Chuyên đề Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 A Lý thuyết I Phương trình tham số của đường thẳng Định lí Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) và nhận vec[.]
Chun đề Phương trình đường thẳng khơng gian - Tốn 12 A Lý thuyết I Phương trình tham số đường thẳng - Định lí: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) nhận vectơ làm vectơ phương Điều kiện cần đủ để điểm M(x; y; z) nằm đường thẳng ∆ có số thực t thỏa mãn: - Định nghĩa: Phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) nhận vectơ làm vectơ phương Trong đó, t tham số - Chú ý: Nếu a1 ; a2; a3 khác ta viết phương trình ∆ dạng tắc sau: Ví dụ Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ qua A(1; 2;2) có vecto phương Lời giải: Phương trình tham số ∆ là: Ví dụ Viết phương trình tham số đường thẳng AB với A(0;1; 2); B(2; 2; 1) Lời giải: Đường thẳng AB nhận làm vecto phương Phương trình tham số AB là: II Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt chéo Điều kiện để hai đường thẳng song song Gọi d’ Lấy điểm M(x0; y0; z0) d Ta có: d song song với d’ Đặc biệt: d trùng với d’ khi: vecto phương d Ví dụ Chứng minh hai đường thẳng sau song song với nhau: Lời giải: Đường thẳng d có vecto phương qua M(3; 2; 2) Đường thẳng d’ có vecto phương Ta thấy: Do đó, hai đường thẳng song song với Điều kiện để hai đường thẳng cắt - Hai đường thẳng d d’ cắt hệ phương trình ẩn t t’ sau: Có nghiệm - Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm (t0 ; t’0), để tìm giao điểm M0 d d’ ta thay t0 vào phương trình tham số d thay t’0 vào phương trình tham số d’ Ví dụ Tìm giao điểm hai đường thẳng: Lời giải: Xét hệ phương trình: Suy ra, d cắt d’ điểm A(4; 1; 3) Điều kiện để hai đường thẳng chéo Hai đường thẳng d d’ chéo phương trình vơ nghiệm Ví dụ Xét vị trí tương đối hai đường thẳng: Lời giải: Đường thẳng d có vecto phương Đường thẳng d’ có vecto phương không phương hệ Ta thấy, không tồn số thực k để nên hai đường thẳng d d’ cắt chéo Xét hệ phương trình: Giải hệ phương trình (1) (2) ta được: t =2; t’ = -1 Thay vào (3) ta thấy khơng thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm Vậy hai đường thẳng d d’ chéo - Nhận xét: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = đường thẳng d: Xét phương trình A(x0 + ta1 ) + B(y0 + ta2 ) + C (z0 + ta3 ) + D = ( t ẩn ) (1) - Nếu phương trình (1) vơ nghiệm d (P) khơng có điểm chung Vậy d// (P) - Nếu phương trình (1) có nghiệm t = t0 d cắt (P) điểm M(x0 + t0 a1;y0 + t0 a2; z0 + t0 a3) - Nếu phương trình (1) có vơ số nghiệm d thuộc (P) Ví dụ Xét vị trí tương đối đường thẳng d: mặt phẳng (P): 2x – y – z = Lời giải: Lấy điểm M(1+ 2t; -t; -2 + t) thuộc đường thẳng d Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) ta được: 2(1+ 2t) – (- t) – (-2+ t) = ⇔2 + 4t + t + – t = ⇔4t + = 0⇔t = - Suy đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) M( -1; 1; - 3) B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; -2; 0), B(3; -5; 2) Phương trình tham số đường thẳng AB là: B x = + 3t, y = -3 - 5t, z = + 2t C x = + 2t, y = -5 - 3t, z = + 2t D x = + 2t, y = -2 + 3t, z = 2t Lời giải: Đường thẳng AB qua B(3; -5; 2) VTCP số là: có phương trình tham Câu 2: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d qua M(4;3;1) song song với đường thẳng Δ: x = + 2t, y = - 3t, z = + 2t Phương trình tắc đường thẳng d là: Lời giải: Đường thẳng ∆ có vecto phương Đường thẳng d qua M(4;3;1) song song với đường thẳng ∆ nên có vecto phương Phương trình tắc đường thẳng d là: Câu 3: Trong không gian Oxyz, phương trình tắc đường thẳng d qua điểm M(-1;-2;3) vng góc với mặt phẳng (P): x - 2y + 3z - = Lời giải: Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là: Vì đường thẳng d qua điểm M(-1;-2;3) vng góc với mặt phẳng (P) nên có vecto phương Phương trình tắc d: Câu 4: Trong khơng gian Oxyz, cho d đường thẳng qua điểm M(1;2;3) vng góc với mặt phẳng (Oxy) Trong khẳng định đây, khẳng định sai? A Phương trình tắc đường thẳng d là: B Đường thẳng d có vectơ phương C Đường thẳng d nằm hai mặt phẳng: (P): x - = 0, (Q): y - = D Phương trình tham số đường thẳng d là: x = 1, y = 2, z = Lời giải: Vì đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (Oxy) nên đường thẳng d có vectơ phương (0 ;0 ;1) Từ suy A khẳng định sai Câu 5: Cho tam giác ABC có A(1; -2; 3), B(0; 5; 6), C(1; 3; 2) Gọi H hình chiếu vng góc A đường thẳng BC Trong khẳng định đây, khẳng định sai? A Một vectơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) là: B Một vectơ phương đường thẳng AH là: C AH ⊥ BC D Các khẳng định không đồng thời Lời giải: Ta thấy khẳng định A C Ta có Mặt khác ta có Từ ta suy vectơ phương đường thẳng AH Vậy D khẳng định sai Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; -2; -1), B(3; -5; 2) Phương trình tắc đường thẳng AB là: Lời giải: Đường thẳng AB qua điểm B(3;-5;2) có vectơ phương Vậy phương trình tắc đường thẳng AB là: Câu 7: Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M(2;-1;1), vng góc với đường thẳng song song với mặt phẳng (P): 2x - 3y + z - = B d: x = + 4t, y = + 5t, z = + 7t C d: x = +4t, y = -1 - 5t z = + 7i D d: x = -2 + 4t, y = + 5t, z = -1 + 7t Lời giải: Từ giả thiết suy Mặt khác đường thẳng d qua điểm M(2;-1;1) nên phương trình tham số đường thẳng d là: x = 2+ 4t, y = -1, + 5t, z = + 7t Vậy đáp án B Câu 8: Trong không gian Oxyz, lập phương trình tắc đường thẳng d qua điểm M(0;1;1) , vng góc với đường thẳng cắt đường thẳng d2: x = -1, y = t, z = + t Lời giải: Gọi A = d ∩ d2 Ta có A ∈ d2 => A(-1; a; a+ 1) Theo giả thiết: Thay vào (*) ta : -1.3 + (a - 1).1 + a.1 = 2a - = a = = (-1; 1; 2) Vậy phương trình tắc đường thẳng d : Vậy đáp án A Câu 9: Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng cắt : (P): x + y + z - = 0, (Q): 3x + 2y + z + =0 A d: x = -3 + t, y = + 2t, z = t B d: x = -3 + t, y = - 2t, z = t C d: x = -3 + t, y = - 2t, z =1 + t D d: x =1 - 3t, y = -1 + 4t, z = t Lời giải: Tọa độ điểm thuộc d nghiệm hệ phương trình : Đặt z=t, thay vào hệ ta : Vậy đáp án B Câu 10: Trong khơng gian Oxyz, vị trí tương đối hai đường thẳng: d 1: x = + 4t, y = -6t, z = -1-8t A Cắt B song song C chéo D trùng Lời giải: Đường thẳng d1 qua điểm M1(2; 0; -1) có vectơ phương = (4; -6; - 8) ; đường thẳng d2 qua điểm M2(7; 2; 0) có vectơ phương Do hai vectơ phương nên đáp án A C sai = (-6; 9; 12) Thay tọa độ điểm M1 vào d2 , ta thấy : Do hai đường thẳng d1 d2 song song Vậy đáp án B II Bài tập tự luận có lời giải Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) Trong khẳng định đây, khẳng định sai? - Phương trình mặt phẳng (ABC) là: x + y + z - = - Hình chóp O.ABC hình chóp tam giác - Phương trình đường thẳng qua O, vng góc với mặt phẳng (ABC) là: x = t, y = t, z=t - Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC Lời giải: Phương trình mặt phẳng (ABC) là: Từ suy khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là: Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ: x = + 2, y = + t, z = + 2t điểm M(2; 1; 4) Khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ là? Lời giải: Cách Gọi H hình chiếu vng góc M đường thẳng Δ Ta có: H ∈ Δ => H(1 + t; + t; + 2t) 6t - = t = => H(2; 3; 3) Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ là: Vậy đáp án C Cách Δ qua điểm A(1 ;2 ;1) có vectơ phương Ta có: Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo : Cho mặt cầu (S) có đường kính đoạn vng góc chung hai đường thẳng cho Bán kính mặt cầu (S) là? Lời giải: Ta có d1 qua điểm M1(7; 3; 9) có vectơ phương điểm M2(3; 1; 1) có vectơ phương = (1; 2; 1); d2 qua Bán kính mặt cầu (S) : Câu 4: Cho tam giác ABC có ABC có A(2; 2; 1), B(4; 4; 2), C(-2; 4; -3) Vectơ vectơ phương đường phân giác AD tam giác ABC Lời giải: Ta có: Từ điểm D kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh AB điểm E Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC F Do AD đường phân giác tam giác ABC nên ta suy AEDF hình thoi Đặt AE=AF=k Ta có: vectơ phương đường thẳng AD Từ suy C khẳng định Ta lưu ý khẳng định A sai, tam giác ABC không cân đỉnh A Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho d đường thẳng qua điểm M0(x0; y0; z0) có vectơ phương , với a, b, c khác Trong khẳng định sau, khẳng định sai? - Phương trình tắc đường thẳng d là: - Phương trình tham số đường thẳng d là: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + at - Đường thẳng d nằm hai mặt phẳng :(P): b(x - x0) - a(y - y0) = (Q): c(x x0) - a(z - z0) = - Phương trình đường thẳng d là: a(x - x0) + b (y - y0) + c(z - z0) = Lời giải: Câu 6: Tìm tất giá trị a để hai đường thẳng sau chéo : d1: x = + at, y = t, z = -1 + 2t, d2: x = - t', y = + 2t', z = - t' Lời giải: Hai đường thẳng d1, d2 qua hai điểm M1(1; 0; -1), M2(1; 2; 3) có vectơ phương Hai đường thẳng chéo : ⇔ -5.0 + (a - 2).2 + (2a + 1).4 ≠ ⇔ 10a ≠ ⇔ a ≠ Câu 7: Tìm tất giá trị a để hai đường thẳng sau vng góc d1: x = - t, y = + 2t, z = + at, d2: x = a + at, y = -1 + t, z = -2 + 2t Lời giải: Hai đường thẳng cho có hai vecto phương Để hai đường thẳng sau vng góc = -1.a + 2.1 + a.2 = ⇔ a + = ⇔ a = -2 Câu 8: Vị trí tương đối đường thẳng d: x = + 2t, y = - t, z = - t mặt phẳng (P): x + y + z - = là? Lời giải: Đường thẳng d qua điểm A( ; ;1) ; có vecto phương ( ; -1 ; -1) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến Ta có: = 2.1 + (-1).1 + (-1).1 = A ∈ (P) Suy ra, đường thẳng d thuộc mặt phẳng (P) Câu 9: Vị trí tương đối đường thẳng d: x = + 4t, y = + t, z = -5t mặt phẳng (P): x + y + z - = là? Lời giải: Đường thẳng d qua điểm M(2 ;3 ;0) có vectơ phương mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến = (1; 1; 1) Ta có : Suy đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) = (4; 1; -5), Câu 10: Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M(2;1;-3) vuông góc với hai đường thẳng: Lời giải: Mặt khác d qua điểm M(2 ;1 ;-3) Vậy phương trình tham số đường thẳng d là: x = + t, y = - 9t, z = -3 - 3t III Bài tập vận dụng Bài Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-2; -2; -4), M(1; 0; 0) Lập phương trình đường thẳng d qua điểm M, nằm mặt phẳng (P): x + y + z - = cho khoảng cách từ A đến đường thẳng d đạt giá trị lớn Bài Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình tham số đường thẳng d qua điểm A(-2;3;1), vng góc với trục Ox, đơng thời d song song với mặt phẳng: (P): x + 2y - 3z = ... tắc đường thẳng d là: Lời giải: Đường thẳng ∆ có vecto phương Đường thẳng d qua M(4;3;1) song song với đường thẳng ∆ nên có vecto phương Phương trình tắc đường thẳng d là: Câu 3: Trong không gian. .. phương trình vơ nghiệm Ví dụ Xét vị trí tương đối hai đường thẳng: Lời giải: Đường thẳng d có vecto phương Đường thẳng d’ có vecto phương không phương hệ Ta thấy, không tồn số thực k để nên hai đường. .. vecto phương Phương trình tắc d: Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho d đường thẳng qua điểm M(1;2;3) vng góc với mặt phẳng (Oxy) Trong khẳng định đây, khẳng định sai? A Phương trình tắc đường thẳng