Chuyên đề Độ dài đường tròn, cung tròn Toán 9 A Lý thuyết 1 Công thức tính độ dài đường tròn “Độ dài đường tròn” hay còn được gọi là “chu vi đường tròn” được kí hiệu là C Công thức tính chu vi hình tr[.]
Chun đề Độ dài đường trịn, cung trịn - Tốn A Lý thuyết Cơng thức tính độ dài đường tròn “Độ dài đường tròn” hay gọi “chu vi đường trịn” kí hiệu C Cơng thức tính chu vi hình trịn: C = 2πR C = πd Trong đó: C độ dài đường trịn; R bán kính đường trịn; d đường kính đường trịn; π (đọc “pi”) kí hiệu số vơ tỉ mà giá trị gần thường lấy π ≈ 3,14 Ví dụ Cho đường trịn có bán kính cm Tính độ dài đường trịn đó? Lời giải: Độ dài đường tròn là: C = 2πR = 2π = 10π (cm) Vậy đường trịn có bán kính R = cm có độ dài đường trịn 10π cm 2 Cơng thức tính độ dài cung trịn Ví dụ Cho đường trịn có bán kính 4cm Tính độ dài cung tròn 120o Lời giải: Độ dài cung tròn 120o là: l=πRn180 =π . 4 . 120180=83π (cm) Vậy độ dài cung tròn 120o đường tròn (O; 4cm) 83π cm B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Số đo n° cung trịn có độ dài 30,8 cm đường trịn có bán kính 22 cm (lấy π ≃ 3,14 làm tròn đên độ) A 70° B 80° C 65° D 85° Lời giải: Độ dài cung trịn Chọn đáp án B Câu 2: Tính độ dài cung 30° đường trịn có bán kính dm Lời giải: Độ dài cung Chọn đáp án D Câu 3: Chu vi đường trịn bán kính R = A 18π B 9π C 12π D 27π Lời giải: Chu vi C = 2πR = 2π.9 = 18π Chọn đáp án A Câu 4: Biết chu vi đường trịn C = 36π (cm) Tính đường kính đường trịn A 18(cm) B 14(cm) C 36(cm) D 20(cm) Lời giải: Chu vi C = πd = 36π ⇒ d = 36.36π Vậy đường kính cần tìm 36cm Chọn đáp án C Câu 5: Cho đường trịn tâm O có chu vi 36π cm Tính độ dài cung có số đo 90°? A 9π B 4,5π C 18π D 15π Lời giải: Chọn đáp án A Câu 6: Biết độ dài cung 60° 6π Tính độ dài cung trịn có số đo 100° A 6π B 8π C 10π D 10,5π Lời giải: Chọn đáp án C Câu 7: Cho tam giác ABC có AB= 8cm; AC = 6cm BC = 10cm Tính chu vi đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC? A 8π (cm) B 10π (cm) C 6π (cm) D 12π (cm) Lời giải: Ta có: AB2 + AC2 = BC2 ( = 100) Suy ra, tam giác ABC tam giác vng Do đó, tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC trung điểm M B Bán kính đường trịn là: R = BC/2 = 5cm Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: C = 2π.5 = 10π (cm) Chọn đáp án B Câu 8: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh 10 cm Gọi O tâm đường tròn nội tiếp hình vng Gọi M, N trung điểm AB; BC Tính độ dài cung MN⌢? A 2π (cm) B 5π (cm) C 2,5π (cm) D 7,5π (cm) Lời giải: Do O tâm đường trịn nội tiếp hình vng ABCD nên bán kính đường trịn nội tiếp hình vng là: Chọn đáp án C Câu 9: Biết độ dài cung 60° 6π (cm) Tính bán kính đường trịn A R =10 cm B R = 8cm C R =12cm D R = 18cm Lời giải: Độ dài cung 60° là: Chọn đáp án D Câu 10: Cho đường tròn (O; R), độ dài cung có số đo n° 0,314 R.Tính n? A 18° B 20° C 36° D 30° Lời giải: Độ dài cung có số đo n° là: Chọn đáp án A II Bài tập tự luận có lời giải Câu 1: Cho đường trịn (O) bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC vng góc OA Biết độ dài đường trịn (O) 4π (cm) Tính: a) Bán kính đường trịn (O) b) Độ dài hai cung BC đường tròn Lời giải: a) Độ dài bán kính đường trịn (O) là: b) Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆BOM vuông M, ta có: BM2 + OM2 = OB2 ∆BOM vng M nên sinBOM^=BMOB=32= 60o ∆OBC cân O (vì OB = OC) có OM đường cao nên OM đường phân giác Suy BOC^=2 BOM^=2 . 60o=120o Đặt cung lớn BC BmC⏜ Số đo cung lớn BC là: Vậy độ dài cung nhỏ cung lớn BC Câu 2: Tam giác ABC có AB = AC = cm, A^=120o Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp ∆ABC Lời giải: Ta có AB = AC nên A điểm nằm cung BC Suy ra: AO⊥BC⇒BAH^=HAC^=60o Do ∆ABH nửa tam giác Nên AB = BO = (cm) Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: C = 2πR = 6π (cm) Câu 3: Một tam giác hình vng có chu vi 72 cm Hỏi độ dài đường trịn ngoại tiếp hình lớn hơn? Lớn bao nhiêu? Lời giải: * Xét tam giác ABC ngoại tiếp đường trịn (O) có chu vi 72 cm Kẻ AH đường trung trực ∆ABC H Độ dài cạnh tam giác đều: 72 : = 24 (cm) Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆ABH vuông H, ta có: AH2 + BH2 = AB2 Đường trịn (O) ngoại tiếp ∆ABC nên AH đường trung trực ∆ABC Mà ∆ABC nên AH đường trung tuyến Suy O trọng tâm ∆ABC Do OA = 23AH =23 . 123=83 = R Do độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác là: C = 2πR = 163π (cm) * Xét hình vng MNPQ ngoại tiếp đường trịn (O’) có chu vi 72 cm Nối N với Q Độ dài cạnh hình vng là: 72 : = 18 (cm) Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆NPQ vng P, ta có: NP2 + PQ2 = NQ2 Do độ dài đường trịn ngoại tiếp hình vng là: Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác lớn đường trịn ngoại tiếp hình vng lớn hơn: Câu 4: Tính độ dài cung 50°của đường trịn có bán kính 3cm Lời giải: Áp dụng cơng thúc độ dài cung trịn l=πRn180ta có: Độ dài cung 50°của đường trịn bán kính 3cm là: l=π.3.50180=5π6 (cm) Câu 5: Tính chu vi vành nón có bán kính 25cm Lời giải: Áp dụng cơng thức tính chu vi đường trịn ta được: Chu vi vành nón C = 2R.π= 2.25.π= 50(cm) Câu 6: Cho hình vẽ: Biết OA = 4cm Tính chu vi hình Lời giải: Độ dài cung OA l1=π.4.180180=4π(cm) Do AB đường kính (O) nên OA = OB = 4cm; AB = 8cm Độ dài cung OB l2=π.4.180180=4π(cm) Độ dài cung AB là: l3=π.8.180180=8π(cm) Chu vi hình cần tính C = l1+l2+l3=4π+4π+8π=16π(cm) Câu 7: Cho hình vẽ: Biết AB = 1cm Tính độ dài đường cong AEFGH Lời giải: Đường cong AE cung đường trịn bán kính AB = 1cm Độ dài đường cong AE là: l1=1.90.π180=π2(cm) Đường cong EF cung đường trịn bán kính CE = CB + BE = + = 2cm Độ dài đường cong EF là: l2=2.90.π180=π(cm) Đường cong FG cung đường trịn bán kính DF = DC + CF = + = 3cm Độ dài đường cong FG là: l3=3.90.π180=3π2(cm) Đường cong GH cung đường trịn bán kính AG = AD + DG = + = 4cm Độ dài đường cong HG l4=4.90.π180=2π(cm) Độ dài đường cong AEFGH là: l1+l2+l3+l4=π2+π+3π2+2π=5π(cm) Câu 8: AB đường kính nửa đường trịn Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm M N cho M nằm A N Vẽ đường trịn có đường kính AM, MN, NB Hãy chứng minh tổng độ dài cung AM, MN, NB độ dài cung AB Lời giải: Gọi C1;C2;C3;Clà độ dài nửa đường trịn đường kính AM; MN; NB; AB C1=12π.AM (đơn vị độ dài) C2=12.π.MN (đơn vị độ dài) C3=12.π.NB(đơn vị độ dài) C=12.π.AB (đơn vị độ dài) Lấy C1+C2+C3=12π.AM+12.πMN+12.π.NB ⇔C1+C2+C3=12π.AM+MN+NB ⇔C1+C2+C3=12π.AB=C(điều phải chứng minh) Câu 9: So sánh độ dài cung OmB⏜ AB⏜ Lời giải: Gọi l1là độ dài cung OmB⏜ Gọi l2là độ dài cung AB⏜ Độ dài cung OmB⏜là l1=12.π.OB (đơn vị độ dài) Độ dài cung AB⏜ l2=14.π.2.OB =12.π.OB(đơn vị độ dài) Vậy l1=l2 Câu 10: Cho hai đường trịn bán kính R = 1km r = 1m Nếu độ dài đường trịn tăng thêm 1m bán kính đường tròn tăng thêm ? Hãy giải thích Lời giải: Gọi bán kính tăng thêm đường trịn bán kính R a, phần bán kính tăng thêm đường trịn bán kính r b Khi độ dài đường tròn tăng thêm 1m, ta có: 2πR+a=2πR+1⇒2πa=1⇒a=12π(m) 2πr+b=2πr+1⇒2πb=1⇒b=12π(m) Vậy bán kính đường trịn tăng thêm 12π(m) III Bài tập vận dụng Câu 1: Cho π=3,14 Hãy điền vào trống Bán kính R Đường kính d Độ dài C 94,2 24 Câu 2: Hãy điền vào trống: Bán kính R 12 Số đo n° 90° Độ dài l cung 22 60° 40,6 5,2 31° 30,8 28° 8,2 tròn Câu 3: Cho tam giác ABC có AB = AC = 3cm A^=120° Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Câu 4: Cho đường tròn (O), bán kính R dây AB Cho hai trường hợp sau: a) Nếu số đo cung AB 90° Hãy tính chu vi đường trịn đường kính AB b) Nếu độ dài cung AB 5πR6 Hỏi số đo góc AOB^ Câu 5: Cho đường tròn (O) bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC vng góc với OA Biết độ dài đường trịn (O) 4π cm Tính: a) Bán kính đường tròn (O); b) Độ dài cung BC đường tròn Câu 6: Cho tam giác AB vng A có AB = 5cm, B^=60° Đường trịn tâm I đường kính AB cắt BC D a) Chứng minh AD vuông góc với BC b) Chứng minh đường trịn tâm K đường kính AC qua D c) Tính độ dài cung nhỏ BD Câu 7: Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường trịn (O), vẽ nửa đường trịn đường kính AD BC phía ngồi tứ giác Biết AB + CD = 10cm Tính tổng độ dài hai nửa đường trịn Câu 8: Tính chu vi phần bị gạch hình vẽ đây: Câu 9: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường trịn (O) Vẽ phía ngồi tứ giác bốn nửa đường trịn đường kính bốn cạnh tứ giác Chứng minh tổng độ dài hai nửa đường trịn có đường kính hai cạnh đối diện tứ giác tổng độ dài hai nửa đường trịn có đường kính hai cạnh đối diện lại Câu 10: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Vẽ dây CD = R (thuộc cung AD) Nối AC với BD cắt M a) Chứng minh tam giác MCD đồng dạng với tam giác MBA, tìm tỉ số đồng dạng b) Cho ABC^=30° Tính độ dài cung nhỏ AC Xem thêm Chuyên đề Toán lớp hay, chi tiết khác: Chuyên đề Diện tích hình trịn, hình quạt trịn Chun đề Ôn tập chương III Chuyên đề Hình trụ - Diện tích xung quanh thể tích hình trụ Chun đề Hình nón – Hình nón cụt Diện tích xung quanh thể tích hình nón, hình nón cụt Chun đề Hình cầu Diện tích mặt cầu thể tích hình cầu ... tính độ dài cung trịn Ví dụ Cho đường trịn có bán kính 4cm Tính độ dài cung tròn 120o Lời giải: Độ dài cung tròn 120o là: l=πRn180 =π . 4 . 120180=83π (cm) Vậy độ dài cung tròn 120o đường tròn. .. giải: Gọi l1là độ dài cung OmB⏜ Gọi l2là độ dài cung AB⏜ Độ dài cung OmB⏜là l1=12.π.OB (đơn vị độ dài) Độ dài cung AB⏜ l2=14.π.2.OB =12.π.OB(đơn vị độ dài) Vậy l1=l2 Câu 10: Cho hai đường trịn bán... đường tròn có đường kính AM, MN, NB Hãy chứng minh tổng độ dài cung AM, MN, NB độ dài cung AB Lời giải: Gọi C1;C2;C3;Clà độ dài nửa đường trịn đường kính AM; MN; NB; AB C1=12π.AM (đơn vị độ dài)