Chuyên đề Hệ tọa độ trong không gian Toán 12 A Lý thuyết I Tọa độ của điểm và của vecto 1 Hệ tọa độ Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một đ[.]
Chun đề Hệ tọa độ khơng gian - Tốn 12 A Lý thuyết I Tọa độ điểm vecto Hệ tọa độ Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vng góc với đôi chung điểm gốc O Gọi vectơ đơn vị, trục x’Ox; y’Oy; z’Oz Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ Đề- vng góc Oxyz không gian, hay đơn giản gọi hệ trục tọa độ Oxyz Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi vuông góc với gọi mặt phẳng tọa độ Khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cịn gọi khơng gian Oxyz - Vì vecto đơn vị đơi vng góc với nên: Tọa độ điểm - Trong không gian Oxyz, cho điểm M tùy ý Vì ba vecto khơng đồng phẳng nên có ba số (x; y; z) cho: - Ngược lại, với ba số (x; y; z) ta có điểm M không gian thỏa mãn hệ thức - Ta gọi ba số (x; y; z) tọa độ điểm M hệ trục tọa độ Oxyz cho viết: M = (x; y; z) M (x; y; z) Tọa độ vecto - Trong khơng gian Oxyz cho vecto , ln tồn ba số (a1; a2; a3) cho Ta gọi ba số (a1; a2 ; a3) tọa độ vecto trước viết hệ tọa độ Oxyz cho =(a1; a2 ; a3) a→(a1; a2 ; a3) - Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ điểm M tọa độ vecto Ta có: M(x; y; z)⇔ II Biểu thức tọa độ phép toán vecto - Định lí: Trong khơng gian Oxyz, cho hai vecto Ví dụ Cho Lời giải: - Hệ quả: a) Cho hai vecto b) Vecto c) Với ta có: có tọa độ ( 0; 0; 0) hai vecto phương tồn số k cho: Ví dụ Cho Lời giải: Ví dụ Các cặp vecto sau có phương khơng? Lời giải: a) Ta thấy Do đó, hai vecto khơng phương b) Ta thấy: nên hai vecto phương Ví dụ Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) B( -1; 0; 8) a) Tính b) Tìm tọa độ trung điểm M AB Lời giải: III Tích vơ hướng Biểu thức tọa độ tích vơ hướng - Định lí: Trong khơng gian Oxyz, tích vơ hướng hai vecto Ví dụ Cho Lời giải: Ta có: = 1.1 + ( -3) + 4.1 = -1 Ứng dụng a) Độ dài vecto b) Khoảng cách hai điểm Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(xA ; yA ; zA) B(xB; yB ; zB) Khi đó, khoảng cách hai điểm A B độ dài vecto Do đó, ta có: c) Góc hai vecto Nếu góc góc hai vecto Từ đó, suy Ví dụ Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2) a) Tính AB; AC b) Tính cosin góc A Lời giải: với IV Phương trình mặt cầu - Định lí Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là: ( x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 - Nhận xét Phương trình mặt cầu nói viết dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = với d = a2 + b2 + c2 – r2 Từ đó, ta chứng minh phương trình dạng: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = với điều kiện A2 + B2 + C2 – D > phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính Ví dụ Tìm tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau đây: a) x2 + y2 + z2 – 4x + 2y - = 0; b) x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 2z + = Lời giải: a) Ta có: a = 2; b = -1; c = 0; d = -1 Tâm mặt cầu I(2; -1; 0) bán kính b) Ta có: a = 4; b = 1; c = -1; d = Tâm mặt cầu I( 4; 1; -1) bán kính B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ = (x1, y1, z1), đổi Trong khẳng định đây, khẳng định Lời giải: = (x2, y2, z2) thay Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ điểm là: A(x A; yA, zA), B(xB; yB, zB), CA(xC; yC, zC) Gọi M trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC Khẳng định sau sai? Lời giải: Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A, B có tọa độ điểm A(xA; yA, zA), B(xB; yB, zB) Tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AB là: Lời giải: Câu 4: Trong khơng gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;2;0), B(-4;5;3), C(3;-10;6) Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là: A (0;-1;-1) B (0;-3;-3) C.(0;-2;-2) D Đáp án khác Lời giải: Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho vectơ vectơ phương với vectơ Lời giải: Ta có: có độ dài Tìm tọa độ Mặt khác hai vectơ phương nên ta có: Từ ta suy Vậy đáp án cần tìm C Lưu ý Đáp án D sai, sai lầm tính độ dài vectơ a→ : Mà hai vectơ phương nên ta có: Câu 6: Trong khơng gian Oxyz, cho hai vectơ Với giá trị m A m=1 B m=1 m=-8 C m=-8 D Không tồn m thỏa mãn Lời giải: đạt giá trị lớn Với cặp vectơ Dấu xảy hay hai vectơ vng góc Điều tương đương với điều kiện : Chọn B Nếu suy nghĩ sai là: ‘‘ đạt giá trị lớn góc hai vectơ lớn ’’ góc hai vectơ 180o , tồn số k âm cho Hệ vô nghiệm dẫn đến ta chọn đáp án D Câu 7: Trong không gian Oxyz , gọi φ góc tạo hai vectơ (-1; 2; 3) Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? = (4; 3; 1); = Lời giải: Ta có Suy Vậy đáp án A Lưu ý Đáp án B sai tính nhầm Đáp án C sai tính nhầm Đáp án D sai tính nhầm Câu 8: Trong khơng gian Oxyz , cho hình bình hành ABDC với A(0;0;0), B(1;2;3), D(3;1;-4) Tọa độ điểm C là: A (4;-1;-1) B (2;3;-7) D (-2;-3;7) Lời giải: Vì ABDC hình bình hành nên ta có: Vậy đáp án B Lưu ý Đáp án A sai nhầm giải thiết ABCD hình bình hành Đáp án C xuất phát từ việc vận dụng sai quy tắc hình bình hành Đáp án D xuất phát từ sai lầm cho rằng: Câu 9: Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(1;0;0), B(1;2;0), D(2;-1;0), A’(5;2;2) Tọa độ điểm C’ là: A (3;1;0) B (8;3;2) C (2;1;0) D (6;3;2) Lời giải: Vì ACC’A’, ABCD hình bình hành nên áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: Từ suy ra: Vậy đáp án D Lưu ý Đáp án A sai cho tọa độ C’ tổng tọa độ hai điểm B D Đáp án B sai cho tọa độ C’ tổng tọa độ ba điểm B, D A’ Đáp án C xuất phát từ sai lầm Câu 10: Cho hai vectơ thay đổi thỏa mãn: Giá trị nhỏ A 11 B -1 C D Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức vectơ Dấu xảy vectơ hướng Vậy độ dài vectơ Suy đáp án C Lưu ý Đáp án A giá trị lớn nhỏ Đáp án B xuất phát từ bất đẳng thức nhiên đáp án B sai độ dài vectơ không âm Đáp án D xuất phát từ nhận xét nhiên trường hợp dấu không xảy II Bài tập tự luận có lời giải Câu 1: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 4z + = Trong khẳng định sau, khẳng định sai? - Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) đường kính có độ dài - Phương trình tắc mặt cầu (S) là: (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = - Diện tích mặt cầu (S) π - Thể tích khối cầu (S) Lời giải: Ta viết lại phương trình (S) dạng tắc sau: x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 4z + = (x2 - 2x + 1) +(y2 - 2y + 1) + (z2 - 4z + 4) = + + - (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = Vậy khẳng định B Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) có bán kính R=1, đường kính (S) 2R=2 Vậy khẳng định A Thể tích khối cầu (S) Khẳng định C sai nhầm cơng thức diện tích mặt cầu với diện tích đường trịn Diện tích mặt cầu (S) là: 4πR2 = 4π Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(0;1;2) Gọi H hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (BCD) Cho H(4;-3;-2) Tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD là: Lời giải: Do ABCD tứ diện nên H trọng tâm tam giác BCD I trùng với trọng tâm G tứ diện ABCD Ta có: Từ ta có: Câu 3: Trong khơng gian Oxyz, cho hai vectơ Khẳng định sai? Lời giải: Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ khác Khẳng định sai? Lời giải: Câu 5: Trong không gian Oxyz, khẳng định đây, khẳng định với ? Lời giải: Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ = (x1; y1; z1), đổi Trong khẳng định đây, khẳng định đúng? = (x2; y2; z2) thay ... viết hệ tọa độ Oxyz cho =(a1; a2 ; a3) a→(a1; a2 ; a3) - Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ điểm M tọa độ vecto Ta có: M(x; y; z)⇔ II Biểu thức tọa độ phép tốn vecto - Định lí: Trong khơng gian. .. y; z) tọa độ điểm M hệ trục tọa độ Oxyz cho viết: M = (x; y; z) M (x; y; z) Tọa độ vecto - Trong không gian Oxyz cho vecto , ln tồn ba số (a1; a2; a3) cho Ta gọi ba số (a1; a2 ; a3) tọa độ vecto... sai? Lời giải: Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A, B có tọa độ điểm A(xA; yA, zA), B(xB; yB, zB) Tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AB là: Lời giải: Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho tam giác