Chuyên đề Vị trí tương đối của hai đường tròn Toán 9 A Lý thuyết 1 Ba vị trí tương đối của hai đường tròn a) Hai đường tròn cắt nhau Hai đường tròn có hai điểm chung được gọi là hai đường tròn cắt nha[.]
Chun đề Vị trí tương đối hai đường trịn - Tốn A Lý thuyết Ba vị trí tương đối hai đường tròn a) Hai đường tròn cắt Hai đường trịn có hai điểm chung gọi hai đường tròn cắt + Hai điểm A, B hai giao điểm + Đoạn thẳng AB dây chung + Đặt O1A = R; O2A = r đó: |R - r| < O1O2 < R + r + Đường thẳng O1O2 đường nối tâm, đoạn thẳng O1O2 đoạn nối tâm + Tính chất đường nối tâm: Đường nối tâm đường trung trực dây chung b) Hai đường tròn tiếp xúc Hai đường trịn có điểm chung gọi hai đường tròn tiếp xúc + Điểm A gọi tiếp điểm + Có hai trường hợp tiếp xúc hai đường trịn: ⋅ Tiếp xúc ngồi A: O1O2 = R + r ⋅ Tiếp xúc A: O1O2 = |R - r| c) Hai đường tròn khơng giao Hai đường trịn khơng có điểm chung gọi hai đường trịn khơng giao + Hai đường trịn ngồi nhau: O1O2 > R + r + Hai đường tròn đựng nhau: O1O2 < |R - r| + Đặc biệt, (O1) (O2) đồng tâm: O1O2 = Định lý + Nếu hai đường trịn cắt hai giao điểm đối xứng qua đường nối tâm, tức đường nối tâm đường trung trực dây cung + Nếu hai đường trịn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm Tiếp tuyến chung hai đường tròn + Tiếp tuyến chung hai đường tròn đường thẳng tiếp xúc với hai đường trịn + Tiếp tuyến chung ngồi khơng cắt đường nối tâm + Tiếp tuyến chung cắt đường nối tâm B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Nếu hai đường trịn tiếp xúc với số điểm chung hai đường tròn là: A B C D Lời giải: Hai đường tròn tiếp xúc với có điểm chung Chọn đáp án A Câu 2: Cho hai đường tròn (O; R) (O; r) với R > r cắt hai điểm phân biệt OO' = d Chọn khẳng định đúng? A d = R - r B d > R + r C R - r < d < R + r D d < R - r Lời giải: Hai đường tròn (O; R) (O'; r)(R > r) cắt Khi (O) (O') có hai điểm chung đường trịn nối tâm đường trung trực đoạn AB Hệ thức liên hệ R - r < OO' < R + r Chọn đáp án C Câu 3: Cho hai đường tròn (O; 8cm) (O; 6cm) cắt A, B cho OA tiếp tuyến (O) Độ dài dây AB A AB = 8,6 cm B AB = 6,9 cm C AB = 4,8 cm D AB = 9,6 cm Lời giải: Vì OA tiếp tuyến (O') nên tam giác vng A Vì (O) (O') cắt A, B nên đường tròn nối tâm OO' trung trực đoạn AB Gọi giao điểm AB OO' I AB ⊥ OO' I trung điểm AB Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông OAO' ta có: Chọn đáp án D Câu 4: Cho đường trịn (O) bán kính OA đường trịn (O') đường kính OA Vị trí tương đối hai đường trịn là: A Nằm B Cắt C Tiếp xúc ngồi D Tiếp xúc Lời giải: Vì hai đường trịn có điểm chung A nên hai đường tròn tiếp xúc Chọn đáp án D Câu 5: Cho đường trịn (O) bán kính OA đường trịn (O') đường kính OA Dây AD đường trịn lớn cắt đường trịn nhỏ C Khi Lời giải: Chọn đáp án B Câu 6: Cho hai đường trịn (O1; 4) (O2; R) tiếp xúc ngồi biết O1O2 = 10cm Tìm R A 4cm B 6cm C 14cm D 10cm Lời giải: Để hai đường trịn cho tiếp xúc ngồi khi: R1 + R2 = O1O2 Hay + R = 10 nên R = 6cm Chọn đáp án B Câu 7: Cho hai đường tròn (O1; 3cm ) (O2; R) cắt nhau, biết O1O2 = 11 cm R > Bán kính R bao nhiêu? A R = cm B R = 9cm C R = 14cm D R = 15cm Lời giải: Để hai đường tròn cho cắt khi: R - < O1O2 < R + hay R - < 11 < R + Suy ra: R < 14 < R Trong phương án cho có phương án B thỏa mãn Chọn đáp án B Câu 8: Cho hai đường tròn (O; 15cm) (I; 20cm) cắt hai điểm A B Biết O I nằm hai phía đường thẳng AB AB = 24cm Tính đoạn nối tâm OI? A 20cm B 21cm C 23cm D 25 cm Lời giải: Gọi giao điểm AB OI điểm H Theo tính chất đường nối tâm ta có H trung điểm AB nên HA = HB = 24 : = 12 cm Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vng OAH ta có: OH2 = OA2 – AH2 = 152 – 122 = 81 nên OH = cm Áp dụng đinh lí Pytago vào tam giác vng AHI ta có: HI2 = AI2 – AH2 = 202 – 122 = 256 nên HI = 16 cm Do đó, OI = OH + HI = + 16 = 25 cm Chọn đáp án D Câu 9: Cho hai đường tròn (O; 10 cm ) (I; 6cm) Xác định vị trí hai đường trịn biết OI = cm? A Ở B Đường tròn (O) đựng đường tròn ( I) C Cắt D Tiếp xúc Lời giải: Ta có: OI < R – r ( < 10 – 6) Do đó, đường trịn (O) đựng đường trịn (I) Chọn đáp án B Câu 10: Cho hai đường tròn (A; 6cm) (B; 3cm) Tìm điều kiện để hai đường trịn cho ngồi nhau? A AB > 9cm B AB < 9cm C AB = 3cm D AB < 3cm Lời giải: Để hai đường tròn cho khi: AB > R + r hay AB > + = 9cm Chọn đáp án A II Bài tập tự luận có lời giải Câu 1: Cho đường trịn tâm O bán kính OA đường trịn đường kính OA Xác định tính tương đối hai đường trịn Lời giải: Gọi đường trịn (O') đường trịn đường kính OA Ta có: ⇒ (O) (O') tiếp xúc Câu 2: Cho hai đường tròn (O; 20) (O'; 15) cắt A B Tính đoạn thẳng nối OO' biết AB = 24 Lời giải: Ta có trường hợp xảy ra: Gọi C giao điểm đường thẳng AB OO' Câu 3: Cho hai đường tròn (O; R) (O'; r) cắt hai điểm A B Vẽ đường kính AOC đường kính AO'D a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) (O') M N CMR: MN ≤ CD Lời giải: a) Tam giác ABC có AC đường kính nên tam giác ABC vng B hay AB ⊥ BC Tam giác ABD có AD đường kính nên tam giác ABD vng B hay AB ⊥ BD ⇒ C, B, D thuộc đường thẳng qua B vng góc với AB b) Xét tam giác ACD có OO' đường trung bình nên OO' = 1/2 CD Gọi E, F hình chiếu O O' nên MN Khi E, F trung điểm AM AN ⇒ EF = 1/2 MN Ta đưa việc so sánh CD với MN qua so sánh OO' với EF Xét đường thẳng OE O'F song song với EF vng góc với hai đoạn thẳng nên EF đoạn thẳng nhỏ đoạn nối từ điểm OE tới điểm O'F Khi đó: EF ≤ OO' ⇒ MN ≤ CD Câu 4: Cho hai đường tròn (O); (O’) tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung MN với M ∈ (O); N ∈ (O’) Gọi P điểm đối xứng với M qua OO’; Q điểm đối xứng với N qua OO’ Khi đó, tứ giác MNQP hình gì? Lời giải: Vì P điểm đối xứng với M qua OO’ Q điểm đối xứng với N qua OO’ nên MN = PQ P ∈ (O); Q ∈ (O’) MP ⊥ OO’; NQ ⊥ OO’ ⇒ MP // NQ mà MN = PQ nên MNPQ hình thang cân Câu 5: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc ngồi A Vẽ bán kính OB // O’D với B, D phía nửa mặt phẳng bờ OO’ Đường thẳng DB OO’ cắt I Tiếp tuyến chung GH (O) (O’) với G, H nằm nửa mặt phẳng bờ OO’ khơng chứa B, D Tính PI theo R R’ Lời giải: Câu 6: Cho hai đường tròn (O; 8cm) (O’; 6cm) cắt A, B cho OA tiếp tuyến (O’) Tính độ dài dây AB Lời giải: Vì OA tiếp tuyến (O’) nên ∆OAO’ vng A Vì (O) (O’) cắt A, B nên đường nối tâm OO’ trung trực đoạn AB Gọi giao điểm AB OO’ I AB ⊥ OO’ I trung điểm AB Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng OAO’ ta có: Câu 7: Cho hai đường tròn (O; 6cm) (O’; 2cm) cắt A, B cho OA tiếp tuyến (O’) Tính độ dài dây AB Lời giải: Vì OA tiếp tuyến (O’) nên OAO’ vuông A Vì (O) (O’) cắt A, B nên đường nối tâm OO’ trung trực đoạn AB Gọi giao điểm AB OO’ I AB ⊥ OO’ I trung điểm AB Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông OAO’ ta có: Câu 8: Cho đường trịn tâm O bán kính OA đường trịn đường kính OA Xác định tính tương đối hai đường trịn Lời giải: Gọi đường trịn (O') đường trịn đường kính OA Ta có: ⇒ (O) (O') tiếp xúc Câu 9: Cho hai đường trịn (O); (O’) tiếp xúc ngồi A Kẻ tiếp tuyến chung MN với M ∈ (O); N ∈ (O’) Gọi P điểm đối xứng với M qua OO’; Q điểm đối xứng với N qua OO’ MN + PQ bằng: Lời giải: Vì P điểm đối xứng với M qua OO’ Q điểm đối xứng với N qua OO’ nên MN = PQ P ∈ (O); Q ∈ (O’) MP ⊥ OO’; NQ ⊥ OO’ ⇒ MP // NQ mà MN = PQ nên MNPQ hình thang cân Kẻ tiếp tuyến chung A (O); (O’) cắt MN; PQ B; C ⇒ OP ⊥ PQ P ∈ (O) nên PQ tiếp tuyến (O) Chứng minh tương tự ta có PQ tiếp tuyến (O’) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: BA = BM = BAO NHIÊU; CP = CA = CQ suy B; C trung điểm MN; PQ MN + PQ = 2MB + PC = 2AB + 2AC = 2BC Lại có BC đường trung bình hình thang MNPQ nên MP + NQ = 2BC Do MN + PQ = MP + NQ Câu 10: Cho hình 76, hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc với A Chứng minh tiếp tuyến Bx Cy song song với ... đường trịn (O) bán kính OA đường trịn (O'') đường kính OA Vị trí tương đối hai đường trịn là: A Nằm B Cắt C Tiếp xúc ngồi D Tiếp xúc Lời giải: Vì hai đường trịn có điểm chung A nên hai đường tròn. .. hai đường trịn cắt hai giao điểm đối xứng qua đường nối tâm, tức đường nối tâm đường trung trực dây cung + Nếu hai đường trịn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm Tiếp tuyến chung hai đường tròn. .. HI = + 16 = 25 cm Chọn đáp án D Câu 9: Cho hai đường tròn (O; 10 cm ) (I; 6cm) Xác định vị trí hai đường trịn biết OI = cm? A Ở B Đường tròn (O) đựng đường tròn ( I) C Cắt D Tiếp xúc Lời giải: