Tài liệu Chuyên đề Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

tai lieu, document1 of 66 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Vị trí tương đối Đường thẳng đường trị cắt Số điểm chung Hệ thức d R Hình minh họa d  O; d   R d gọi cát tuyến đường tròn  O  Đường thẳng đường trò tiếp xúc d  O; d   R d gọi tiếp tuyến  O  M tiếp điểm Đường thẳng đường trị khơng cắt TÍNH CHẤT CỦA TIẾP TUYẾN luan 1. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   d  O; d   R TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU tai lieu, document2 of 66  Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường MA MB hai tiếp tuyến đường tròn  O  trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm đ  Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường trịn ĐƯỜNG TRỊN NỘI TIẾP TAM GIÁC  MA  MB   Khi đó:  M  M2   O3  O4 ĐƯỜNG TRỊN BÀNG TIẾP TAM GIÁC  Đường trịn tiếp xúc với mộ cạnh tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai  Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác cạnh gọi đường gọi đường tròn nội tiếp tam giác, tam giá tròn bàng tiếp tam giác gọi ngoại tiếp đường tròn  Mỗi tam giác, có ba đường  Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm tròn bàng tiếp đường phân giác góc tam giác B.CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA Dạng 1: Nhận biết vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Phương pháp giải: So sánh d R dựa vào bảng vị trí tương đốỉ đường thẳng đường tròn nêu phần Tóm tắt lý thuyết Bài 1: Cho đường trịn tâm O bán kính R , gọi d khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a Viết hệ thức tương ứng d R vào bảng sau Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn luan Số điểm chung Đường thẳng đường tròn cắt Đường thẳng đường tròn tiếp xúc Đường thẳng đường trịn khơng giao 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   Hệ thức d R tai Bài lieu, document3 oftâm 66.O bán kính R , gọi d khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a Điền vào 2: Cho đường tròn chỗ trống bảng sau Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn R d Đường thẳng đường tròn tiếp xúc 6 Bài 3: Điền vào ô trống Vị trí đường thẳng đường trịn Số Điểm Chung Hệ thức R D Hình Vẽ Cắt Nhau Tiếp Xúc Khơng Giao Nhau Bài 4: Vẽ hình theo yêu cầu xác định vị trí tương đối đường thẳng đường tròn a) Vẽ  O ,5cm  đường thẳng  d  cách tâm O 6cm b) Vẽ  O ,10cm  đường thẳng  k  cách tâm O 7cm c) Vẽ  O ,5cm  đường thẳng  n  cách tâm O 6cm d) Vẽ  O , d  10cm  dường thẳng  m  cách tâm O 5cm Dạng 2: Bài tập vận dụng tính chất tiếp tuyến Bài 5: Cho điểm A thuộc đường tròn (O;3cm) Trên tiếp tuyến A đường tròn (O ) lấy điểm B cho AB  4cm Tính độ dài đoạn thẳng OB Bài 6: Cho đườngtròn (O;15cm) , dây AB  24 cm Một tiếp tuyến đường tròn song song với AB cắt tia OA , OB theo thứ tự E , F Tính độ dài EF Bài 7: Cho tam giác cân ABC ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) Chứng minh rằng: BC song song với tiếp tuyến A đường tròn ( O ) Dạng 3: Chứng minh tiếp tuyến đường tròn Bài 8: Cho tam giác ABC đường cao AH Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn tâm A bán kính AH   900 Chứng   900 ) có O trung điểm AB góc COD Bài 9: Cho hình thang vng ABCD (  AB minh CD tiếp tuyến đường trịn đường kính Bài 10: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M , N hai điểm cạnh AB, AD cho chu vi tam giác AMN 2a Chứng minh đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định Bài 11: Cho tam giác ABC cân A đường cao BH Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ AB vẽ Bx  BA cắt đường tròn tâm B bán kính BH D Chứng minh CD tiếp tuyến ( B) luan 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai Bài lieu, 66.vuông A ( AB  AC ) 12: document4 Cho tam giácofABC đường cao AH Gọi E điểm đối xứng với B qua H Đường tròn tâm O đường kính EC cắt AC K Chứng minh HK tiếp tuyến đường tròn (O ) Dạng 4:Nâng cao phát triển tư Bài 13: Cho nửa đường trịn  O  đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d đường tròn Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ A B đến d Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C đến AB Chứng minh: a) CE  CF b)  AC tia phân giác góc BAE c) CH  AE.BF Bài 14: Cho ABC vuông A  AB  AC  , đường cao AH E điểm đối xứng B qua H Vẽ đường trịn đường kính EC cắt AC K Xác định vị trí tương đối HK với đường trịn đường kính EC HƯỚNG DẪN Dạng 1: Nhận biết vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Bài 1: Cho đường trịn tâm O bán kính R , gọi d khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a Viết hệ thức tương ứng d R vào bảng sau Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Số điểm chung Hệ thức d R Đường thẳng đường tròn cắt dR Đường thẳng đường tròn tiếp xúc dR Đường thẳng đường tròn khơng giao dR Bài 2: Cho đường trịn tâm O bán kính R , gọi d khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a Điền vào chỗ trống bảng sau Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn R d Đường thẳng đường tròn cắt Đường thẳng đường tròn tiếp xúc 6 Đường thẳng đường trịn khơng giao Số Điểm Chung Hệ thức R D Hình Vẽ Cắt Nhau R>D Học sinh tự vẽ Tiếp Xúc R=D Học sinh tự vẽ Không Giao Nhau R R nên a không cắt (O ) Đáp án cần chọn B luan 14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 14 of 66   tai lieu, document15 of 66 Lời giải: O d H Vì OH < R nên a cắt (O ) Đáp án cần chọn A Lời giải: + Vì d < R (4cm < 5cm ) nên đường thẳng cắt đường trịn + Vì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nên d = R = 8cm Đáp án cần chọn A Lời giải: + Vì d > R (5cm > 3cm ) nên đường thẳng khơng cắt đường trịn hay (1) điền là: khơng cắt + Vì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nên d = R = 9cm hay (2) điền 9cm Đáp án cần chọn C 10 Lời giải: Vì A(4; 5) nên khoảng cách từ A đến trục hoành d1 = | yA | = , khoảng cách từ A đến trục tung d2 = | x A | = Nhận thấy d2 = R(= 5) nên trục hoành tiếp xúc với đường tròn (A; 5) Và d2 = < = R nên trục tung cắt đường tròn (A; 5) Đáp án cần chọn A 11 Lời giải: Vì A(-2; 3) nên khoảng cách từ A đến trục hoành d1 = | yA | = , khoảng cách từ A đến trục tung d2 = | x A | = Nhận thấy d2 = R(= 2) nên trục tung tiếp xúc với đường tròn (A;2) Và d2 = > = R nên trục hồnh khơng cắt đường tròn (A;2) Đáp án cần chọn B 12 Lời giải: luan 15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 15 of 66   tai lieu, document16 of 66 I a b B Vì hai đường thẳng song song a, b cách khoảng 3cm mà I Ỵ a nên khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng b d = 3cm Suy d < R (3cm < 3, 5cm ) nên đường tròn (I ; 3, 5cm) đường thẳng b cắt Đáp án cần chọn A 13 Lời giải: I a 2,5cm b B Vì hai đường thẳng song song a, b cách khoảng 2, 5cm mà I Ỵ a nên khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng b d = 2, 5cm Suy d = R = 2, 5cm nên đường tròn (I ;2, 5cm) đường thẳng b tiếp xúc với Đáp án cần chọn C 14 Lời giải: x B I O y A Kẻ IA ^ Oy; IB ^ Ox A, B  (I ¹ O) (tính chất tia Vì (I ) tiếp xúc với Ox ;Oy nên IA = IB suy I thuộc tia phân giác góc xOy phân giác góc) Đáp án cần chọn D 15 Lời giải: luan 16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 16 of 66   tai lieu, document17 of 66 B A O Vì AB tiếp tuyến B tiếp điểm nên OB = R = 3cm; AB ^ OB B Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABO vuông B ta được: AB = OA2 - OB = 52 - 32 = 4cm Vậy AB = 4cm Đáp án cần chọn B 16 Lời giải: B A O Vì AB tiếp tuyến B tiếp điểm nên OB = R = 6cm; AB ^ OB B Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABO vuông B ta được: AB = OA2 - OB = 102 - 62 = 8cm Vậy AB = 8cm Đáp án cần chọn D 17 Lời giải: E H A I F B O Kẻ OH ^ EF H cắt AB I suy OI ^ AB (vì AB//EF ) Xét (O ) có OI ^ AB I nên I trung điểm AB (liên hệ đường kính dây)  IA = IB = luan AB = 0, 6R Lại có OA = R 17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 17 of 66   tai lieu, document18 of 66 Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vng OIA ta có OI = OA2 - IA2 = 0, 8R Mà AI //EH nên AI OI 0, 8R 0, 6R = =  EH = = 0, 75R EH OH R 0,     D OEF cân O (vì E = F = BAO = ABO ) có OH ^ EF nên H trung điểm EF OH EF = 0, 75R  EF = 2EH = 1, 5R  S EOF = Đáp án cần chọn A 18 Lời giải: E H A F B I O Kẻ OH ^ EF H cắt AB I suy OI ^ AB (vì AB//EF ) Xét (O ) có OI ^ AB I nên I trung điểm AB (liên hệ đường kính dây)  IA = IB = AB = 4, cm Lại có OA = 6cm Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vng OIA ta có OI = OA2 - IA2 = 62 - 4, 82 = 3, 6cm Mà AI //EH nên AI OI 3, AI 4, 8.5 = = =  EH = = =8 EH OH 3     D OEF cân O (vì E = F = BAO = ABO ) có OH ^ EF nên H trung điểm EF  EF = 2EH = 16cm  S EOF = 6.16 = 48 (cm ) Đáp án cần chọn C 19 Lời giải: C B O A D Xét (O ) có OB = OC = OD  BO = DC  DBDC vuông B (tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng) luan 18. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 18 of 66   tai Suy lieu, document19 of 66 BD ^ AC Xét D ADC có BD vừa đường trung tuyến vừa đường cao nên D ADC cân D  DA = DC = 2R Vậy AD = 2R Đáp án cần chọn D 20 Lời giải: C B O A D Xét (O ) có OB = OC = OD  BO = DC  DBDC vng B (tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng) Suy BD ^ AC Xét D ADC có BD vừa đường trung tuyến vừa đường cao nên D ADC cân D  DA = DC = 2R = 10cm Vậy AD = 10cm Đáp án cần chọn B 21 Lời giải: B b c O a A Kẻ đường thẳng OA ^ a A cắt b B OB ^ b B a //b Vì (O ) tiếp xúc với a, b nên OA = OB Lại có AB = h  OA = OB = Hay tâm O cách a b khoảng h Nên O chạy đường thẳng c song song cách a, b khoảng Đáp án cần chọn A 22 Lời giải: luan h 19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 19 of 66   h tai lieu, document20 of 66 B b c O a A Kẻ đường thẳng OA ^ a A cắt b B OB ^ b B a //b Vì (O ) tiếp xúc với a, b nên OA = OB Lại có AB = 6cm  OA = OB = = 3cm Hay tâm O cách a b khoảng 3cm Nên O chạy đường thẳng c song song cách a, b khoảng 3cm Đáp án cần chọn D 23 Lời giải: M H N 2 A O B Vẽ OH ^ MN , H Ỵ MN Vì AM BN = R2 = AO.BO nên AM AO = BO BN  = NBO  = 90; AM = AO  DAOM ∽ D BNO (c.g.c) Xét D AOM D BNO có: MAO BO BN  =O  ;O  =N  M 1 2 Do góc MON 90 Ta có: AM OM AM OA (do D AOM ∽ D BNO )  = = BO ON OM ON  =M  Do D AOM ∽ D ONM (c.g.c)  M D AOM = D HOM (cạnh huyền, góc nhọn)  AO = OH  OH = R , MN tiếp tuyến đường trịn (O ) Đáp án cần chọn C 24 Lời giải: luan 20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 20 of 66   tai lieu, document21 of 66 M K H N 2 A O B Gọi K trung điểm MN Tam giác MON vuông O có OK tiếp tuyến  KM = KN = KO Suy ra: Đường tròn (K ; KO) đường trịn ngoại tiếp tam giác OMN Ta có OK đường trung bình hình thang AMNB nên OK //AM  OK ^ AB Suy OK tiếp tuyến đường tròn (K ) Vậy đường trịn (K ) ngoại tiếp tam giác OMN ln tiếp xúc với đường thẳng cố định đường thẳng AB Đáp án cần chọn A 25 Lời giải: E B M A O C D  = AMB  Tam giác ABM có AB = AM nên DABM cân A  ABM (1) ìï   ïABM + MBO = 90 (2)  ïïỵAMB + MBC = 90 Ta có OA ^ BC ;OB ^ AB nên ïí  ï  = MBC  Từ (1) (2)  MBO  = OCM  Tương tự BCM Điểm M giao điểm hai đừng phân giác tam giác OBC nên M tâm đường tròn nội tiếp tam giác OBC  = MBC   = MDO   = MDO  mà MBO nên MBC Vì tam giác BOD cân O  MBO Mà hai góc vị trí so le nên OD//BC Chứng minh tương tự, ta có OE //BC luan 21. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 21 of 66   tai lieu,  D,O, document22 E thẳng hàng of 66 Vậy DE đường kính đường tròn (O ) Đáp án cần chọn B luan 22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 22 of 66   tai D.TỰ lieu,LUYỆN document23 of 66 Bài 1: Cho tam giác ABC vng A có AB = 3cm, AC = 4cm Vẽ đường tròn tâm A bán kính 2, 8cm Xác định vị trí tương đối đường thẳng BC đường tròn tâm A bán kính 2, 8cm Bài 2: Cho tam giác ABC vng A có BD đường phân giác Xác định vị trí tương đối đường thẳng BC đường trịn tâm D bán kính DA Bài 3: Cho đường thẳng m Tâm A tất đường trịn có bán kính 3cm đường thẳng m tiếp xúc nằm đường nào?  =B  = 900 , AD = 2cm, BC = 6cm,CD = 8cm Bài 4: Cho hình thang vng ABCD có A Chứng minh AB tiếp xúc với đường trịn đường kính CD Bài 5: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB tiếp tuyến xAy Trên xy lấy điểm M , kẻ dây cung BN song song với OM Chứng minh MN tiếp tuyến đường tròn (O ) Bài 6: Chứng minh rằng: a) Nếu đường thẳng xy không cắt (O; R) điểm xy nằm bên ngồi đường trịn b) Nếu đường thẳng xy qua điểm bên (O; R) phải cắt đường tròn hai điểm phân biệt c) Nếu đường thẳng xy cắt (O; R) A B ( A khác B ) điểm nằm A B nằm bên đường tròn, điểm cịn lại (trừ A , B ) nằm bên ngồi đường trịn Bài 7: Cho đường thẳng d đường trịn (O; R) khơng giao A điểm (O ) Xác định vị trí điểm A để khoảng cách từ A đến đường thẳng d lớn Bài 8: Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O; R) Đường thẳng d qua A , gọi B C giao điểm đường thẳng d đường trịn (O ) Xác định vị trí đường thẳng d để tổng AB + AC lớn B HƯỚNG DẪN H Bài 1: Vẽ AH đường cao tam giác vng ABC Ta có: 1 = + AH AB AC C A 1 = + 2 AH AH = 42.32 32 + 42 AH = 2, 4cm < 2, 8(d < R) Do đường thẳng BC đường trịn (A; 2, 8cm ) cắt D Bài 2: luan 23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 23 of 66   A B E C tai Vẽ lieu, document24 DE ^ BC (E Î BC )of 66 D thuộc tia phân giác góc ABC DA ^ AB, DE ^ BC Nên DE = DA Do đó: đường thẳng BC đường trịn tâm D bán kính DA tiếp xúc d Bài 3: m B Vẽ AB ^ m(B Ỵ m ) Có AB = 3cm không đổi, đường thẳng m cố định d' Do đó: A thuộc đường thẳng song song với m cách A m khoảng cách 3cm Bài 4: Gọi I , K trung điểm CD AB Nên IK = AD + BC = 4(cm ) D A Ta có: IK đường trung bình hình thang ABCD I K AD  IK , AD ^ AB Nên IK ^ AB CD IK = (= 4cm ), IK ^ AB B C Do đó: AB tiếp xúc với đường trịn tâm I đường kính CD Bài 5: Vì BN  OM  = ABN ; Nên AOM  = ONB  MON Mà DOBN cân O Nên: M N  = ONB  OBM  = AOM  Do đó: MON Ta có: DOAM = DONM  = MON ;OM (vì OA = ON = R; AOM cạnh chung) luan y 24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 24 of 66   A x O B tai lieu, document25  of 66 Suy ra: ONM = OAM  = 900 (vì xy tiếp tuyến A ) Ta lại có: OAM  = 900 , hay MN ^ ON Nên ta có: ONM Vậy MN tiếp tuyến đường tròn (O ) Bài 6: O O d d x x a) H M N A M H B y y Nếu đường thẳng xy khơng cắt (O ) d > R Kẻ OH ^ xy OH = d Gọi M điểm thuộc d , ta có OM ³ OH Nên OM > R  M (O; R) b) Gọi M điểm bên (O; R) OM < R Giả sử đường thẳng xy qua M kẻ OH ^ xy OH = d Ta có: OH £ OM Do d < R suy đường thẳng xy cắt (O; R) hai điểm phân biệt c) Giả sử M điểm nằm A B xảy ta ba trường hợp:  Nếu M º H OM = OH < R  M bên đường tròn (O; R)  Nếu M nằm A H MH < AH  OM < OA (OM OA hai đường xiên kẻ từ O tới xy , có hai hình chiếu xy MH AH ) Do OM < R  M bên đường tròn (O; R)  M nằm B H , chứng minh tương tự ta M bên đường tròn (O; R) Giả sử M điểm nằm xy đường thẳng AB , ta ln ln có HN > HA (hoặc HB )  ON > OA (hoặc OB )  ON > R Vậy N nằm đường trịn (O; R) luan 25. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 25 of 66   tai Bài lieu, 7: document26 of 66 Gọi H , B hình chiếu A,O A đường thẳng d , ta có B cố định O AH ^ HB nên AH £ AB Xét ba điểm O, A, B có AB £ OA + OB H Do đó: AH £ R + OB, R + OB khơng đổi B d ìï H ºB ïïOnamgiauAvaB ỵ Dấu “=” xảy  ïí Vậy A giao điểm tia đối tia OB đường trịn (O ) ( B hình chiếu O d ) khoảng cách từ A đến d lớn 8: Vẽ đường thẳng qua A tiếp xúc với đường tròn D D ¢ , ta có D D ¢ cố định  Nếu d trùng với AD AD ¢ C D' H Ta có điểm B,C , D trùng nên AB + AC = 2AD = 2AD ¢ B O d  Nếu d không trùng với AD hoc AD Â V OH ^ d (H ẻ d ) D Ta có: H trung điểm BC (Định lí đường kính vng góc dây cung) Và có OH < R Nên AB + AC = AH + HB + AH - HC = 2AH Xét DOAH vuông H nên theo định lý Py-ta-go, Ta có: OH + AH = OA2 Xét DOAD vuông D nên theo định lý Py-ta-go, Ta có: OD + AD = OA2 Do đó: OH + AH = OD + AD Mà OH < OD = R nên AH > AD Nên AB + AC > 2AD Vậy đường thẳng d tiếp xúc với đường trịn AB + AC nhỏ   ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐Tốn Học Sơ Đồ‐‐‐‐‐‐‐‐‐  luan 26. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 26 of 66   A ... đến đường thẳng a Điền vào 2: Cho đường tròn chỗ trống bảng sau Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn R d Đường thẳng đường tròn tiếp xúc 6 Bài 3: Điền vào ô trống Vị trí đường thẳng đường. .. đường tròn Đáp án cần chọn A Lời giải: Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Số điểm chungHệ thức d R Đường thẳng đường tròn cắt d