Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 263 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BÀI TÍCH PHÂN I LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục khoảng K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số F ( b ) − F ( a ) gọi tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu b ∫ f ( x ) dx a Ta gọi: a cận dưới, b cận trên, f hàm số dấu tích phân, f ( x ) dx biểu thức dấu tích phân, x biến số lấy tích phân Nhận xét : a) Nếu a < b ta gọi b ∫ f ( x ) dx tích phân f đoạn [ a; b ] a b) Hiệu số F ( b ) − F ( a ) cịn kí hiệu F ( x ) ba Khi : b x )dx ∫ f (= F (= x ) ba F ( b ) − F ( a ) a c) Tích phân khơng phụ thuộc biến số (điều mang lại lợi ích cho ta để tính số tích phân đặc biệt), tức b ∫ f ( x )dx= a Tính chất: Cho k số b ∫ f ( t )dt= a b a ) ∫ f ( x)dx = b) ∫ f ( x)dx = − a c) ∫ k f ( x)dx = k a ∫ f ( u )du= a b ∫ .= F ( b ) − F ( a ) a a b b a ∫ f ( x)dx b b d ) ∫ [ f ( x) + g ( x) ]dx = f ( x)dx a a b e) Tính chất chèn cận: ∫= f ( x)dx a c b a c ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx b ∫ a b f ( x)dx + ∫ g ( x)dx a (chèn cận c ) Page 43 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN II DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN Câu 1: Tính tích phân sau: x dx b) I ∫= = a) I dx c) I ∫1= x π ln 2 x dx d) I ∫= ∫ sin xdx Câu 2: Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = e Tính F ( 2ln ) − F ( ln ) Câu 3: Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = Câu 4: Chứng minh F ( x ) = ln x + x + nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ) ( 1 thỏa điều kiện F (1) = Tính F ( e ) x x2 + Từ tính tích phân I = ∫ dx x2 + 1 ax + b Chứng minh F ( x ) = nguyên hàm hàm số ln ad − bc cx + d Câu 5: f ( x) = Từ tính tích phân I = ( ax + b )( cx + d ) DẠNG 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN Câu 6: Tính tích phân sau: x 1 b) I = ∫1 − x dx x Câu 7: Tính= I ∫e Câu 8: Tính I = x π a) I = ∫ ( x − e ) dx ∫ ( x + 1)( x + 1)dx c) I = ∫ ( sin x + 2cos x )dx ln xdx + ∫ et (1 − ln t ) dt π π t u u sin ln t d t + ∫π ∫π sin lnu − sin du DẠNG 3: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHÈN CẬN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối b a) Yêu cầu: Tính tích phân I = ∫ f ( x) dx a b) Phương pháp: + Bước 1: Xét dấu f ( x ) khoảng ( a; b ) - Giải phương trình f ( x ) = ⇔ x = xi ∈ ( a; b ) Lập bảng xét dấu f ( x ) khoảng ( a; b ) + Bước 2: Chèn cận xi đồng thời bỏ dấu = I (căn vào BXD) ta tích phân b xi b a a xi f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ∫= Chú ý: Nếu f ( x ) không đổi dấu đoạn [ a= ; b ] I b f ( x ) dx ∫= a Câu 9: b ∫ f ( x ) dx a Tính tích phân: Page 44 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN a) I = ∫ x − dx b) I = I Câu 10: Tính= π ∫ ∫x − x dx 2 c) ∫ x + x − dx d ) ∫ x − x + dx −4 −2 − cos x dx π − sin x dx Tích phân hàm min, max Câu 11: Tính I = ∫ b b a) Yêu cầu: Tính tích phân I = ∫ { f ( x ) ;g ( x )} dx ; I = ∫ max { f ( x ) ;g ( x )} dx a a b b a a b) Phương pháp: Tính I = ∫ { f ( x ) ;g ( x )} dx ( I = ∫ max { f ( x ) ;g ( x )} dx tương tự) + Bước 1: Xét dấu f ( x) − g ( x ) khoảng ( a; b ) - Giải phương trình f ( x) − g ( x ) = ⇔ x = xi ∈ ( a; b ) Lập bảng xét dấu f ( x) − g ( x ) khoảng ( a; b ) + Bước 2: Chèn cận xi chọn hàm { f ( x ) ;g ( x )} sau: - Nếu f ( x ) − g ( x ) > khoảng K { f ( x ) ;g ( x )} = g ( x ) - Nếu f ( x ) − g ( x ) < khoảng K { f ( x ) ;g ( x )} = f ( x ) Từ đó, ta tích phân { } Câu 12: Tính I = ∫ x; x dx Câu 13: Tính I = ∫ max {e x ; x }dx −1 Tích phân hàm số xác định khoảng Câu 14: Cho hàm = số y Tính I = x x ≥ f= x Biết hàm số f liên tục ( ) x x − ≤ ∫ f ( x ) −1 ( x − 1) Câu 15: Cho hàm = số y f= ( x) x 2 − Tính I = x ≥ x ≤ Biết hàm số f liên tục ∫ f ( x ) dx −2 Câu 16: Cho hàm = số y − ( x + 1) x ≤ f= x Xác định k để ( ) k x x − ≥ ) ( ∫ f ( x ) dx = −1 Page 45 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỘT SỐ DẠNG KHÁC 5 Câu 17: Cho= ∫ f ( x ) dx 3,= ∫ f ( x ) dx Tính I = ∫ f ( x ) dx Câu 18: Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) 3 = f ( x ) dx 12, = f ( x ) dx F ( ) = Tính F ( ) Biết ∫ ∫ Câu 19: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ 0;10] thỏa mãn trị biểu= thức P 10 10 ∫ f ( x ) dx = ; ∫ f ( x ) dx = Tính giá ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx DẠNG 4: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN VÀO CÁC BÀI TỐN KHÁC Câu 20: Cho hàm số g ( x ) = x2 ∫ t sin tdt xác định với x > Tìm g ′ ( x ) x Câu 21: Cho hàm số g ( x ) = 3x t −1 dt Tìm g ′ ( x ) + 2x ∫t x Câu 22: Cho hàm số f số thực a > thỏa mãn điều kiện: ∫ a Tìm a f f (t ) dt + = x với x > t2 DẠNG 5: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN b Yêu cầu : Tính tích phân I = ∫ f1 ( x ) f ( x ) dx a Phương pháp: b + Biến đổi dạng I = ∫ f u ( x ) u ′ ( x ) dx a + Đặt t= u ( x ) ⇒ dt= u ′ ( x ) dx + Đổi cận: x = a ⇒ t = u ( a ) = t1 ; x = b ⇒ t = u ( b ) = t + Khi đó: I = t2 ∫ f ( t ) dt tính phân đơn giản t1 Một số dấu hiệu cách chọn t = u ( x ) Dấu hiệu Cách chọn t Hàm số chứa mẫu số t mẫu số ( Hàm số chứa f x, u ( x) ) t căn: t = u ( x) Hàm số có dạng [ f ( x) ] (xấu)lũy thừa t biểu thức (xấu) lũy thừa, t = f ( x) Hàm số lượng giác có góc xấu t góc xấu Hàm số mũ, mà mũ xấu t mũ xấu Hàm số log u mà u xấu t =u n Page 46 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Hàm số f ( x) = Hàm f ( x) = a sin x + b cos x x = t tan c sin x + d cos x + e + Với x + a > ∧ x + b > , đặt ( x + a )( x + b ) Tổng quát đặt t = x cos ≠ t= x+a + x+a + x+b + Với x + a < ∧ x + b < , đặt x+b t = − ( x + a) + − ( x + b) R(cos x).sin xdx (theo biến cos x ) Đặt t = cos x R(sin x).cos xdx (theo biến sin x ) Đặt t = sin x dx cos x R (cot x) dx sin x Đặt t = tan x (theo biến tan x ) R(tan x) Đặt t = cot x (theo biến cot x ) x x Hàm có e , a x = t e= , t ax Đặt Hàm số vừa có ln x vừa có Đặt t = ln x x Câu 23: Tính tích phân sau 2 3x + dx a) ∫ x +x b) π2 ∫ π2 π sin x ( ) c) ∫ (1 + sin x ) e x −cos x dx x + dx 1 4x + d) ∫ dx ( x + x + 1) 2017 f ) ∫ ( x + 1)( x − 1) e) ∫ x x + 4dx π π π e tan x g) ∫ x h d ) sin x.cos xdx ∫ cos x 0 Câu 24: Tính tính phân sau (Đặt giảm bậc) 2x x2 −1 a ) ∫ dx b) ∫ dx x −1 x3 − x −9 Tích phân có sẵn dạng f ( u ( x ) ) Câu 25: Chứng minh I= x2 ∫ x cos x dx x x x + cos sin i) ∫ ) f ( ax + b )dx= x1 Câu 26: Cho hàm số f ( x ) liên tục Câu 27: Cho hàm số f ( x ) liên tục ax + b f ( x ) dx , với a ≠ a ax1∫+b 3 = I ∫ f ( x + 1) dx ∫ f ( x )dx = Tính ∫ f (1 − x )dx = Tính I = Câu 28: Cho hàm số f ( x ) liên tục ∫ Câu 29: Cho ∫ −1 ∫ f ( x ) dx −7 f ( x − 1)dx = Tính = I 1 dx ( 2017 ∫ f ( − x ) dx −6 π f ( x )dx = Tính I = ∫ f ( cos x ) sin x cos xdx Page 47 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Tích phân với hàm số chẵn lẻ + Hàm số y = f ( x ) hàm số chẵn đoạn [ −a; a ] chi ∀x ∈ [ −a; a ] ta có: f ( x) − x ∈ [ −a; a ] f ( − x ) = + Hàm số y = f ( x ) hàm số lẻ đoạn [ −a; a ] chi ∀x ∈ [ −a; a ] ta có: − f ( x) − x ∈ [ −a; a ] f ( − x ) = + Ta thay đoạn [ −a; a ] tập đối xứng định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ Câu 30: Cho f ( x ) hàm số chẵn, liên tục đoạn [ −a; a ] Chứng minh rằng: a a −a ∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx Câu 31: Cho f ( x ) hàm số chẵn, liên tục đoạn [ −a; a ] Chứng minh rằng: = I f ( x) dx ∫−= bx +1 a a a ∫ f ( x ) dx , với a > , b > Câu 32: Tính tích phân I = x2 ∫−1 x + dx π cos x dx x +1 ∫π e Câu 33: Tính tích phân I = − π Câu 34: Biết hàm số= y f x + hàm số chẵn 2 π π − ; f ( x ) + π f x + = sin x + cos x 2 π Tính I = ∫ f ( x ) dx Câu 35: Cho f ( x ) hàm số lẻ, liên tục đoạn [ −a; a ] Chứng minh rằng: a ∫ f ( x ) dx = −a Câu 36: Tính tích= phân I x 1+ x ∫ cos x + sin sin x ln − x dx 2π − Câu 37: Tính tích phân I = ∫ sin ( sin x + mx ) dx , với m ∈ Một số kiểu đổi biến đặc biệt Câu 38: Cho f ( x ) hàm số liên tục [ 0;1] Chứng minh rằng: I = π π 2 f ( sin x ) dx ∫= Câu 39: Tính= tích phân I π ∫ f ( cos x ) dx ∫ cos ( sin x ) − tan ( cos x ) dx 2 π sin 2017 x.cos x Câu 40: Tính I = ∫ 2016 dx sin x + cos 2016 x Câu 41: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ −1;1] Chứng minh = I π xf ( sin x ) dx ∫= π π ∫0 f ( sin x ) dx Page 48 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN π x sin x dx + sin x Câu 42: Tính I = ∫ ; g ( ) = ; g ( −1) = Câu 43: Cho f ( x ) , g ( x ) hàm số liên tục f ( ) = ; f ( −1) = Tính I = ∫ f ′ ( x) g ( x) − f ( x) g′ ( x) dx f ( x ) + g ( x ) x ) x5 + x Biết f ( ) = Tính f ( ) Câu 44: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( x ) f ′ (= −1 DẠNG 6: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN b Yêu cầu: Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx a Phương pháp: Đặt x= ϕ ( t ) ⇒ dx= ϕ ′ ( t ) dt + Đổi cận: x = a ⇒ t = t1 ; x = b ⇒ t = t2 t2 + Khi đó: I = ∫ f ϕ ( t ) ϕ ′ ( t ) dt t1 Một số cách đổi biển cần nhớ: π π + a + ( bx + c ) : = bx + c a tan t , t ∈ − ; 2 π π a − ( bx + c ) : = bx + c a sin t , t ∈ − ; 2 a π π + ( bx + c ) − a : bx = +c , t ∈ − ; \ {0} sin t 2 x2 + a ( x+ x b ∆< 0, a > 2a 1 dx = = + Nhớ: ∫ ∫ b 2 −∆ ax + bx + c x1 x1 a x + + 2a 4a −∆ ) = tan t 4a t2 ∫ t1 a dt −∆ Câu 45: Tính tích phân sau: a) I d) I = 1 dx b) I ∫0 = + x2 dx c) I ∫0= x +3 1 x ∫0 x8 + dx g) I = ∫ x − x dx e) I = ∫ − x dx f )I = ∫ 4x ∫ dx + 4x + −4 x + x + 1dx h) I = ∫2 x x − dx Page 49 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN DẠNG 7: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN Cơng thức phần: b ∫ u ( x ) v′ ( x ) dx =u ( x ) v ( x ) a b Viết gọn: udv ( uv ) ∫= a b a b a b − ∫ v ( x ) u ′ ( x ) dx a b − ∫ vdu a b Áp dụng: Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx a Phương pháp: b + Bước 1: Biến đổi I = ∫ f1 ( x ) f ( x ) dx a du = f1′( x ) dx u = f1 ( x ) ⇒ (Chọn dv cho v dễ lấy nguyên hàm) = ( x ) dx v ∫ f ( x ) dx dv f= + Bước 2: Đặt I = + Bước 3: Khi b b ( uv ) a − ∫ vdu a ● Dạng I = ∫ P ( x ) sin ( ax + b ) dx , P ( x ) đa thức du = P′ ( x ) dx u = P ( x ) ⇒ Với dạng này, ta đặt = − cos ( ax + b ) dv sin ( ax + b ) dx v = a ● Dạng I ∫ P ( x ) cos ( ax + b ) dx , P ( x ) đa thức = du = P′ ( x ) dx u = P ( x ) ⇒ Với dạng này, ta đặt = x v sin ( ax + b ) dv cos ( ax + b ) d= a ax + b ● Dạng I = ∫ P ( x ) e dx , P ( x ) đa thức du = P′ ( x ) dx u =P ( x ) ⇒ Với dạng này, ta đặt ax +b ax + b dv = e dx v = e a ● Dạng I = ∫ P ( x ) ln g ( x ) dx , P ( x ) đa thức u = ln g ( x ) Với dạng này, ta đặt dv = P ( x ) dx sin x x ● Dạng I = ∫ e dx cos x sin x u = Với dạng này, ta đặt cos x x dv = e dx Câu 46: Tính tích phân sau: = a) I e ln π π 2 0 cos xdx x ln xdx b) I ∫= xe dx c) I ∫ x= d )I ∫ e ∫= Câu 47: Tính các= tích phân sau: a ) I x x e x dx b) I ∫= x sin xdx π ∫x cos xdx Page 50 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN π Câu 48: Tính tích phân I = ∫ x sin xdx Câu 49: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ a; b ] Chứng minh rằng: b x I= f ( b ) eb − f ( a ) e a ∫ f ′ ( x ) + f ( x ) e dx = a Câu 50: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ −1;1] thỏa f ( x + 1) − f ( x )= x − x3 − Tính I = a) I = ∫ −1 Câu 51: Tính tích phân 1 π2 x e dx b) I ∫= f ′ ( x ) − ln f ( x ) dx 2x xdx c) I = ∫ sin x2 0 ln x.ln ( ln x ) dx ∫e x ee π Câu 52: Tính tích phân I = ∫ Câu 53: Tính tích phân I = x sin x dx cos x ln ∫ Câu 54: Chứng minh rằng:= I xe x ex + dx 2 ∫ x x + 1d=x 1 − + x x 2 1d ∫0 4 π x2 Câu 55: Tính I = ∫ ( x sin x + cos x ) dx Câu 56: Cho hàm số f ( x ) có nguyên hàm F ( x ) đoạn [1; 2] , biết F ( ) = Tính= I ∫ F ( x ) dx = ∫ ( x − 1) f ( x ) dx π sin 2017 x Câu 57: Cho f ( x ) = Tính I = ∫0 xf ′ ( x ) dx sin 2017 x + cos 2017 x DẠNG KỸ THUẬT TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN HÀM ẨN Câu 58: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ∫ x f ′ ( x ) e f ( x) f x dx = f ( 3) = ln Tính I = ∫ e ( ) dx π π Câu 59: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục 0; , thỏa mãn 2 ∫ f ' ( x ) cos xdx = 10 f ( ) = π Tích phân ∫ f ( x ) sin xdx Câu 60: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] , thỏa mãn f (1) = ∫ f ( x − 1) dx = Tích phân ∫ x f ' ( x ) dx Page 51 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 61: Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục [ 0; 2] Biết f ( ) = f ( x) f (2 − x) = e x2 − x với x ∈ [ 0; 2] Tính tích phân I = ∫ (x − 3x ) f ' ( x ) f ( x) dx DẠNG TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO TÍNH CHẤT Câu 62: Cho hàm số f ( x ) hàm số lẻ, liên tục [ − 4; ] Biết ∫ f ( − x ) dx = −2 4 Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx ∫ f ( − x ) dx = Câu 63: Cho hàm số f ( x ) hàm số chẵn, liên tục [ −1;6] Biết ∫ f ( x ) dx = −1 ∫ f ( −2 x ) dx = Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx −1 Câu 64: Cho hàm số f ( x ) liên tục [3;7 ] , thỏa mãn f= ( x ) f (10 − x ) với x ∈ [3;7] ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân I = ∫ xf ( x ) dx Câu 65: Cho hàm số y = f ( x ) hàm số chẵn liên tục đoạn [ −π ; π ] , thỏa mãn Giá trị tích phân I = π ∫ f ( x ) dx = 2018 ∫π 2018 − π f ( x) dx x +1 π x sin x πa với a, b ∈ + Tính = P 2a + b d x = ∫0 sin 2018 x + cos2018 x b Câu 66: Biết 2018 DẠNG KỸ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH HÀM π π cos x Tính tích Câu 67: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục − ; thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = 2 π phân I = ∫π f ( x ) dx − Câu 68: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ −2; 2] thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = Tính tích 4+ x phân I = ∫ f ( x ) dx −2 Câu 69: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ 0;1] thỏa mãn x f ( x ) + f (1 − x ) = x − x Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx 1 Câu 70: Cho hàm số f ( x ) liên tục ; thỏa mãn f ( x ) + f 2 f ( x) I =∫ dx x 1 x Tính tích phân = x Page 52 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2 0 ⇒ 3∫ f ( x)dx + ∫ f (2 − x)dx = Đặt t =2 − x ⇒ ∫ 2 x ∫ (2 x − 2)e 2 dx + ∫ dx (1) − x +1 0 2 0 f (2 − x)d( x) =− ∫ f (t )dt =∫ f (t )dt =∫ f ( x)dx (2) 2 Đặt u = x − x + ⇒ du = (2 x − 2)dx ⇒ ∫ (2 x − 2)e x − x +1 dx = 2 Thay (2) (3) vào (1) ⇒ ∫ f ( x)dx = ∫ d= x⇒I 0 x Cách 2: Do f ( x) + f(2 − x)= 2(x − 1) e − x +1 ∫ e du = (3) u ∫ f= ( x)dx Chọn phương án C + 4, ∀x ∈ (1) x Thay x= − x vào (1) ta có: f (2 − x) + f ( x) =−2(x − 1) e − x +1 + 4, ∀x ∈ (2) x − x +1 + 4, ∀x ∈ 3 f ( x) + f(2 − x)= 2(x − 1) e Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: x − x +1 + 4, ∀x ∈ f ( x) + f (2 − x) =−2(x − 1) e x − x +1 + 12 9 f ( x) + 3f(2 − x) = 6(x − 1) e ⇔ −2(x − 1) e x − x +1 + f ( x) + f (2 − x) = 2 ⇒ ∫ f ( x)dx = ∫ ( 2(x − 1) e x − x +1 ⇒ f ( x) =2(x − 1) e x − x +1 +1 ) + dx = DẠNG TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT DẠNG 2.1 TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LẺ VÀ HÀM SỐ CHẴN Nhắc lại kiến thức hàm số lẻ hàm số chẵn: Hàm số y = f ( x ) có miền xác định tập đối xứng D − x ) f ( x ) , ∀x ∈ D ⇒ = y f ( x ) : hàm số chẵn Nếu f (= f ( x ) : hàm số lẻ Nếu f ( − x ) =− f ( x ) , ∀x ∈ D ⇒ y = cos x, sin ( − x ) = − sin x Thường gặp cung góc đối cos ( − x ) = Nếu hàm số f ( x ) liên tục lẻ [ −a; a ] a ∫ f ( x ).dx = −a a a ∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx − a Nếu hàm số f ( x ) liên tục chẵn [ −a; a ] a α f ( x ) dx = f x dx ∫0 ( ) ∫ bx +1 − a Do kết khơng có SGK nên mặt thực hành, ta làm theo bước sau: Page 52 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN a a −a −a Bước Phân tích: I = A+ B ∫ f ( x ).dx = ∫ f ( x ).dx + ∫ f ( x ).dx = Bước Tính A = ∫ f ( x ).dx ? cách đổi biến t = − x cần nhớ rằng: tích phân không phụ −a thuộc vào biến, mà phụ thuộc vào giá trị hai cận, chẳng hạn có: 0 3t cos t x cos x dt = ∫−2014 + sin t −2014 ∫ + sin x dx Tích phân hàm số liên tục Nếu hàm số f ( x ) liên tục [ a; b ] b b a a dx ∫ f ( a + b − x ) dx ∫ f ( x )= Nếu hàm số f ( x ) liên tục [ 0;1] π + π 2 f ( sin x ) dx = ∫ f ( cos x ) dx ∫ + π −a ∫ xf ( sin x ) dx = a + 2π − a ∫ π π −a ∫ f ( sin x ) dx 2π − a ∫ a ∫ x f ( sin x ) dx = a xf ( cos x ) dx = π π f ( cos x ) dx 2π ∫ π π ∫ f ( sin x ) dx x f ( cos x ) dx = π a → Về mặt thực hành, đặt x= 2π ∫ f ( cos x ) dx cận + cận − t ( x = a + b − t ) Từ tạo tích phân xoay vịng, giải phương trình bậc với ẩn I Nếu hàm số f ( x ) liên tục tuần hồn với chu kỳ T a +T ∫ a T nT 0 f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ∫ T f ( x ) dx = n ∫ f ( x ) dx f ( x) Lưu ý: Hàm số f ( x ) có chu kỳ T f ( x + T ) = → Về mặt thực hành, ta làm theo bước sau: Bước Tách: I = a +T ∫ a T A Bước Tính C = a +T f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ( i ) a T B C a +T ∫ f ( x ) dx ? T a +T a x = t = Đặt x =t + T ⇒ dx =dt Đổi cận: Khi đó: ⇒ = x T= t Page 53 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN a 0 a a C= − ∫ f ( t ) dt = − ∫ f ( x ) dx = − A ( ii ) ∫ f ( t + T ) dt = Thế ( i ) vào ( ii ) ta được: I= B= T ∫ f ( x ) dx Câu 89: Cho f ( x ) hàm số chẵn đoạn [ −a; a ] k > Giá trị tích phân a f ( x) ∫ 1+ e −a a f ( x ) dx ∫ A B a ∫ a D ∫ f ( x ) dx −a −a dx a C ∫ f ( x ) dx f ( x ) dx kx Lời giải a f ( x) Ta có ∫= dx kx e + −a a f ( x) f ( x) x d + ∫− a + ekx ∫0 + ekx dx f ( x) ∫ 1+ e Xét tích phân −a kx dx Đặt t =− x ⇔ x =−t ⇒ dt = −dx ⇔ −dt = dx Đổi cận: x =−a ⇒ t =a x= 0⇒t = Khi đó, f ( x) dx ∫− a= + e kx = () ∫ + e ( ) ( − dt ) = ∫ + e f ( −t ) k −t a e kt f ( t ) = ∫0 + ekt dx a f t − kt e kx f ( x ) ∫0 + ekx dx f ( x) Do đó,= ∫− a + ekx dx a f ( x) e kx f ( x ) = ∫0 + ekx dx + ∫0 + ekx dx a f ( x ) , f ( − x ) liên tục Câu 90: Cho f ( x ) dx ∫= −2 A m = dt a a = I a π m Khi giá trị B m = 20 m ( e + 1) f ( x ) dx f x dx = ∫ 1+ e ∫ ( ) a kx a kx thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) =2 x +4 Biết C m = Lời giải D m = 10 Hàm số f ( x ) , f ( − x ) liên tục thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) =2 x +4 nên ta có: Page 54 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 2 dx ∫−2 ( f ( x ) + f ( − x ) ) dx = ∫−2 x + (1) 2 −2 −2 −2 ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( − x ) dx ∫ ( f ( x ) + f ( − x )= Đặt= K Đặt − x =t ⇒ dx =−dt ; f ( − x ) =f ( t ) , x =−2 ⇒ t =2; x =2 ⇒ t =−2 Do f ( − x )= dx ∫ −2 −2 f ( t ) ( −= dt ) ∫ ∫ 2 ∫ f ( x ) dx f ( t= ) dt −2 −2 2 2 −2 −2 −2 −2 −2 = ⇒ K ∫ f ( x ) dx + ∫ f (= − x ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f= ( x ) dx ∫ f ( x ) dx Đặt J = ∫x −2 π π dx ; x = tan α , α ∈ − ; , +4 2 2dα = (1 + tan α ) dα cos α Ta có: dx = d ( tan α= ) Với x =−2 ⇒ α =− π Do = J ( 2) ∫π − π ; Với x =2 ⇒ α = π π (1 + tan α ) = dα tan α + π dα π = α ∫= π 2 π − − ( 3) 4 2 π π Từ ( ) , ( ) ( ) , ta có K = J ⇒ ∫ f ( x ) dx = ⇒ ∫ f ( x ) dx = −2 Mà theo giả thiết, I = f ( x ) dx ∫= −2 Chú ý: Có thể tính nhanh ∫x −2 π m 20 −2 nên π = π ⇒ m = 20 m 20 dx dx x công thức: = arctan + C 2 ∫ +4 x +a a a dx x Từ đó:= arctan + C ∫ x +4 ⇒ 2 2 dx x 1 π π π arctan = arctan1 − arctan ( −1= ) ) − − = ( ∫−2 x += 2 −2 2 Câu 91: Cho hàm số y = f ( x ) hàm lẻ liên tục [ −4; 4] biết ∫ −2 f ( − x ) dx = ∫ f ( −2 x ) dx = 4 Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = −10 B I = −6 C I = Lời giải D I = 10 Page 55 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Xét tích phân ∫ f ( − x ) dx = −2 t ⇒ dx = −dt Đặt − x = Đổi cận: x = −2 t = ; x = t = ∫ −2 2 0 2 f ( − x ) dx = − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt ⇒ ∫ f ( t ) dt = ⇒ ∫ f ( x ) dx = − f ( 2x) Do hàm số y = f ( x ) hàm số lẻ nên f ( −2 x ) = Do ∫ 2 1 −4 f ( −2 x ) dx = − ∫ f ( x ) d x ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx Xét 1 Đặt 2x = t ⇒ dx = dt Đổi cận: x = t = ; x = t = ∫ f ( x ) dx = 4 f ( t ) dt = −4 ∫2 −8 ⇒ ∫ f ( t ) dt = −8 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 2 Do I = ∫= f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =2 − =−6 Câu 92: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ − ln 2;ln 2] thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) =x1 e +1 ln ) dx ∫ f ( x= Biết a ln + b ln ( a; b ∈ ) Tính P= a + b − ln A P = B P = −2 Gọi I = C P = −1 D P = Lời giải ln ∫ f ( x ) dx − ln Đặt t = − x ⇒ dt = −dx Đổi cận: Với x = − ln ⇒ t = ln ; Với x = ln ⇒ t = − ln − ln ln ln ln − ln − ln Ta I = − ∫ f ( −= t ) dt 2I Khi ta có:= ln ∫ − ln Xét t ) dt ∫ f ( − x ) dx ∫ f ( −= f ( x ) dx + ln ∫ − ln ln f ( − x ) dx = = ∫ f ( x ) + f ( − x ) dx = − ln ln dx e +1 − ln ∫ x ln dx Đặt u = e x ⇒ du = e x dx e +1 − ln ∫ x Page 56 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Đổi cận: Với x = − ln ⇒ u = ; x = ln ⇒ u = Ta ln ln ln 1 ex d x = du d = x x ∫ ∫ ∫ x x e +1 u u + 1) − ln − ln ( − ln e ( e + 1) ln 1 − du = u u + − ln ∫ = ( ln u − ln u + ) = ln 2 Vậy ta có a = , b = ⇒ a + b = 2 Câu 93: Cho y = f ( x ) hàm số chẵn liên tục Biết = ∫ f ( x ) dx 2 = f ( x ) dx Giá trị ∫1 f ( x) dx x +1 ∫3 −2 A Do ∫ C Lời giải B f ( x ) dx = 2 1 f x d x = ⇒ ∫ f ( x ) dx = ( ) ∫0 f ( x ) dx = ∫1 ⇒ ∫ f ( x ) dx + ∫ = f ( x ) dx f ( x) Mặt khác ∫ x dx = +1 −2 D f ( x ) dx ∫= f ( x) f ( x) ∫−2 3x + dx + ∫0 3x + dx y = f ( x ) hàm số chẵn, liên tục ⇒ f ( −= x ) f ( x ) ∀x ∈ Xét I = −2 = ⇒I ⇒ f ( x) dx Đặt t =− x ⇒ dx =− dt x +1 ∫3 f ( −t ) f ( x) − = d x x ∫2 3−t + dt = ∫−2 + ∫ t x f ( −t ) dt = ∫ tf ( t ) dt = ∫ xf ( x ) dx +1 +1 0 +1 t 2 x 2 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) ( 3x + 1) f ( x ) dx = d x = x x d + d = x + x = d d ∫ 3x + ∫ 3x + ∫0 3x + ∫0 3x + ∫0 3x + ∫0 3x + −2 −2 2 ∫ f ( x ) dx = Câu 94: Hàm số f ( x ) hàm số chẵn liên tục A I = 10 B I = 10 ∫ f ( x ) dx = 10 Tính I = C I = 20 f ( x) ∫2 −2 x +1 dx D I = Lời giải Page 57 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Đặt t = − x ⇒ dt = −dx Đổi cận: x =−2 ⇒ t =2 , x =2 ⇒ t =−2 2 f (t ) 2t 2x f ( t ) dt = ∫ x f ( x ) dx I = ∫ −t dt = ∫ t +1 +1 +1 −2 −2 −2 2 f ( x) 2x + f x x d = ⇒ 2I = x f ( x ) dx d ∫−2 x + −∫2 x + ( ) −∫= ∫ −2 f ( x ) dx + ∫= f ( x ) dx 0 ∫ f ( x ) dx + 10 −2 f ( x) Mặt khác f ( x ) hàm số chẵn nên f ( − x ) = Xét J = ∫ f ( x ) dx , đặt t =− x ⇒ dt =−dx −2 ∫ ⇒ J= f ( −t )= dt ∫ f= ( − x ) dx f ( x ) dx ∫= 0 10 ⇒ I = 20 ⇒ I = 10 Câu 95: Cho hàm số y = f ( x ) hàm số chẵn, liên tục đoạn [ −1;1] ∫ f ( x ) dx = Kết −1 f ( x) ∫ + 2018x dx −1 A C Lời giải B Xét tích phân f ( x) ∫ + 2018 −1 x D dx Đặt x = −t ; dx = −dt ; x =−1 ⇒ t =1 ; x =1 ⇒ t =−1 1 −1 f (t ) 2018t f ( t ) f ( −t ) f ( x) dt = = = dx − dt ∫−1 + 2018t dt = ∫1 + 2018−t −∫1 ∫−1 + 2018x 1+ 2018t Vậy f ( x) ∫−1 + 2018x dx + Do 2018 x f ( x ) ∫ + 2018x dx = −1 1 ∫ f ( x ) dx 2018 x f ( x ) ∫−1 + 2018x dx = −1 f ( x) ∫−1 + 2018x dx = = Câu 96: Tích phân x 2020 2a Tính tổng S= a + b d x = ∫ ex + b −2 B S = 2021 A S = Chọn D C S = 2020 Lời giải D S = 4042 x 2020 Xét I = ∫ x dx e +1 −2 Đặt x =−t ⇒ dx =−dt Đổi cận x =−2 ⇒ t =2; x =2 ⇒ t =−2 Ta = I −2 ∫ ( −t ) 2020 e−t + = ( −dt ) t 2020 dt ∫−2 = +1 et t 2020 et dt ∫−2 et += x 2020 e x ∫−2 e x + dx 2 x 2020 x 2020 e x x 2021 2020 dx = ∫ x dx = = Suy I = I + I = ∫ x dx + ∫ x e +1 e +1 2021 −2 −2 −2 −2 2 2021 − ( −2 ) 2021 2021 22022 = 2021 Page 58 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 22021 Do I = Suy a= b= 2021 Vậy S = a + b = 4042 2021 Câu 97: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ − ln 2;ln 2] thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) =x1 e +1 ln a ln + b ln 3, ( a, b ∈ ) Tính P= ∫ f ( x ) dx = Biết a+b − ln B P = A P = −2 C P = −1 D P = Lời giải Chọn B Từ giả thiết suy ln ∫ − ln Ta có ln ∫ − ln ln f ( x ) + f ( − x ) dx = ∫ e x + dx − ln ln = dx x ∫ e +1 − ln ln ln − ln − ln ) d (−x) ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( − x = = x ) dx f ( x ) + f ( − Mặt khác ln ln = d (ex ) ∫ x x + e e ) − ln ( ln ∫ f ( x ) dx − ln ln 1 x e x − e x + d ( e ) − ln ∫ ln ln 1 ln d ( e x + 1) = x − ln − ln ( e x + 1) = ∫ x d (ex ) − ∫ x = ln + ln − ln + ln = ln − ln e e +1 − ln − ln Suy ln 1 ∫ f ( x ) dx = ln ⇒ a = , b = ⇒ a + b = − ln Câu 98: Cho f ( x ) hàm số chẵn ∫ f ( x ) dx = Giá trị tích phân 2019 B C f ( x) ∫ + 2019 −1 A x dx D Lời giải Chọn B I= f ( x) ∫ + 2019 −1 x dx Đặt t = − x → −dt = dx Cận x t -1 1 -1 Page 59 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 2019t f ( t ) f ( −t ) f (t ) I= dt == −∫ ∫ + 2019t dt −∫1 + 2019t dt + 2019 − t −1 2019t 1 f ( t ) (1 + 2019t ) 2019t f ( t ) f (t ) dt + ∫ = dt ∫ dt = ⇒ 2I ∫ + 2019t + 2019t + 2019t −1 −1 −1 −1 1 −1 ∫ f ( t ) dt = 2∫ f ( t ) dt = ⇒ 2I = 2.2 ⇒ I = DẠNG 2.2 TÍCH PHÂN CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI b Tính tích phân: I = ∫ f ( x ) dx ? a Bước Xét dấu f ( x ) đoạn [ a; b ] Giả sử đoạn [ a; b ] phương trình f ( x ) = có nghiệm xo ∈ [ a; b ] có bảng xét dấu sau: x a xo + f ( x) b − Bước Dựa vào công thức phân đoạn dấu [ a; xo ] , [ xo ; b ] ta được: b xo b a a xo I =∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ − f ( x ) dx = A + B Sử dụng phương pháp tính tích phân học tính A, B ⇒ I Câu 99: Cho a số thực dương, tính tích phân a I = ∫ x dx theo a −1 2 a +1 A I = −2a + C I = a +2 B I = D I = Lời giải 3a − Chọn A a a2 + a2 Vì a > nên I = − ∫ x dx + ∫ x dx =+ = 2 −1 Câu 100: Cho số thực m > thỏa mãn m Khẳng định sau đúng? ∫ 2mx − dx = A m ∈ ( 4;6 ) B m ∈ ( 2; ) C m ∈ ( 3;5 ) D m ∈ (1;3) Lời giải Do m > ⇒ 2m > ⇒ < Do với m > 1, x ∈ [1; m ] ⇒ 2mx − > 2m Vậy m ∫ 2mx − dx = m ∫ ( 2mx − 1) dx = ( mx − x) m = m3 − m − m + = m3 − 2m + Page 60 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN m = Từ theo ta có m − 2m + = ⇔ m = ± Câu 101: Cho tích phân ∫ Do m > m = x−2 dx = a + b ln + c ln với a, b, c số nguyên Tính P = abc x +1 A P = −36 B P = C P = −18 Lời giải D P = 18 Chọn A Ta có ∫ x−2 x−2 x−2 dx = −∫ dx + ∫ dx x +1 x + x + 1 2 = − ∫ 1 − dx + ∫ 1 − dx x +1 x +1 1 2 = − ( x − 3ln x + ) + ( x − 3ln x + ) =− ( − 3ln 3) + − 3ln + − 3ln − + 3ln = − ln + 3ln Vậy a = 2, b = P= abc = −6, c =⇒ −36 ∫2 Câu 102: Tính tích phân = I x − 2− x dx −1 A ln B ln D C ln ln Lời giải = I ∫2 x − 2− x dx ta có x − 2− x = ⇒x= −1 1 ⇒ I =∫ − dx =∫ − dx + ∫ − dx =∫ ( − x −x −1 x −x −1 0 x −x x −1 −x )dx + ∫ ( x − 2− x )dx x + 2− x x + 2− x = + = ln −1 ln ln Câu 103: Cho hàm số = I f ( x ) liên tục có 0 ∫ f ( x ) dx = ; ∫ f ( x ) dx = Tính ∫ f ( x − ) dx −1 A I = B I = C I = Lời giải D I = Chọn D Page 61 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 −1 −1 I= I1 I ∫ f ( x − ) dx =∫ f (1 − x ) dx + ∫ f ( x − 1) dx =+ 2 3 1 = = f t d t = f ( x ) dx d d f x x f x x = − − − ( ) Xét I1 =− ( ) ( ) ( ) ∫−1 ∫0 ∫0 −∫1 Xét I 2= ∫ 1 1 1 f x − d x − ) = )= ( ( f ( t ) dt = f ( x ) dx ∫0 ∫0 ∫1 f ( x − 1) dx= 2 I = I1 + I = Vậy Câu 104: Cho hàm số f ( x) liên tục có A B 11 Ta có 1 −1 −1 0 −1 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = Tính ∫ f ( x − 1)dx C 4 D Lời giải ∫ f ( x − 1)dx= ∫ f ( x − 1)dx + ∫ f ( x − 1)dx 4 = ∫ f (1 − x)dx + ∫ f (4 x − 1)dx= I + J −1 +) Xét = I ∫ f (1 − x)dx −1 Đặt t = −4dx; − x ⇒ dt = Với x =−1 ⇒ t =5; x =1 ⇒ t =0 I= −1 ∫ f (1 − x)dx = ∫ +) Xét = J 5 1 f (t )(− dt ) = ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx = 40 40 ∫ f (4 x − 1)dx Đặt t = x − ⇒ dt = 4dx; Với x = ⇒ t = 3; x = ⇒ t = Page 62 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN J= ∫ f (4 x − 1)dx= Vậy ∫ 3 1 f (t )( dt )= f (t )dt= f ( x)dx= ∫ 40 ∫0 ∫ f ( x − 1)dx = −1 Câu 105: Cho hàm số f ( x ) liên tục thỏa ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = 14 Tính ∫ f ( x + ) dx −2 A 30 + Xét B 32 C 34 Lời giải D 36 ∫ f ( x ) dx = Đặt u = x ⇒ du = 2dx ; x = ⇒ u = ; x =1 ⇒ u =2 Nên = ∫ f ( x ) dx = + Xét 2 f ( u ) du ⇒ ∫ f ( u ) du = ∫0 ∫ f ( x ) dx = 14 Đặt v = x ⇒ dv = 6dx ; x = ⇒ v = ; x = ⇒ v = 12 Nên 14 = ∫ f ( x ) dx = + Xét 12 12 f ( v ) dv ⇒ ∫ f ( v ) dv = 84 ∫0 2 −2 −2 x ∫ f ( x + ) dx + ∫ f ( x + ) dx ∫ f ( x + ) d= = Tính I1 ∫ f ( x + ) dx −2 t x + Đặt= −5dx ; x =−2 ⇒ t =12 ; x = ⇒ t = −5 x + ⇒ dt = Khi −2 < x < , t = 12 −1 1 I1 = = f t d t f t d t − f ( t ) dt = ( ) ( ) ( 84 − 4=) 16 ∫ ∫ ∫ 12 50 Tính = I1 ∫ f ( x + ) dx t x + Đặt= t x + ⇒ dt = 5dx ; x = ⇒ t = 12 ; x = ⇒ t = Khi < x < , = Page 63 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 12 12 1 1 I2 = = f t t d () ( 84 − 4=) 16 ∫ f ( t ) dt − ∫ f ( t ) dt = ∫ 52 50 32 ∫ f ( x + ) dx = Vậy −2 DẠNG 2.3 TÍCH PHÂN NHIỀU HÀM Câu 106: Cho số thực 2 x hàm số f ( x ) = a x − x a ( ) x ≤ x > B 2a + A a − 1 ∫ f ( x ) dx bằng: −1 D 2a − C a + Tính tích phân Lời giải Chọn A ∫ Ta thấy, −1 f ( x ) dx = ∫ −1 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ −1 ( ) xdx + ∫ a x − x dx x x3 1 a =x + a − =−1 + a = − −1 6 0 ( ) e x + m x ≥ Câu 107: Cho hàm số f ( x ) = liên tục + < x x x ∫ f ( x )dx=ae + b + c , ( a, b, c ∈ Q ) Tổng a + b + 3c −1 A 15 B −10 C −19 Lời giải D −17 ( ) f ( x ) lim− x += x2 f ( 0= Ta có lim f ( x ) =lim ( e x + m ) =m + , lim− = ) m +1 x →0 x →0 x → 0+ x → 0+ Vì hàm số cho liên tục nên liên tục x = Suy lim = = f ( x ) lim f ( x ) f ( ) hay m + =0 ⇔ m =−1 x → 0+ Khi ∫ −1 x → 0− 1 −1 −1 f ( x )dx = ∫ x + x dx + ∫ ( e x − 1)dx = ∫ + x d ( + x ) + ∫ ( e x − 1)dx = (3 + x2 ) + x2 −1 + ( e x − x ) =+ e 3− 22 Suy a = , b = , c = − 22 Vậy tổng a + b + 3c =−19 Câu 108: Tính tích phân max e x , e12 x dx Page 64 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN B e − e ( A e − ) C e− e D 1 1 e − 2 e Lời giải Ta có: e x e12 x e12 x x x 12 x x 1 x x Suy ra: max e , e e x x 1 12 x 12 x x 12 x x Do I max e , e dx e dx e dx e 0 ex 1 3 1 13 e e e e3 e e 2 π x x Câu 109: Cho hàm số y f x Tính I f sin x cos xdx f 3 x dx x x 0 A I 71 B I 31 C I 32 D I 32 Lời giải Chọn B π + Xét tích phân: I1 f sin x cos xdx Đặt: t sin x dt cos xdx Đổi cận: với x t , với x π t π 1 0 0 I1 2 f sin x cos xdx 2 f t dt 2 f x dx 2 5 x dx 10 x x + Xét tích phân: I f 3 xdx Đặt: t x dt 2dx dx dt Đổi cận: với x t , với x t Page 65 CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I 3 1 3 f 3 x dx f t dt f x dx 3 1 x 3dx x x 22 2 3 π 0 Vậy: I f sin x cos xdx 3 f 3 xdx 22 31 Page 66