Sở giáo dục - đào tạo bắc giang Trường thpt chuyên bắc giang .o0o Chuyên đề : Một số tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Của : Nguyễn Anh Tuấn Đơn vị : Tổ Toán tin Trường thpt chuyên bắc giang Năm học 2006 - 2007 DeThiMau.vn Một số tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn Mục lục Lời mở đầu(3) $1- Một số toán đường thẳng đường tròn qua điểm cố định, điểm nằm đường thẳng cố định đường thẳng tiếp xúc với đường tròn cố định.(4) $2- Một số toán chứng minh ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy (7) $3- Một số toán cực trị (10) $4- Một số toán chứng minh.(20) $5- Một số toán tính toán số toán khác.(30) $6- Một số toán hình học phẳng thi HSG Quốc gia (VMO) (35) $7- Tài liệu tham khảo (40) DeThiMau.vn Một số tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn Lời mở đầu Toán học có vẻ đẹp lôi quyến rũ, đà đam mê mÃi mÃi đam mê Trong vẻ đẹp đầy huyền bí Hình học phẳng có nét đẹp thật quyến rũ kì bí Có lẽ lý mà đề Toán tất kì thi Toán Quốc tế IMO( International Mathematics Olimpiad ) hay kì thi HSG Quốc gia (VMO), kì thi tỉnh, thi cấp thành phố, thi chúng ta, toán hình học phẳng hÃnh diện có mặt để thách thức nhà Toán học tương lai với dung nhan muôn hình, muôn vẻ Thật điều thú vị ! Chuyên đề : Một số tập hình học phẳng cho học sinh giỏi với mong muốn phần giúp Thầy cô giáo dạy Toán, em học sinh phổ thông đội tuyển thi học sinh giỏi Toán tìm thấy nhiều điều bổ ích nhiều điều thú vị Chuyên đề gồm phần, chia theo chủ đề Hình học phẳng Các ví dụ tập đòi hỏi thông minh tính sáng tạo việc tìm lời giải Các tập mang tính cập nhật Thông qua việc giải tập Chuyên đề, mặt học sinh rèn luyện kĩ để giải toán Hình học phẳng, mặt khác thưởng thức vẻ đẹp toán Trong Chuyên đề này, nhấn mạnh đến tính hình học toán (244 bài) Để giải toán thường em phải kẻ thêm đường phụ nhằm đưa đối tượng toán có liên hệ với Tôi không đưa vào Chuyên đề toán có tính toán phức tạp Tôi viết Chuyên đề với tinh thần trách nhiệm cao Tôi hi vọng Chuyên đề để lại lòng Thầy cô em học sinh ấn tượng tốt đẹp Tuy nhiên Chuyên đề chắn không tránh khỏi điều không mong muốn Tôi mong nhận động viên ý kiến đóng góp chân thành Quý Thầy cô em học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn! DeThiMau.vn Một số tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Bắc Giang, ngày 14.3.2007 Nguyễn Anh Tuấn $1- Một số toán đường thẳng đường tròn qua điểm cố định, điểm nằm đường thẳng cố định đường thẳng tiếp xúc với đường tròn cố định Đối với toán chứng minh liên quan đến yếu tố cố định, vấn đề quan trọng dự đoán yếu tố cố định nói Muốn dự đoán điểm cố định, đường thẳng cố định hay đường tròn cố định thoả mÃn đầu ta thường sử dụng phương pháp sau: 1) Giải toán trường hợp đặc biệt để thấy yếu tố cố định cần tìm Từ suy trường hợp tổng quát 2) Xét đường thẳng đặc biệt họ để suy yếu tố cố định cần tìm 3) Dựa vào tính đối xứng, bình đẳng đối tượng (nếu có) để hạn chế phạm vi có yếu tố cố định 4) Dùng phép suy diễn để khẳng định: Nếu họ đường thẳng qua điểm cố định hay tiếp xúc với đường tròn cố định điểm cố định cần tìm hay đường tròn cố định cần tìm, với toán tìm đường thẳng cố định yếu tố cần tìm bắt buộc phải đối tượng cụ thể Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi M điểm cạnh AC với M khác A C Đường thẳng BM cắt đường tròn lần N Đường thẳng qua A vuông góc với AB đường thẳng qua N vuông góc với NC cắt điểm Q Chứng minh rằng: Đường thẳng QM qua điểm cố định M di chuyển cạnh AC Bài Cho tứ giác lồi ABCD M trung điểm P thuộc đoạn thẳng AC cho hai đường thẳng MP BC cắt nhau, gọi giao điểm T Gọi Q điểm thuộc đoạn thẳng BD cho BQ AP QD PC Chøng minh rằng: Đường thẳng TQ qua điểm cố định P chạy đoạn AC Bài Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm M cạnh AB điểm N cạnh CD Gọi P giao ®iĨm cđa AN vµ DM Gäi Q lµ giao ®iĨm BN CM Chứng minh rằng: PQ qua điểm cố định M N theo thứ tự di chuyển AB CD Bài Hai đường tròn (O) (O) cắt hai ®iĨm A, B Mét ®iĨm P thay ®ỉi trªn ®êng tròn (O), P khác A B Các đường thẳng PA, PB lại cắt (O) theo thứ tự D E Gọi M trung điểm DE DeThiMau.vn Chứng minh rằng: Đường thẳng PM qua điểm cố định Một số tập hình học phẳng cho häc sinh giái Ngun Anh Tn Bµi Cho tam giác ABC Lấy điểm M nằm tam giác AM cắt BC điểm E, CM cắt AB điểm F Gọi N điểm đối xứng B qua trung điểm EF Chứng minh rằng: Đường thẳng MN qua điểm cố định M di động bên tam giác ABC Bài Cho đường tròn (O) đường kính MN cố định điểm A nằm đoạn MN Gọi (d) tiếp tuyến đường tròn với tiếp điểm N Đường tròn tâm T thuộc (d), qua A, cắt đường tròn (O) E F, cắt (d) B C Chứng minh điểm T di chuyển (d) thì: 1) Đường thẳng EF qua điểm cố định 2) Đường thẳng PQ qua điểm cố định, P, Q giao điểm MB, MC với đường tròn (O) Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Từ điểm M BC kẻ MP vuông góc với AB MQ vuông góc với AC cho P, Q nằm đường thẳng AB, AC Chứng minh rằng: Đường trung trực PQ qua điểm cố định M di động cạnh BC Bài Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng d1 d cắt điểm K điểm M nằm d1 , d Một đường thẳng d qua M cắt d1 d A B (khác K) Kẻ AP d P, kẻ BQ d1 Q Chứng minh rằng: Đường thẳng PQ qua điểm cố định đường thẳng d thay đổi qua M Bài Giả sử M điểm nằm tam giác nhän ABC tháa m·n ®iỊu kiƯn MBA MCA Gọi K, L theo thứ tự chân đường vuông gãc h¹ tõ M tíi AB, AC Chøng minh r»ng: 1) Hai điểm K, L cách trung điểm cạnh BC 2) Trung tuyến xuất phát từ M tam giác MKL qua điểm cố định M thay đổi bên tam giác ABC Bài 10 Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm D cạnh AB điểm E cạnh AC cho DE = BD + CE Tia phân giác BDE cắt cạnh BC I 1) Tính độ lớn DIE 2) Chứng minh rằng: Đường thẳng DI qua điểm cố định D E di động cạnh AB AC tương ứng Bài 11 Cho tam giác ABC Lấy điểm D cạnh BC, D khác B, C Đường trung trực DB, DC theo thứ tự cắt đường thẳng AB, AC M, N Chứng minh rằng: Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua điểm DeThiMau.vn cố định khác A điểm D di động đoạn BC Một số tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn Bài 12 Cho tam giác ABC P điểm nằm đường thẳng BC BC Gọi E F theo thứ tự trung điểm DB DC Chứng minh rằng: Đường tròn đường kính EF qua điểm cố định P di động đường thẳng BC Trên tia đối tia AP lấy ®iĨm D cho AD Bµi 13 Cho tam giác ABC (AB = AC) Lấy điểm P đường thẳng BC (P khác B, C) Gọi M, N điểm đối xứng P qua AB, AC Dựng hình bình hành MNPQ Chứng minh rằng: Điểm Q nằm đường thẳng cố định P di chuyển đường thẳng BC Bài 14 Cho đường tròn tâm O hai điểm A, B thuộc đường tròn Một đường tròn thay đổi qua A B có tâm Q Gọi P điểm đối xứng Q qua đường thẳng AB Đường thẳng AP cắt đường tròn tâm O lần E Đường thẳng BE (khi E khác B) cắt đường tròn tâm Q lần F Chứng minh rằng: Điểm F nằm đường thẳng cố định đường tròn tâm Q thay đổi Bài 15 Cho tam giác ABC với đường cao AM, BN nội tiếp đường tròn (O) Điểm D nằm đường tròn khác A, B DA không song song với BN Các đường thẳng DA BN cắt Q Các đường thẳng DB AM cắt P Chứng minh rằng: Khi D di động đường tròn (O) trung điểm đoạn PQ nằm đường thẳng cố định Bài 16 Hai đường tròn tâm O bán kính R tâm O bán kính R (R > R) tiếp xúc với điểm A Tia Ax góc vuông xAy cắt đường tròn tâm O lần B tia Ay cắt đường tròn tâm O lần C Gọi H hình chiếu A BC Chứng minh rằng: Khi góc vuông xAy quay quanh điểm A điểm H chạy đường tròn DeThiMau.vn Một số tập hình học ph¼ng cho häc sinh giái Ngun Anh Tn $ 2- số toán Chứng minh ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy Để giải toán chứng minh điểm thẳng hàng đường thẳng đồng quy, ta thường sử dụng phương ph¸p sau: 1) Sư dơng mèi quan hƯ vỊ gãc (hai gãc b»ng nhau, tæng hai gãc b»ng 1800 ,…) 2) Sư dơng tÝnh chÊt ®ång quy cđa ®êng cao, đường trung tuyến, đường trung trực đường phân giác 3) Dùng phương pháp diện tích 4) Chuyển toán chứng minh đường thẳng đồng quy việc chứng minh điểm thẳng hàng ngược lại ( Đồng quy trá hình thẳng hàng) Bài Cho tam giác ABC có BC < AB với đường trung tuyến BD, đường phân giác BE Đường thẳng qua C, vuông góc với BE F cắt BD G Gọi T trung điểm cđa GE Chøng minh r»ng: Ba ®iĨm D, T, F thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC với ®êng cao AD, BE, CF Gäi C1 vµ B1 , A2 vµ C2 , A3 vµ B3 theo thø tù hình chiếu vuông góc D lên AB AC, E lên BC BA, F lên CA CB Gọi giao điểm BC B1C1 , AC vµ A2C2 , AB vµ A3 B3 lµ M, N, P theo thø tù Chøng minh r»ng: Ba điểm M, N, P thẳng hàng Bài Cho tứ giác lồi AACC có hai đường thẳng AC AC cắt I Lấy điểm B cạnh AC điểm B cạnh AC Gọi O giao điểm AC AC; P giao điểm AB AB; Q giao điểm BC BC Chứng minh rằng: Ba điểm P, O, Q thẳng hàng Bài Hai đường tròn tâm O bán kính R tâm O bán kính R cắt A B Từ điểm C tia đối tia AB kẻ tiếp tuyến CD CE với đường tròn tâm O (D, E tiếp điểm điểm E nằm đường tròn tâm O) AD AE cắt đường tròn tâm O lần M N tương ứng Gọi T trung ®iĨm MN Chøng minh r»ng: Ba ®iĨm D, E, T thẳng hàng Bài Cho đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC với đường kính AD Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Các đường thẳng AI DI cắt đường tròn tâm O lần H T theo thứ tự Kẻ IJ vuông góc với BC J Chứng minh rằng: Ba điểm H, T, J thẳng hàng Bài Cho đường tròn (O), hai dây cung CA, CB không qua tâm O BA BC Đường thẳng qua điểm A vuông góc với đường thẳng OB cắt đường thẳng CB điểm N Gọi M trung điểm AN Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) lần D Gọi OE đường kính đường tròn qua điểm B, D, O DeThiMau.vn Chøng minh r»ng: Ba ®iĨm A, C, E thẳng hàng Một số tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn Bài Cho năm điểm A, B, C, D E nằm đường tròn Gọi M, N, P Q hình chiếu vuông góc E xuống đường thẳng AB, BC, CD DA Chứng minh rằng: Hình chiếu vuông góc E xuống đường thẳng MN, NP, PQ QM bốn điểm thẳng hàng Bài Trong mặt phẳng cho đường thẳng xy đoạn thẳng AB vuông góc với xy điểm A Trên tia Ax lấy điểm C, tia Ay lấy điểm D (C, D khác A) Kẻ AE BC (E thuéc BC) vµ AF BD (F thuéc BD) Một đường thẳng qua trung điểm Q AB cắt đường thẳng xy, BC, BD P, M, N Chứng minh rằng: Các điểm P, E, F thẳng hàng Q trung điểm MN Bài Cho tam giác ABC với ®iĨm M n»m tam gi¸c C¸c tia AM, BM, CM cắt cạnh BC, CA, AB tương ứng D, E, F Gọi K giao điểm DE CM, gọi H giao điểm DF BM Chứng minh rằng: Các đường thẳng AD, BK, CH đồng quy Bài 10 Cho tam giác ABC với đường cao AH (H khác B, C) Kẻ HE // AC HM AB cho E, M nằm đường thẳng AB Kẻ HF // AB HN AC cho F, N nằm đường thẳng AC Chứng minh rằng: Các đường thẳng EF, MN, BC đồng quy Bài 11 Trên mặt phẳng cho tam giác ABC đường thẳng d Gọi A1 , B1 , C1 hình chiếu vuông góc A, B, C đường thẳng d Gọi A2 , B2 , C2 hình chiếu A1 , B1 , C1 đường thẳng BC, CA, AB tương ứng Chứng minh rằng: Các đường thẳng A1 A2 , B1 B2 , C1C2 đồng quy Bài 12 Cho lơc gi¸c låi A1 A2 A3 A4 A5 A có cạnh đối diện song song với Gọi B1 , B2 , B3 giao điểm cặp đường chéo A1 A4 A2 A5 , A2 A5 vµ A3 A6 , A3 A6 vµ A1 A4 Gäi C1 , C2 , C3 lÇn lượt trung điểm đoạn thẳng A3 A6 , A1 A4 , A2 A5 Chøng minh r»ng: Các đường thẳng B1C1 , B2C2 , B3C3 đồng quy Bài 13 Cho đường tròn tâm O đường kính EF Lấy hai điểm N, P đường thẳng EF cho ON = OP Từ điểm M nằm bên đường tròn mà không thuộc EF, kẻ đường thẳng MN cắt đường tròn A C, đường thẳng MP cắt đường tròn B D cho B O nằm khác phía AC Gọi K giao điểm OB AC, Q giao điểm EF CD DeThiMau.vn Chứng minh rằng: Các đường thẳng KQ, BD, AO đồng quy Một số tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn Bài 14 Giả sử đường trßn (O1 ), (O2 ), (O3 ) cïng tiÕp xóc với đường tròn (O) A1 , A2 , A3 đôi tiếp xúc với Gọi B1 , B2 , B3 tiếp điểm cđa (O2 ) vµ (O3 ) , cđa (O3 ) vµ (O1 ) , cđa (O1 ) vµ (O2 ) theo thứ tự Chứng minh rằng: Các đường thẳng A1 B1 , A2 B2 , A3 B3 đồng quy Bài 15 Cho tam giác cân ABC với góc ABC 1200 Gọi D giao điểm đường thẳng BC với tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường thẳng qua D qua tâm O đường tròn cắt AB AC E F Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB AC Chứng minh rằng: Các đường thẳng AO, MF, NE đồng quy Bài 16 Cho hai đường tròn (O1 ), (O2 ) không tiếp xúc với T Kẻ O1 A tiếp xúc với (O2 ) A; O2 B tiÕp xóc víi (O1 ) t¹i B cho điểm A, B thuộc nửa mặt phẳng bờ O1O2 Lấy điểm H thuộc O1 A điểm K thuộc O2 B cho BH, AK vuông góc với O1O2 TH cắt (O1 ) lần E, TK cắt (O2 ) lần F EF cắt AB S Chứng minh rằng: Các đường thẳng O1 A , O2 B , TS đồng quy DeThiMau.vn Một số tập hình học ph¼ng cho häc sinh giái Ngun Anh Tn $ 3- Một số toán cực trị Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc không quen thuộc tam giác đồng thời vận dụng thành thạo bất đẳng thức cổ điển BĐT Cô-si, BĐT Bunhiacopxki v.vđể gắn vào toán cụ thể Bài Cho tam giác ABC có diện tích Gọi R r tương ứng bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: 4 27 R r Đẳng thức xảy nào? Bài Cho tam giác ABC Gọi MN, PR, QS hình chiếu vuông góc AB, BC, CA lên đường phân giác góc C, A, B tương ứng Gọi S, r diện tích bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: MN PR QS Sr Đẳng thức xảy nào? Bài Cho tam giác ABC Gọi O I tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác Các tia AI, BI, CI cắt đường tròn tâm O tương øng t¹i A’, B’, C’ Gäi Ra , Rb , Rc bán kính đường tròn bàng tiếp tam gi¸c ABC øng víi c¸c gãc A, B, C Gäi R 'a , R 'b , R 'c lµ bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác A’B’C’ øng víi c¸c gãc A’, B’, C’ Chøng minh r»ng : R 'a R 'b R 'c Ra Rb Rc Bµi Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Đường phân giác AD trung tuyến AM theo thứ tự cắt đường tròn lần P Q HÃy so sánh DP MQ Bài Gọi I r tâm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh : 1 1 IA IB IC 3R 3r Bài Cho tam giác ABC với AB AC AD đường phân giác Lấy điểm M cạnh AB điểm N cạnh AC cho BM.CN = k không đổi (k < AB ) Xác định vị trí cđa M, N cho diƯn tÝch cđa tø gi¸c AMDN lµ lín nhÊt 10 DeThiMau.vn Mét sè bµi tËp hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn Bài Cho tam giác ABC với AB < AC Gọi AD AM phân giác đường trung tuyến tam giác Đường thẳng qua D vuông góc với AD cắt cạnh AC điểm E So sánh diện tích hai tam giác ADM CEM Bài Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Đường thẳng qua M cắt cạnh AB, AC D, E Chứng minh r»ng: S MBD S MCE S ABC 64 Xác định vị trí M để đẳng thức xảy Bài Cho tam giác ABC với I tâm đường tròn nội tiếp G träng t©m BiÕt r»ng AI IG Chøng minh r»ng: AB + AC > 2BC Bài 10 Cho tam giác ABC với I tâm đường tròn nội tiếp G trọng tâm Gọi R1 , R2 , R3 theo thứ tự bán kính đường tròn ngoại tiếp c¸c tam gi¸c IBC, ICA, IAB Gäi R1' , R2' , R3' theo thứ tự bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác GBC, GCA, GAB Chứng minh r»ng: R1' R2' R3' R1 R2 R3 Bài 11 Cho tam giác ABC, trung tuyến AD BE cắt G AMB 900 Chøng minh r»ng: AC + BC > 3AB Bài 12 Gọi AD, BE, CF đường phân giác tam giác ABC vuông A Đoạn thẳng AD cắt EF K Đường thẳng qua K song song với BC cắt AB AC M N Chứng minh rằng: MN 2 ( AB AC ) Bµi 13 Gọi AA1 , BB1 , CC1 đường phân giác tam giác ABC A1 , B2 , C2 theo thứ tự tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC, CA vµ AB KÝ hiƯu S , S1 , S2 theo thứ tự diện tích tam gi¸c ABC, A1 B1C1 , A2 B2C2 Chøng minh r»ng: S1 S S Bài 14 Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Các điểm A1 , B1 , C1 theo thứ tự thuộc cạnh BC, CA, AB thoả mÃn điều kiện A1 B1 // AM , B1C1 // BM , C1 A1 // CM 11 DeThiMau.vn Chøng minh r»ng: S ( A1 B1C1 ) S ( ABC ) S diện tích tam giác Một số tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn Bài 15 Gọi S, R, r diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Đặt a = BC, b = CA, c = ABC Chøng minh r»ng: 2R A B C S (a b c) sin (a b c) sin (a b c) sin S 2 r Đẳng thức xảy nào? Bài 16 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AA1 , BB1 , CC1 cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác lần A2 , B2 , C2 tương ứng Chứng minh r»ng: 3 ( A1 B1 B1C1 C1 A1 ) AA2 BB2 CC2 ( AB BC CA) 3 Bµi 17 Chøng minh r»ng : 1 , p, R, r nưa chu vi, R r 2p b¸n kÝnh đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác Đẳng thức xảy nào? Bài 18 Cho tam gi¸c ABC gäi ma , mb , mc theo thứ tự độ dài trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C , rb , rc theo thứ tự bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với góc có đỉnh A, B, C Chøng minh r»ng: rb rc ma mb mc Đẳng thức xảy nào? Bài 19 Cho tam gi¸c ABC cã BC = a, CA = b, AB = c Gọi O R tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gäi I a , I b , I c tâm đường tròn bàng tiếp ứng với góc đỉnh A, B, C Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh r»ng: OI a OI b OI c 1 R (a b)(a c) (b c)(b a ) (c a )(c b) 4r Bài 20 Cho tam giác ABC Gäi , rb , rc theo thø tù lµ bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với góc cã ®Ønh A, B, C A Chøng minh r»ng: sin rb sin B C r rb rc 1 rc sin a 2 rb rc Bài 21 Cho tam giác ABC có góc không nhọn víi BC = a, CA = b, AB = c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T (a b)(b c)(c a ) abc 12 DeThiMau.vn Một số tập hình học phẳng cho häc sinh giái Ngun Anh Tn Bµi 22 Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA, CA lấy điểm E, F (khác B, C) theo thứ tự Đường thẳng BF cắt CE điểm M Chứng minh r»ng: MB MC AB AC 2 MF ME AF AE Đẳng thức xảy nào? Bài 23 Giả sử điểm M nằm tam giác nhọn ABC có độ dài cạnh BC = a, CA = b vµ AB = c Gäi D, E, F hình chiếu M cạnh BC, CA, AB Tìm giá trị lớn cđa biĨu thøc P a.ME.MF b.MF MD c.MD.ME xác định vị trí điểm M Bài 24 Trên đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC lấy điểm M Gọi K, H, J hình chiếu điểm M đường thẳng AB, BC, CA HÃy xác định vị trí ®iĨm M ®Ĩ tỉng MK MH MJ ®¹t: 1) Giá trị lớn 2) Giá trị nhỏ Bài 25 Cho tam giác ABC vuông A Dựng hình chữ nhật EFGD cho E, F điểm cạnh BC, G, D điểm cạnh AC, AB Gọi R1 , R2 R3 bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BDE, CGF ADG theo thứ tự Chứng minh r»ng: DiƯn tÝch EFGD lín nhÊt vµ chØ R12 R2 R32 AC AB AC Một đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC, cắt cạnh AB, AC E, F HÃy xác định vị trí điểm E cho AE + AF đạt giá trị nhỏ Bài 26 Tam giác ABC có Bài 27 Giả sử điểm M nằm tam gi¸c ABC Gäi d1 , d , d3 khoảng cách từ M tới đường thẳng BC, CA, AB Gọi R r tương ứng bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng: MA.MB.MC R d1.d d3 r Bài 28 Dây cung DE đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn nội tiếp tam giác điểm M vµ N Chøng minh r»ng: DE 2MN Bµi 29 Đường tròn tâm I bán kính r nội tiếp tam giác ABC Một tiếp tuyến đường tròn tâm I 13 DeThiMau.vn cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M N Chứng minh rằng: MN 2r Một số tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn Bài 30 Cho tam giác nhọn ABC, nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Gọi D, E, F giao điểm đường thẳng AO với BC, BO với CA vµ CO víi AB Chøng minh r»ng: AD BE CF 9R Bµi 31 Cho tam giác nhọn ABC Gọi AD, BE, CF đường cao tam giác Các cặp đoạn thẳng AD EF, BE FD, CF DE cắt t¹i M, N, P theo thø tù KÝ hiƯu S diện tích tam giác Chứng minh rằng: S ABC S MNP S DEF 8cos A.cos B.cos C.S ABC Bµi 32 Cho tam giác ABC có AB > AC, chân đường cao AH nằm cạnh BC Đường phân giác góc ABC góc ACB cắt AH theo thứ tự E F Chứng minh rằng: BE > EF + FC Bài 33 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Gọi R r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác Chứng minh rằng: 1 R 2r IA.IB IB.IC IC.IA Rr Bài 34 Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c néi tiếp đường tròn bán kính R Gọi la , lb , lc độ dài ba đường phân giác , rb , rc bán kính đường tròn bàng tiếp tương ứng với góc A, B, C la2lb2lc2 rb rc Chøng minh r»ng: 2 abc 6R Bài 35 Xét tam giác ABC víi BC = a, CA = b, AB = c cã chu vi a + b + c = 2p (không đổi) Tìm giá trị lớn biểu thøc: T ab bc ca a b 2c 2a b c a 2b c Bài 36 Cho tam giác ABC víi BC = a, CA = b, AB = c cho tháa m·n hÖ thøc 1964ab 15bc 10ca 2006abc 1974 1979 25 , p a p b p c p nửa chu vi tam giác ABC Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: T Bµi 37 Cho tam gi¸c ABC víi BC = a, CA = b, AB = c cã diÖn tÝch S Gäi ma , mb , mc độ dài đường trung tuyÕn xuÊt ph¸t tõ A, B, C a ma2 b mb2 c mc2 Chøng minh r»ng: S 2 a b c 14 DeThiMau.vn Mét sè bµi tËp hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn Bài 38 Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c cã diÖn tÝch S Chøng minh r»ng: S 3 2 abc Đẳng thức xảy nào? Bài 39 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Gọi ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C Chøng minh r»ng: IA2 IB IC ma2 mb2 mc2 Bài 40 Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c ngoại tiếp đường tròn tâm I Đặt IA d a , IB db , IC dc Chøng minh r»ng: a(bc d a2 ) b(ca db2 ) c(ab dc2 ) 6abc Bµi 41 Cho tam gi¸c ABC víi BC = a, CA = b, AB = c ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính r Gọi A1 , B1 , C1 tiếp điểm đường tròn ( I ) với cạnh BC, CA, AB Các tia IA, IB, IC cắt đường tròn ( I ) A2 , B2 , C2 theo thứ tự Đặt Bi Ci , Ci Ai bi , Ai Bi ci (i = 1, 2) Chøng minh r»ng: a23b23c23 216r a12b12 c12 abc Đẳng thức xảy nào? Bài 42 Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt H cho AH > HD, BH > HE, CH > HF Chøng minh r»ng: tg A tg B tg 2C Bµi 43 Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn biểu thức: T sin A.sin B.sin C Bµi 44 Cho tam gi¸c ABC cã A B C Gọi , hb , hc chiều cao xuất phát từ đỉnh A, B, C cđa tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng: ha2 hb2 hc2 hb hc hb2 hc2 ha2 hb hc Bài 45 Cho tam giác ABC víi BC = a, CA = b, AB = c Gọi , hb , hc chiều cao xuất phát từ đỉnh A, B, C p nửa chu vi tam giác ABC Lấy điểm A1 cạnh BC cho đường tròn nội tiếp tam giác ABA1 , ACA1 gọi bán kính đường tròn rA Ta định nghĩa tương tự cho rB , rC Chøng minh r»ng: 2(rA rB rC ) p hb hc 15 DeThiMau.vn Một số tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn Bài 46 Cho tam giác ABC không tù có đường cao AA1 , BB1 , CC1 trực tâm H Chứng minh rằng: HA2 HA12 HB HB12 HC HC12 ( HA.HA1 HB.HB1 HC.HC1 ) Bài 47 Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H Chứng minh rằng: HA HB HC BC CA AB Đẳng thức xảy nào? Bài 48 Cho BC dây cung cố định (không đường kính) đường tròn Trên cung lớn BC lấy điểm A không trùng với B C Gọi H trực tâm tam giác ABC Giao điểm thứ hai đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH ACH E F Đoạn thẳng EH cắt cạnh AC M, FH cắt cạnh AB N HÃy xác định vị trí điểm A cho độ dài đoạn MN ngắn Bài 49 Cho tam gi¸c ABC víi BC = a, CA = b, AB = c Lấy điểm M bất kì, gọi , hb , hc khoảng cách từ M đến đường thẳng BC,CA,AB Tìm vị trí điểm M để tích hb hc đạt giá trị lớn tính giá trị lớn ®ã theo a, b, c Bµi 50 Gäi d a , db , dc độ dài đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, B, C tam giác ABC p nửa chu vi tam giác Chứng minh rằng: d a cos A B C db cos d c cos p (cos A cosB cosC ) 2 Bài 51 Cho tam giác ABC bÊt k× Chøng minh r»ng: 1) cosA cosB cosC cot gA cot gB cot gC 2) 3(cosA cosB cosC ) cot g A B C cot g cot g 2 2 Bài 52 Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn Điểm P chạy cung BC không chứa A Gọi M N giao điểm BC với PA PD Tính ®é dµi lín nhÊt cđa MN Bµi 53 Cho tø giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn bán kính R ngoại tiếp đường tròn bán kính r Chứng minh r»ng: R 2r 16 DeThiMau.vn Mét sè bµi tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn Bài 54 Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M N trung điểm AD BC, P giao điểm AN BM, Q giao điểm DN CM Chứng minh rằng: PA PB QC QD > PN PM QM QN Đẳng thức xảy nào? Bài 55 Cho tứ giác lồi ABCD Gọi E F trung điểm AD BC AF cắt BE M, CE cắt DF N Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: T MA MB NC ND MF ME NE NF Bài 56 Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh rằng: AB, BC , CD, DA AC BD max AB, BC , CD, DA Bài 57 Cho tứ giác lồi ABCD có đường tròn nội tiếp Gọi M, N, P, Q theo thứ tự điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp với cạnh AB, BC, CD, DA Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T AM BN CP DQ , x1 x2 x2 x3 x3 x4 x4 x1 ®ã x1 , x2 , x3 , x4 hoán vị độ dài cạnh a AB, b BC , c CD, d DA Bài 58 Cho hình bình hành ABCD điểm T nằm cạnh AB Đường thẳng qua T song song với AD, cắt AC M cắt BD N Đoạn thẳng TD cắt AC P TC cắt BD Q Chứng minh rằng: MP NQ AC BD Đẳng thức xảy nào? Bài 59 Cho đa giác ®Ịu n c¹nh A1 A2 An néi tiÕp ®êng tròn có bán kính Lấy điểm M cung nhá A1 An Chøng minh r»ng: 1) MA1 MA3 MAn 2 MAn 2) MA1 MA3 MAn 3 MAn 1 n , nÕu n lỴ n , n chẵn Đẳng thức xảy nào? Bài 60 Cho đường tròn (O) bán kính R dây cung BC < 2R Điểm A chuyển động cung lớn BC, điểm D chuyển động cung nhỏ BC HÃy xác định vị trí điểm A D để tổng 1 đạt giá trị nhỏ DA DB DC 17 DeThiMau.vn Một số tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn Bài 61 Đường tròn tâm O bán kính R đường tròn tâm O bán kính R (R > R) tiếp xúc điểm A Góc vuông xAy cắt hai đường tròn điểm B C (khác A) Gọi H hình chiếu A đường thẳng BC HÃy xác định vị trí điểm B, C để độ dài AH lớn tính giá trị theo R, R Bài 62 Cho hai đường tròn đồng tâm (O,r) (O,R) với r < R Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,r) tam giác A1 B1C1 nội tiếp đường tròn (O,R) cho điểm A1 , B1 , C1 theo thø tù thuéc c¸c tia BC, CA, AB S ( A1 B1C1 ) R Chøng minh rằng: , S(XYZ) diện tÝch cđa tam gi¸c XYZ S ( ABC ) r Bài 63 Gọi R r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiÕp cđa tam gi¸c ABC Gäi , hb , hc theo thứ tự độ dài đường cao hạ từ đỉnh A, B, C Gọi la , lb , lc theo thứ tự độ dài đường phân giác hạ từ đỉnh A, B, C Chøng minh r»ng: hb hc 4r 1 la lb lc R Bµi 64 Gäi R r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Gọi p p nửa chu vi tam giác ABC tam giác ABC tương ứng, A, B, C tiếp điểm đường tròn nội tiếp với cạnh tam giác ABC Chøng minh r»ng: r p' R p Bài 65 Gọi R r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiÕp cđa tam gi¸c ABC r2 Chøng minh r»ng: cos A.cos B.cosC 2R Đẳng thức xảy nào? Bài 66 Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương øng t¹i D, E, F Chøng minh r»ng: DE EF BC.CA CA AB FD AB.BC Bài 67 Một đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, cắt cạnh AB AC theo thứ tự M, N Chứng minh r»ng: BM CN BC AM AN AB AC 18 DeThiMau.vn Một số tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn Bài 68 Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng D, E, F Đường thẳng qua A vuông góc với IA cắt đường thẳng DE, DF tương ứng M, N Đường thẳng qua B vuông góc với IB cắt đường thẳng EF, ED tương ứng P, Q Đường thẳng qua C vuông góc với IC cắt đường thẳng FD, FE tương ứng S, T Chøng minh r»ng: MN PQ ST AB BC CA Bài 69 Đường tròn (I ) b¸n kÝnh r néi tiÕp tam gi¸c A1 A2 A3 tiếp xúc với cạnh A2 A3 , A3 A1 , A1 A2 t¹i M , M , M theo thứ tự Vẽ đường tròn ( I i ) tiếp xúc với cạnh Ai Aj , Ai Ak vµ tiÕp xóc ngoµi víi đường tròn (I) (với i, j, k đôi khác nhận giá trị 1, 2, 3) Gọi K1 K K3 theo thứ tự tiếp điểm đường tròn ( I1 ) với A1 A2 , đường trßn ( I ) víi A2 A3 , cđa ®êng trßn ( I ) víi A3 A1 §Ỉt Ai I i , Ai Ki bi (i = 1, 2, 3) Chøng minh r»ng: (ai bi ) r i Đẳng thức xảy nào? Bài 70 Cho nửa đường tròn đường kính AB điểm C cố định thuộc đoạn AB (C khác A, B) Lấy điểm M nửa đường tròn Đường thẳng qua M, vuông góc với MC, cắt tiếp tuyến qua A B nửa đường tròn E F Tìm giá trị nhỏ cđa diƯn tÝch tam gi¸c CEF M di chun nửa đường tròn Bài 71 Cho tam giác ABC hai điểm E, D hai cạnh AB, AC AE CD Gäi giao ®iĨm cđa BD CE M BE AD Xác định vị trÝ cđa E, D cho diƯn tÝch cđa tam giác BMC đạt giá trị lớn tính giá trị lớn theo diện tích tam giác ABC cho Bµi 72 Cho xPy = 300 Trên tia Px lấy điểm A tia Py lấy điểm B cho AB = d không đổi Tìm giá trị lớn chu vi tam giác PAB, cđa diƯn tÝch tam gi¸c PAB A, B di động cạnh xPy Bài 73 Trong mặt phẳng cho đường tròn tâm O bán kính r Lấy điểm P cố định nằm bên đường tròn với OP = d > Hai dây cung AB CD qua điểm P tạo thành góc không đổi ( 00 900 ) Tính giá trị lớn giá trị nhỏ nhÊt cđa tỉng AB + CD hai d©y AB, CD thay đổi xác định vị trí dây AB, CD 19 DeThiMau.vn Một số tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn $ 4- Một số toán chứng minh Bài Tam giác ABC có đường phân giác AD, BE, CF cắt điểm Q Chứng minh rằng: Nếu bán kính đường tròn nội tiếp tam giác AQF, BQD, CQE tam giác ABC Bài Tam giác ABC có đường trung tuyÕn AD, BE, CF Chøng minh r»ng: NÕu b¸n kÝnh đường tròn nội tiếp tam giác BCE, CAF, ABD tam giác ABC Bài Tam giác ABC không vuông có đường cao AD, BE, CF Gọi I, J, K tâm đường tròn bàng tiếp góc EAF , FDB, EDC tam giác AEF, BFD, CDE tương ứng Đường tròn bàng tiếp góc BAC tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB M, N, P Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK trực tâm tam giác MNP Bài Tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF trực tâm H Gọi M, N giao điểm cặp đường thẳng ( DE , CF ) ( DF , BE ) Chứng minh rằng: Đường thẳng qua A, vuông góc với đường thẳng MN qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC Bài Cho tam giác ABC không Trên cạnh BC, CA, AB lấy điểm A, B, C cho BA ' CB ' AC ' BC CA AB Chứng minh rằng: Nếu bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, BCA, CAB điểm A, B, C theo thứ tự trung điểm cạnh BC, CA, AB Bài Tam giác ABC có đường phân giác BM CN (M thuộc AC, N thuộc AB) cắt D Chứng minh rằng: Tam giác ABC vuông A 2BD.CD = BM.CN Bài Cho tam giác vuông cân ABC với ABC 900 Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác, M trung điểm AC Đường thẳng MI cắt AB N Gọi E trung điểm IN, F điểm cạnh BC cho FC = 3FB Đường thẳng EF cắt AB D, cắt đường thẳng AC K HÃy chứng minh tam giác ADK cân Bài Cho tam giác ABC vuông C với đường cao CD có diện tích S Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB Hai đường tròn tâm O1 O2 tiếp xúc với đoạn AB E F, tiếp xúc với đoạn CD tiếp xúc với đường tròn tâm O Chøng minh r»ng: S AD.BD AE.BF ED.FD 20 DeThiMau.vn ... ta, toán hình học phẳng hÃnh diện có mặt để thách thức nhà Toán học tương lai với dung nhan muôn hình, muôn vẻ Thật điều thú vị ! Chuyên đề : Một số tập hình học phẳng cho học sinh giỏi với... $6- Một số toán hình học phẳng thi HSG Quốc gia (VMO) (35) $7- Tài liệu tham khảo (40) DeThiMau.vn Một số tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn Lời mở đầu Toán học có vẻ đẹp lôi... minh rằng: Ba điểm A, C, E thẳng hàng Một số tập hình học phẳng cho học sinh giỏi Nguyễn Anh Tuấn Bài Cho năm điểm A, B, C, D E nằm đường tròn Gọi M, N, P Q hình chiếu vuông góc E xuống đường thẳng