Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh ta luôn có thể tìm được 2 phần tử của B sao tích của chúng là số chính phương.. Câu 5..[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Năm học 2020 -2021
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10 Mơn thi: TỐN (chun)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu (2,0 điểm)
Cho phương trình x2+ax+ =3 x2+ + =bx với ,a b tham số
a) Chứng minh ab³ 16 thi hai phương trình có phương có nghiệm b) Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x0. Tìm ,a b cho a +b có giá trị nhỏ nhất. Câu (1,5 điểm)
Cho phương trình 3x2- y2= ×2 3n với n số tự nhiên
a) Chứng minh n chẵn phương trình cho khơng có nghiệm ngun (x y; ) b) Chứng minh n lẽ phương trình cho có nghiệm nguyên (x y; )
Câu (3,5 điểm)
Cho đường tròn ( )O , dây cung BC không chứa O điểm A thay đổi cung lớn »BC Lấy điểm E
F thỏa mãn ·ABE=CAE· =·ACF=BAF· =90 a) Chứng minh AE AB× =AF AC×
b) Hạ AD vng góc với EF D EF( Ỵ ) Chứng minh tam giác DAB DAC đồng dạng điểm D thuộc đường tròn cố định
c) Gọi G giao điểm AD với đường tròn ( ) (O , G¹ A) Chứng minh AD qua điểm cố định
GB AC× =GC AB×
d) Gọi K tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh AK qua điểm cố định Câu (1,5 điểm)
Cho số tự nhiên a=3 13× ×7 20
a) Gọi A tập hợp số nguyên dương k cho k ước a k chia hết cho 105 Hỏi tập hợp A có phần tử?
b) Giả sử B tập A có phần tử Chứng minh ta ln tìm phần tử B tích chúng số phương
Câu (1,5 điểm)
Cho hệ phương trình với k tham số:
x x x
k
y z
yz
y y y
k
z x
zx
z z z
k
x y
xy
ìïï + + =
ïï ïï ïï
ïï + + =
íï ïï ïï
ï + + =
(2)a) Giải hệ với k=1
b) Chứng minh hệ vơ nghiệm với k³ k¹
-Hết -LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
a) Điều kiện xác định M: x³ Với điều kiện này, ta có:
3 2 4
2
2 4
x x x x
M x
x x x x
Do phương trình M = -x tương đương:
( )( )
2 2
x- = -x Û -x x- = Û x- x+ = Û x= Û x=
thỏa x³ Vậy x=4 giá trị cần tìm
b) Điều kiện để ba biểu thức M N P, , xác định x³ x¹
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3
1 2 3 1 2 2
4 4 2 2
x x x
N
x x x x x x x
+ - - +
= = = =
- + - + - - +
Do đó, ta có:
( 2) ( )(2 )
2 2
2
x x
Q x
x x x
x x
= - × + = + =
+ + +
- +
Vậy Q=1 Câu 2.
a) Điều kiện: x³ x¹ Phương trình tương đương ( ) 4 5 0 1
x + x - =
x+ = -3 x Ta có: ( ) ( )( )
2
1 Û x - x + =5
Do x³ x¹ nên phương trình vơ nghiệm
Lại có ( )
( )2 ( ) ( )
3
2 3
1
3
x x
x x x
x x x x ì £ ì ï ï £ ï ï Û + = - Û íï Û íï Û = - - = + = -ï ïỵ
ỵ Nhưng x³ 0 x¹ 1 nên
phương trình vơ nghiệm
Tóm lại phương trình cho vơ nghiệm
b) Điều kiện để ( )d ( )d1 cắt m¹ 1. Ta lại có I thuộc ( )d ( )d1 ,nên ta có hệ:
4
3
3
m m
m n mn
n ìï ì = ï = ï ï ï Û í í ï + - = ï ïỵ ï =ïỵ Do 27 mn= m n =
c) Độ dài đường chéo AC đường kính đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD nên 10 ( )
AC= cm Đặt AB=a cm( ) BC=b cm( ) với ,a b>0. Khi diện tích hình chữ nhật ABCD là
( 2)
ab cm
(3)Lại có a2+b2=AC2=100
Suy ra:
( )2 ( 2 2) 14 100
48
2
a b a b
ab= + - + = - =
Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD ( ) 48 cm Câu 3.
a) Phương trình hồnh độ giao điểm ( )P ( )d là: x2- 2mx- =3
Ta thấy ac= ×-1( )3 =- <3 0nên phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 trái dấu nhau. Do ( )P cắt ( )d hai điểm phân biệt A x y( 1; 1), B x y( 2; 2) với m
Áp dụng định lý Viete, ta có: x1+ =x2 2m x x1 2=3
Do y1+y2=(2mx1+ +3) (2mx2+ =3) 2m x( 1+x2)+ =6 4m2+6 Vậy y1+y2=4m2+6
b) Ta có: y1=x12
2 2
y =x nên phương trình tương đương:
( )( ) ( )( )
2 2
1 2 1 2
1 2 2
1
1
4 3 4
4 4
1
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x
x x
- = - + Û - - =
-Û + - = - Û + - - =
é + = ê
Û ê =ë
Nếu x1=4x2
2
x x = x =- vơ lý.
Nếu x1+ =x2 1 2m=1 hay
m=
Vậy
m=
giá trị cần tìm Câu 4.
Gọi x (tấn) lượng gạo nhập vào ngày thứ với x>0 Khi lượng gạo nhập vào kho
ngày thứ hai, thứ ba, thứ tư
6 36
120% , 120%
5 25
x= x ổ ửỗỗ ữỗố ứxữữ= x
36 216
120%
25x 125x
ổ ửữ
ỗ ữ=
ỗ ữ
ỗố ứ
a) Tng lng go ó nhập vào kho sau ngày thứ ba
6 36 91
5 25 25
x+ x+ x= x
(tấn)
Theo giả thiết ta có: 91
91 25
25x= Û x=
Vậy ngày thứ kho hàng nhập 25 gạo
b) Sau ngày thứ tư, tổng lượng gạo nhập vào kho
6 36 216 671
5 25 125 125
x+ x+ x+ x= x
(4)Do đó, lượng gạo kho xuất ngày thứ năm thứ sau
1 671 10 125x
æ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ và
1 671 671
10 10 125x 100 125 x
ộ ổỗ ửữự ổ ửỗ ữ
ờ ỗỗ ữữỳ= ỗỗ ữữ
ờ è øú è ø
ë û Theo giả thiết ta có:
1 671 671
50,996 50
10 125x 100 125x x
æ ửữ ổ ửữ
ỗ ữ+ ỗ ữ= =
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ỗ
ố ø è ø
Vậy ngày thứ kho hàng nhập 50 gạo
Câu 5.
a) Do M trung điểm AC nên OM ^ACÞ OMC· =90
Lại có AB=AC OB=OC nên AO trung trực BCÞ AO^BCÞ ONC· =90 Từ suy tứ giác OCMN nội tiếp
Ta có: AB=AC nên »AB=»AC suy DA tia phân giác ·BDC nên BDC· =2·ADC( )1 Mặt khác OM trung trực AC D OMỴ nên DM trung trực AC
Suy DM phân giác ·ADCÞ ·ADC=2ODC· ( )2 Từ ( )1 ( )2 suy BDC· =4ODC·
b) Ta có
· sd· sd· sd· sd¶ sd· · .
2 2
BD AC BD AB AD
APC= + = + = =ACD
Mà ·ACD=DAC· nên ·APC=PAC· Suy tam giác APC cân CA=CP
Mặt khác ta có BPD· =·APC=DAC· =DBP· nên tam giác BDP cân D Mà DE phân giác ·BDP nên DE^BC
(5)Từ DBE· +BEF· =DAC MDA· +· =90 Do EF^BD hay ME^BD
c) Do tứ giác OCMN nội tiếp nên
· · · · 2· .
2
MNC=MOC= AOC=ADC= MDC
Mặt khác ta lại có MNC· =MEC· +NME· MEC· =MDC· (câu b) nên ·NME=MEC· Suy tam giác MNE cân N
Chú ý tứ giác ABDC EMCD nội tiếp nên ta có: FAD· =BCD· =EMD· =FMD· Do tứ giác FAMD nội tiếp Suy EFB· =MDA· =MDC· =MEN· =BEF·
Vậy tam giác BEF cân B Mà BD^EF nên BD trung trực EF
Suy DE=DF, hay
DF