Vị trí tương đối của hai đường tròn I Lý thuyết 1 Vị trí tương đối của hai đường tròn Hai đường tròn cắt nhau là hai đường tròn có hai điểm chung Hai đường tròn tiếp xúc nhau là hai đường tròn có một[.]
Vị trí tương đối hai đường trịn I Lý thuyết Vị trí tương đối hai đường trịn - Hai đường tròn cắt hai đường tròn có hai điểm chung - Hai đường trịn tiếp xúc hai đường trịn có điểm chung - Hai đường trịn khơng cắt hai đường trịn khơng có điểm chung Khái niệm đường nối tâm Đường nối tâm (đường thẳng qua tâm đường trịn) trục đối xứng hình tạo hai đường tròn Đoạn nối tâm đoạn thẳng nối hai tâm đường tròn với tâm đầu mút Tính chất đường nối tâm - Nếu hai đường trịn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm - Nếu hai đường tròn cắt hai giao điểm đối xứng với qua đường nối tâm, tức đường nối tâm đường trung trực dây chung Liên hệ vị trí hai đường tròn với đoạn nối tâm d bán kính R r Cho hai đường trịn (O; R) (O’; r) với R > r - Hai đường trịn cắt R – r < d < R + r hai đường tròn (O) (O’) có điểm chung Điểm chung (O) (O’) A B - Hai đường tròn tiếp xúc (O) (O’) có điểm chung: + Tiếp xúc trong: d = R – r Điểm chung O O’ A O’ nằm O A + Tiếp xúc ngoài: d = R + r (O) (O’) có điểm chung A A nằm O O’ - Hai đường trịn khơng giao (O) (O’) khơng có điểm chung: + (O) (O’) nằm ngồi nhau: d > R + r + (O) đựng (O’): d < R – r + (O) (O’) đồng tâm: d = II Một số dạng tập phương pháp giải Dạng 1: Các toán liên quan đến đường tròn tiếp xúc Phương pháp giải: Áp dụng kiến thức vị trí tương đối hai đường tròn liên quan đến trường hợp hai đường tròn tiếp xúc Cho hai đường tròn (O; R) (O’; r) với R > r + Hai đường trịn tiếp xúc (O) (O’) có điểm chung: + Tiếp xúc trong: d = R – r + Tiếp xúc ngồi: d = R + r Ví dụ 1: Cho đường trịn (O) bán kính R Lấy điểm A tùy ý (O) Vẽ đường tròn đường kính AO Xác định vị trí tương đối hai đường tròn Lời giải: Gọi O’ tâm đường trịn đường kính OA Ta có O’ trung điểm OA OA bán kính đường trịn (O’) Đoạn nối tâm O, O’ OO’ = OA R = 2 Gọi r bán kinh (O’) ta có: R – r = OA - OA R R =R- = nên (O) (O’) tiếp xúc A 2 Ví dụ 2: Cho đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A Kẻ tiếp tuyến chung BC với B thuộc (O) C thuộc (O’) Tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung BC I a) Chứng minh BAC = 90 b) Vẽ đường kính BOD CO’E Chứng minh ba điểm B, A, E A, C, D thẳng hàng Lời giải: a) Gọi giao điểm OI với AB G Gọi giao điểm IO’ với AC H Vì BI IA hai tiếp tuyến đường tròn (O) chúng cắt I nên OIA = OIB Xét tam giác BIA ta có : IA = IB (tính chất hai tiếp tuyến IA, IB (O) cắt nhau) tam giác BIA cân I IG đường phân giác đường cao tam giác BIA IGA = 90 Vì CI IA hai tiếp tuyến đường tròn (O’) chúng cắt I nên O'IA = O'IC Xét tam giác CIA có: IC = IA (tính chất hai tiếp tuyến IC IA (O’) cắt nhau) tam giác CIA cân I IH đường phân giác đường cao tam giác CIA IHA = 90 Ta lại có: OIA + OIB + O'IA + O'IC = 180 Mà O'IA = O'IC OIA = OIB nên ta có: OIA + OIB + O'IA + O'IC = 2OIA + 2O'IA = 180 ( ) OIA + O'IA = 180 OIA + O'IA = 90 GIH = 90 Xét tứ giác AHIG có: GIH = IGA = IHA = 90 Do tứ giác AHIG hình chữ nhật GAH = 90 hay BAC = 90 (điều phải chứng minh) b) Ta có: BD đường kính đường tròn (O) A, B, D thuộc đường trịn (O) nên tam giác ABD tam giác vng BAD = 90 CE đường kính đường tròn (O’) A, C, E thuộc đường tròn (O’) nên tam giác ACE tam giác vuông CAE = 90 Ta có: BAD = 90 BAC = 90 BAD + BAC = DAC = 180 A, C, D thẳng hàng Lại có: CAE = 90 BAC = 90 CAE + BAC = BAE = 180 A, E, B thẳng hàng Ví dụ 3: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; r) tiếp xúc với A Vẽ tiếp tuyến chung BC với B thuộc (O) C thuộc (O’) Đường vng góc với OO’ kẻ từ A cắt BC M a) Tính AM theo r R b) Tính diện tích tứ giác BCO’O theo R r Lời giải: a) MA vng góc với OO’ nên MA vng góc với OA MA tiếp tuyến (O) A MA vng góc với OO’ nên MA vng góc với O’A MA tiếp tuyến (O’) A Vì MA BM hai tiếp tuyến cắt nên OM tia phân giác góc BMA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OMB = OMA Vì MA CM hai tiếp tuyến cắt nên O’M tia phân giác góc CMA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) O'MC = O'MA Ta có: OMB + OMA + O'MC + O'MA = 180 2OMA + 2O'MA = 180 ( ) OMA + O'MA = 180 OMA + O'MA = 90 OMO' = 90 Xét tam giác OMO’ vng M, đường cao MA ta có: MA = AO.AO' (hệ thứ lượng tam giác vuông) MA = R.r MA = R.r b) Xét BOM AOM ta có: BMO = AMO (chứng minh trên) OM chung BM = AM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Do BOM = AOM (c – g – c) SBOM = SAOM Xét tam giác AMO' CMO' ta có: AMO' = CMO' (chứng minh trên) MO’ chung AM = CM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Do AMO' = CMO' (c – g – c) SAMO' = SCMO' Diện tích tam giác AOM S= 1 AM.OA = R R.r (đơn vị diện tích) 2 Diện tích tam giác AMO’ 1 S = AM.O'A = r R.r (đơn vị diện tích) 2 Ta có: SBCO'O = SOBM + SOMA + SAMO' + SO'CM SBCO'O = 2SOMA + 2SAMO' (do SOBM = SOMA SAMO' = SO'CM ) SBCO 'O = (SOMA + SAMO ' ) 1 SBCO'O = 2. R Rr + r Rr 2 SBCO 'O = Rr (R + r) SBCO'O = Rr (R + r) (đơn vị diện tích) Dạng 2: Các tốn liên quan đến hai đường tròn cắt Phương pháp giải: Áp dụng kiến thức liên quan đến hai đường tròn cắt Cho hai đường tròn (O; R) (O’; r) với R > r - Hai đường tròn cắt R – r < d < R + r hai đường trịn (O) (O’) có điểm chung Ví dụ 1: Cho hai đường trịn (O) (O’) cắt A B Một cát tuyến qua A cắt (O) M cắt (O’) N, A nằm M N Từ A vẽ đường kính AOC AO’D Tứ giác CMND hình gì? Lời giải: Vì A, C, M thuộc đường trịn (O) AC đường kính nên tam giác AMC vuông M MC ⊥ MA (1) Vì A, N, D thuộc đường trịn (O’) AD đường kính nên tam giác AND vng N AN ⊥ ND (2) CM ⊥ MN Từ (1) (2) CM // DN DN ⊥ MN Vì CM // DN nên tứ giác CMND hình thang Lại có CMN = 90 nên tứ giác CMND hình thang vng Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B OA tiếp tuyến (O’) Tính độ dài dây cung AB biết OA = 20cm O’A = 15cm Lời giải: OO’ đường nối hai tâm hai đường tròn cắt nên OO’ đường trung trực AB OO’ qua trung điểm AB OO’ vng góc với AB Gọi giao điểm OO’ AB C nên C trung điểm AB Vì OA tiếp tuyến (O’) OA ⊥ O’A Xét tam giác OAO’ vng A ta có: OA + O'A = OO'2 (Định lý Py – ta – go) 202 + 152 = OO'2 OO'2 = 625 OO' = 25cm Vì AC ⊥ OO’ nên áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông AOO’ ta có: OA.O’A = AC.OO’ 20.15 = AC.25 AC = 12cm Ta có AB = 2AC (do C trung điểm AB) AB = 12.2 = 24cm Dạng 3: Các toàn liên quan đến hai đường trịn khơng cắt Phương pháp giải: Áp dụng kiến thức hai đường trịn khơng cắt - Hai đường trịn khơng giao (O) (O’) khơng có điểm chung: + (O) (O’) nằm nhau: d > R + r + (O) đựng (O’): d < R – r + (O) (O’) đồng tâm: d = Ví dụ 1: Cho hai đường trịn đồng tâm O Biết BC đường kính đường trịn lớn có độ dài 12cm Dây CD đường tròn lớn đồng thời tiếp tuyến đường tròn nhỏ BCD = 30 Hãy tính bán kính đường trịn nhỏ Lời giải: Vì CD tiếp tuyến đường trịn nhỏ (O) nên CD vng góc với bán kính qua tiếp điểm Gọi điểm tiếp xúc E OE ⊥ CD E Vì BC đường kính đường trịn lớn (O) nên OC = BC : = 12 : = 6cm Xét tam giác OEC vng E ta có: sin OCE = OE OC sin30 = OE = OE = 3cm Vậy bán kính đường trịn nhỏ (O) 3cm Ví dụ 2: Cho hai đường trịn (O; 6cm) đường trịn (O’; 2cm) nằm ngồi Gọi AB tiếp tuyến chung ngoài, CD tiếp tuyến chung hai đường tròn (A C thuộc (O); B D thuộc (O’)) Biết AB = 2CD, tính độ dài đoạn nối tâm OO’ Lời giải: Kẻ O’H vng góc với OA H O’K vng góc với OC K Vì AB tiếp tuyến chung (O) (O’) nên ta có: OA ⊥ AB O’B ⊥ AB Xét tứ giác AHO’B có: HAB = ABO' = AHO' = 90 tứ giác AHO’B hình chữ nhật AH = O’B = 2cm OH = OA – AH = – = 4cm Vì CD tiếp tuyến chung (O) (O’) nên ta có: O’D ⊥ CD OC ⊥ CD Xét tứ giác O’DCK có O'DC = DCK = CKO' = 90 O’DCK hình chữ nhật CK = O’D = 2cm OK = OC + CK = + = 8cm Đặt CD = x (với x > 0) AB = 2x O’K = x (do O’DCK hình chữ nhật) Xét tam giác vng OO’K có: OO'2 = OK + O'K (Định lý Py – ta – go) OO'2 = 82 + x OO'2 = 64 + x (1) Ta có AB = HO’ = 2x (do ABO’H hình chữ nhật) Xét tam giác vng OO’H ta có: OO'2 = OH + O'H (Định lý Py – ta – go) OO'2 = 42 + ( 2x ) OO '2 = 16 + 4x (2) Từ (1) (2) ta có: OO'2 = 16 + 4x = 64 + x 3x = 64 − 16 3x = 48 x = 16 x=4 OO'2 = 64 + 42 = 80 OO' = 80cm III Bài tập vận dụng Bài 1: Cho hai đường trịn (O; R) (O’; R’) tiếp xúc ngồi A vẽ tiếp tuyến chung tiếp xúc (O) (O’) B C Tiếp tuyến chung cắt BC I Gọi E, F theo thứ tự giao điểm IO với AB IO’ với AC a) Chứng minh A, E, I, F thuộc đường tròn Xác định tâm K bán kính b) Chứng minh IE.IO + IF.IO’ = AB2 + AC2 ) ( c) Gọi P trung điểm OA Chứng minh PE tiếp xúc với (K) Bài 2: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; r) Gọi MN tiếp tuyến chung ngoài, EF tiếp tuyến chung (M E thuộc (O), N F thuộc (O’)) Tính bán kính đường trịn (O) (O’) trường hợp sau a) OO’ = 10cm; MN = 8cm; EF = 6cm b) OO’ = 13cm; MN = 12cm; EF = 3cm Bài 3: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B Gọi M trung điểm OO’ Đường thẳng qua A cắt đường tròn(O) (O’)lần lượt C D Với CD vng góc với MA Chứng minh AC = AD Bài 4: Cho góc vng xOy Lấy điểm I K nằm tia Ox Oy Đường tròn (I; OK) cắt tia Ox M (I nằm O M), đường tròn (K; OI) cắt tia Oy N (K nằm O N) a) Chứng minh (I) (K) cắt b) Tiếp tuyến M (I), tiếp tuyến N (K) cắt C Chứng minh tứ giác OMCN hình vng Bài 5: Cho (O; R) điểm A nằm (O) Trên đoạn OA lấy điểm B cho OB = OA a) Chứng minh đường trịn đường kính AB tiếp xúc với (O) b) Đường tròn (O; R’) với R R’ cắt đường trịn đường kính AB C Tia AC cắt hai đường tròn đồng tâm D E với D nằm C E Chứng minh AC = CD = DE Bài 6: Cho hai đường trịn (O;R) (O’; r) tiếp xúc ngồi với A Vẽ tiếp tuyến chung BC với B thuộc (O) C thuộc (O’) Đường vuông góc với OO’ kẻ từ A cắt BC M a) Tính diện tích tam giác BAC theo R r b) Gọi I trung điểm OO’ Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn (I; IM) Bài 7: Cho đường trịn (O) đường kính AB C điểm nằm A O Vẽ đường trịn (I) đường kính CB a) Xét vị trí tương đối (O) (I) b) Xét dây DE (O) vng góc với AC trung điểm H AC Tứ giác ADCE hình gì? c) Gọi K giao điểm đoạn thẳng DB (I) Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng hàng d) Chứng minh HK tiếp tuyến I Bài 8: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B Gọi M trung điểm OO’ Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) (O’) C D Khi CD qua A khơng vng góc với MA a) Vẽ đường kính AE (O), AE cắt (O’) H Vẽ đường kính AF (O’), AF cắt (O) G Chứng minh AB, EG, FH đồng quy b) Tìm vị trí CD để đoạn CD có độ dài lớn Bài 9: Cho hai đường tròn đồng tâm O, bán kính R r, dây MN đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ A B Gọi BC đường kính đường trịn nhỏ Tính theo R r giá trị biểu thức AC2 + AM + AN Bài 10: Cho hai đường tròn (O) (O’) Kẻ tiếp tuyến chung AB CD (A, C thuộc (O), B D thuộc (O’)) Tiếp tuyến chung MN cắt AB CD theo thứ tự E F (M thuộc (O), N thuộc (O’)) Chứng minh: a) AB = EF b) EM = FN ... điểm A tùy ý (O) Vẽ đường trịn đường kính AO Xác định vị trí tương đối hai đường tròn Lời giải: Gọi O’ tâm đường trịn đường kính OA Ta có O’ trung điểm OA OA bán kính đường tròn (O’) Đoạn nối... điểm OO’ Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn (I; IM) Bài 7: Cho đường tròn (O) đường kính AB C điểm nằm A O Vẽ đường trịn (I) đường kính CB a) Xét vị trí tương đối (O) (I) b) Xét dây DE (O) vng... đường kính AF (O’), AF cắt (O) G Chứng minh AB, EG, FH đồng quy b) Tìm vị trí CD để đoạn CD có độ dài lớn Bài 9: Cho hai đường trịn đồng tâm O, bán kính R r, dây MN đường tròn lớn cắt đường tròn