ưu tương ứng, chứng tỏ tốn khơng giải d Phương án cực biên Một phương án có n ràng buộc chặt độc lập tuyến tính gọi phương án cực biên Một phương án cực biên có n ràng buộc chặt gọi phương án cực biên không suy biến Một phương án cực biên có nhiều n ràng buộc chặt gọi phương án cực biên suy biến Một phương án có n ràng buộc chặt độc lập tuyến tính gọi phương án khơng cực biên Ví dụ Cho quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát (S) 91 f (x) = − x1 − x − x →  2x1  4x1   x1    + x2 + 2x + 2x ≤2 + x3 ≤2 x3 ≥0 ≥0 ≥0 x2  2 a) Chứng minh x =  0, ,  phương án cực biên không suy biến  3 1  b) Chứng minh x =  , 0,  không phương án cực biên 3  Giải a) Trước hết ta chứng minh x phương án (S), tức phải thỏa hệ ràng buộc toán 2x1 + x2 + 2x3 = 2.0 + 2 + = 3 (thỏa chặt) 2 + =2 3 (thỏa chặt) 4x1 + 2x2 + x = 4.0 + x1 = (thỏa chặt) x2 = / > (thỏa lỏng) x3 = / > (thỏa lỏng) Ta thấy tất ràng buộc thỏa nên x phương án (S), có ràng buộc thỏa chặt Ta dễ dàng chứng minh ràng buộc độc lập tuyến tính Từ ràng buộc chung thứ ta có véc tơ u1 = (2,1, 2) Từ ràng buộc chung thứ hai ta có véc tơ u = (4, 2,1) 92 Từ ràng buộc biến thứ ta có véc tơ u = (1, 0, 0) Mà ba véc tơ độc lập tuyến tính Bài tốn có biến nên n = Số ràng buộc thỏa chặt độc lập tuyến tính = số  2 biến = Nên x =  0, ,  phương án cực biên không suy biến  3 b) Trước hết ta chứng minh x phương án (S), tức phải thỏa hệ ràng buộc tốn 2x1 + x + 2x = 2 +0+0= < 3 (thỏa lỏng) 4x1 + 2x2 + x = 4 +0+0= < 3 (thỏa lỏng) x1 = / > (thỏa lỏng) x2 = (thỏa chặt) x3 = (thỏa chặt) Ta thấy tất ràng buộc thỏa nên x phương án (S), có ràng buộc thỏa chặt < số ẩn nên x không phương án cực biên Ví dụ Cho quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát (S) f (x) = − x1 − x − x →  2x1  4x1   x1    + 2x + 2x ≤2 + 2x + x3 ≤2 x3 ≥0 ≥0 ≥0 x2 Chứng minh x = (0,1, 0) phương án cực biên suy biến 93 1.4 Một đội sản xuất dự định dùng 31 sào đất để trồng bắp cải, cà chua, đậu, khoai tây, hành Các số liệu cho bảng sau Tài nguyên Lao động Đậu Dự Bắp Cà Khoai Hành trữ cải chua 1892 79 55 23 26 35 1828 38 22 31 63 50 376 128 104 177 310 tây (cơng/sào) Chi phí (ngàn đồng/sào) Lời (ngàn đồng/sào) Tìm phương án phân phối đất trồng loại rau để lời nhiều 1.5 Để sản xuất loại sản phẩm I, II, III, người ta cần dùng loại nguyên liệu N1 , N2 , N3 , N4 , với số liệu cho bảng sau Nguyên Dự trữ Sản phẩm Sản phẩm Sản phẩm liệu (kg) I II III N1 22 N2 16 N3 18 0 N4 21 3 Thu nhập Tìm phương án phân phối sản xuất cho tổng thu nhập xí nghiệp lớn 1.6 Một chủ nơng trại có quyền sở hữu 100 mẫu đất dự định trồng loại A, B, C Chi phí hạt giống tương ứng cho loại A, B, C 40$, 20$, 30$ Số tiền tối đa chi cho việc mua hạt giống 3200$ Số ngày cơng chăm sóc cho loại A, B, C mẫu tương ứng 1, 2, Số ngày công tối đa có 160 Nếu lợi nhuận mẫu loại cho : A 100$, B 300$, C 200$, phải trồng loại mẫu để thu lợi nhuận tối đa 136 1.7 Một hãng sản xuất máy vi tính có hai phân xưởng lắp ráp A, B hai đại lý phân phối I, II Xưởng A ráp tối đa 700 máy/tháng xưởng B ráp tối đa 900 máy/tháng Đại lý I tiêu thụ 500 máy/tháng đại lý II tiêu thụ 1000 máy/tháng Cước phí vận chuyển máy từ xưởng đến đại lý cho bảng sau Đại lý I Đại lý II Xưởng A 6$ 5$ Xưởng B 4$ 8$ Tìm kế hoạch vận chuyển tối ưu để tổng cước phí vận chuyển máy từ xưởng đến đại lý phân phối cực tiểu 1.8 Có nơi cung cấp khoai tây I II theo khối lượng 100 200 Có nơi tiêu thụ khoai tây: A, B, C với yêu cầu tương ứng 75 tấn, 125 100 Cước phí vận chuyển (ngàn/tấn) vận chuyển từ nơi cung cấp đến nơi tiêu thụ cho bảng sau Tiêu thụ A B C I 10 14 30 II 12 20 17 Cung cấp Muốn chuyên chở khoai tây với tổng cước phí nhỏ Lập mơ hình tốn 1.9 Một người có số tiền 100 tỷ đồng dự định đầu tư vào loại hình sau đây: • Gửi tiết kiệm khơng kỳ hạn với lãi suất 6,5%/năm • Gửi tiết kiệm có kỳ hạn với lãi suất 8,7%/năm • Mua tín phiếu với lãi suất 10%/năm • Cho doanh nghiệp tư nhân vay với lãi suất 13%/năm Để tránh rủi ro, người định đầu tư theo dẫn nhà tư vấn đầu tư sau: • Khơng cho doanh nghiệp tư nhân vay 20% số vốn 137 • Số tiền mua tín phiếu khơng vượt q tổng số tiền đầu tư vào loại hình • Đầu tư 30% tổng số tiền vào gửi tiết kiệm có kỳ hạn mua tín phiếu • Tỷ lệ tiền gửi tiết kiệm không kỳ hạn tiền tiết liệm có kỳ hạn khơng q 1/3 • Người cho vay tồn số tiền Hãy lập mơ hình tốn , xác định phương án đầu tư tối ưu để người đạt lợi nhuận cao nhất, theo dẫn nhà đầu tư 1.10 Một công ty có kế hoạch quảng cáo loại sản phẩm công ty sản xuất thời gian tháng với tổng chi phí 100 triệu đồng Các phương tiện chọn để quảng cáo sản phẩm : truyền hình, báo phát với số liệu cho bảng sau Phương tiện Chi phí lần quảng cáo quảng cáo Dự đoán số đa người xem cáo (triệu đồng) Truyền hình Số lần quảng tối tháng lần 1,5 60 15000 26 30000 0,5 90 9000 (1 phút) Báo (1/2 trang) Phát (1 phút) Vì lý chiến lược tiếp thị nên cơng ty u cầu phải có 30 lần quảng cáo truyền hình tháng Hãy lập mơ hình toán cho phương án quảng cáo sản phẩm công ty tối ưu ? Đưa tốn quy hoạch tuyến tính sau dạng tắc 2.1 f (x) = x1 + x2 + x3 →  x1  x2  x1 ≥ − x3 ≤ + x3 ≥ 138 2.2 f (x) = 3x1 − 2x2 + 4x3 → max  2x1   −4x1  x  + x2 − x3 ≥ + 3x2 + x3 ≤ − 2x3 = x1 ≥ 0; x2 ≤ 2.3 f (x) = x1 − x2 − 2x3 − x4 →  x1 +   − x1 +   x1 , x2 ≥ 2.4 x2 − x4 ≤ x2 + x4 ≤ x2 + x3 = f (x) = −2x1 + x2 + 4x3 + 5x4 →  x1  2x1 4x  − 3x2 + 5x3 − 3x4 ≤ 16 − − 2x3 + 2x4 ≥ −8 + + = x2 + 3x2 x3 x4 x1 , x2 ≥ 0; x3 ≤ 2.5 f (x) = 8x1 + 7x2 + 6x3 → max  x1 + 2x2 + x3 =  = 2x1 + x2 + x3  x + 5x + 2x ≤  x1 ≤ 0, x2 , x3 ∈ ℝ 2.6 f (x) = x1 − 2x2 + x3 − 2x4 → max  x1 + x2 + x3 + x4 =   − x1 + x3 + 2x4 = x1 ≤ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≤ 139 2.7 f (x) = 6x1 + 8x2 + 8x3 →  x1 + 4x2 + x3 ≤   x1 − x2 + 2x3 ≥  x + 2x + x ≥ −7  x1 ∈ ℝ, x2 ≤ 0, x3 ≥ 2.8 f (x) = 4x1 + 8x2 + 6x3 → 3x1 + 6x2 + 7x3  5x1 + 9x2 + 3x3 2x + 8x + 4x  ≥ 70 ≤ 50 ≤ 60 x j ≥ 0, j = 1, 2.9 f (x) = 2x1 + x2 → max 6x1 + 7x2  2x1 + 3x2 4x + 3x  ≤ x1 ≤ 6, 2.10 ≤ 84 ≤ 24 ≤ 36 ≤ x2 ≤ f (x) = 2x1 + x2 + x4 → max 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4   x1 + 2x2 + 3x3 + x4 2x + 5x + 4x + 5x  ≤ = ≥ x j ≥ 0, j = 1, 2.11 f (x) = 8x1 + 7x2 + 6x4 →  x1 + 2x2 + x3 =  2x1 + x2 + x3 = x1 ≤ 0, x2 ∈ ℝ, x3 ≥ Giải quy hoạch tuyến tính sau phương pháp hình học 140 3.1 f (x) = 2x1 + x2 → (max)  2x1   − x1  5x1   + + x2 2x2 − x2 ≥ ≤ ≤ 15 x i ≥ , i = 1, 3.2 f (x) = x1 + 2x2 → (max) 6x1   x1  2x1   3.3 + + x2 4x2 ≥ 18 ≥ 12 + x2 ≥ 10 x i ≥ , i = 1, f (x) = 3x1 + 2x2 → max 2x1   x1 x  + x2 ≤ − x2 ≤ + x2 ≤ x1 , x2 ≥ 3.4 f (x) = 2x1 + 5x2 →  x1 + 2x2   x1 − x2 x1 , x2 ≥ 3.5 ≤ ≤ f (x) = 4x1 + 3x → max  x1   −2x1  x  − 2x ≤ + x2 ≤ + x2 ≥ 10 x1 , x ≥ 3.6 f (x) = 3x1 + 7x →  2x1   3x1 4x  + 4x ≥ + x2 ≥ + 5x ≥ x1 , x ≥ 141 3.7 Người ta thành lập cầu hàng không vận chuyển 1400 hành khách 90 hàng Có hai loại máy bay : - Loại A : 10 chiếc, chở 200 người hàng, tiền thuê triệu/chiếc - Loại B : chiếc, chở 100 người 15 hàng, tiền thuê triệu/chiếc Hỏi phải thuê máy bay loại để chi phí thấp Biết phải thuê máy bay loại A 3.8 Một tổ hợp sản xuất hai loại hàng : - Mỗi sản phẩm loại I cần kg nguyên liệu 30 làm, đem lại mức lãi 4000 đồng/sản phẩm - Mỗi sản phẩm loại II cần kg nguyên liệu 15 làm, đem lại mức lãi 3000 đồng/sản phẩm Biết tổ hợp có 200 kg nguyên liệu 1200 làm Hỏi tổ hợp phải sản xuất loại hàng sản phẩm để đạt lợi nhuận cao ? Chứng minh toán giải được, tìm phương án, phương án cực biên, phương án tối ưu tốn quy hoạch tuyến tính 4.1 Cho toán f (x) = 4x1 − 2x2 + 3x3 + 3x4 →  x1   x1 2x  + 2x2 + x3 − 3x4 ≤ 10 − x2 + x3 − ≤ + x2 + 3x3 ≤ x4 x j ≥ 0, j = 1, Chứng minh toán giải 4.2 Cho toán 142 f (x) = 2x1 + x2 − x3 + 3x4 →  x1     − 2x2 − + = 16 x3 x2 − 4x3 + x2 + 2x3 − 3x4 ≤ x4 ≤ 20 x j ≥ 0, j = 1, Vectơ x0 = ( 6, 0,10, ) có phải phương án, phương án cực biên ? 4.3 Cho toán sau f (x) = x1 + x2 + 3x3 + 5x4 → 3x1   2x  + x2 + 3x3 + x4 ≥ −2 x2 − 2x3 − x4 ≥ −7 + + x4 ≤ 12 − x2 x3 x1 ≤ 0; x3 , x4 ≥ a Chứng minh toán giải b Bài tốn có phương án cực biên tối ưu khơng? Vì Giải tốn sau phương pháp đơn hình 5.1 f (x) = 2x1 + 10x2 + 4x3 + 8x4 + 8x5 + 3x6 →  x1  − x      x1  + x4 = + x5 x3 + x2 + 2x6 = 11 + x6 = − x = x j ≥ 0, j = 1, Đáp án : x = ( 5, 7, 0, 0, 4, ) 143 5.2 f (x) = 2x1 + x2 + 2x3 + 5x4 − 5x5 − 5x6 → max  −2x1   x1  −x  − 4x2 + x3 − 4x2 + x3 − 3x2 + x3 + x6 + x5 = = + x4 = x j ≥ 0, j = 1, Đáp số : Trị số f (x) không bị chặn tập phương án 5.3 f (x) = x1 + x2 − 2x3 + 3x4 + 4x5 + x6 →   x1      − − − x 2 2x2 + x3 x 2 + x4 + 2x5 − x6 + x7 = 40 − x5 + 3x6 − x7 = 10 + x5 + 2x6 + x7 = 60 x j ≥ 0, j = 1, Đáp số : Trị số f (x) không bị chặn tập phương án 5.4 f (x) = x1 + 2x2 − 4x3 + 3x4 →  2x1   −6x1  −x  − + x2 + x3 x4 = + 3x2 + 3x3 + 2x4 = 18 + − + = 10 x2 x3 x4 x j ≥ 0, j = 1, Đáp số : x = ( 2, 6, 0, ) 5.5 f (x) = 2x1 − 3x2 − 2x3 + x4 − x5 − 4x6 + 3x7 →    x1     − 2x2 + x3 + x4 + x6 − 2x7 = 26 − 3x2 + x3 + 3x4 + x6 − 4x7 = 20 − x3 + x6 + 5x7 = − 4x7 = 16 − 2x2 + 2x3 + x5 + x4 x j ≥ 0, j = 1, Đáp số : Bài tốn khơng có phương án 144 5.6 f (x) = 2x1 − x2 − 2x3 − 2x4 + x5 − 4x6 + x7 →    x1     − x2 2x2 − 2x2 + x3 + x4 + x6 − 2x7 = + x3 + 3x4 + x6 − 4x7 = 10 − x3 + x6 + 5x7 = − 4x7 = 12 + 2x3 + x5 + x4 x j ≥ 0, j = 1, ( ) Đáp số : x = 0, 6,14, 0, 0, 0,1 5.7 f (x) = 2x1 + 5x2 − x3 + 3x4 + 5x5 + x6 →  x1      3x1 + x4 x2 + 5x2 − + x x3 = + x5 = 21 + x6 = 10 = 90 6x3 x j ≥ 0, j = 1, ( ) Đáp số : x = 5,15, 0, 0, 6,10 Giải toán sau phương pháp đơn hình 6.1 f (x) = −4x1 + 3x2 + x3 → max  x1   x1  − x1 x  − x2 + 3x3 ≤ − 2x + 2x3 ≥ −60 + x2 − 3x2 − x3 10 ≤ ≤ 12 x j ≥ 0, j = 1, ( ) Đáp số : x = 0, 8, 145 6.2 f (x) = 2x1 + 4x2 + x3 + 3x4 → max 2x1     x1 4x  + x2 2x2 − x3 − 2x4 ≤ 19 − 6x3 + 3x4 ≤ 12 + x4 ≤ 17 + x4 ≤ + 3x2 + 2x2 + 2x3 x j ≥ 0, j = 1, ( ) Đáp số : x = 0, 0,1, 6.3 f (x) = 4x1 − 2x2 + 3x3 + 3x4 →  x1   x1 2x  + 2x2 + x3 − 3x4 ≤ 10 − x2 + x3 − ≤ + x2 + 3x3 ≤ x4 x j ≥ 0, j = 1, Đáp số : 6.4 f (x) = 2x1 − x2 − x3 + 6x4 → max  x1   −3x1  5x  + 2x2 − 4x3 + 2x2 + + x4 ≤ ≤ x3 + 3x + x4 ≤ x j ≥ 0, ∀j ≠ 3; x3 ≤ ( ) ( ) Đáp số : x = 0, 0, − 2,1 6.5 f (x) = x1 − 3x2 + 2x3 − 7x4 →  − x1   2x1 x  + 2x2 − 3x2 − + x3 x2 + 3x4 ≤ − x4 ≤ + x4 ≤ x j ≥ 0, j = 1, Đáp số : x = 5, 0, 0, 146 Giải toán sau phương pháp đơn hình 7.1 f (x) = 2x1 + x2 + x3 + 4x4 → max  5x1  −3x1  4x  + x2 + x3 + 6x4 = 50 + x3 + 2x4 ≥ 16 + ≤ 23 + 3x3 x4 x j ≥ 0, j = 1, ( ) Đáp số : x = 0, 14, 6, 7.2 f (x) = x1 + 2x2 + x3 + 4x4 − x5 →  2x1   − x   x   2x1 + 2x2 + 4x4 − 2x5 ≥ 64 + x2 − 2x4 + 3x5 ≤ 20 − x2 + + 2x5 ≤ 27 + = 24 − 3x2 + x3 x4 + 2x4 x5 x j ≥ 0, j = 1, ( ) Đáp số : x = 24, 8, 0, 0, 7.3 f (x) = x1 + 3x2 + 5x3 + 3x4 + 6x5 → max   2x1  −2x    5x1  x  + x2 − 3x3 10 x − x + 2x4 + 2x3 − + 3x3 + 2x3 − 6x4 + 5x5 = 42 + 2x5 ≤ 18 − 3x5 ≤ + 3x5 ≥ 21 x j ≥ 0, j = 1, ( ) Đáp số : x = 1, 10, 10, 0, 147 7.4 f (x) = −7x1 + 3x + 2x3 − x + x5 → max  x1   − x1   −2x1   − 2x2 + x3 + 2x + x2 − 2x3 + 3x4 + x2 + + 4x4 ≤ 22 − x2 + 2x3 + = 20 x3 ≤ 44 + x5 = 28 x4 x j ≥ 0, j = 1, ( ) Đáp số : x = 0, 8, 14, 0, 48 7.5 f (x) = 3x1 − 2x2 − x3 + 3x4 − x5 → max  2x1  4x1   2x1  2x  − x2 − 2x3 − 2x4 + 4x5 = −12 − 3x3 − + 2x5 ≤ 10 − 2x3 + 3x4 ≤ 26 − 2x3 − 3x4 ≥ x4 + 4x5 x j ≥ 0, j = 1, Đáp số : Bài tốn khơng có phương án tối ưu Bài tập tổng hợp 8.1 Cho toán quy hoạch tuyến tính sau f (x) = 4x1 + 4x2 − x3 + 3x4 → 3x1   x1 2x  − x3 − x4 ≥ + 5x2 + 4x3 + x4 ≤ − − − 2x4 = x2 x3 x j ≥ 0, j = 1,  11 1 a Chứng minh x0 =  , 0, 0,  phương án cực biên Xuất phát từ x , 4  tìm lời giải tốn phương pháp đơn hình b Thay điều kiện x ≥ x ≤ Tìm lời giải toán Đáp số : a) x = ( 3, 0, 1, ) ; 148 b) Bài tốn khơng có lời giải 8.2 Cho tốn quy hoạch tuyến tính f (x) = −4x1 − 2x2 + x3 →  − x1  4x1  2x  + x2 + 3x2 + + 2x3 ≥ − ≤ 12 x3 ≤ x2 x j ≥ 0, j = 1, a Giải toán phương pháp đơn hình b Có kết luận lời giải toán f (x) → max Hãy tập phương án mà f (x) tăng vô hạn  26 20  Đáp số : a) x =  , 0,  ; b) Bài tốn khơng có lời giải 7    26 20 θ  x(θ) =  , 0, +  , ( θ ≥ 0) 2  8.3 Cho tốn quy hoạch tuyến tính f (x) = 3x1 − 2x2 − x3 − 4x4 − x5 → max  −4x1   5x1   −4x1  4x  + x2 + 2x3 + 2x4 − 4x5 = 38 − 3x3 − + 2x5 ≤ + 2x3 + 5x4 − 2x3 − 3x4 x4 ≤ 56 + 4x5 ≥ 16 x j ≥ 0, j = 1, a Giải toán phương pháp đơn hình b Tìm phương án tối ưu tốn có thêm điều kiện f (x) ≤ 20 Đáp số : a) Bài tốn khơng có lời giải b) x = (120, 54, 232, 0, ) Giải tốn quy hoạch tuyến tính sau phương pháp đơn hình 149 9.1 f (x) = 3x1 + 4x + 2x + 2x → 2x1 + 2x + x4   x1 + 5x + 3x − 2x 2x − 2x + 2x + x  = 28 ≤ 31 = 16 x j ≥ , j = 1, 9.2 f (x) = 3x1 − 2x + 2x + x → 2x1 − x + 4x3 + x4   −3x1 + 2x2 + x − 2x4 4x − x − 2x  = 10 = = x j ≥ , j = 1, 9.3 f (x) = − x1 − 2x − 3x + x →  x1 + 2x2 + 3x  2x1 + x2 + 5x3  x + 2x + x + x  = 15 = 20 = 10 x j ≥ , j = 1, 9.4 f (x) = 2x1 + x + x → 2x1 + x2 + x  3x1 + x2 + x 2x + x3  ≥ ≥ ≥ x j ≥ , j = 1, 9.5 f (x) = x1 + x + 2x →  x1 + 3x2 − x3  3x1 − x2 + 3x3 2x + 3x + x  ≥ ≥ ≥ x j ≥ , j = 1, 150 ... 90 86 A : x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 110 Lượng hàng thu cửa hàng (trạm thu) B1 : x11 + x 21 + x 31 = 40 B2 : x12 + x 22 + x 32 = 75 B3 : x 13 + x 23 + x 33 = 60 B4 : x14 + x 24 + x 34 = 70 Từ... 82x11 + 73x12 + 74x 13 + 79x14 + + 80x21 + 75x22 + 81x 23 + 79x 24 + + 80x31 + 77x 32 + 77x 33 + 82x34 →  x11   x 21 x  31  x11 x  12 x  13  x14 + x12 + x 13 + x14 = 45 + x22 + x 23 + x... x 13 + x14 = 45 + x22 + x 23 + x 24 = 90 + x32 + x 33 + x 34 = 110 + x21 + x31 = 40 + x22 + x32 = 75 + x 23 + x 33 = 60 + x24 + x34 = 70 x ij ≥ 0, i = 1, 3, j = 1, 1.2 Bài toán vật tư Một xí nghiệp