Chuong 3 pp tính tích phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA CƠ BẢN – BỘ MƠN TỐN Giải tích Chương 3: Phép tính tích phân hàm biến NỘI DUNG CHÍNH ❑ Tích phân bất định, phương pháp tính ❑ Tích phân xác định ❑ Tích phân suy rộng loại loại ❑ Ứng dụng tích phân I Tích phân bất định Khái nieäm: Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm f(x) (a;b) F’(x) = f(x) với x thuộc (a;b) Khi đó: họ tất nguyên hàm f(x) (a;b) gọi tích phân bất định hàm số f(x) Ký hiệu:  f ( x )dx = F ( x ) + C , x  ( a; b) Ví dụ:  ln x + x + b    x2 + b  = với b    x2 + b dx =ln x + x + b + C với b  2 Tính chaát (  f ( x )dx ) / = f ( x)   f ( x)dx =   f ( x)dx  ( f ( x)  g ( x) ) dx =  f ( x)dx   g ( x)dx Nếu  f ( x)dx = F ( x ) + C thì:  f (ax + b)dx = F ( ax + b ) + C a ( a  0) Tích phân số hàm  dx = x + C  +1 x  x dx = + C , (  −1)  +1 −1  dx = +C x x  dx = ln x + C xx  e dx = e x + C x a  a x dx = +C ln a  sinx dx = − cos x + C  cos xdx = sinx + C  tan xdx = − ln cos x + C  cot xdx = ln sin x + C 10 11 12 13 14 15 16 dx = (1 + tan x )dx = tanx + C   cos x dx = (1 + cot x )dx = − cotx + C   sin x dx = arctanx + C = − arc cot x + C  x +1 1 x dx = arctan + C , (a  0)  2 a a x +a dx = arcsinx + C = − arccos x + C  1− x x dx = arcsin + C , (a  0)  2 a a −x dx = ln x + x + b + C , (b  0)  x2 + b Các phương pháp tính tích phân bất định a) Biến đổi thành tổng - hiệu tích phân : Vận dụng:  ( f ( x )   g ( x ) ) dx =  f ( x )dx   g ( x )dx Ví dụ:  12  x x x dx 4 A=  x x dx =   = x +c  dx =    x x 10 x x x x x B=  + dx =  + 10 dx = + +c ln ln10 x − 3x − x + 1   C=  dx =   x − 3x − +  dx x x x   5x x = − − ln x − + c x ( ) ( ) 1 sin x  D=  cos xdx =  (1 + cos2 x ) dx =  x + +c 2  2 cos2 x cos2 x − sin x E=  dx =  dx cos x + sinx cos x + sinx =  ( cos x − sinx ) dx = sinx + cos x + c F=  sin 3x cos xdx =  [sin(3x − x) + sin(3x + x)]dx 1  − cos4 x cos2 x  =  (sin x + sin x) dx =  − +c  2  Chú ý: dx −1 dx = + c, (m  N vaø m>1) = ln ax + b + c  m m −1  ax + b a ( ax + b ) a.(m − 1).( ax + b ) Ví dụ1: Ví dụ2: 1 A=  dx = ln x − + c 2x − I = Ví dụ3: J =  ( x + 4) dx (1 − x ) dx =− =+ ( x + 4) +c 7.8 (1 − x ) +c Ví dụ4: 1   B= dx =  dx =   − dx  x − 5x + ( x − 2) ( x − 3)  x −3 x − 2 = ln x − − ln x − + C Ví dụ5: Ví dụ6:  2( x − 2) + 3  2x −1 dx =   + dx E= dx =  2 ( x − 2) x − 4x +  x − ( x − 2)  = 2ln x − − +c x-2 x2 + F = dx x − 4x        =  −   +  +   dx   x   x −   x +  7 = − ln x + ln x − + ln x + + c 8 b) Phương pháp đổi biến số: ❖ Đổi biến loại 1: Giả sử ta cần tính I=  f (x)dx Ñaët x=u(t)  dx =u / (t).dt  I=  f [u(t)].u / (t).dt Ví dụ1: Tính A =  a − x dx ( a  0)  −   Đặt x = a.sin t , t   ;   dx = a.costdt  2 Ta coù a − x = a − a sin t = a cos2 t = a cost = a cos t 2 2 a a t a a  sin 2t  2 + sin t.cos t + C A =  a cos t.dt =  (1 + cos 2t ).dt =  t + +C =  2  2  A= a x x 2 a − x dx = arcsin   + a  x = a sin t x Vì   t = arcsin   ; cos t = 2 a   a − x = a cos t a2 − x2 + C a2 − x2 a Ví dụ2: Tính B =   − Đặt x = tan t , t    Ta coù = x2 + ( (x  +4 ) dx ( )  dx = + tan t dt  2 1 = 2 2 tan t + 16 + tan t ; ) ( ) ( ( ) ) 1 B= + tan t dt =  dt =  cos tdt 2 + tan t 16 + tan t ( ) ( 1  sin 2t B=  (1 + cos 2t ) dx = t + 16 16  ) x   + C ; t = arctan    ❖ Đổi biến loại 2: Giả sử ta cần tính I=  f u(x).u ( x ).dx / Đặt t=u(x)  dt =u / (x).dx  I=  f (t).dt Ví dụ1: Tính tích phân bất định sau: A=  esin x cosx.dx Đặt t = sinx  dt = cos x.dx A =  e dt = e + c = e t t sinx +c Có thể giải sau: A=  esin x cosx.dx = e sin x d (sin x ) = e sinx +c Ví dụ 2: dx Tính: a)A =  sin x b) B =  ln(arccos x )dx − x  arccos x dx sin xdx sinx dx a) A =  = = 2 sin x sin x − cos x Đặt t = cos x  dt = − sinx.dx  −dt = sinx.dx dt cos x − 1  dt dt  t − A = − = ln + c = ln +c − =    1− t cos x +  t −1 t +1  t +1 −dx b) Đặt t = ln(arccos x )  dt = − x arccos x −t B =  −tdt = + C = − ln ( arccos x ) + C 2 Ví dụ 3: dx Tính I =  3sin x + 4cos x + Đặt t = tan( x / 2), x  ( − ,  ) dt  x = 2.arctant  dx = 2 1+ t 2t 1− t Do sin x = ,cos x = 1+ t + t2 dt dt Ta coù: I =  2 = 2 6t + 4(1 − t ) + 5(1 + t ) t + 6t + dt −2 −2 = 2 +C = +C = (t + 3) tan( x / 2) + t +3 Tính I =  cos3 x  sin8 xdx Ví dụ 4: Đổi biến: t = sin x  dt = cos xdx ( ) I =  cos x  sin x ( cos xdx ) =  − sin x sin x ( cos xdx ) =  (1 − t )t dt 11 t t = − +C 11 11 sin x sin x = − +C 11 Ví dụ 5: Biến đổi: ( )  A px + qx + r + B mx + k Daïng:  dx =  dx px + qx + r px + qx + r (Với px + qx + r vô nghiệm) Ví dụ6: 4x + I = dx x + 4x + c) Phương pháp tích phân phần: Cho hàm khả vi u=u(x) v=v(x) Nếu u / v có nguyên hàm thì:  udv = uv −  vdu  ln ( ax )  ln ( ax ) Chú ý:    arcsin ax ( ) arcsin ( ax )   Đặt   Pn ( x ) arccos ( ax ) dx ⎯⎯→ u = arccos ( ax ) ; dv = Pn ( x )dx    arctan( ax )  arctan( ax )   e ax     Pn (x) sinax .dx  cosax    u = Pn ( x ) ⎯⎯→  dv = Phaàn lại Đặt ax sin bx    u = e ax Đặt e dx ⎯⎯→ (Có thể đặt ngược lại)   cos bx  dv = Phần còøn lại Ví dụ 1: Tính I =  x ln xdx dx  du = x u = ln x Đặt:   dv = x dx x  v =  3 3 x x x  I = ln x −  dx = ln x −  x dx 3 x 3 3 x  1 x x = ln x − + c =  ln x −  + c 3 3 3 u = ln x Tổng quát: I =  x ln xdx với k  Z → Đặt:  k dv = x dx  k Ví dụ 2: I =  x e dx x u = x  x dv = e dx  Đặt I = x 2e x −  xe x dx = x e − A x du = xdx  x v = e  (1) Tính riêng: A =  xe x dx Đặt :u = x  du = dx; dv = e x dx  v = e x  A = xe −  e dx = xe − e + C1 = ( x − 1) e + C1 x x x Thế (2) vào (1) được: ( ) I = x − 2x + e + C x x x ( 2) Ví dụ 3: I =  e cos xdx x u = e x Đặt  dv = cos xdx du = e x dx  v = sin x I = e x sin x −  e x sin xdx = e x sin x − A + 2C (1) Tính riêng: A =  e x sin xdx Đặt :u = e x  du = e x dx; dv = sin xdx  v = − cos x A = −e x cos x +  e x cos xdx = −e x cos x + I Thế (2) vào (1) được: I = e x sin x + e x cos x − I + 2C x  I = e (sin x + cos x) + C (2)