Bộ đề thi vào lớp 10 (có lời giải)

1Gọi I là giao điểm của đường thẳng MO với đường trònO,R.Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MPQ 2Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng d để tứ giác MPOQ là hình vuông..

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10trường THPT chuyên Lê hồng phong

năn học 1999 – 2000Môn toán (Đề chung)

Bài 1(2điểm)

Cho biểu thức: N =

ab

b a b ab

b b ab

1)Giải phương trình với m = 3

2)Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

2

1

x tại 2 điểm phân biệt

Bài 4(4 điểm)

Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng (d) cắt đường tròn tại 2 điểm A,

B Từ điểm M nằm trên đường thẳng (d) và ở ngoài đường tròn (O,R) kể hai tiếp tuyến MP và MQ đến đường tròn , trong đó P và Q là các tiếp điểm

1)Gọi I là giao điểm của đường thẳng MO với đường tròn(O,R).Chứng minh I

là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MPQ

2)Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng (d) để tứ giác MPOQ là hình vuông 3)Chứng minh rằng điểm M di chuyển trên đường thẳng (d) thì đường tròn nội tiếp tam giác MPQ chạy trên một đường thẳng cố định

b b ab

ab b ab a a

b ab

a b b a a b b b a b

(

) )(

( ) (

) (

1 5 1 5

3 , 2

1

x x

Vậy phương trỡnh đó cho cú 3 nghiệm là :

Vậy m = - 3 khụng thoả món loaị

Tóm lại phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt  m = 3

Đờng thẳng (d) và parabol(p) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

 phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt với mọi k

 > 0 với mọi k

 k2 + 4k + 6 > 0 với mọi k

Thật vậy  / = k2 + 4k + 6 = (k2 + 4k + 4) + 2 = (k + 2)2 + 2 > 0 với mọi k

 điều phải chứng minh

+) Cũng vì MP và MQ là các tiếp tuyến cùng xuất phát từ điểm M

 góc PMO = QMO => cung PI = cung IQ

Ta có góc MIP là góc tạo bởi một dây cung và tiếp tuyến => Sđ góc MPI =

+ Lấy giao điểm M của đờng thẳng (d) và đờng tròn (O, R 2)

=> M là điển phải dựng 0,25đc) Chứng minh:

Vỡ MO = R 2 > R => M naốm ngoaứi ủửụứng troứn (O,R)

Neõn tửứ M keỷ ủửụùc hai tieỏp tuyeỏn MP vaứ MQ ủeỏn ủửụứng troứn 0,25ủ+ AÙp duùng ủũnh lyự Pitago trong tam giaực vuoõng MPO ta coự

MP2 = MO2 – OP2 = 2R2 – R2 = R2 => MP = R

Tửụng tửù chửựng minh ủửụùc MQ = R => MPOQ laứ tửa giaực coự 4 caùnh baống nhau vaứ coự 1 goực vuoõng => MPOQ laứ hỡnh vuoõng 0,25ủd) Bieọn luaọn

Vỡ ủửụứng thaỳng (d) vaứ ủửụứng troứn (O, R 2) caột nhau taùi 2 ủieồm

=> baứi toaựn coự hai nghieọm hỡnh 0,25ủ

Caõu 3: (1ủ)

+ẹửụứng troứn ngoaùi tieỏp tam giaực MPQ laứ ủửụứng troứn ủửụứng kớnh MO 0,25ủ+Tửứ O keồ ủửụứng thaỳng vuoõng goực ủeỏn ủửụứng thaỳng (d) taùi K => goực MKO = 1v

=> K naốm treõn ủửụứng troứn ủửụứng kớnh MO 0,25ủ

=> ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp tam giaực MPQ ủi qua 2 ủieồm coỏ ủũnh O vaứ K 0,25ủ

=> taõm ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp tam giaực MPQ chaùy treõn ủửụứng trung trửùc (  )cuỷa ủoaùn OK 0,25ủ

Đề thi tuyển sinh vào 10 PTTH

năm học 1999 – 2000Mụn toỏn

thời gian làm bài 150 phút

Bài 1(1,5 điểm)

Cho biểu thức : A =

x

x x

2 4

4 4

2







a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1,999

1 2

1 1

y x

y x

1) Đường thẳng AC song song với đường thẳng FG

2 4

4 4

) 2

Vì (x- 2)2  0 với mọi x => ( x 2 ) 2 có nghĩa với mọi x 0,25đ

=> Biểu thức A có nghĩa  4 – 2x 0  x  2 0,25đCâu b) Ta có A =

) 2 ( 2

1 ) 2 ( 2 2

0 2 2

1 )

2 ( 2 2

khix x

x

khix x

x

0,25đKhi x = 1,999 => x < 2 => A = 0,5 0,25đ

1 2

1 1

y x y x

v u v u

0,25đGiải hệ phương trình trên được

v

u

0,5đVới u =

x2 =

) 3 (

2

3

2 2







a a

a

0,5đ+) Nếu a = -2 , nghiệm còn lại của phương trình là

x2 = -2 0,25đ+) Nếu a = 4 , nghiệm còn lại của phương trình là

G D

Cõu 1: Chứng minh AC // FG ( 1 đ)

Tứ giỏc ACED cú : gúc A = gúc E = 1v 0,25đ

nờn nội tiếp được trong một đường trũn

=> ^ACD = ^ AED hay ^ ACD = ^ DEG (1) 0,25đ

Mặt khỏc 4 điểm D,G, E, F cựng nằm trờn đường trũn đường kớnh BD

nờn tứ giỏc DGEF nội tiếp được đường trũn

=> gúc DEG = gúc DFG (2) 0,25đ

Từ (1) và (2) => gúc ACD = gúc DFG

=> AC // FG (Vỡ cú 2 gúc so le trong bằng nhau) 0,25đ

Cõu 2 : Chứng minh SA.SC = SB SF (1,5đ)

Tứ giỏc ACBF cú  A = F = 1v => tứ giỏc ACBF nội tiếp đường trũn đường kớnh BC

=> FAC +  FBC = 2v 0,25đ

Lại cú  FAC +  SAF = 2v

=> SAF =  FBC hay SAF = SBC 0,25đ

Xột 2 tam giỏc SAF và SBC cú :

SA

 0,25 đ => SA.SC = SB.SF 0,25 đ

Cõu 3: Chứng minh : Tia ES là tia phân giác của góc AEF (1,5 đ)

Ta có góc AED = góc ACF (cmt) (1)

Vì tứ giác BEDF nội tiếp đợc đờng tròn

=> góc DEF = góc DBF (2)

Vì tứ giác ACBF nội tiếp đợc đờng tròn

=> góc ACF = góc ABF (3)

Từ (1) , (2) và (3) => góc AED = góc DEF 0,5đ

=> ED là tia phân giác của góc AEF 0,25đ

Mặt khác : CF và BA là các đờng cao của tam giác SBC

nên D là trực tâm của tam giác này => SD  BC 0,25đ

a) Trửụứng hụùp : x + 1 - x 1 + 6 = 0 (a)

ẹaởt t = x 1 ( ủieàu kieọn t  0 ) , phửụng trỡnh (a) trụỷ thaứnh

t2 – t + 6 = 0 ( voõ nghieọm) 0,25ủ

b) Trửụứng hụùp : x + 1 + x 1 - 6 = 0 (b)

ẹaởt t = x 1 ( ủieàu kieọn t  0 ) , phửụng trỡnh (b) trụỷ thaứnh

t2 + t - 6 = 0  t = - 3 (loaùi) hoaởc t = 2 (thoaỷ maừn)

t = 2 => x 1 = 2  x + 1 = 4  x = 3

Vaọy phửụng trỡnh coự moọt nghieọm x = 3 0,25ủ

ẹEÀ THI TUYEÅN SINH VAỉO LễÙP 10TRệễỉNG THPT CHUYEÂN LEÂ HOÀNG PHONG

naờm hoùc 2000 -2001Moõn toaựn(ẹeà chung)

x

x x

x

1) Ruựt goùn bieồu thửực T

2) Chửựng minh raống vụựi moùi x > 0 vaứ x  1 luoõn coự T < 31

2) Tỡm m ủeồ phửụng trỡnh (1) coự nghieọm vaứ caực nghieọm aỏy laứ soỏ ủo cuỷa hai caùnh goực vuoõng cuỷa moọt tam giaực vuoõng coự caùnh huyeàn baống 3

1) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên đường tròn (O) thì AD + BC có giá trị không đổi.

2) Chứng minh rằng đường thẳng CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

3) Chứng minh rằng với bất kỳ vị trí nào của M trên đường tròn (O) luôn có bất đẳng thức AD.BC  R2 Xác định vị trí của M trên đường tròn (O) để đẳng thức xảy ra

4) Trên đường trìn (O) lấy điểm N cố định Gọi I là trung điểm của MN và P là hình chiếu vuông góc của I trên MB Khi M chuyển động trên đường tròn (O) thì P chạy trên đường nào ?

x

x x

x

x x

x

0,5đ = 2 (( 1)(1)( 1) (1) 1)

x x x

x x

0,25đ = ( x 1x)(xx x1) 0,25đ

x x

0,25đ =

1



 x x

x

0,25đ Câu 2:

x =

4

9 ) 2

1 ( 3

) 1 (

2 2

=> phương trình có 2 nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau

=> m = 0 là giá trị cần tìm 0,25đCâu 2(1,5đ)

Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 là số đo của 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3

=> m = 2 là giá trị cần tìm 0,25đ+ Với m = -2 phương trình đã cho trở thành:

=> m = -2 không troả mãn 0,25đTóm lại: Phương trình đã cho có hai nghiệm và 2 nghiệm này là số đo 2 cạnh

của góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3  m = 2 0,25đ

Bài 3:

+)Gọi (d) là đường thẳng phải tìm.Vì đường thẳng (d) // đường thẳng

y = 3x + 12 => phương trình đường thẳng (d) có dạng; y = 3x + m 0,25đ

+)Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol y = x2 là nghiệm của phường trình: x2 = 3x + m  x2 – 3x – m = 0 (*) 0,25đ+)Đường thẳng (d) và parabol y = x2 có đúng 1 điểm chung

 phương trình (*) có nghiệm duy nhất

  = 0  9 + 4m = 0  m = - 49 0,25đ

=> phương trình đường thẳng (d) là y = 3x -

4 9

0,25đ

Bài 4:

Câu 1: (0,75đ)

+) Vì AD và AH là các tiếp tuyến của đường tròn (M,MH) cùng xuất phát từ đỉnh A

=> AD = AH (1) 0,25đ+) Vì BH và BC là các tiếp tuyến của đường tròn (M, MH) cùng xuất phát từ đỉnh B

M

H N

+ Vì AD và AH là các tiếp tuyến của đường tròn (M,MH) cùng xuất phát từ A

=> góc AMD = góc AMB (3)

+ Vì BH và BC là các tiếp tuyến của đường tròn (M, MH) cùng xuất phát từ B

=> góc BMC = góc BMH (4)

Từ (3) và (4) => góc AMD + góc BMC = góc AMH + góc BMH

= góc AMB = 900 0,25đ

=> (góc AMD + góc BMC) + (góc AMH + góc BMH) = 1800 0,25đ

=> 3 điểm C, D, M thẳng hàng và M là trung điểm của CD 0,25đ

b)Vì AD và BC là các tiếp tuyến của đường tròn (M,MH)

=> AD  CD và BC  CD => ABCD là hình thang vuông

Mặt khác : O là trung điểm của AB và M là trung điểm của CD

 OM là đường trung bình của hình thang ABCD

 OM // AD 0,25đ

LẠi có AD  CD => OM  CD 0,25đ

Mà Om là đường kính của đường tròn (O)

=> CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) 0,25đ

Câu 3;(1đ)

Ta có : 4.AD.BC = (AD + BC)2

- (AD – BC)2 0,25đ  (AD +BC)2 = 4R2 0,25đ

=> AD.BC  R2 0,25đ

Đẳng thứ xảy ra  AD = BC  ABCD là hình chữ nhật

ngoại tiếp nửa đường tròn đường kính AB  M là trung

điểm của của nửa đường tròn đường kính AB 0,25đ

Câu 4 (1đ)

Ta có góc AMB = 900 (Góc nôịo tiết chắn nửa đường tròn )

 AM  MB.Mặt khác : IP  MP (gt)

 => AM // IP hay IK //AM

Xét  ANM có IK // AM , I là trung điểm MN

=> IK là đường trung bình 0,25đ

=> K là trung điểm của AN mà A và N cố định => K cố định 0,25đ

Ta có góc BPK = 900 và các điểm B, K cố định 0,25đ

=> Khi m chuyển động trên đường tròn (O) thì P chạy trên đường tròn

đường kính BK 0,25đ

ĐỀ THI TUYỂN SINHVÀO LỚP 10 – PTTH TỈNH NAM ĐỊNH

NĂM HỌC 2000- 2001Bài 1: (2điểm)

1 ).(

a) Tìm a và b để đường thẳng (d) đi qua M và N

b) Xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) với 2 trục Ox và Oy

Bài 3: (2 điểm)

Cho số nguyên dương gồm 2 chữ số Tìm số đó biết rằng tổng của 2 chữ số bằng 1/8 số đã cho và nếu thêm 13 vào tích 2 chữ số sẽ được 1 số mới viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho

c) Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC, chứng minh AM.AF = AN AE

Bài 5(1 điểm): Giả sử n là 1 số tự nhiên Chứng minh :

2

) 1 (

1

3 4

1 2 3

1 2

Đáp Án:

Bài 1:

1 ).(

) 1 ( 1 1

) 1 (

a

a a a

a a

a A

0 1

a a

2

a a a

a a

2 1

a

b a

a

b a

a b

Vậy đường thẳng (d) : y = - 12 x + 2

b) Xác định tạo độï giao giao điểm của (d) với 2 trục toạ độ

+ Giao của (d) với trục Oy: Cho x = 0 vào phương trình y = - 21 x + 2 ta tìm được

y = 2 => (d) cắt trục Oy tại điểm (0; 2)

+ Giao của (d) với trục Ox : Cho y = 0 ta có: 0 = -

Tổng hai chữ số của nó la:ø a + b

Theo bài ra ta có phương trình : a+ b = 81 ab hay : a+b = 81 (10a+ b) (1)

Tích hai chữ số của nó là : a.b

Theo đầu bài ta có phương trình: ab + 13 = ba hay : ab + 13 = 10b + a (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

b a b

a

10 13

) 10

b a b

a

10 13 10 8

8



 2a 7b  0 ( 1 / )

2 7

= 7 Đối chiếu với điều kiện đặt ra ta có a = 7 ; b = 2 thoả mãnVậy số đã cho là 72

Bài 4:

P

N M

A

E

H

F K

a) Ta có : góc BNC = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> góc BNP = 1v.Tứ giác ABPN có góc BNP = góc BAP = 1v cùng nhìn PB nên 4 điểm A,B,P,N cùng thuộc đường tròn đường kính BP

(Tâm của đường tròn là trung điểm của BP , bán kính BP/2)

b)Có tứ giác ABPN nội tiếp => góc BPA = góc BNA (cùng chắn cung AB)

MaËt khác : góc BME = góc BNA ( cùng chắn cung BE)

=> góc BPA = góc BME

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị => ME // AP mà AP  BC => EM  BC

c)Ta có F là điểm đối xứng của N qua BC mà N  (O) => F  (O) (Tính chất đối xứng)

Tam giác AME cân (vì có AB  ME => HM = HE => AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến) nên AM = AE (1)

Tam giác NAF cân ( vì NF  AC => KN = KF => AK vừa là đường cao cừa là trung tuyến) Nên AN = AF (2)

) 1 (

1 ) 1 (

1 ) 1 ( )

n

n n

n

n n

.(

2 ) 1

1 1

)(

1 1

( ) 1

1 1

)(

1

1 1

n n

n n

n n

( 2 )

1 ( 2 1 ) 1 1 (

1 2

1 ( 2 2 ) 1 2 (

1 2

1 ( 2 3 ) 1 3 (

1 3

1

1 1

( 2 )

1 (

1

3 4

1 2 3

Bài 1: (1,5 điểm)

Rút gọn biểu thức :

M = (

a

a a

a a

xy y x

Bài 3 (2 điểm)

Hai người cùng là chung một công việc sẽ hoàn thành trong 4 ngày Nếu mỗi người làm riêng để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ nhất là ít hơn người thứ hai 6 giờ Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc

Bài 4 (2 điểm)

Cho các hàm số :

y = x2 (P)

y = 3x + m2 (d)

( x là biến số , m là tham số cho trước)

1) Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của m , đường thẳng (d) luôn cắt

parabol(P) tại 2 điểm phân biệt

2) Gọi y1 và y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol(P).Tìm m đểcó đẳng thức : y1 + y2 = 11y1.y2

Bài 5(3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở đỉnh A.Trên cạnh AC lấy điểm M( Khác với các điểm A và C).Vẽ đường tròn (O) đường kính MC.Gọi T là giao điểm thứ hai của các cạnh BC với đường tròn (O).Nối BM kéo dài cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là S.Chứng minh:

1) Tứ giác ABTM nội tiếp được trong một đường tròn

2) Khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì góc ADM có số đo không đổi

3) Đường thẳng AB song song với đường thẳng ST

a a

0,25đ =

a

a a a







 1

) 1

)(

1 (

0,25đ = 1 + a + a 0,25đ

a

a a

=> M = (1+ a)2

a

 1 1 = 1 + a 0,25đ

y x

1 1

y x

hoặc 



 3 4

2 2

y x

0,25đb)Trường hợp : x + y = - 7

Lại có xy = 12 => x, y là nghiệm của phương trình bậc hai:

3 3

y x

4 4

y x

0,25đTóm lại có 4 cặp số thoả mãn điều kiện đã cho là:

2 2

y x

3 3

y x

4 4

y x

0,25đ

Bài 3 (2 điểm)

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình để hoàn thành công việc là x giờ

Điều kiện: x > 0

=> người thứ hai làm một mình để hoàn thành công việc (x +6) giờ 0,25đ

Trong một giờ người thứ nhất làm được 1x công việc 0,25đTrong một giờ người thứ hai làm được 16

 x2

– 2x – 24 = 0 0,25đPhương trình này có hai nghiệm là x1 = 6 ; x2 = -4(loại) 0,25đVậy thời gian người thứ nhất làm một mình để hoàn thành công việc

là 6 giờ 0,25đThời gian người thứ hai làm một mình để hoàn thành công việc là

6 + 6 – 12 giờ 0,25đBài 4

Câu 1 (1 điểm)

Hoành đọ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là nghiệm của

phương trình : x2 = 3x + m2

 x2 - 3x - m2 = 0 (*) 0,25đPhương trình (*) có :  = 9 + 4m2 > 0 với mọi m 0,25đ

=> phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt 0,25đ

=> Đường thẳng (d) bao giờ cũng cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt 0,25đ

1 2 1

.

3

m x

x x x

y1 + y2 = 11y1 y2

 2m2 + 9 = 11 m4 (3)

 11m4 – 2m2 – 9 = 0 0,25đĐặt : t = m2 , điều kiện t 0 ,phươưng trình (3) trở thành:

11t2 – 2t – 9 = 0

Vì phương trình có a + b + c = 0, nên phương trình có 1 nghiệm là t = 1

ngiệm còn lại là t = -

11

9

(loại)Với t = 1 => m2 = 1 => m =  1 0,25đ

Vì phương trình (*) có nghiệm với mọi m nên m =  1 thoả mãn

=> đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có tung độ thoả mãn

y1 + y2 = 11y1.y2  m =  1 0,25đ

Bài 5:

Câu 1(1đ)

Ta có MTC = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0,25đ

Lại có : BAC =1v (gt)

=> Tứ giác ABTM có : A + T = 2v 0,25đ

=> Tứ giác ABTM nội tiếp được trong một đường tròn 0,5đ

Câu 2 (1 điểm)

Ta có MDC = 1v (góc nộitiếp chắn nửa đường tròn)

Lại có BAC = 1v

=> các điểm A và D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC 0,25đ

=> 4 điểm A, B, C , D cùng thuộc đường tròn đường kính BC

=> Tứ giác ABCD nội tiếp được tron một đường tròn 0,25đ

=> ADB = ACB ( cùng chắn cung AB) (1) 0,25đ

mà sđ ACB không đổi => sđADB không đổi (đpcm) 0,25đ

Câu 3 (1 điểm)

Vì tứ giác CMDS nội tiếp được trong đường tròn (O)