Chuyên đề Hàm số mũ Hàm số logarit Toán 12 A Lý thuyết I Hàm số mũ 1 Định nghĩa Cho số thực dương a khác 1 Hàm số y = ax được gọi là hàm số mũ cơ số a Ví dụ 1 Các hàm số là các hàm số mũ 2 Đạo hàm của[.]
Chuyên đề Hàm số mũ Hàm số logarit - Toán 12 A Lý thuyết I Hàm số mũ Định nghĩa Cho số thực dương a khác Hàm số y = ax gọi hàm số mũ số a Ví dụ Các hàm số hàm số mũ Đạo hàm hàm số mũ Ta thừa nhận cơng thức: – Định lí 1: Hàm số y = ex có đạo hàm x (ex)’ = ex – Chú ý: Công thức đạo hàm hàm hợp hàm số eu ( với u = u(x)) (eu)’ = u’ eu – Định lí 2: Hàm số y = ax ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm x và: (ax)’ = ax ln a – Chú ý: Đối với hàm hợp y = au(x) ta có: (au)’ = au lnu u’ Ví dụ Hàm số có đạo hàm là: Khảo sát hàm số mũ y = ax ( a > a ≠ 1) y = ax ; a > y = ax ; < a < 1 Tập xác định: R Sự biến thiên Tập xác định: R y’ = ax.ln a > với x Sự biến thiên Giới hạn đặc biệt: y’ = ax.ln a < với x limx→−∞ax =0; limx→+∞ax =+ ∞ Giới hạn đặc biệt: Tiệm cận: Trục Ox tiệm cận ngang limx→−∞ax =+ ∞; limx→+∞ax =0 Bảng biến thiên: Tiệm cận: Trục Ox tiệm cận ngang Bảng biến thiên: Đồ thị Đồ thị Bảng tóm tắt tính chất hàm số mũ y = ax ( a > 0; a ≠ 1) Tập xác định − ∞; +∞ Đạo hàm y’ = ax lna a > 1: Hàm số đồng biến Chiều biến thiên < a < 1: Hàm số nghịch biến Tiệm cận Trục Ox tiệm cận ngang Đi qua điểm (0; 1) (1; a), nằm phía trục hồnh Đồ thị (y = ax > ∀x ∈ℝ) II Hàm số logarit Định nghĩa Cho số thực dương a khác Hàm số y = logax gọi hàm số logarit số a Ví dụ Các hàm số hàm số logarit với số Đạo hàm hàm số logarit – Định lí Hàm số y = loga x (a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm x > – Đặc biệt: – Chú ý: Đối với hàm hợp y = logau(x); ta có: – Ví dụ Hàm số y = log4 (x2 + 2x – 7) có đạo hàm là: Khảo sát hàm số logarit y = loga x ( a > 0; a ≠ 1) y = loga x ; a > y = logax ; < a < 1 Tập xác định: (0; + ∞) Tập xác định: (0; + ∞) Sự biến thiên Sự biến thiên y' = 1xlna > 0; ∀x > 0 y' = 1xlna 0 Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: limx→0+ logax = − ∞; limx→+ ∞ logax = + ∞ limx→0+ logax = + ∞; limx→+ ∞ loga Tiệm cận: Trục Oy tiệm cận đứng Tiệm cận: Trục Oy tiệm cận đứng Bảng biến thiên Bảng biến thiên Đồ thị Đồ thị Bảng tóm tắt tính chất hàm số y = logax (a > 0; a ≠ ) Tập xác định 0; + ∞ Đạo hàm y' = 1xlna a > 1: hàm số đồng biến Chiều biến thiên < a< 1: hàm số nghịch biến Tiệm cận Trục Oy tiệm cận đứng Đồ thị Đi qua điểm (1; 0) (a; 1); nằm phía bên phải trục tung Nhận xét: Đồ thị hàm số y = ax y = loga x ( a > 0; a ≠ 1) đối xứng với qua đường thẳng y = x Bảng đạo hàm hàm số lũy thừa, mũ, logarit B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Cho phát biểu sau đồ thị hàm số y = logax (0 < a ≠ 1): (I) Cắt trục hoành (II) Cắt trục tung (III) Nhận trục tung làm tiệm cận đứng (IV) Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang Trong phát biểu trên, phát biểu ? A Chỉ có (I), (II) (III) C Chỉ có (II) (IV) B Chỉ có (II), (III) (IV) D Chỉ có (I) (III) Lời giải: Đồ thị hàm số y = logax ln cắt trục hồnh điểm (1 ;0), nằm bên phải trục tung (vậy không cắt trục tung), nhận trục tung làm tiệm cận đứng, khơng có tiệm cận ngang Vậy có (I) (III) Bài 2: Tìm miền xác định hàm số y = log5(x - 2x2) A D = (0; 2) C D = (-∞; 0) ∪ (2; +∞) Lời giải: Điều kiện để hàm số xác định x - 2x2 > 2x2 - x < < x < Vậy miền xác định D = Bài 3: Tìm miền xác định hàm số Lời giải: Điều kiện Miền xác định Bài 4: Khẳng định sau ? Lời giải: Lưu ý < < e < π + π > ⇒ y = πx hàm đồng biến ⇒π>π Bài 5: Khẳng định sau sai ? Lời giải: Bài 6: Viết số theo thứ tự tăng dần Lời giải: Chọn đáp án A Bài 7: Tìm đạo hàm hàm số y = log5(xex) Lời giải: Để thuận tiện, ta viết lại Chọn đáp án D Bài 8: Tìm khoảng đồng biến hàm số y = x2e-4x Lời giải: Tập xác định R Ta có: y' = 2xe-4x + x2e-4x(-4) = 2e-4xx(1 - 2x) Bảng biến thiên Khoảng đồng biến hàm số (0; ) Chọn đáp án C Bài 9: Tìm khoảng nghịch biến hàm số y = 3ln(x +1) + x A.(-1; 2) C (-2 ;-1) (2; +∞) B (2; +∞) D (-∞; -2) (-1 ;2) Lời giải: Tập xác định : (-1; +∞) Bảng biến thiên : Kết hợp điều kiện, x > -1 Từ đó, khoảng nghịch biến hàm số là(2; +∞) Chọn đáp án B Bài 10: Cho hai số thực a b , với < a < b < Khẳng định sau ? A logba < < logab C logab < < logba B logba < logab < D < logab < logba Lời giải: Đặt c = b - a ta có c > Vì < a < b < nên hàm số y = logax logbx nghịch biến (0; +∞) nên ta có logab = loga(a + c) < logaa = logba = logb(b - c) > logbb = Vậy logab < a < logba Chọn đáp án C II Bài tập tự luận có lời giải Bài 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x3e-2x đoạn [-1; 4] Lời giải: y' = 3x2e-2x + x3e-2x(-2) = 3x2e-2x - 2x3e-2x = x2(3 - 2x)e-2x y'= x = (loại) x = Ta có Bài 2: Số lượng cá thể mẻ cấy vi khuẩn sau t ngày kể từ lúc ban đầu ước lượng cơng thức N(t) = 1200.(1,148)t Hãy tính số lượng cá thể mẻ vi khuẩn hai thời điểm: ban đầu sau 10 ngày Làm tròn kết đến hàng trăm có kết là: Lời giải: Số lượng ban đầu: N(0) = 1200.(1,148)0 = 1200 cá thể Số lượng sau 10 ngày: N(10) = 1200.(1,148)10 ≈ 4771 ≈4800 cá thể Bài 3: Dựa liệu WHO (Tổ chức Y tế giới), số người giới bị nhiễm HIV khoảng từ năm 1985 đến 2006 ước lượng công thức N(t) tính đơn vị triệu người, t tính đơn vị năm t = ứng với đầu năm 1985 Theo cơng thức trên, có số người giới bị nhiễm HIV thời điểm đầu năm 2005? Lời giải: Ta có 2005 – 1985 = 20 (năm) Vậy đầu năm 2005 ứng với t = 20 Số cần tìm Bài 4: Biết năm 2003 dân số Việt Nam 80 902 000 người tỉ lệ tăng dân số 1,47% Hỏi giữ nguyên tỉ lệ tăng dân số hàng năm năm 2020 dân số Việt Nam (làm tròn kết đến hàng nghìn)? Lời giải: Cơng thức tính dân số theo kiện cho là: N(t) = 80902000.e0,0147t thời gian t tính năm t = ứng với đầu năm 2003 Ta có 2020 – 2003 = 17 Vậy năm 2020 ứng với t = 17 Dân số năm 2020 tính theo kiện cho : N(17) = 80902000.e17.0,0147t ≈ 103870000 người Bài 5: Nồng độ c chất hóa học sau thời gian t xảy phản ứng tự xúc tác xác định công thức Hãy chọn phát biểu : A Nồng độ c ngày giảm B Nồng độ c ngày tăng C Trong khoảng thời gian đầu nồng độ c tăng, sau giảm dần D Trong khoảng thời gian đầu nồng độ c giảm, sau tăng dần Lời giải: với t ≥ nên c(t) tăng [0; +∞] , nghĩa nồng độ c ngày tăng Bài 6: Cho hàm số: (I) y = (0,3)-x (II) y = (1,3)-2x Trong hàm số cho, hàm số đồng biến R ? Lời giải: Hàm số đồng biến a > Viết lại hàm số dạng hàm số mũ y = ax : Trong bốn số ta thấy có hai số lớn Do có hai hàm số (I) (IV) đồng biến R Bài 7: Tìm khoảng đồng biến hàm số y = 4x - 5ln(x2 + 1) Lời giải: Tập xác định : R Bảng xét dấu Khoảng đồng biến hàm số (-∞; ) (2; +∞) Bài 8: Cho hàm số y = x2e-x Khẳng định sau ? A Hàm số có x = điểm cực đại, x = điểm cực tiểu B Hàm số có x = điểm cực tiểu, x = -2 điểm cực đại C Hàm số có x = điểm cực đại, x = -2 điểm cực tiểu D Hàm số có x = điểm cực tiểu, x = điểm cực đại Lời giải: y' = e-xx(2 - x) Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy x = điểm cực tiểu, x = điểm cực đại hàm số Bài 9: Tìm đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số Lời giải: Từ suy hàm số có hai tiệm cận ngang y = y = Vậy đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang là: y = ;y=0 Bài 10: Một quần thể vi khuẩn lúc đầu có 200 cá thể sau ngày số lượng cá thể tăng lên gấp ba lần Tìm cơng thức biểu thị số lượng cá thể (kí hiệu N) quần thể sau t ngày kể từ lúc ban đầu Lời giải: Theo giả thiết, số lượng vi khuẩn sau 1, 2, 3,… ngày 200.3 ; 200 3.3 ; 200.3.3.3 ;… Từ ta thấy cơng thức N(t) = 200.3t III Bài tập vận dụng Bài Số lượng cá thể loài sinh vật bị suy giảm 10 năm theo cách : số lượng năm sau 95% số lượng năm trước Tại thời điểm chọn làm mốc thời gian lồi có 5000 cá thể Công thức sau diễn tả số lượng cá thể (kí hiệu N) lồi theo thời gian t (tính năm, ≤ t ≤ 10 ) ? Bài Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với hình thức lãi kép lãi suất 6,8% năm Hỏi sau năm tài khoản tiết kiệm người có tiền (làm trịn kết đến hàng nghìn) ? Bài Cho hai số thực a b, với < a < < b Khẳng định sau đúng? Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x2 - 2x + ln(2x + 1) [0; 1] Bài Dân số Việt Nam năm 2015 91,71 triệu người tỉ lệ tăng dân số 1,08% Hỏi giữ nguyên tỉ lệ tăng dân số hàng năm năm 2020 dân số Việt Nam (làm tròn kết đến hàng chục nghìn) ? Bài Giả sử số lượng cá thể mẻ cấy vi khuẩn thay đổi theo thời gian t theo công thức Bài Số lượng cá thể quần thể vi khuẩn sau thời gian t kể từ thời điểm ban đầu ước lượng công thức Bài Giá trị xe ô tô sau t năm kể từ mua ước lượng công thức G(t) = 600e-0,12t (triệu đồng) Tính giá trị xe hai thời điểm : lúc mua lúc sử dụng năm (làm tròn kết đến hàng triệu) Bài Tìm đạo hàm hàm số y = x.23x Bài 10 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = xe-2x + giao điểm đồ thị hàm số với trục tung ... ∀x ∈ℝ) II Hàm số logarit Định nghĩa Cho số thực dương a khác Hàm số y = logax gọi hàm số logarit số a Ví dụ Các hàm số hàm số logarit với số Đạo hàm hàm số logarit – Định lí Hàm số y = loga... 6: Cho hàm số: (I) y = (0,3)-x (II) y = (1,3)-2x Trong hàm số cho, hàm số đồng biến R ? Lời giải: Hàm số đồng biến a > Viết lại hàm số dạng hàm số mũ y = ax : Trong bốn số ta thấy có hai số lớn... thị hàm số y = ax y = loga x ( a > 0; a ≠ 1) đối xứng với qua đường thẳng y = x Bảng đạo hàm hàm số lũy thừa, mũ, logarit B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Cho phát biểu sau đồ thị hàm số