Bài tập Vị trí tương đối của hai đường tròn cực hay, có đáp án.. Bài 1: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), hai đường chéo cắt nhau tại O.[r]
(1)Chuyên đề: Đường tròn
Bài tập Vị trí tương đối hai đường trịn cực hay, có đáp án
Bài 1: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), hai đường chéo cắt O Vẽ đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB, đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác COD Chứng minh hai đường tròn (I) (K) tiếp xúc với
Bài 2: Cho đường tròn (A; 10), (B; 15), (C; 15) tiếp xúc với đơi Hai đường trịn (B) (C) tiếp xúc với A’ Đường tròn (A) tiếp xúc vớ đường tròn (B) (C) C’ B’
a) Chứng minh AA’ tiếp tuyến chung đường trịn (B) (C) Tính độ dài AA’
b) Tính diện tích tam giác A’B’C’
Bài 3: Cho đường tròn (O; R) đường tròn (O’; R’) với R > R’ tiếp xúc với A Đường nối tâm OO’ cắt đường tròn (O) (O’) B C (B, C khác A) Vẽ đường tròn (M) (N) có đường kính BC OO’ a) Chứng minh BC = OO’ AM = AN
b) Từ A vẽ tiếp tuyến AE với đường tròn (N) Chứng minh AE tiếp tuyến đường tròn (M)
Bài 4: Cho đường thẳng xy đường trịn (O; R) khơng giao Gọi M điểm di động xy Vẽ đường tròn đường kính OM cắt đường trịn (O) A B Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định
Bài 5: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc ngồi A Vẽ bán kính OB // O’D với B, D phía nửa mặt phẳng bờ OO’ Đường thẳng DB OO’ cắt I
a) Tính góc BAD?
(2)d) Chứng minh BD, OO’ tiếp tuyến chung (O) (O’) đồng quy
Bài 6: Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn (O) C Gọi D E theo thứ tự hình chiếu A B d a) Xác định vị trí tương đối đường tròn (A; AD) (B; BE)
b) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính DE
Bài 7: Xét ΔABC có góc B, C nhọn Các đường trịn đường kính AB AC cắt điểm thứ hai H Một đường thẳng d qua A cắt hai đường trịn nói M N
a) Chứng minh H thuộc cạnh BC b) Tứ giác BCNM hình gì?
c) Gọi P, Q trung điểm BC, MN Chứng minh bốn điểm A, H, P, Q thuộc đường trịn
d) Xác định vị trí d để MN có độ dài lớn Đáp án hướng dẫn giải
Bài 1:
Do ABCD hình thang cân nên AD = BC; AC = BD ⇒ ΔBDC = ΔACD (c.c.c)
⇒ ΔCOD cân
⇒ OC = OD dẫn tới OA = OB Ta có: IA = IB; OA = OB
(3)Tương tự OK đường trung trực CD
Mặt khác, ABCD hình thang cân nên đường thẳng OI, OK trung nhau, ba điểm O, I, K thẳng hàng
⇒ IK = IO + KO hay d = R + R’
Do đó, hai đường trịn (I) (K) tiếp xúc ngồi Bài 2:
a) Theo tính chất đoạn nối tâm hai đường trịn tiếp xúc ngồi ta có: AB = 25; AC = 25; BC = 30 A’ trung điểm BC
ΔABC cân A có AA’ đường trung tuyến nên đường cao ⇒ AA'⊥ BC
⇒ AA’ tiếp tuyến chung hai đường tròn (B) (C) Xét tam giác AA’C vuông A’ có:
A'A2 = AC2 - A'C2 = 252- 152 ⇒ A'A = 20
b) Ta có:
⇒ B’C’ // BC B’C’ ⊥ AA’ Lại có:
⇒ B'C'= 12
(4)⇒ A'H = 12
Diện tích tam giác A’B’C’ là:
Bài 3:
a) Ta có: OO’ = OA – O’A = R – R’
BC = AB – AC = 2R – 2R’ = 2(R – R’) = 2OO’ Mặt khác: MC = ½ BC = OO’ = 2ON ; AC = 2O’A
⇒ AM = AC + CM = 2O’A + 2ON = 2(O’A + ON) = 2AN b) Vẽ MF ⊥ AE, ta có MF // NE
(5)Vậy điểm F nằm đường trịn (M) đường kính BC
Mặt khác MF ⊥ AE nên AE tiếp tuyến đường tròn (M) Bài 4:
Vẽ OH ⊥ xy, H điểm cố định OH không đổi Gọi giao điểm AB OM OH E F
Theo tính chất dây chung hai đường trịn, ta có AB ⊥ OM
Điểm A nằm đường trịn đường kính OM nên góc AOM 900
Ta có: ΔOEF ~ ΔOHM (g.g)
Mặt khác: ΔMAO vng A có AE đường cao nên OM.OE = OA2 = R2
⇒ OF.OH = R2 ⇒ OF = R2/OH
Do OH không đổi nên OF không đổi
(6)a) Trong tam giác OBA cân O có:
Trong tam giác O’DA cân O có:
Do OB // O’D nên
Ta có:
Vậy góc BAD 900
(7)c) Tương tự câu b, ta có:
d) Gọi giao tiếp tuyến chung OO’ I’
Gọi giao điểm tiếp tuyến chung với đường tròn (O) (O’) G H
Ta có OG // O’H ( vng góc với tiếp tuyến chung ngồi) Theo định lí Ta let ta có:
⇒ I’ trùng với I
(8)a) Dễ thấy tứ giác ADEB hình thang vng
Ta có OC // AD ( vng góc với d), O trung điểm AB ⇒ C trung điểm DE
Ta có: (so le trong, AD // OC)
(Do ΔOAC cân O)
Kẻ CH ⊥ AB
Khi ΔADC = ΔAHC (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ AD = AH
Chứng minh tương tự, ta BH = BE Từ suy AB = AH + BH = AD + BE
Ta thấy đoạn nối tâm đường tròn (A; AD) (B; BE) tổng hai bán kính nên chúng vị trí tiếp xúc ngồi
(9)⇒ CH bán kính đường trịn đường kính DE Hơn nữa, CH⊥AB ⇒ AB tiếp tuyến đường tròn (C)
Bài 7:
a) H ∈ (O) đường kính AB nên góc AHB 900
H ∈ (O) đường kính AC nên AHC 900
⇒ B, H, C thẳng hàng
b) M ∈ (O) đường kính AB nên AMB 900 ⇒ BM ⊥ d
N ∈ (O) đường kính AC nên ANC 900 ⇒ CN ⊥ d
⇒ BM // CN BM ⊥ MN
⇒ Tứ giác BCNM hình thang vng
c) Ta có PQ đường trung bình hình thang vuông BCNM ⇒ PQ // BM PQ ⊥ d
Ta có: AQP 900 ⇒ Q thuộc đường trịn đường kính AP
(10)Vậy điểm A, H, P, Q thuộc đường trịn đường kính AP
c) Xét tam giác ABC có OO’ đường trung bình nên OO’ // BC BC = 2OO’ không đổi