Tai lieu chuyen de phuong trinh duong thang trong khong gian

CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I LÝ THUYẾT I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Vectơ phương đường thẳng   Vectơ a ≠ vectơ phương đường thẳng d giá  vectơ a song song trùng với đường thẳng d Phương trình tham số - Phương trình tắc đường thẳng  Đường thẳng d qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ phương a = ( a1 ; a2 ; a3 ) = x x0 + a1t  y0 + a2t (t ∈ R) (1) + Phương trình tham số đường thẳng d là:  y = =  z z0 + a3t + Phương trình tắc đường thẳng d là: x − x0 y − y0 z − z0 = = d: (2) ( a1 a2 a3 ≠ ) a1 a2 a3 II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG = x x0 / + b1 k  x = x0 + a1t   y y0 + a2t d2 : = Cho hai đường thẳng d1 : = y y0 / + b2 k = = /  z z + a3 t  z z0 + b3 k  Đường thẳng d1 có vectơ phương a = ( a1 ; a2 ; a3 )  Đường thẳng d2 có vectơ phương b = ( b1 ; b2 ; b3 ) Page 117 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Xét vị trí tương đối d1 d2 theo chương trình bản:   Bước 1: Kiểm tra tính phương a b Bước 2: Nhận xét:  d1 / / d2  + Nếu a b phương thì:  d1 ≡ d2   + Nếu a b khơng phương d1 cắt d2 d1 d2 chéo • TH1: d1 cắt d2   Điều kiện 1: a b không phương  x0 + a1t = x′0 + b1 k (1)  Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:  y0 + a2t = y′0 + b2 k (2) (*) có nghiệm (t0 , k0 )  z + a t =z′ + b k (3)  Kết luận: d1 cắt d2 điểm M0 ( x0 + a1t0 ; y0 + a2t0 ; z0 + a3t0 ) Lưu ý: Giải hệ (*) cách: Từ (1) (2) giải ( t0 ; k0 ) thay vào (3) (Nếu (3) thoả ( t ; k ) , ngược lại khơng) 0 • TH2: d1 d2 chéo   Điều kiện 1: a b không phương  x0 + a1t = x0′ + b1 k (1)  Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:  y0 + a2t = y′0 + b2 k (2) (*) vô nghiệm  z + a t =z′ + b k (3)  • TH3: d1 song song với d2   Điều kiện 1: a b phương Điều kiện 2: Chọn điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d1 Cần rõ M0 ∉ d2 • TH4: d1 d2 trùng   Điều kiện 1: a b trùng Điều kiện 2: Chọn điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d1 Cần rõ M0 ∈ d2  Đặc biệt: d1 ⊥ d2 ⇔ a.b =0 ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3 b3 =0 Page 118 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Xét vị trí tương đối d1 d2 theo chương trình nâng cao sơ đồ sau:  - Đường thẳng d có vectơ phương ud vµ M0 ∈ d  / - Đường thẳng d’ có vectơ phương ud/ vµ M0 ∈ d -   Tính ud ; ud′      u ; u ′  =  d d     u ; u  = d d′           ud ; M0 M0′  =   Trùng   u ; u ′  ≠  d d     u ; u  = d d′           ud ; M0 M0′  ≠       u ; u  ≠ d d′           ud ; M0 M0′  =   Song song Cắt     u ; u  ≠ d d′         ≠ 0 ′ u ; M M  d 0    Chéo III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG = x x0 + a1t  Cho đường thẳng: d : = y y0 + a2t mp (α ) : Ax + By + Cz + D = =  z z + a3 t = x x0 + a1t (1)  = y y + a2 t (2) Xé hệ phương trình:  (*)  = z z + a t (3)   Ax + By + Cz + D = (4)  o (*) có nghiệm ⇔ d cắt (α ) o (*) có vơ nghiệm ⇔ d // (α ) o (*) vô số nghiệm ⇔ d ⊂ (α ) Page 119 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG  o Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d qua điểm Mo có vectơ phương u :    M M; u    d (M , d ) =  u o Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng o Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:   d qua điểm M có vectơ phương u d’ qua điểm M’ có vectơ phương u ' là:    u; u ' M M   d ( d , d ') =   u; u '   o Khoảng cách từ đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến đường thẳng V GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG   o Góc hai đường thẳng (d) (d’) có vectơ phương u = ( a; b; c ) u ' = ( a '; b '; c ') φ : cos φ = aa '+ bb '+ cc ' 2 2 a + b + c a' + b' + c' Đặc biệt: (d) ⊥ (d ') ⇔ aa '+ bb '+ cc ' = (0 o ≤ φ ≤ 90 o )  o Góc đường thẳng d có vectơ phương u = ( a; b; c ) mp (α ) có vectơ pháp tuyến  n = ( A; B; C ) là: = sin φ   = cos( n, u) Aa + Bb + Cc A + B2 + C a + b + c (0 o ≤ φ ≤ 90 o ) Page 120 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN II I XÁC ĐỊNH VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp    o Vectơ a ≠ vectơ phương đường thẳng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d   o Nếu a vectơ phương đường thẳng d ka ,( k ≠ 0) vectơ phương d    o Gọi u vectơ phương đường thẳng d Nếu có vectơ a , b khơng phương   u ⊥ a       chọn vectơ phương đường thẳng d u =  a , b  u ⊥ b    u k  a , b  , k ≠ = Ví dụ: Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; −1; ) , B ( 2; 3; 1) , C ( 4; 2; ) ; đường thẳng x =  ∆1 :  y = − 3t ( t ∈ R ) ,  z= + 4t  ∆2 : x −1 y z + == ; −3 mặt phẳng ( P) : x + 3y − z + =0 , (Q) : 3x − z = Tìm vectơ phương đường thẳng sau: 1) Đường thẳng ∆1 2) Đường thẳng d1 qua A song song với ∆ 3) Đường thẳng AB 4) Đường thẳng d2 qua B song song với Oy 5) Đường thẳng d3 qua C vng góc với ( P) 6) Đường thẳng d4 qua B , vng góc với Ox ∆1 7) Đường thẳng d5 ⊂ (Q) qua O vng góc với ∆ 8) Đường thẳng d6 giao tuyến hai mặt phẳng ( P),(Q) 9) Đường thẳng d7 qua B vuông góc với ∆ song song với mặt phẳng (Oxy ) 10)Đường thẳng d8 qua A , cắt vng góc với trục Oz Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α ) : x + 3ky − z + = (β ) : kx − y + z + = Tìm k để giao tuyến (α ) , ( β ) 1) vng góc với mặt phẳng ( P ) : x − y − z + = 2) song song với mặt phẳng ( Q ) : − x − y − z + = II LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Page 121 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Phương pháp Bước 1: Xác định M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d  Bước 2: Xác định vectơ phương a = ( a1 ; a2 ; a3 ) đường thẳng d Bước 3: Áp dụng công thức, ta có: o Phương trình tham số d : = x x0 + a1t  y + a2 t ( t ∈ R ) y = =  z z0 + a3t x − x0 y − y0 z − z0 = ; ( a1 , a2 , a3 ≠ ) o Phương trình tắc d : = a1 a2 a3 Ví dụ: Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆1 : x −1 y + z = = −1  x= + 2t  ∆ :  y =−1 − t Viết phương trình:  z = 3t  1) tham số đường thẳng ∆1 2) tắc đường thẳng ∆ Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 2; 0; −1) , B ( 2; 3; −3) , C (1; 2; ) , x = t  Viết phương D ( −1; 2; 1) ; đường thẳng thẳng ∆1 :  y =−1 − t ; mặt phẳng (α ) : 3x + y − z + =  z = 2t  trình đường thẳng d trường hợp sau:  1) Qua A có vectơ phương u = ( −1; 3; ) 2) Qua điểm B, C 3) Qua M0 (1; 2; 3) song song với trục tung 4) Qua C song song với ∆1 5) Qua B vng góc với ( Oxz ) 6) Qua D vng góc với (α ) Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 1; −1) , B ( 2; −1; 3) , C (1; 2; ) ,  x= + t x +1 y z −1  D ( −1; −2; 1) ; đường thẳng thẳng ∆1 :  y =−1 − t , ∆ : = = ; mặt phẳng 1 z = t  (α ) : x + 2y − z + = , ( β ) : x + y + 2z + = Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau: 1) Qua A vng góc với đường thẳng ∆1 , AB 2) Qua B vng góc với đường thẳng AC trục Oz 3) Qua O song song với mặt phẳng (α ) , ( Oyz ) 4) Qua C , song song với ( β ) vng góc với ∆ Page 122 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 5) d giao tuyến hai mặt phẳng (α ) , ( β ) Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng d qua x = t  A ( 2; −1; 1) cắt vng góc với đường thẳng ∆ :  y =−1 − t z = t  x − y + z −1 Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 3; 2; −4 ) d: = = −2 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A, song song mặt phẳng (P): 3x − y − 3z − = với (P) cắt đường thẳng d Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng d vng góc với mp(P), đồng thời cắt hai đường thẳng d1 , d2 với  x =−1 + 2t x y −1 z +  d1 : = ; d2 :  y =1 + t ; ( P) : x + y − z =0 = −1 z =  Ví dụ 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mp (α ) mặt cầu (S) có z + , (S) : ( x − ) + ( y + 1)= = + z 25 phương trình sau: (α ) : x + y + 2 1) Chứng minh: (α ) cắt (S) theo đường trịn có tâm H 2) Gọi I tâm mặt cầu (S) Viết phương trình đường thẳng IH III XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Dùng cách phần lý thuyết Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau:  x= + 2t / x = + t   ; ∆2 : y = 2t + 4t / a) ∆1 :  y =  z= − t  z= − 2t /    x= − 3t x−3 y −4 z −5  = = ; ∆2 : y = + 3t b) ∆1 : −1 −2   z= − 6t  x= − 2t x −1 y − z +  = = c) ∆1 : ; ∆ :  y =−2 + t −1   z = + 3t  x = + 3t /  x = 2t   d) ∆1 :  y =−1 + 3t ; ∆ :  y =−2 + 2t / z = t  /   z = + 2t Page 123 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , xác định vị trí tương đối cặp đường thẳng  x = + mt  / sau theo m với dm :  y= m + 2t dm :  z =1 − m − 3t   x= m − 2t /  /  y = mt  z =1 − m + t /  x = + t  Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :  y = at  z= − t   x= + 2t /  d2 :  y= a + 4t / Xác định  /  z= − 2t a để: 1) d1 vng góc với d2 2) d1 song song với d2 x = + t  2t Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ∆1 :  y =  z= − t   x= + 2t /  + 4t / ∆2 : y =  z= − 2t /  a) Chứng minh ∆1 ∆ thuộc mặt phẳng b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆1 ∆ Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng: x = + t 3− x y −1 z −1  + 2t ∆ :  y = ∆1 : = =  z= − t  a) Chứng minh ∆1 ∆ chéo b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆1 song song với ∆ x = + t  Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d1 :  y= + 2t  z= − t  d2 : 3− x y −1 z −1 = = a) Chứng tỏ hai đường thẳng d1 , d2 chéo b) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O, song song với d1 d2 c) Viết phương trình đường vng góc chung đường thẳng d1 d2 Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng: Page 124 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN x −1 y − z x−2 y−2 z x y z −1 x − y z −1 = = = = = = , d2 : , d3 : = = , d4 : −2 −4 −1 2 1 2 a) CMR: Hai đường thẳng d1 , d2 nằm mặt phẳng Viết phương trình d1 : mặt phẳng b) CMR: Tồn đường thẳng ∆ cắt đường thẳng cho Viết phương trình tắc đường thẳng ∆ Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 1; −1;1) đường thẳng  − −t x = x = t    d1 :  y =−1 − 2t ; d :  y =− − 2t Chứng minh A, d1 d2 thuộc mặt phẳng    z = −3t = − z t    IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp:  x = x0 + a1t  y0 + a2t (t ∈ R) mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = Cho đường thẳng d :  y = =  z z + a3 t Xét hệ phương trình  x = x0 + a1t  y y + a2 t = (1) ⇒ A ( x0 + a1t ) + B ( y0 + a2t ) + C ( z0 + a3t ) + D =  z z a t = +   Ax + by + Cz + D =  o Nếu (1) vơ nghiệm d / /( P) o Nếu (1) có nghiệm t = t0 d cắt ( P) M ( x0 + a1t0 ; y0 + a2t0 ; z0 + a3t0 ) o Nếu (1) có vơ số nghiệm d ⊂ ( P) Chú ý: Nếu VTCP d phương với VTPT ( P) d ⊥ ( P) Ví dụ: x = t  Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d1 :  y =−1 − 2t ;  z = −3t   x =−t x+ y +1 z  d :  y = − 2t ; d : = = mặt phẳng ( P) : x + y + z + = 1 −2 z = t  Xét vị trí tương đối của: a) d1 ( P) b) d ( P) c) d ( P) Page 125 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN đường Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : x − y + z − = thẳng ∆ : x+1 y + = =z a) Xác định giao điểm A đt ∆ mặt phẳng (α ) b) Viết phương trình đường thẳng d qua A nằm mp (α ) vng góc với ∆ Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): x − y + 11z − 26 = x y −3 z +1 x−4 y z−3 = = = = ; d2 : −1 1 a) Chứng minh: d1 d2 chéo đường thẳng d1 : b) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mp(P), đồng thời cắt d1 d2 V HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp Cho điểm A ( x A ; y A ; z A ) d  x = x0 + a1t  y + a2 t ( t ∈ R ) đường thẳng d :  y = =  z z + a3 t H A  ud Cách 1: Gọi H hình chiếu A lên d Ta c ó H ∈ d ⇒ H ( x0 + a1t ; y0 + a2t ; z0 + a3t )      Tính AH ; AH ⊥ ud ⇔ ud AH = ⇒ t = ? ⇒ H ? Cách 2: Gọi H hình chiếu A lên d o Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A vng góc với d o Khi tìm tọa độ điểm H thỏa {H}= d ∩ ( P) d P A  ud H Ví dụ: x = + t  + 2t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 1; 0; ) đường thẳng ∆ :  y = z = t  a)Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng ∆ b)Tìm tọa độ điểm A′ đối xứng với A qua đường thẳng ∆ VI HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG Phương pháp Cho điểm M ( xM ; y M ; z M ) mặt phẳng ( P) : Ax + By + Cz + D = M Gọi H hình chiếu A lên mp( P ) o Viết phương trình đường thẳng d qua A vng góc với mp( P ) o Khi tìm tọa độ điểm H thỏa {H}= d ∩ ( P) P d  n( P ) H Page 126 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 1 7 Vì xM > nên điểm cần tìm M  ; − ;  , suy Q = 3 3 Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;1) , B (2;0;1) mặt phẳng ( P ) : x + y + z + =0 Viết phương trình tắc đường thẳng d qua A , song song với mặt phẳng ( P) cho khoảng cách từ B đến d lớn x −1 y −1 z −1 = = −2 x−2 y−2 z = = C d : 1 −1 x y z+2 = = −2 2 x −1 y −1 z −1 = = D d : −1 −1 Lời giải A d : B d : B d A P' Gọi ( P ') chứa A song song ( P) suy ( P ') : x + y + z − =0 Ta thấy B ∈ ( P ') d ( B, d ) đạt giá trị lớn AB  Khi d vng góc với AB d vng góc với giá n VTPT ( P)     Suy VTCP d = u  n , AB =  (2; 2; −2) Kết hợp với điểm A thuộc d nên ta chọn đáp án C x y +1 − z = : Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d= Gọi ( P ) mặt −2 1 phẳng chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng ( Q ) : x − y − z − = góc có số đo nhỏ Điểm A (1; 2;3) cách mặt phẳng ( P ) khoảng bằng: A B C Lời giải 11 11 D Chọn A M H B C Page 25 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN  x y +1 − z d= : = có VTCP u = (1; −2; −1) −2  có VTPT n = ( 2; −1; −2 ) (Q ) : 2x − y − 2z − =   Gọi α góc tạo d ( Q ) , ta= có sin α cos = u, n ( )  Từ hình vẽ, ta có ( d , ( P ) ) = MBH = Ta thấy sin MCH Vậy góc  ( ( P ) , ( Q ) ) = MCH MH MH ≥ = MC MB  ( ( P ) , ( Q ) ) = MCH = nhỏ sin MCH = hay cos MCH 3 *Viết phương trình mặt phẳng -CÁCH 1: Mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D =   n(Q ) u = 0  A − 2B − C =   Ta có  ⇔  A − B − 2C   = cos n, n(Q ) =  2 3 A + B + C  ( ) A 2B + C = A 2B + C =  ⇔ ⇔  2 (1) ( 2B + C ) + B2 + C B  6 B + 6C + 12 BC =   3= Nếu B = suy A= C= loại C C C  Nếu B ≠ từ (1) suy   + + =0 ⇔ =−1 ⇒ C =− B suy A = B B B B Mặt phẳng ( P ) : Bx + By − Bz + D = qua điểm N ( 0; −1; ) ∈ d suy D = 3B Vậy phương trình mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Suy d ( A; ( P ) ) = -CÁCH Gọi = ∆ ( P) ∩ (Q) góc ( P) (Q) nhỏ ∆ ⊥ d Do đó, mặt phẳng thỏa đề mặt phẳng chứa d cắt theo giao tuyến ∆ cho ∆ ⊥ d ∆  ⊂ (Q)  ⇒∆    u∆ = ud ,nQ  d ∆ ⊥   nhận làm vec tơ phương    n ud ,u = = (Q) chứa d ∆ ⇒ (P) qua M(0;-1; 2) ∈ d nhận ∆  (6; 6; −6) làm vectơ pháp tuyến ⇒ (P) : x + y − z + = Vậy d ( A; ( P ) ) = Page 26 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Câu 35: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; −3) , B ( −2; −2;1) mặt phẳng ( α ) : 2x + y − z + = Gọi M điểm thay đổi mặt phẳng ( α ) cho M ln nhìn đoạn AB góc vng Xác định phương trình đường thẳng MB MB đạt giá trị lớn  x =−2 + 2t  x =−2 + t  x =−2 − t  x =−2 + t     A  y =−2 + 2t B  y =−2 − t C  y = −2 D  y =−2 − t  z = + 2t  z = + 2t  z = + 2t  z =1     Lời giải Chọn C ⇒ B ∈ (α) Ta có: ( −2 ) + ( −2 ) − + = Gọi H hình chiếu A ( α ) AH ⊥ MB , AM ⊥ MB ⇒ MH ⊥ MB ⇒ MB ≤ BH Dấu xảy M ≡ H , lúc M hình chiếu A ( α )  Gọi H ( x; y; z ) , AH =( x − 1; y − 2; z + 3) 2 x + y − z =−9  x = −3 2 x + y − z + =    −1 ⇔ y = −2 Ta có hệ phương trình  x − y − z + ⇔  x − y = =    = −5 2 −1 x + 2z =  z = −1  x =−2 + t   −2 ⇒ M ( −3; −2; −1) ⇒ MB = (1;0; ) ⇒ MB :  y =  z = + 2t  Câu 36: - Viết phương trình đường thẳng a qua M ( 4; − 2; 1) , song song với mặt phẳng (α ) : 3x − y + z − 12 = cách A ( −2; 5; ) khoảng lớn  x= − t  A  y =−2 + t z = 1+ t   x= + t  B  y =−2 − t  z =−1 + t   x = + 4t  C  y = − 2t  z =−1 + t  Lời giải  x= + t  D  y =−2 + t  z = 1+ t  Page 27 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN  AM = ( 6; − 7;1) , vectơ pháp tuyến (α )  n (3; − 4;1) = Gọi H hình chiếu vng góc A a d ( A ; a ) = AH ≤ AM = 86 ⇒ d ( A ; a ) lớn H ≡ M Khi a đường thẳng qua M , song song với (α ) vng góc với AM      u ⊥ n Gọi u vectơ phương a ⇒    ;  AM , n  =− ( 3; − 3; − 3) =−3 (1;1;1) u ⊥ AM   Chọn u = (1;1;1) Câu 37: Đường thẳng ∆ qua điểm M ( 3;1;1) , nằm mặt phẳng x = (α ) : x + y − z − =0 tạo với đường thẳng d :  y= + 3t góc nhỏ phương trình  z =−3 − 2t  ∆ x =  A  y = −t ′   z = 2t ′  x= + 5t ′  B  y =−3 − 4t ′  z= + t ′   x = + 2t ′  C  y = − t ′  z= − 2t ′   x = + 5t ′  D  y = − 4t ′   z= + 2t ′ Lời giải  Đường thẳng d có vectơ phương = u  Mặt phẳng (α ) có vectơ pháp tuyến là= n ( 0;3; − ) (1;1; − 1)  Vì u.n = 0.1 + 3.1 + ( −2 ) ( −1) = ≠ nên d cắt (α ) x =  Gọi d1 đường thẳng qua M d1 // d , suy d1 có phương trình:  y = + 3t  z = − 2t  Page 28 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Lấy N ( 3; 4; − 1) ∈ d1 Gọi K , H hình chiếu vng góc N mặt phẳng (α ) đường thẳng ∆ NH NK d , ∆ ) = NMH sin  Ta có: ( NMH = ≥ MN MN d , ∆ ) nhỏ K ≡ H hay ∆ đường thẳng MK Do (  x= + t  Đường thẳng NK có phương trình:  y= + t  z =−1 − t  Tọa độ điểm K ứng với t nghiệm phương trình: ( + t ) + ( + t ) − ( −1 − t ) − =0 ⇔ t =− 4 2 Suy K  ; ;  3 3 Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1;1;1) mặt phẳng ( P ) : x + y = Gọi ∆ đường thẳng qua A , song song với ( P ) cách điểm B ( −1;0;2 ) khoảng ngắn Hỏi ∆ nhận vecto vecto phương ?   A B = = u ( 6;3; −5) u ( 6; −3;5)  C u = ( 6;3;5)  D u = ( 6; −3; −5) Lời giải Gọi (Q ) chứa ∆ song song với ( P ) Suy (Q ) có phương trình: x − + 2( y − 1) = ⇔ x + y − = Khi d ( B; ∆ ) = BH với H hình chiếu B lên mặt phẳng (Q )  x =−1 + t  = Đường thẳng BH qua B , vng góc với mặt phẳng (Q ) có phương trình  y 2t , t ∈  z =  Tọa độ giao điểm H đường thẳng BH mặt phẳng (Q ) nghiệm hệ:   x =−1 + t   y = 2t   Giải hệ ta H  − ; ;2    5   z =  x + y − =    Do ∆ đường thẳng AH có AH =  ; − ; −1 5   Suy u = ( 6; −3; −5) vecto phương ∆ Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 2; −1; −2 ) đường thẳng ( d ) có phương x −1 y −1 z −1 trình = = Gọi ( P ) mặt phẳng qua điểm A , song song với đường thẳng ( d ) −1 Page 29 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN khoảng cách từ d tới mặt phẳng ( P ) lớn Khi mặt phẳng ( P ) vng góc với mặt phẳng sau đây? A x − y − = B x + y + z + 10 = C x − y − z − =0 D x + z + = Lời giải H d P A K Gọi H hình chiếu A lên đường thẳng d Ta suy H (1;1;1) Gọi ( P ) mặt phẳng qua điểm A ( P ) song song với đường thẳng d Gọi K hình chiếu H lên mặt phẳng ( P ) Do d // ( P ) nên ta có d= ( H , ( P ) ) HK ( d , ( P ) ) d= Ta ln có bất đẳng thức HK ≤ HA Như khoảng cách từ ( d ) đến ( P ) lớn AH  Và ( P ) nhận AH = ( −1; 2;3) làm vectơ pháp tuyến Do ( P ) qua A ( 2; −1; −2 ) nên ta có phương trình ( P ) là: x − y − z − 10 = Do ( P ) vng góc với mặt phẳng có phương trình: x + z + = Câu 40: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi ( P ) mặt phẳng qua hai điểm A (1; −7; −8 ) , B ( 2; −5; −9 ) cho khoảng cách từ điểm M ( 7; −1; −2 ) đến ( P ) đạt giá trị lớn Biết ( P )  có véctơ pháp tuyến n = ( a; b; ) , giá trị tổng a + b A −1 B C Lời giải D x= 1+ t  Phương trình tham số đường thẳng AB  y =−7 + 2t  z =−8 − t  Gọi H , K hình chiếu M ( P ) đường thẳng AB Ta tìm điểm K ( 3; −3; −10 ) Ta ln có bất đẳng thức d ( M , ( P = ) ) MH ≤ MK  Dấu xảy H ≡ K Khi MH =− ( 4; −2; −8) =−2 ( 2;1; )  Mặt phẳng ( P ) có vectơ pháp tuyến n = ( 2;1; ) Vậy ta có a + b = Page 30 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 3; −1;0 ) đường thẳng x − y +1 z −1 Mặt phẳng (α ) chứa d cho khoảng cách từ A đến (α ) lớn có d: = = −1 phương trình A x + y − z − = B x + y − z = 0 C x + y − z + = D − x + y + z + =0 Lời giải Gọi H , K hình chiếu A lên (α ) d Khi ta có AH ≤ AK  Vì H ∈ d nên H ( − t ; −1 + 2t ;1 + t ) ⇒ AH = ( −1 − t ; 2t ;1 + t )   2  Do AH ⊥ d nên ta có − ( −1 − t ) + 2.2t + + t =0 ⇔ t =− Khi AH = − ; − ;   3 3 Khoảng cách từ A đến (α ) lớn AH = AK Do (α ) có vectơ pháp tuyến  = n (1;1; −1) Vậy (α ) : 1( x − ) + 1( y + 1) − 1( z − 1) = ⇔ x+ y−z = Vẫn đánh giá bất đẳng thức AH ≤ AK nói trên, tốn sau lại phát biểu khác chút Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( −3;0;1) , B (1; − 1;3) mặt phẳng Viết phương trình tắc đường thẳng ( P ) : x − y + 2z − = với mặt phẳng ( P ) cho khoảng cách từ B đến d nhỏ d qua A , song song x+3 y z −1 x + y z −1 = = B d : = = 26 −11 26 11 −2 x + y z −1 x + y z −1 = = = = C d : D d : −26 11 −2 26 11 Lời giải A d : B H Q d K P Ta thấy d qua A d song song với ( P ) nên d nằm mặt phẳng ( Q ) qua A ( Q ) // ( P ) Như ta chuyển xét mặt phẳng ( Q ) để thay cho ( P ) Ta lập phương trình mặt phẳng ( Q ) : x − y − z + =0 Page 31 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN  11  Gọi H , K hình chiếu B lên ( Q ) d Ta tìm H  − ; ;  Ta ln có  9 9 bất đẳng thức d ( B;= d ) BK ≥ BH nên khoảng cách từ B đến d bé BH Đường thẳng d qua A, H nên có phương trình x + y z −1 = = 26 11 −2 Câu 43: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2;5;3) đường thẳng d : x −1 y z − Gọi ( P ) = = 2 mặt phẳng chứa d cho khoảng cách từ A đến ( P ) lớn Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( P ) A B C 11 D Lời giải  Gọi n = ( a; b; c ) vectơ pháp tuyến ( P ) , với a + b + c ≠ Điểm M (1;0; ) ∈ d ⇒ M ∈ ( P ) Phương trình ( P ) : ax + by + cz − ( a + 2c ) =     Một vectơ phương d u = ( 2;1; ) ⇒ n ⊥ u ⇔ n.u = ⇔ 2a + b + 2c = | a + 5b + c | 9|a+c| ⇒b= − ( 2a + 2c ) ⇒ d ( A, ( P ) ) = = 2 2 a +b +c a2 + c2 + ( a + c ) Ta có ( a + c ) ≤ ( a + c 2 Suy ra: a + c + ( a + c ) 2 Do d ( A, ( P ) ) = ) (a + c) ⇔ ≤ a + c với ∀a, c ∈  (a + c) ≥ 2 + 4(a + c) = 9|a+c| a2 + c2 + ( a + c ) ≤ (a + c) 9|a+c| 9|a+c| = = 3| a + c | (a + c) a = c Chọn a =c =⇒ ⇒ Max d ( A, ( P ) ) = 2⇔ b =−4 b = −4a Phương trình ( P ) : x − y + z − = ⇒ d ( O, ( P ) ) = Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;3) , B ( 5; −4; −1) mặt phẳng ( P) A qua Ox cho d( B ,( P )) = 2d( A,( P )) , ( P ) cắt AB I ( a; b; c ) nằm AB Tính a + b + c B C 12 Lời giải D Do mặt phẳng ( P ) qua Ox nên phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng by + cz = ( b2 + c2 > ) Page 32 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN d( B ,( P )) =2d( A,( P )) ⇔ −4b − c b2 + c2 =2  −4b − c = 4b + 6c ⇔ −4b − 6c b2 + c2  −4b − c = 2b + 3c 8b + 7c = ⇔ c = 0 Trường hợp 1: 8b + 7c = chọn b = 7; c = −8 ( P ) : y − z = Xét f ( y, z= ) y − 8z Thay tọa độ A, B vào ta ( 7.2 − 8.3) ( ( −4 ) − ( −1) ) > suy A, B nằm phía so với ( P ) Trường hợp 2: c = suy phương trình ( P ) : y = Thay tọa độ A, B vào ta ( −4 ) < suy A, B nằm khác phía so với ( P ) Do đường thẳng AB cắt ( P ) I nằm AB  x = + 4t  6t ( t ∈  ) Phương trình tham số đường thẳng AB :  y =−  z= − 4t  Tọa độ điểm I nghiệm hệ phương trình  t =  x = + 4t   y= − 6t  x =  7 5 ⇔ ⇒ I  ;0;    3  z= − 4t y =  y =  z =  Vậy a + b + c = +0+ = 3 x +1 y z −1 = = điểm A(1; 2;3) Gọi ( P) mặt −2 1 phẳng chứa d cách điểm A khoảng cách lớn Vectơ vectơ pháp tuyến ( P)     n (1;1; −1) n (1;0; −2) A n = (1;0; 2) B.= C n = (1;1;1) D.= Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : Lời giải Page 33 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Gọi H hình chiếu vng góc A lên đường thẳng d, gọi K hình chiếu vng góc A lên ( P) Do khoảng cách từ A đến ( P) là: d ( A;( P) ) = AK −2t − x =  Ta có d :  y = t Vì H ∈ d nên H ( −2t − 1; t ; t + 1) z = t +1    AH ( −2t − 2; t − 2; t − ) , VTCP đường thẳng d ud ( −2;1;1)     AH ⊥ ud ⇔ AH ud = ⇔ −2(−2 t − 2) + t − + t − = ⇔ t =  Do H ( −1;0;1) AH ( −2; −2; −2 ) ⇒ AH = Vì AK ≤ AH nên AK lớn AK = AH hay K ≡ H    ( 2; −2; −2) =−2(1;1;1) Vậy, vec tơ pháp tuyến ( P) n = (1;1;1) Ta có AK =AH =− Câu 46: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( −3;0;1) , B (1; − 1;3) mặt phẳng Viết phương trình tắc đường thẳng ( P ) : x − y + 2z − = với mặt phẳng ( P ) cho khoảng cách từ B đến d nhỏ d qua A , song song x+3 y z −1 x + y z −1 B d : = = = = 26 −11 26 11 −2 x + y z −1 x + y z −1 = = = = C d : D d : 26 11 −26 11 −2 A d : Lời giải Page 34 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Gọi mặt phẳng ( Q ) mặt phẳng qua A song song với mặt phẳng ( P ) Khi phương trình mặt phẳng ( Q ) 1( x + 3) − ( y − ) + ( z − 1) = 0 ⇔ x − y + 2z + = Gọi H hình chiếu điểm B lên mặt phẳng ( Q ) , đường thẳng BH qua B (1; − 1;3)  nhận n(Q= ) Vì x= + t (1; − 2;2 ) làm vectơ phương có phương trình tham số  y =−1 − 2t  z= + 2t  = H BH ∩ ( Q ) ⇒ H ∈ BH ⇒ H (1 + t ; − − 2t ;3 + 2t ) (1 + t ) − ( −1 − 2t ) + ( + 2t ) + =0 ⇔ t =− H ∈ (Q ) nên ta có 10  11  ⇒ H − ; ;   9 9   26 11 −2  ⇒ AH = ;  ( 26;11; − )  ;=  9  Gọi K hình chiếu B lên đường thẳng d , Ta có d ( B;= d ) BK ≥ BH nên khoảng cách từ B đến d nhỏ BK = BH , đường  thẳng d qua A có vectơ phương = u ( 26;11; − ) có phương trình tắc: d: x + y z −1 = = 26 11 −2 Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng 0, ( P ) : x + y − 4z = đường thẳng x −1 y +1 z − điểm A (1; 3; 1) thuộc mặt phẳng ( P ) Gọi ∆ đường thẳng qua d: = = −1 A , nằm mặt phẳng ( P ) cách đường thẳng d khoảng cách lớn Gọi  u = ( a; b; 1) véc tơ phương đường thẳng ∆ Tính a + 2b A a + 2b = −3 B a + 2b = C a + 2b = Lời giải D a + 2b = Page 35 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN d A d I (P) A K (Q)  Đường thẳng d qua M (1; − 1; 3) có véc tơ phương = u1 H ( 2; − 1; 1) Nhận xét rằng, A ∉ d d ∩ ( P ) =I ( −7; 3; − 1) Gọi ( Q ) mặt phẳng chứa d song song với ∆ Khi d ( ∆, d ) =d ( ∆, ( Q ) ) =d ( A, ( Q ) ) Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên ( Q ) d Ta có AH ≤ AK Do đó, d ( ∆, d ) lớn ⇔ d ( A, ( Q ) ) lớn ⇔ AH max ⇔ H ≡ K Suy AH đoạn vng góc chung d ∆    Mặt phẳng ( R ) chứa A d có véc tơ pháp tuyến n( R ) =  AM , u1  = ( −2; 4; 8)    Mặt phẳng ( Q ) chứa d vng góc với ( R ) nên có véc tơ pháp tuyến n(Q ) =  n( R ) , u1    = (12; 18; − ) Đường thẳng ∆ chứa mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng ( Q ) nên có véc tơ     ( 66; − 42; phương u =  n( P ) , n(= = ) (11; − 7; 1) R)   Suy ra, a = 11; b = −7 Vậy a + 2b = −3 Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 2;1;3) mặt phẳng , m tham số Gọi H ( a; b; c ) hình chiếu vng góc ( P ) : x + my + ( 2m + 1) z − m − = điểm A ( P ) Tính a + b khoảng cách từ điểm A đến ( P ) lớn ? A a + b =− B a + b = C a + b = Lời giải D a + b = x + my + ( 2m + 1) z − m − = ⇔ m ( y + z − 1) + x + z − =  y + z − =0 Phương trình có nghiệm với ∀m ⇔  x + z − =  x= − t  Suy ( P ) qua đường thẳng d :  y = − 2t  z = t  K ∈ d ⇒ K ( − t ;1 − 2t ; t ) , AK ( −t ; − 2t ; t − 3) Page 36 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN  Đường thẳng d có VTCP u ( −1; − 2;1)   3 1 AK u = ⇔ t + 4t + t − = ⇔ t = ⇒ K  ;0;  2 2 AK ⇔ H ≡ K Ta có AH ≤ AK ⇒ AH max = Vậy a + b = có tâm Câu 49: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + z = 2 I mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc ( P ) cho đoạn IM ngắn  4 A  − ; − ; −   3 3  11  B  − ; − ; −   9 9 C (1; −2; ) D (1; −2; −3) Lời giải Ta có tâm I (1; −2;0 ) bán kính R = Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P ) ngắn M hình chiếu I lên mặt phẳng ( P)  x = + 2t  Đường thẳng qua I vuông góc với mặt phẳng ( P ) có phương trình tham số  y =−2 − t  z = 2t  Khi tọa độ M nghiệm hệ phương trình  x = −   x = + 2t  x = + 2t y = −  y =−2 − t  y =−2 − t    ⇔ ⇔  z t = z = t  z = −   2 (1 + 2t ) − ( −2 − t ) + ( 2t ) + =0 2 x − y + z + =   t = −  ( P ) : x − y + z − =0 mặt cầu  M ∈ ( P ) N ∈ ( S ) cho MN phương Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( S ) : x + y + z + x − y − z + =0 Giả sử  với vectơ u = (1;0;1) khoảng cách M A MN = B MN = + 2 ( S ) có tâm I ( −1; 2;1) bán kính N lớn Tính MN C MN = Lời giải R = Ta có: d ( I , ( P ) )= D MN = 14 −1 − 2.2 + 2.1 − 12 + 22 + 22 = > R Page 37 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Gọi H hình chiếu vng góc N mặt phẳng ( P ) α góc MN NH    Vì MN phương với u nên góc α có số đo khơng đổi, α = HNM Có = HN MN cos α ⇒ MN = = HN d ( I , ( P = )) + R   = = u , nP Có cos α cos ( ) HN nên MN lớn ⇔ HN lớn ⇔ cos α 1 nên MN = HN = cos α Câu 51: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y + z − = mặt phẳng ( P) : x − y + z − 14 = Điểm M thay đổi ( S ) , điểm N thay đổi ( P ) Độ dài nhỏ MN A B C Lời giải D I M P H N Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −2; −1) , bán kính R = ; d ( I ;( P) )= > R ⇒ mặt cầu ( S ) mặt phẳng ( P) khơng có điểm chung Dựng IH ⊥ ( P), ( H ∈ ( P)) Ta có: MN nhỏ M giao điểm đoạn IH với ( S ) N≡H Page 38 CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN  x = + 2t  Phương trình đường thẳng IH :  y =−2 − t ; ( t ∈  )  z =−1 + 2t  Điểm M (1 + 2t ; −2 − t ; −1 + 2t ) ∈ ( S ) nên ( x − 1) + ( y + ) + ( z + 1) = 2 ⇔ ( 2t ) + ( −t ) + ( 2t ) =9 ⇔ t =±1 Khi M ( 3; −3;1) , M ( −1; −1; −3) 2 > IH =4 Thử lại: d ( M ;( P) ) = ; d ( M ;( P) ) =  11 10  MH = M ( 3; −3;1) ; N  ; − ;  Vậy MN= 3 3 Câu 52: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) tâm I (1; −2;1) ; bán kính R = đường x : thẳng d= diện tích nhỏ y −1 z +1 = Mặt phẳng ( P ) chứa d cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn có −2 −1 Hỏi điểm sau điểm có khoảng cách đến mặt phẳng ( P ) lớn A O ( 0;0;0 )  1 B A 1; ; −   4 C B ( −1; −2; −3) D C ( 2;1;0 ) Lời giải Gọi H ( 2t ;1 − 2t ; −1 − t ) hình chiếu I lên đường thẳng d    5 Ta có: IH ud = ⇒ ( 2t − 1) − ( − 2t ) − ( −2 − t ) = ⇔ t = ⇒ H  ; − ; −   3 3 Vì IH = 10 < = R ⇒ d cắt mặt cầu ( S ) điểm phân biệt Mặt phẳng ( Q ) chứa d ln cắt ( S ) theo đường trịn bán kính r Khi r = R − d ( I , ( Q ) ) ≥ R − d ( I , d ) = 16 − 10 = Do mặt phẳng ( P ) chứa d cắt mặt cầu theo đường trịn có diện tích nhỏ    d ( I , ( P ) ) = d ( I , d ) hay mặt phẳng ( P ) qua H nhận= IH  ; ; −  làm vectơ 3 3 pháp tuyến, ( P ) có phương trình x + y − z − 13 = Khi điểm O ( 0;0;0 ) có khoảng cách đến ( P ) lớn Page 39