Chương 3: Mô hình tối ưu tuyến tính - Quy hoạch tuyến tính (Bài 1) doc

Ví dụ: Đưa các bài toán QHTT đã được đưa về dạng chính tắc ở các ví dụ 3, 4 về dạng chuẩn..

Trang 2

BỐ CỤC BÀI GIẢNG

1.Các ví dụ dẫn đến bài toán Quy hoạch tuyến tính:

1.1 Lập kế hoạch sản xuất:

1.2 Phân bổ vốn đầu tư:

2 Định nghĩa:

Trang 3

1 Các ví dụ dẫn đến bài toán Quy hoạch tuyến tính (QHTT):

1.1 Lập kế hoạch sản xuất:

sản phẩm

Chi phí S 1 S 2 S 3 Số lượng nguyên

liệu hiện có Nguyên liệu 1 (N1)

Nguyên liệu 2 (N2)

Nguyên liệu 3 (N3)

Lao động

4 2 3 10

5 4 6 7

3 3 4 6

15.000 12.000 10.000 500.000

Giả sử rằng sản phẩm sản xuất ra đều có thể tiêu thụ được hết với lợi nhuận khi bán một đơn vị sản phẩm S 1 , S 2 , S 3

tương ứng là 5000:10000:7000 (đồng) Yêu cầu lập kế hoạch sản xuất tối ưu

Trang 4

Gọi x j là số sản phẩm của S j (j = 1,2, 3) cần sản xuất (x j

Số phút cần sử dụng: 10 x1 + 7 x2 + 6 x3 ≤ 500.000

Tổng lợi nhuận theo kế hoạch sản xuất là:

Yêu cầu tối ưu là: 5000 x 1 + 10000 x 2 + 7000 x 3 → max

Trang 5

Mô hình bài toán:

Tìm x = (x1, x2, x3) sao cho:

Trang 6

Tổng quát: ta có bài toán lập kế hoạch sản xuất dưới dạng bảng số liệu sau đây:

Trang 7

Mô hình:

Tìm x = (x1, x2,…, xn) sao cho:

max 1

Trang 8

2.2 Phân bổ vốn đầu tư:

Một nhà đầu tư có 4 tỉ đồng muốn đầu tư vào 4 lĩnh vực

Lĩnh vực đầu tư Lãi suất/năm Chứng khoán

Công trái Gửi tiết kiệm Bất động sản

20%

12%

15%

18%

Ngoài ra, để giảm thiểu rủi ro, nhà đầu tư cho rằng

không nên đầu tư vào chứng khoán vượt quá 30%

tổng số vốn đầu tư; đầu tư vào công trái và gửi tiết

kiệm ít nhất 25% tổng vốn đầu tư; gửi tiết kiệm ít

nhất 300 triệu đồng Hãy xác định kế hoạch phân bổ

vốn đầu tư sao cho tổng thu nhập hàng năm là lớn

nhất.

Trang 9

• Do tổng số tiền đầu tư không được vượt quá số tiền

hiện có nên: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≤ 4000 (triệu đồng)

•Điều kiện về số tiền đầu tư vào chứng khoán:

x ≤ x + x + x + x ⇔ − x + x + x + x ≥

Gọi x 1 , x 2 , x 3 , x 4 tương ứng là số tiền (triệu đồng) đầu

tư vào chứng khoán, công trái, gửi tiết kiệm, bất động sản ( )xj ≥ 0, j = 1, , 4

•Thu nhập của năm là: 0, 2 x1 + 0,12 x2 + 0,15 x3 + 0,18 x4

•Yêu cầu tối ưu:

Trang 11

Vậy để lập mô hình toán học của một bài toán thực tế, ta phân tích bài toán đó theo 3 bước sau:

Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Lập hệ ràng buộc chính

Bước 3: Lập hàm mục tiêu

Trang 12

hàm mục tiêu

ràng buộc biến

(ràng buộc chính)

ràng buộc dấu

Trang 13

 Vectơ x=( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) T được gọi là phương án (PA) của bài toán QHTT nếu nó thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán

 Phương án x*=( x 1 *, x 2 *, x 3 *, x 4 *)T được gọi là phương

án tối ưu (PATƯ) của bài toán QHTT nếu giá trị hàm mục

tiêu tại đó là tốt nhất.

 Giải bài toán QHTT tức là tìm phương án tối ưu của nó

(nếu có).

 Một số khái niệm:

Trang 14

Bài toán giải được là bài toán có PATƯ.

Khi đó hoặc là bài toán không có phương án hoặc có

phương án nhưng hàm mục tiêu không bị chặn

( đối với bài toán max (min)).f x ( ) → +∞ −∞ ( )

 Nếu phương án x thỏa mãn ràng buộc nào đó với

dấu “=” thì ta nói x thỏa mãn chặt ràng buộc đó Ngược lại nếu thỏa dấu “>” hoặc “<” thì ta nói thỏa mãn lỏng

rạng buộc đó.

Trang 15

- Ứng với ràng buộc thứ i ta có vectơ A i * = (a i1 , a i2 , …,a i3 ).

- Ký hiệu:

1 2

3

.

j j

j

a a Ai

Trang 16

- Phương án cực biên (phương án cơ bản): là phương

án thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính.

+ Phương án cực biên (PACB) thỏa mãn chặt đúng n ràng buộc gọi là PACB không suy biến, PACB thỏa mãn chặt hơn n ràng buộc gọi là PACB suy biến.

Trang 18

Mô hình bài toán:

Tìm x = (x1, x2, x3) sao cho:

Hệ ràng buộc chính

Hệ ràng buộc dấu

Trang 19

3 Các dạng đặc biệt của bài toán QHTT:

a Bài toán QHTT dạng chính tắc:

max min 1, ,

0 1, ,

n

j j j

n

j i j

Trang 20

Ví dụ 2: Cho bài toán QHTT có hệ ràng buộc:

Trang 21

* Cách biến đổi bài toán QHTT dạng tổng quát về dạng chính tắc:

- Nếu có ràng buộc dấu dạng thì đặt xxj ≤ 0 j = -x j , với xj ≥ 0

- Nếu x j không có ràng buộc dấu đặt

Trang 22

Ví dụ 4: Đưa bài toán QHTT sau về dạng chính tắc.

Trang 23

b Bài toán dạng chuẩn:

* Một ma trận của hệ ràng buộc chính chứa các vectơ A j lập được thành một ma trận đơn vị được gọi là ma trận chứa ma trận đơn vị.

Trang 24

* Bài toán QHTT dạng chuẩn là:

+ Bài toán QHTT dạng chính tắc.

≥ =

Trang 25

 Bằng cách sắp xếp lại bài toán QHTT dạng chuẩn

có dạng.

( ) ( )

( )

max min 1

Trang 26

 Cách đưa bài toán dạng chính tắc về dạng chuẩn:

- Nếu thì nhân hai vế ràng buộc với -1.

- Nếu ma trận A chưa có ma trận đơn vị thì thêm vào ẩn giả.

 Mục tiêu của ẩn giả là để tạo vectơ đơn vị khi chưa có ma trận đơn vị Nếu trong ma trận A đã có sẵn một số vectơ đơn vị thì chỉ cần thêm ẩn giả vào những phương trình cần thiết để tạo thành bài toán mở rộng có dạng

Trang 27

Ví dụ: Đưa các bài toán QHTT đã được đưa về dạng chính tắc ở các ví dụ 3, 4 về dạng chuẩn.

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	382,5 KB