Chuyên đề Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Toán 9 A Lý thuyết 1 Tính chất của tiếp tuyến Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm[.]
Chuyên đề Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường trịn - Tốn A Lý thuyết Tính chất tiếp tuyến Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm Trong hình vẽ Δ tiếp tuyến ⇒ Δ ⊥ OH (H tiếp điểm) Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn Để nhận biết đường thẳng tiếp tuyến đường trịn ta có hai dấu hiệu sau: + Dấu hiệu 1: Đường thẳng đường trịn có điểm chung (định nghĩa tiếp tuyến) + Dấu hiệu 2: Đường thẳng qua điểm đường tròn vng góc với bán kính qua điểm Cụ thể hiểu sau: B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho (O; R).Đường thẳng d tiếp tuyến đường tròn (O; R) tiếp điểm A A d ⊥ OA A A ∈ (O) B d ⊥ OA C A ∈ (O) D d // OA Lời giải: Nếu đường thẳng qua điểm đường tròn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Chọn đáp án A Câu 2: Cho (O; 5cm) Đường thẳng d tiếp tuyến đường tròn (O; 5cm), A Khoảng cách từ O đến đường thẳng d nhỏ 5cm B Khoảng cách từ O đến đường thẳng d lớn 5cm C Khoảng cách từ O đến đường thẳng d 5cm D Khoảng cách từ đến O đường thẳng d 6cm Lời giải: Khoảng cách từ tâm đường tròn đến tiếp tuyến bán kính đường trịn Chọn đáp án C Câu 3: Cho tam giác ABC có AC = 3cm, AB = 4cm, BC = 5cm Vẽ đường tròn (C; CA) Khẳng định sau đúng? A.Đường thẳng BC cắt đường tròn (C; CA) điểm B.AB cát tuyến đường tròn (C; CA) C.AB tiếp tuyến (C; CA) D BC tiếp tuyến (C; CA) Lời giải: + Xét tam giác có: BC2 = 52 = 25; AB2 + AC2 = 42 + 32 = 25 ⇒ BC2 = AB2 + AC2 ⇒ ΔABC vuông A (Định lý Pytago đảo) ⇒ AB ⊥ AC mà A ∈ (C; CA) nên AB tiếp tuyến (C; CA) Chọn đáp án C Câu 4: Cho tam giác cân ABC A; đường cao AH BK cắt I Khi đường thẳng sau tiếp tuyến đường trịn đường kính AI A HK B IB C IC D Ac Lời giải: Gọi O trung điểm AI Xét tam giác vng AIK có Từ (*) (**) HK tiếp tuyến đường trịn đường kính AI Chọn đáp án A Câu 5: Cho tam giác vuông ABC A, đường cao AH Đường trịn đường kính BH cắt AB D, đường trịn đường kính CH cắt AC E Chọn khẳng định sai khẳng định sau A DE cát tuyến đường trịn đường kính BH B DE tiếp tuyến đường trịn đường kính BH C Tứ giác AEHD hình chữ nhật D DE ⊥ DI (với I trung điểm BH) Lời giải: Gọi I, J trung điểm BH CH Để chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn tâm I đường kính BH ta chứng minh ID ⊥ DE hay Vì D, E thuộc đường trịn đường kính BH HC Nên DE tiếp tuyến đường trịn đường kính BH Từ chứng minh suy phương án B, C, D Chọn đáp án A Câu 6: Trên tiếp tuyến điểm A đường tròn (O; R) lấy điểm M cho OM = 2R Gọi điểm B đường tròn (O; R) cho MB = MA Tìm khẳng định sai? A MB tiếp tuyến đường tròn (O; R) B Tam giác ABC tam giác C Diện tích tam giác AOM là: D MA = R√2 Lời giải: Chọn đáp án D Câu 7: Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = cm, BC = 10 cm Tìm khẳng định A AC tiếp tuyến (B; BA) B AB tiếp tuyến (A; AC) C BC tiếp tuyến (A; AC) D BC tiếp tuyến (A; AB) Lời giải: Tam giác ABC có: AB2 + AC2 = BC2 nên tam giác BAC vuông A Ta có: AB ⊥ AC A A thuộc đường tròn (B; BA) Suy ra: AC tiếp tuyến (B; BA) Chọn đáp án A Câu 8: Cho (O; 5cm) có dây AB = 8cm Qua O , kẻ đường vng góc với AB cắt tiếp tuyến A đường tròn C A BC tiếp tuyến (O) B Khoảng cách từ O đến AB cm C OC = 25/3 cm D A B sai Lời giải: Gọi H giao điểm AB CO Xét tam giác OAB có OA = OB = R nên tam giác OAB cân O Lại có, OH đường cao nên đồng thời đường phân giác * Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có: Chọn đáp án D Câu 9: Cho hình vng ABCD Gọi O tâm đường tròn qua điểm A,B, C, D Tìm khẳng định đúng? A AB tiếp tuyến (O) B BC tiếp tuyến (O) C.CD tiếp tuyến (O) D Tất sai Lời giải: * Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Theo tính chất hình chữ nhật ta có: Nên O tâm đường trịn qua điểm A,B, C, D Các đường thẳng AB; BC; CD; DA có điểm chung với (O) nên đường thẳng tiếp tuyến đường tròn (O) Chọn đáp án D Câu 10: Cho hình vng ABCD cạnh a, gọi O tâm đường trịn nội tiếp hình vng Tìm khẳng định đúng? A AB, BC, CD DA tiếp tuyến đường tròn (O) B AB, BC, CD DA khơng tiếp tuyến đường trịn (O) C AC BD tiếp tuyến (O) D Tất sai Lời giải: Gọi O giao điểm AC BD Khi đó, đường trịn tâm O bán kính R = a/2 đường trịn nội tiếp hình vng ABCD Do O tâm đường trịn nội tiếp hình vng ABCD nên đường trịn tiếp xúc với cạnh hình vng Suy ra: AB; BC; CD DA tiếp tuyến đường tròn (O) Chọn đáp án A II Bài tập tự luận có lời giải Câu 1: Cho đường trịn (O; 2cm) bán kính OB Vẽ dây BC cho tia OB lấy điểm M cho BM = 2cm Lời giải: Tam giác OBC cân O có Nên tam giác OCB tam giác suy BC = OB = OC = Xét tam giác OCM có BC = OB = BM = = nên ΔOCM vuông C Trên ⇒ OC ⊥ CM ⇒ MC tiếp tuyến (O; 2cm) Câu 2: Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) Đường thẳng vng góc với OB O cắt tia AC N Đường thẳng vng góc với OC cắt tia AB M Tứ giác AMON hình gì? Lời giải: Dễ có AMON hình bình hành (ON // AM; OM // AN) Ta chứng minh OM = ON Câu 3: Cho tam giác ABC có hai đường cao BD, CE cắt H Xác định tâm F đường tròn qua bốn điểm A, D, H, E Lời giải: Gọi F trung điểm AH Xét hai tam giác vng AEH ADH ta có FA = FH = FE = FD = Nên bốn đỉnh A, D, H, E thuộc đường trịn tâm F bán kính Câu 4: Cho tam giác ABC có hai đường cao BD, CE cắt H Gọi M trung điểm BC Đường tròn (F) nhận đường thẳng tiếp tuyến? Lời giải: AH cắt BC K ⇒ AK ⊥ BC H trực tâm tam giác ABC Ta chứng minh ME ⊥ EF E ∆FAE cân F (vì FA = FE) nên: ∆MEC cân M (vì ME = MC = MB = Từ ME tiếp tuyến ) nên Tương tự ta có MD tiếp tuyến Câu 5: Cho đường tròn (O), dây MN khác đường kính Qua O kẻ đường vng góc với MN, cắt tiếp tuyến M đường tròn điểm P Cho bán kính đường trịn 10cm; MN = 12cm Tính OP Lời giải: Gọi I giao điểm MN OP Ta có OP ⊥ MN I ⇒ I trung điểm MN Xét tam giác vuông MPO, theo hệ thức lượng tam giác vng ta có: Vậy OP = 12,5cm Câu 6: Cho đường trịn (O), điểm A nằm bên ngồi đường tròn Dùng thước compa, dựng điểm B C thuộc đường tròn (O) cho AB AC tiếp tuyến đường tròn (O) Lời giải: Cách dựng: - Dựng đoạn thẳng OA I trung điểm OA - Dựng đường tròn (I; IO) cắt đường tròn (O) B C - Nối AB, AC ta hai tiếp tuyến cần dựng Chứng minh: Xét tam giác OAB nội tiếp đường trịn (I) có AO đường kính Do đó, tam giác OAB vng B ⇒AB⊥BO Do đó, AB tiếp tuyến đường tròn (O; OB) Xét tam giác ACO nội tiếp đường trịn (I) có AO đường kính Do đó, tam giác ACO vng C ⇒AC⊥CO Do đó, AC tiếp tuyến đường trịn (O; OC) hay đường trịn (O; OB) Vậy ln dựng đường tròn tâm I, cắt đường tròn tâm O hai điểm B C ln có AB, AC hai tiếp tuyến đường tròn (O) Câu 7: Cho điểm A nằm đường thẳng d, điểm B nằm ngồi đường thẳng d Dựng đường trịn (O) qua A B nhận đường thẳng d làm tiếp tuyến Lời giải: Cách dựng - Dựng đường thẳng trung trực AB - Dựng đường thẳng qua A vng góc với d Đường thẳng cắt đường trung trực AB O - Dựng đường tròn (O; OA) ta đường tròn cần dựng Chứng minh: Vì O nằm đường trung trực AB nên OA = OB Khi đường trịn (O; OA) qua hai điểm A B Ta có: OA vng góc với d A nên d tiếp tuyến (O) Vậy (O) thỏa mãn điều kiện toán Câu 8: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường tròn (B; BA) đường tròn (C; CA), chúng cắt điểm D (khác A) Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn (B) Lời giải: Xét tam giác ABC tam giác DBC Có: BA = BD (bán kính (B; BA)) CA = CD (bán kính (C; CA)) BC chung Do đó, ΔABC = ΔDBC (cạnh – cạnh – cạnh) ⇒BDC^=BAC^=90o⇒CD⊥DB Do đó, CD tiếp tuyến đường tròn (B; BA) Câu 9: Cho góc nhọn xOy, điểm A thuộc tia Ox Dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox A có tâm I nằm Oy Lời giải: Cách dựng: - Dựng góc nhọn xOy - Dựng đường vng góc với Ox A cắt Oy I - Dựng đường trịn (I; IA) Chứng minh: Ta có: I nằm Oy, OA⊥IA A Do đó, Ox tiếp tuyến đường tròn (I; IA) hay (I; IA) tiếp xúc với Ox Câu 10: Cho đường tròn (O) đường thẳng d không giao Dựng tiếp tuyến đường trịn (O) cho tiếp tuyến song song với d Lời giải: Cách dựng: - Dựng OH vng góc với d cắt đường trịn (O) A B - Dựng đường thẳng d1 qua A vng góc với OA - Dựng đường thẳng d2 qua B vng góc với OB - Khi d1 d2 hai tiếp tuyến cần dựng Chứng minh: Ta có: A B thuộc (O) nằm đường thẳng OH d1 vng góc với OA hay d1 vng góc với OH A d2 vng góc với OB hay d2 vng góc với OH B ... Do đó, AB tiếp tuyến đường tròn (O; OB) Xét tam giác ACO nội tiếp đường trịn (I) có AO đường kính Do đó, tam giác ACO vng C ⇒AC⊥CO Do đó, AC tiếp tuyến đường tròn (O; OC) hay đường tròn (O; OB)... đường trịn tâm I, cắt đường tròn tâm O hai điểm B C ln có AB, AC hai tiếp tuyến đường tròn (O) Câu 7: Cho điểm A nằm đường thẳng d, điểm B nằm đường thẳng d Dựng đường tròn (O) qua A B nhận đường. .. = Từ ME tiếp tuyến ) nên Tương tự ta có MD tiếp tuyến Câu 5: Cho đường trịn (O), dây MN khác đường kính Qua O kẻ đường vng góc với MN, cắt tiếp tuyến M đường tròn điểm P Cho bán kính đường trịn