Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU Một số tập toán nâng cao LỚP ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : ab ab bc ca ab abc a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết : a b a b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A x 4x 17 So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính) : a) 15 b) c) 23 19 27 d) 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn 17 và 45 nhỏ 19 Giải phương trình : 3x 6x 5x 10x 21 2x x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 1 1 1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1998 Hãy so sánh S 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a khơng phải số phương a số vô tỉ 21 Cho S 23 Cho số x y dấu Chứng minh : x y 2 y x x y2 x y b) x y x y a) x y4 x y2 x y c) x y x y x y ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 1 b) m với m, n số hữu tỉ, n ≠ n 25 Có hai số vô tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? x y x y2 26 Cho số x y khác Chứng minh : y x y x 27 Cho số x, y, z dương Chứng minh : x y2 z2 x y z y2 z2 x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh : x y x y x 6x 17 x y z 33 Tìm giá trị nhỏ : A với x, y, z > y z x 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vơ tỉ khơng : a số vô tỉ b a b) a + b số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b a) ab c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a b c d 2 bc cd da ab 39 Chứng minh 2x x x 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : 40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A= x B x 4x C x 2x D E x 1 x 2 2x x G 3x 5x x x 42 a) Chứng minh : | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M c) Giải phương trình : x 4x x 6x 4x 20x 25 x 8x 16 x 18x 81 43 Giải phương trình : 2x 8x x 4x 12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A x2 x B 1 3x C 9x ThuVienDeThi.com D x 5x CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU E G 2x x x x2 x 4 H x 2x x 2 x 3x 45 Giải phương trình : 0 x 3 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B x x 1 48 So sánh : a) a b= b) 13 c) n n n+1 n (n số nguyên dương) 1 49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A 6x 9x (3x 1) 50 Tính : a) 42 11 b) d) A m 8m 16 m 8m 16 51 Rút gọn biểu thức : M c) 27 10 e) B n n n n (n ≥ 1) 41 45 41 45 41 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x y) (y 2) (x y z) 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P 25x 20x 25x 30x 54 Giải phương trình sau : a) x x x d) x x 2x b) x x c) x x x x e) x 4x x h) x 2x x 6x g) x x 5 i) x x x 25 k) x x x x l) 8x 3x 7x 2x x y2 55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: 2 xy 56 Rút gọn biểu thức : a) 13 30 b) m m m m c) 57 Chứng minh 2 58 Rút gọn biểu thức : a) C 62 6 d) 227 30 123 22 2 3 62 6 3 b) D 96 59 So sánh : a) 20 1+ b) 17 12 1 c) 60 Cho biểu thức : A x x 4x a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau : a) 11 10 b) 14 ThuVienDeThi.com 28 16 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU c) 11 10 62 Cho a + b + c = ; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức : 63 Giải bất phương trình : 1 1 1 2 a b c a b c x 16x 60 x 64 Tìm x cho : x x 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A 67 Cho biểu thức : A x x 2x x x 2x 16 x b) B x 8x 2x 1 x 2x x x 2x x x 2x a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y – | với | x | + | y | = 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 71 Trong hai số : n n n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 72 Cho biểu thức A Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : ( 5)( 5)( 5)( 5) 74 Chứng minh số sau số vô tỉ : 3 ; 3 ; 2 3 75 Hãy so sánh hai số : a 3 b=2 ; 76 So sánh 1 số 77 Rút gọn biểu thức : Q 2 3 6 84 2 3 78 Cho P 14 40 56 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x y y x 80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A x x 81 Tìm giá trị lớn : M a b với a, b > a + b ≤ 82 CMR số 2b c ad ; 2c d ab ; 2d a bc ; 2a b cd có hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : N 18 84 Cho x y z xy yz zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n 86 Chứng minh : a b 2 2(a b) ab (a, b ≥ 0) 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU (x 2) 8x b) B x x a 2 Khi có đẳng thức ? 89 Chứng minh với số thực a, ta có : a2 1 ab b a 88 Rút gọn : a) A b b 90 Tính : A hai cách 5 6,9 b) 2 2 92 Tính : P 2 2 91 So sánh : a) 13 12 7 x 2x x 2x 2 1.3.5 (2n 1) 94 Chứng minh ta ln có : Pn ; n Z+ 2.4.6 2n 2n 93 Giải phương trình : a2 b2 a b b a 95 Chứng minh a, b > 96 Rút gọn biểu thức : x 4(x 1) x 4(x 1) 1 x 1 x 4(x 1) A= a b b a : a b (a, b > ; a ≠ b) ab a b 14 a a a a 15 2 b) c) 1 : 1 a (a > 0) a a 97 Chứng minh đẳng thức sau : a) 29 20 98 Tính : a) c) ; b) 13 48 28 16 48 b) 15 12 99 So sánh : a) 15 16 c) 18 19 d) 25 48 100 Cho đẳng thức : a a2 b a a2 b a b (a, b > a2 – b > 0) 2 Áp dụng kết để rút gọn : a) c) 2 2 2 2 ; b) 3 2 17 12 10 30 2 : 10 2 1 101 Xác định giá trị biểu thức sau : a) A xy x y xy x y 2 với x 1 1 a , y 2 a 1 1 b 2 b ThuVienDeThi.com (a > ; b > 1) 3 2 17 12 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU b) B a bx a bx a bx a bx với x 102 Cho biểu thức P(x) 2am , m b 1 m 2x x 3x 4x a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < 103 Cho biểu thức A x24 x2 x24 x2 4 1 x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a) x b) x x (x 0) e) 3x g) 2x 2x 105 Rút gọn biểu thức : A h) x 2x 10 10 a b a b a a b 108 Rút gọn biểu thức : A 109 Tìm x y cho : i) 2x x 48 10 c) 107 Chứng minh đẳng thức với b ≥ ; a ≥ a) d) x x 2x x 2x , ba cách ? 106 Rút gọn biểu thức sau : a) b) c) x 94 42 94 42 b a a2 b a a2 b a b 2 b) x 2x x 2x xy2 x y a c b d 110 Chứng minh bất đẳng thức : a b2 c2 d 111 Cho a, b, c > Chứng minh : a2 b2 c2 abc bc ca ab 2 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a b c 3,5 113 CM : a c b c b) a ab bc ca d b d (a b)(c d) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A x x 115 Tìm giá trị nhỏ : A (x a)(x b) x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 117 Tìm giá trị lớn A = x + x 118 Giải phương trình : x 5x 3x 119 Giải phương trình : x x 1 x x 1 120 Giải phương trình : 3x 21x 18 x 7x 3x 6x 5x 10x 14 2x x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ : ; 2 121 Giải phương trình : 123 Chứng minh x 2 4x ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : a b b c b(a c) với a, b, c > 125 Chứng minh (a b)(c d) ac bd với a, b, c, d > 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác (a b) a b 127 Chứng minh a b b a với a, b ≥ a b c 128 Chứng minh với a, b, c > bc ac ab 129 Cho x y y x Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A x x 1 x x 1 131 Tìm GTNN, GTLN A x x 132 Tìm giá trị nhỏ A x x 2x 133 Tìm giá trị nhỏ A x 4x 12 x 2x 134 Tìm GTNN, GTLN : a) A 2x x b) A x 99 101 x 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn a b (a b số dương) x y 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = xy yz zx với x, y, z > , x + y + z = z x y x2 y2 z2 138 Tìm GTNN A biết x, y, z > , xy yz zx xy yz zx 137 Tìm GTNN A a b với a, b > , a + b ≤ c a d b c b d c d 139 Tìm giá trị lớn : a) A b) B a b a 4 4 với a, b, c, d > a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = b c với b + c ≥ a + d ; b, c > ; a, d ≥ cd ab 141 Tìm GTNN A 142 Giải phương trình sau : a) x 5x 3x 12 d) x x b) x 4x x e) x x x h) x x x x g) x 2x x 2x i) x x x k) x x x l) 2x 8x x 2x m) x x x o) x x c) 4x 3x n) x x 10 x x x 1x 3x 5 2x p) 2x x 2x x x q) 2x 9x 2x 2x 21x 11 143 Rút gọn biểu thức : A 2 18 20 2 ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 144 Chứng minh rằng, n Z+ , ta ln có : 145 Trục thức mẫu : a) 146 Tính : a) 29 20 147 Cho a 148 Cho b 1 3 2 17 12 c) 1x x 5 x 1 n 1 1 n b) x x 1 b) 13 48 29 12 c) 10 Chứng minh a số tự nhiên 3 2 17 12 b có phải số tự nhiên khơng ? 149 Giải phương trình sau : a) 30 x x 3 x 5 x x 3 b) 2 150 Tính giá trị biểu thức : M 1x 1x 3 d) x x 12 29 25 21 12 29 25 21 1 1 1 2 3 n 1 n 1 1 152 Cho biểu thức : P 2 3 4 2n 2n 151 Rút gọn : A a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ không ? 1 1 153 Tính : A 1 100 99 99 100 1 154 Chứng minh : n n 155 Cho a 17 Hãy tính giá trị biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000 156 Chứng minh : a a a a (a ≥ 3) 157 Chứng minh : x x (x ≥ 0) 158 Tìm giá trị lớn S x y , biết x + y = 159 Tính giá trị biểu thức sau với a 160 Chứng minh đẳng thức sau : 10 15 3 10 d) a) 15 c) Chứng minh bất đẳng thức sau : 2a 2a : A 2a 2a b) 48 2 1 e) 5 5 10 5 5 1 0, 1,01 c) a) 27 48 b) ThuVienDeThi.com 1 17 161 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 1 2 3 3 3 2 6 2 2 d) 22 e) h) 10 3 1 5 2 3 1,9 g) 5 3 i) 17 12 2 0,8 n n Từ suy ra: n 1 2004 2005 1006009 2 3 163 Trục thức mẫu : a) b) 2 3 6 84 2 3 3 164 Cho x Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2 y= 3 3 2002 2003 165 Chứng minh bất đẳng thức sau : 2002 2003 2003 2002 x 3xy y 166 Tính giá trị biểu thức : A với x y xy2 6x x x2 167 Giải phương trình : x 1 x 168 Giải bất pt : a) 3 5x 72 b) 10x 14 c) 2 2x 162 Chứng minh : n n 169 Rút gọn biểu thức sau : a) A 29 12 c) C x x2 b) B a a(a 1) a d) D a 1 a x 5x x x 2x x 3x x (x 2) x 1 1 E 1 2 3 24 25 170 Tìm GTNN GTLN biểu thức A x2 171 Tìm giá trị nhỏ A với < x < 1 x x y2 x 1 172 Tìm GTLN : a) A x y biết x + y = ; b) B x y 173 Cho a 1997 1996 ; b 1998 1997 So sánh a với b, số lớn ? 174 Tìm GTNN, GTLN : a) A 175 Tìm giá trị lớn 176 Tìm giá trị lớn 177 Tìm GTNN, GTLN 178 Tìm GTNN, GTLN 52 6x A x 1 x2 b) B x 2x A = | x – y | biết x2 + 4y2 = A = x3 + y3 biết x, y ≥ ; x2 + y2 = A x x y y biết x y ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU x x 3x (x 2) 179 Giải phương trình : 11 x 1 x2 180 Giải phương trình : x 2x 4x 2x 1 1 2 (n 1) n 1 1 182 Cho A Hãy so sánh A 1,999 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 183 Cho số x, y x y số hữu tỉ Chứng minh số x ; y số hữu tỉ 181 CMR, n Z+ , ta có : 3 ; b 2 CMR : a, b số hữu tỉ 3 2 a a a a a a 1 185 Rút gọn biểu thức : P (a > ; a ≠ 1) a a a 1 a 1 a 1 a 1 186 Chứng minh : a a 4a (a > ; a ≠ 1) a a a 184 Cho a x 8x (0 < x < 2) x x b ab a b ab 188 Rút gọn : a : a b ab b ab a ab 5a 2 189 Giải bất phương trình : x x a (a ≠ 0) x2 a2 a a a a a a 190 Cho A 1 a : a a 187 Rút gọn : a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A với a = c) Với giá trị a | A | = A 191 Cho biểu thức : B a) Rút gọn biểu thức B c) So sánh B với -1 192 Cho A a b 1 a b b b a ab ab a ab a ab b) Tính giá trị B a a ab ab : a ab ab a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm b biết | A | = -A c) Tính giá trị A a ; b a 1 a 1 a a a 1 a a 1 193 Cho biểu thức A a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị A a 2 c) Tìm giá trị a để ThuVienDeThi.com A A CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 12 a a a a a a a a 194 Cho biểu thức A a) Rút gọn biểu thức A 1 a 1 a 1 a 1 a 195 Thực phép tính : A 2 196 Thực phép tính : B 2 b) Tìm giá trị A để A = - 1 a 1 a : 1 a 1 a 2 2 197 Rút gọn biểu thức sau : x y 1 a) A : xy xy x y x y xy 1 y x y x với x ; y b) B c) C x x y2 x x y2 2(x y) 2a x 1 x2 x d) D (a b) e) E với x a 1 a a 2 a 1 a 1b 1 c2 x 2x x 2x x ; 0 y > 2x x2 x x x2 2x x x với x ≥ 1 1 Tính a7 + b7 ,b 2 200 Cho a a) Viết a2 ; a3 dạng m m , m số tự nhiên 199 Cho a b) Chứng minh với số nguyên dương n, số an viết dạng 201 Cho biết x = nghiệm phương trình x3 + ax2 + bx + c = với hệ số hữu tỉ Tìm nghiệm cịn lại 202 Chứng minh n 203 Tìm phần nguyên số 1 n với n N ; n ≥ 2 n 204 Cho a Tính a) a b) (có 100 dấu căn) a x y số hữu tỉ Chứng minh số x , y số hữu tỉ 1 1 206 CMR, n ≥ , n N : 2 (n 1) n 1 1 207 Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , … a25 thỏa đk : Chứng minh a1 a2 a3 a 25 205 Cho số x, y, 25 số tự nhiên tồn số ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 208 Giải phương trình 2 x 2 x 209 Giải biện luận với tham số a 2 x 13 2 2 x 1 x 1 x a 1 x 1 x x 1 y 2y 210 Giải hệ phương trình y 1 z 2z z 1 x 2x 211 Chứng minh : 8 có chữ số liền sau dấu phẩy b) Số 7 có mười chữ số liền sau dấu phẩy a) Số 10 212 Kí hiệu an số nguyên gần n (n N*), ví dụ : a1 ; 1, a ; 1,7 a ; 1 1 Tính : a1 a a a1980 a) a n 213 Tìm phần ngun số (có n dấu căn) : b) a n 4 a4 c) a n 1996 1996 1996 1996 214 Tìm phần nguyên A với n N : A 4n 16n 8n 215 Chứng minh viết số x = 2 200 1, chữ số liền sau dấu phẩy 216 Tìm chữ số tận phần nguyên dạng thập phân, ta chữ số liền trước dấu phẩy 2 250 217 Tính tổng A 24 218 Tìm giá trị lớn A = – x) với x ≥ 3 219 Giải phương trình : a) x x x2(3 x x 1 220 Có tồn số hữu tỉ dương a, b không : a) a b b) a b b) 221 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) abc 222 Chứng minh bất đẳng thức Cauchy với số không âm : abc a b c d 223 Cho a, b, c, d > Biết Chứng minh : abcd 1 a 1 b 1 c 1 d 81 2 x y z x y z 224 Chứng minh bất đẳng thức : với x, y, z > y z x y z x b) 225 Cho a 3 3 3 3 ; b 3 Chứng minh : a < b n 1 226 a) Chứng minh với số nguyên dương n, ta có : 1 n b) Chứng minh số có dạng n n (n số tự nhiên), số 3 có giá trị lớn 227 Tìm giá trị nhỏ A x2 x 1 x2 x 1 ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 14 228 Tìm giá trị nhỏ A = x2(2 – x) biết x ≤ 229 Tìm giá trị lớn A x x 230 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x(x2 – 6) biết ≤ x ≤ 231 Một miếng bìa hình vng có cạnh dm Ở góc hình vng lớn, người ta cắt hình vng nhỏ gấp bìa để hộp hình hộp chữ nhật khơng nắp Tính cạnh hình vng nhỏ để thể tích hộp lớn 232 Giải phương trình sau : a) x 16 x x x 5x e) h) (x 1) (x 1) x k) 1 x2 1 x 1 x x 3x x 1 x i) l) a a 2b2 b4 7 x x 5 g) 6x 7 x x 5 2 3 x x 1 d) 2x x c) 233 Rút gọn A b) a ab b x 1 x x a x b x a b 2x (a, b tham số) 234 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x x x x 235 Xác định số nguyên a, b cho nghiệm phương trình : 3x3 + ax2 + bx + 12 = 1 236 Chứng minh 3 số vô tỉ 237 Làm phép tính : a) 2 b) 238 Tính : a 20 14 20 14 239 Chứng minh : 240 Tính : A 7 48 28 16 48 241 Hãy lập phương trình f(x) = với hệ số nguyên có nghiệm : x 3 242 Tính giá trị biểu thức : M = x3 + 3x – 14 với x 243 Giải phương trình : a) b) 3 75 x 25 x x (x 3) 244 Tìm GTNN biểu thức : A c) x 32 x 32 x3 x3 x3 x3 245 Cho số dương a, b, c, d Chứng minh : a + b + c + d ≥ 4 abcd 246 Rút gọn : P 8x 2 x x2 :2 2 x x x2 x x x x ; x>0,x≠8 247 CMR : x 17 17 nghiệm phương trình x3 – 6x – 10 = 248 Cho x 15 15 Tính giá trị biểu thức y = x3 – 3x + 1987 a 249 Chứng minh đẳng thức : 94 a a ThuVienDeThi.com a 1 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 15 3 2,1 250 Chứng minh bất đẳng thức : 251 Rút gọn biểu thức sau : 1 23 a a b b 4b b a) A 3 3 a ab b b b a a 2a b a b a b ab c) C 3 3a a b a ab 252 Cho M 2 b b) b8 24 b8 x 4a x 4x Tính giá trị biểu thức M biết rằng: x 4x x 4x 253 Tìm giá trị nhỏ : P x 2ax a x 2bx b (a < b) 254 Chứng minh rằng, a, b, c độ dài cạnh tam giác : abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) 255 Tìm giá trị biểu thức | x – y | biết x + y = xy = -1 256 Biết a – b = + , b – c = - 1, tìm giá trị biểu thức : A = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca 257 Tìm x, y, z biết : x y z x y z 258 Cho y x x x x CMR, ≤ x ≤ giá trị y số 259 Phân tích thành nhân tử : M x x x x (x ≥ 1) 260 Trong tất hình chữ nhật có đường chéo , tìm hình chữ nhật có diện tích lớn 261 Cho tam giác vng ABC có cạnh góc vng a, b cạnh huyền c Chứng minh ta ln có : c ab 262 Cho số dương a, b, c, a’, b’, c’ Chứng minh : Nếu a b c a' b ' c ' aa' bb ' cc ' (a b c)(a ' b ' c ') 263 Giải phương trình : | x2 – | + | x2 – | = 264 Chứng minh giá trị biểu thức C không phụ thuộc vào x, y : C xy x y xy x y xy x y x y 4xy với x > ; y > 265 Chứng minh giá trị biểu thức D không phụ thuộc vào a: 2 a a a a a a 1 với a > ; a ≠ D a a a a c ac 266 Cho biểu thức B a a c ac a c ac c ac a ac a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị biểu thức B c = 54 ; a = 24 c) Với giá trị a c để B > ; B < 267 Cho biểu thức : A= m+ 2mn 2mn m 1 2 1+n 1 n n ThuVienDeThi.com với m ≥ ; n ≥ CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 16 b) Tìm giá trị A với m 56 24 a) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nhỏ A 1 x 1 x 1 x x 2 x 1 x 1 x2 x x x 1 x 1 x x x 269 Cho P : 1 với x ≥ ; x ≠ x x x x x x 268 Rút gọn D a) Rút gọn biểu thức P 270 Xét biểu thức y b) Tìm x cho P < x x 2x x 1 x x 1 x a) Rút gọn y Tìm x để y = c) Tìm giá trị nhỏ y ? b) Giả sử x > Chứng minh : y - | y | = PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI m2 m (tối giản) Suy hay 7n m (1) Đẳng thức chứng tỏ n n m mà số nguyên tố nên m Đặt m = 7k (k Z), ta có m2 = 49k2 (2) Từ (1) (2) suy 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại có n2 số nguyên tố nên n m n chia hết m phân số không tối giản, trái giả thiết Vậy khơng phải số hữu tỉ; số vô tỉ n Giả sử số hữu tỉ 7 Khai triển vế trái đặt nhân tử chung, ta vế phải Từ a) b) (ad – bc)2 ≥ Cách : Từ x + y = ta có y = – x Do : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + ≥ Vậy S = x = y = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có : (x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) ≤ 2(x2 + y2) = 2S S ≥ mim S = x = y = bc ca bc ab ca ab , ta có: ; ; a b a c b c bc ca bc ca bc ab bc ab ca ab ca ab 2 2c; 2 2b ; 2 2a cộng vế ta bất a b a b a c a c b c b c b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương đẳng thức cần chứng minh Dấu xảy a = b = c 3a 5b 3a.5b 12 12 (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) 122 ≥ 60P P ≤ max P = 5 c) Với số dương 3a 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có : Dấu xảy 3a = 5b = 12 : a = ; b = 6/5 Ta có b = – a, M = a3 + (1 a)3 = 3(a ẵ)2 + ẳ ≥ ¼ Dấu “=” xảy a = ½ Vậy M = ¼ a = b = ½ Đặt a = + x b3 = – a3 = – (1 + x)3 = – 3x – 3x2 – x3 ≤ – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3 Suy : b ≤ – x Ta lại có a = + x, nên : a + b ≤ + x + – x = Với a = 1, b = a3 + b3 = a + b = Vậy max N = a = b = Hiệu vế trái vế phải (a – b)2(a + b) Vì | a + b | ≥ , | a – b | ≥ , nên : | a + b | > | a – b | a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2 4ab > ab > Vậy a b hai số dấu a) Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + – 4a = a2 – 2a + = (a – 1)2 ≥ b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c bất đẳng thức có hai vế dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82 Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 17 10 a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) ≤ 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 Khai triển rút gọn, ta : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 2x x 11 a) 2x x 2x x 3x x x x b) x2 – 4x ≤ (x – 2)2 ≤ 33 | x – | ≤ -3 ≤ x – ≤ -1 ≤ x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – (2x – 1)2 ≤ Nhưng (2x – 1)2 ≥ 0, nên : 2x – = Vậy : x = ½ 12 Viết đẳng thức cho dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = (1) Nhân hai vế (1) với đưa dạng : a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = (2) Do ta có : a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = Suy : a = b = c = d = 13 2M = (a + b – 2) + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 M ≥ 1998 a b Dấu “ = “ xảy có đồng thời : a Vậy M = 1998 a = b = b 14 Giải tương tự 13 15 Đưa đẳng thức cho dạng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + = 16 A 1 1 max A= x x 4x x 5 15 16 Vậy 15 < b) 17 16 49 45 23 19 23 16 23 2.4 c) 25 27 3 17 a) d) Giả sử 2 3 22 Bất đẳng thức cuối đúng, nên : 18 Các số 1,42 18 12 18 12 2 19 Viết lại phương trình dạng : 3(x 1) 5(x 1) 16 (x 1) Vế trái phương trình khơng nhỏ 6, cịn vế phải không lớn Vậy đẳng thức xảy hai vế 6, suy x = -1 ab ab viết lại dạng ab ab (*) (a, b ≥ 0) 20 Bất đẳng thức Cauchy Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dạng (*) với hai số dương 2x xy ta : 2x xy 2x.xy 4 Dấu “ = “ xảy : 2x = xy = : tức x = 1, y = max A = x = 2, y = 21 Bất đẳng thức Cauchy viết lại dạng : 22 Chứng minh 1 1998 Áp dụng ta có S > 1999 ab a b x y x y x y 2xy (x y) 2 Vậy y x y x xy xy 2 2 x y x y x y x y x y b) Ta có : A Theo câu a : x y x y x y x y x y 23 a) ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 18 x y2 x y x y A 1 1 x y x y x y x y4 x y2 x y c) Từ câu b suy : Vì (câu a) Do : x y x y x y x y4 x y2 x y x y x y x y 24 a) Giả sử = m (m : số hữu tỉ) = m2 – số hữu tỉ (vô lí) 3 = a (a : số hữu tỉ) = a – m = n(a – m) số hữu tỉ, vơ lí n n 25 Có, chẳng hạn (5 2) x y2 x y x y2 26 Đặt a a Dễ dàng chứng minh nên a2 ≥ 4, y x y x y x b) Giả sử m + | a | ≥ (1) Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2 – + ≥ 3a a2 – 3a + ≥ (a – 1)(a – 2) ≥0 (2) Từ (1) suy a ≥ a ≤ -2 Nếu a ≥ (2) Nếu a ≤ -2 (2) Bài tốn chứng minh 27 Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : x z y x z x x z y x z y xyz x y2z2 Cần chứng minh tử không âm, tức : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ (1) Biểu thức không đổi hốn vị vịng x y z x nên giả sử x số lớn Xét hai trường hợp : a) x ≥ y ≥ z > Tách z – x (1) thành – (x – y + y – z), (1) tương đương với : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥ z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥ Dễ thấy x – y ≥ , x – y z ≥ , y – z ≥ , yx2 – z3 ≥ nên bất đẳng thức b) x ≥ z ≥ y > Tách x – y (1) thành x – z + z – y , (1) tương đương với : x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z) ≥ z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y) ≥ Dễ thấy bất đẳng thức dúng Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : x y z x y z 1 1 1 y z x y z x 2 28 Chứng minh phản chứng Giả sử tổng số hữu tỉ a với số vô tỉ b số hữu tỉ c Ta có : b = c – a Ta thấy, hiệu hai số hữu tỉ c a số hữu tỉ, nên b số hữu tỉ, trái với giả thiết Vậy c phải số vơ tỉ 29 a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 Khai triển rút gọn ta : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) Tương tự câu b 30 Giả sử a + b > (a + b)3 > a3 + b3 + 3ab(a + b) > + 3ab(a + b) > ab(a + b) > ab(a + b) > a3 + b3 Chia hai vế cho số dương a + b : ab > a2 – ab + b2 (a – b)2 < 0, vơ lí Vậy a + b ≤ 31 Cách 1: Ta có : x ≤ x ; y ≤ y nên x + y ≤ x + y Suy x + y số nguyên không vượt x + y (1) Theo định nghĩa phần nguyên, x y số nguyên lớn không vượt x + y (2) Từ (1) (2) suy : x + y ≤ x y Cách : Theo định nghĩa phần nguyên : ≤ x - x < ; ≤ y - y < Suy : ≤ (x + y) – ( x + y ) < Xét hai trường hợp : ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU - 19 Nếu ≤ (x + y) – ( x + y ) < x y = x + y (1) Nếu ≤ (x + y) – ( x + y ) < ≤ (x + y) – ( x + y + 1) < nên x y = x + y + (2) Trong hai trường hợp ta có : x + y ≤ x y 32 Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + ≥ nên tử mẫu A số dương , suy A > : A lớn nhỏ x2 – 6x + 17 nhỏ A Vậy max A = x = 33 Khơng dùng phép hốn vị vòng quanh x y z x giả sử x ≥ y ≥ z Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x, y, z : A x y z x y z 33 y z x y z x x y z x y z 3 x yz y z x y z x x y z x y y z y x y Cách : Ta có : Ta có (do x, y > 0) nên để chứng minh y z x y x z x x y x x y z y z y ta cần chứng minh : (1) y z x z x x Do (1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) xy + – yz – xz ≥ y(x – z) – z(x – z) ≥ (x – z)(y – z) ≥ (2) (2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm giá trị nhỏ z2 x y z y z x 34 Ta có x + y = x2 + 2xy + y2 = 16 Ta lại có (x – y)2 ≥ x2 – 2xy + y2 ≥ Từ suy 2(x2 + y2) ≥ 16 x2 + y2 ≥ A = x = y = 35 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : = x + y + z ≥ 3 xyz (1) = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3 (x y)(y z)(z x) 2 Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ A A ≤ 9 2 max A = x = y = z = 9 (2) 3 36 a) Có thể b, c) Khơng thể 37 Hiệu vế trái vế phải (a – b)2(a + b) với x, y > : xy (x y) a c a ad bc c 4(a ad bc c ) (1) bc da (b c)(a d) (a b c d) b d 4(b ab cd d ) Tương tự (2) cd ab (a b c d) a b c d 4(a b c d ad bc ab cd) Cộng (1) với (2) = 4B bc cd da ab (a b c d) Cần chứng minh B ≥ , bất đẳng thức tương đương với : 38 Áp dụng bất đẳng thức ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 20 2B ≥ 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2 a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ (a – c)2 + (b – d)2 ≥ : 39 - Nếu ≤ x - x < ½ ≤ 2x - x < nên 2x = x - Nếu ½ ≤ x - x < ≤ 2x - x < ≤ 2x – (2 x + 1) < 2x = x + 40 Ta chứng minh tồn số tự nhiên m, p cho : 96 000 00 ≤ a + 15p < 97 000 00 m chữ số m chữ số a 15p m < 97 (1) Gọi a + 15 số có k chữ số : 10k – ≤ a + 15 < 10k m 10 10 15 a 15p a 15 k k (2) Đặt x n k k Theo (2) ta có x1 < k < 10 10 10 10 10 10 Tức 96 ≤ Cho n nhận giá trị 2, 3, 4, …, giá trị xn tăng dần, lần tăng khơng q đơn vị, x n trải qua giá trị 1, 2, 3, … Đến lúc ta có x p = 96 Khi 96 ≤ xp < 97 tức 96 ≤ a 15p < 97 Bất đẳng thức (1) chứng minh 10 k 10 k 42 a) Do hai vế bất đẳng thức khơng âm nên ta có : | A + B | ≤ | A | + | B | | A + B | ≤ ( | A | + | B | )2 A2 + B2 + 2AB ≤ A2 + B2 + 2| AB | AB ≤ | AB | (bất đẳng thức đúng) Dấu “ = “ xảy AB ≥ b) Ta có : M = | x + | + | x – | = | x + | + | – x | ≥ | x + + – x | = Dấu “ = “ xảy (x + 2)(3 – x) ≥ -2 ≤ x ≤ (lập bảng xét dấu) Vậy M = -2 ≤ x ≤ c) Phương trình cho | 2x + | + | x – | = | x + | = | 2x + + – x | (2x + 5)(4 – x) ≥ -5/2 ≤ x ≤ x 1 x 43 Điều kiện tồn phương trình : x2 – 4x – ≥ Đặt ẩn phụ x 4x y , ta : 2y2 – 3y – = (y – 2)(2y + 1) = 45 Vô nghiệm 46 Điều kiện tồn x x ≥ Do : A = x + x ≥ A = x = x = y ≥ 0, ta có : y2 = – x x = – y2 11 13 13 13 B = – y2 + y = - (y – ½ )2 + ≤ max B = y=½ x= 4 4 47 Điều kiện : x ≤ Đặt 48 a) Xét a2 b2 Từ suy a = b b) 13 (2 1) Vậy hai số c) Ta có : n2 n 1 n n n+1 n n n Mà n n n n nên n+2 n n n 49 A = - | – 3x | + | 3x – |2 = ( | 3x 1| - ẵ )2 + ắ ắ Từ suy : A = ¾ x = ½ x = 1/6 51 M = 52 x = ; y = ; z = -3 53 P = | 5x – | + | – 5x | ≥ | 5x – + – 5x | = P = 54 Cần nhớ cách giải số phương trình dạng sau : A (B 0) a) A B A B b) B A B A B ThuVienDeThi.com x 5 A c) A B B ... ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 1 b) m với m, n số hữu tỉ, n ≠ n 25 Có hai số vơ tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? x y x y2 26 Cho số x... phản chứng Giả sử tổng số hữu tỉ a với số vô tỉ b số hữu tỉ c Ta có : b = c – a Ta thấy, hiệu hai số hữu tỉ c a số hữu tỉ, nên b số hữu tỉ, trái với giả thiết Vậy c phải số vơ tỉ 29 a) Ta có :... minh với số nguyên dương n, ta có : 1 n b) Chứng minh số có dạng n n (n số tự nhiên), số 3 có giá trị lớn 227 Tìm giá trị nhỏ A x2 x 1 x2 x 1 ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI