4) Treân ñöôøng trìn (O) laáy ñieåm N coá ñònh .Goïi I laø trung ñieåm cuûa MN vaø P laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa I treân MB.. Ñöôøng troøn ñöôøng kính BC caét PB ,PC laàn löôït ôû[r]
(1)Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Lê hồng phong
năn học 1999 – 2000 Mơn tốn (Đề chung) Bài 1(2điểm)
Cho biểu thức: N = a √ab+b+
b
√ab − b−
a+b
√ab với a,b số dương khác
1)Rút gọn biểu thức N
2)Tính giá trị biểu thức N : a = √6+2√5 b = √6 −2√5 Bài 2(2,5 điểm)
Cho phương trình ẩn x: x4 – 2mx2 + m2 – = 0
1)Giải phương trình với m = √3
2)Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài (1,5 điểm)
Trên hệ trục toạ độ Oxy cho điểm A(2;-3) parapol (p) có phương trình y = - 12x2
1)Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc k qua điểm A(2; - 3) 2)Chứng minh đường thẳng qua điểm A(2;-3) không song song với trục tung cắt parabol y = - 12x2 điểm phân biệt Bài 4(4 điểm)
Cho đường tròn (O,R) đường thẳng (d) cắt đường tròn điểm A, B Từ điểm M nằm đường thẳng (d) ngồi đường trịn (O,R) kể hai tiếp tuyến MP MQ đến đường tròn , P Q tiếp điểm
1)Gọi I giao điểm đường thẳng MO với đường tròn(O,R).Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MPQ
2)Xác định vị trí điểm M đường thẳng (d) để tứ giác MPOQ hình vng 3)Chứng minh điểm M di chuyển đường thẳng (d) đường trịn nội tiếp tam giác MPQ chạy đường thẳng cố định
Đáp án Bài 1:
Câu 1: : N = a √ab+b+
b
√ab − b−
a+b
√ab =
a
√b (√a+√b)+
b
√a(√b −√a)− a+b
√ab =
√ab ()b − a
a√a(√b −√a)+b√b(√b+√a)−(a+b)(b −a)
√ab(b − a) =
a√ab+b√ab
¿ ¿=
a+b b − a
Câu 2: Ta có a = √6+2√5 =
√5+1¿2 ¿ ¿ √¿ v b = √6 −2√5 =
(2)=> N = a+b
b− a=
√5+1+√5 − 1
√5− 1−√5 − 1=−√5 B
ài 2:
C âu1: m = √3 ,phương trình : x4 – 2mx2 + m2 – = trở th nh:à
x4 - 2 √3 x = ⇔ x2 (x2 - √3 ) = ⇔
x=0
¿
x2=2√3 ¿ ¿ ¿ ¿
⇔
x1=0 ¿
x2,3=±√2√3 ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy phương trình cho có nghiệm :
x1 = , x2 = √2√3 x3 = - √2√3
Câu 2: Đặt t = x2 , điều kiện t Phương trình cho trở thành:
t2 – 2mt + m2 – = (1)
Phương trình cho có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (1) có nghiệm có nghiệm nghiệm dương
*)Phương trình (1) nhận t = nghiệm ⇔ m2 – = ⇔ m = ±
√3 +)Khi m = √3 , phương trình (1) trở thành: t2 -
√3 t =
⇔
t1=0 ¿
t2=2√3 ¿ ¿ ¿ ¿
(thoả mãn)
v ậy m = √3 ,là giá trị cần tìm
+)Khi m = - √3 , phương trình (1) trở thành : t2 + 2
√3 t =
⇔
t1=0 ¿
t2=−2√3 ¿ ¿ ¿ ¿
(khơng thích hợp)
Vậy m = - √3 không thoả mãn loaị
Tóm lại phơng trình cho có nghiệm phân biệt ⇔ m = √3 Bài
Câu 1: Phơng trình đờng thẳng qua điểm A(2;-3) có hệ số góc k là: y = k(x-2) –
Câu 2: Phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm A(2;-3) không song song với trục tung có dạng:
y = k(x-2) – ( k lµ sè bÊt kú)
Hồnh độ giao điểm parabol (p) đờng thẳng (d) nghiệm phơng trình: -
2 x2 = k(x-2) – ⇔ x
2 + 2kx – 4k = (*)
Đờng thẳng (d) parabol(p) cắt điểm phân biệt
phơng trình (*) có nghiệm phân biệt với k
⇔ Δ❑ > víi mäi k
⇔ k2 + 4k + > víi mäi k
ThËt vËy Δ❑ = k2 + 4k + = (k2 + 4k + 4) + = (k + 2)2 + > víi mäi k
(3)Bµi 4:
P
M
Q
A B
O
K (D)
I
C©u 1:
+)Vì MP MQ tiếp tuyến xuất phát từ điểm M => tia MO tia phân giác góc PMQ (1)
+) Cũng MP MQ tiếp tuyến xuất phát từ điểm M góc PMO = QMO => cung PI = cung IQ
Ta cã gãc MIP góc tạo dây cung tiếp tuyến => S® gãc MPI =
2 S® cung PI
Lại có Sđ góc IPQ =
2 S® cung QI => gãc MPI = gãc IPQ => PI tia phân giác góc MPQ (2)
Tõ (1) vµ (2) => I l giao điểm hai đường phân giác đỉnh M đỉnh P tam giác MPQ => I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MPQ (đpcm)
Câu2: a) Phân tích:
Giả sử M điểm đường thẳng (d) cho tứ giác MPOQ hình vng => cạnh hình vng R
MO = R √2 0,25® M nằm đường tròn (O ; R √2 )
M giao điểm đường thẳng (d) đường tròn (O ; R 2 ) 0,25đ b) Cách dựng:
+ Dựng đoạn R √2 0,25đ + Vẽ đờng tròn (O, R √2 )
+ Lấy giao điểm M đờng thẳng (d) đờng tròn (O, R 2 )
=> M điển phải dựng 0,25đ c) Chứng minh:
Vì MO = R √2 > R => M nằm ngồi đường trịn (O,R)
Nên từ M kẻ hai tiếp tuyến MP MQ đến đường tròn 0,25đ + Áp dụng định lý Pitago tam giác vng MPO ta có
MP2 = MO2 – OP2 = 2R2 – R2 = R2 => MP = R
Tương tự chứng minh MQ = R => MPOQ tưa giác có cạnh có góc vng => MPOQ hình vng 0,25đ d) Biện luận
Vì đường thẳng (d) đường trịn (O, R √2 ) cắt điểm
(4)+Đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ đường trịn đường kính MO 0,25đ +Từ O kể đường thẳng vng góc đến đường thẳng (d) K => góc MKO = 1v => K nằm đường trịn đường kính MO 0,25đ => đường trịn ngoại tiếp tam giác MPQ qua điểm cố định O K 0,25đ => tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ chạy đường trung trực ( Δ ) đoạn OK 0,25đ
Đề thi tuyển sinh vào 10 PTTH năm học 1999 – 2000
Mơn tốn
thời gian làm 150 phút Bài 1(1,5 điểm)
Cho biểu thức : A = √x2− x +4 4 −2 x
a) Với giá trị x biểu thức A có nghĩa b) Tính giá trị biểu thức A x = 1,999 Bài 2(1,5 điểm)
Giải hệ phương trình:
¿
x−
1
y −2=− 1
4
x+
3
y −2=5
¿{ ¿ Bài (2 điểm)
Tìm giá trị a để phương trình :
(a2 – a – 3)x2 + (a + 2)x – 3a2 = 0
nhận x = nghiệm Tìm nghiệm cịn lại phương trình? Bài (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông đỉnh A cạnh AB lấy điểm D không trùng với đỉnh A đỉnh B Đường trịn đường kính BD cắt cạnh BC E Đường thẳng AE cắt đường tròn đường kính BD điểm thứ G Đường thẳng CD cắt đường trịn đường kính BD điểm thứ F Gọi S giao điểm đường thẳng AC BF Chứng minh:
1) Đường thẳng AC song song với đường thẳng FG 2) SA SC = SB SF
3) Tia ES phân giác góc AEF
(5)Giải phương trình : x2 + x + 12
√x+1 = 36
Đáp Án Bài 1:
Câu a) Ta có : A = √x2− x +4 4 −2 x =
x − 2¿2 ¿ ¿ √¿
¿
0,25đ
Vì (x- 2)2 với x => x − 2¿
2 ¿ √¿
có nghĩa với x 0,25đ => Biểu thức A có nghĩa ⇔ – 2x ⇔ x 0,25đ Câu b) Ta có A = |x − 2|
2(2− x) 0,25đ
⇔
¿
x − 2
2(2− x)=−
2khix− 2>0 2 − x
2(2− x)=
2khix −2<0 ¿{
¿
0,25đ
Khi x = 1,999 => x < => A = 0,5 0,25đ Bài (1,5 đ)
¿
x−
1
y −2=− 1
4
x+
3
y −2=5
¿{ ¿ Đặt u =
x v =
1
y −2 Hệ phương trình trở thành:
¿
u − v=− 1
4 u+3 v=5 ¿{
¿
0,25đ Giải hệ phương trình
¿
u=2
7
v =9
7 ¿{
¿
0,5đ
Với u =
7 => x =
2 0,25đ Với v =
7 => y = 25
(6)Vậy hệ có nghiệm : ¿
x=7
2
y=25
9 ¿{
¿
0,25đ
Bài 3: Phương trình cho nhận x1 = nghiệm
⇔ 4(a2 – a – 3) + 2(a + 2) – 3a2 = 0,5đ ⇔ a2 – 2a – = 0,25đ
⇔
a=−2
¿
a=4
¿ ¿ ¿ ¿
0,25đ
Khi nghiệm cịn lại phương trình là: x2 = −3 a
2
2(a2−a −3) 0,5đ
+) Nếu a = -2 , nghiệm cịn lại phương trình
x2 = -2 0,25đ
+) Nếu a = , nghiệm cịn lại phương trình
x2 = - 38 0,25đ
(7)
S
A
C
E B
F
G D
Câu 1: Chứng minh AC // FG ( đ)
Tứ giác ACED có : góc A = góc E = 1v 0,25đ nên nội tiếp đường tròn
=> ^ACD = ^ AED hay ^ ACD = ^ DEG (1) 0,25đ
Mặt khác điểm D,G, E, F nằm đường trịn đường kính BD nên tứ giác DGEF nội tiếp đường trịn
=> góc DEG = góc DFG (2) 0,25đ Từ (1) (2) => góc ACD = góc DFG
=> AC // FG (Vì có góc so le nhau) 0,25đ Câu : Chứng minh SA.SC = SB SF (1,5đ)
Tứ giác ACBF có ∠ A = ∠ F = 1v => tứ giác ACBF nội tiếp đường tròn đường kính BC
=> ∠ FAC + ∠ FBC = 2v 0,25đ Lại có ∠ FAC + ∠ SAF = 2v
=> ∠ SAF = ∠ FBC hay ∠ SAF = ∠ SBC 0,25đ Xét tam giác SAF SBC có :
∠ S chung , ∠ SAF = ∠ SBC (cmt)
=> Hai tam giác SAF SBC đ ồng dạng 0,5 đ => SASB=SF
SC 0,25đ => SA.SC = SB.SF 0,25 đ Câu 3: Chứng minh : Tia ES tia phân giác củagóc AEF (1,5 ®)
(8)Vì tứ giác ACBF nội tiếp đợc đờng trịn => góc ACF = góc ABF (3)
Từ (1) , (2) (3) => góc AED = góc DEF 0,5đ => ED tia phân giác góc AEF 0,25đ Mặt khác : CF BA đờng cao tam giỏc SBC
nên D trực tâm tam giác => SD BC 0,25đ Mà DE BC => điểm S.D,E thẳng hàng 0,25đ => tia ES phân giác góc AEF 0,25đ Bài (1đ):
Ta cã x2 + x + 12
√x+1 = 36
⇔ (x2 + 2x + 1) – (x-1 - 12 √x+1 + 36) = 0 ⇔ (x + 1)2 – (
√x+1 - 6)2 = 0,25ñ
⇔ (x + - √x+1 + )( x + + √x+1 - ) = 0,25ñ
a) Trường hợp : x + - √x+1 + = (a)
Đặt t = √x+1 ( điều kiện t ) , phương trình (a) trở thành
t2 – t + = ( vô nghiệm) 0,25ñ
b) Trường hợp : x + + √x+1 - = (b)
Đặt t = √x+1 ( điều kiện t ) , phương trình (b) trở thành
t2 + t - = ⇔ t = - (loại) t = (thoả mãn)
t = => √x+1 = ⇔ x + = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = 0,25đ
ĐỀ THI TUYỂN SINH VAØO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG
năm học 2000 -2001 Mơn tốn(Đề chung)
Bài (2,5 điểm) Cho biểu thức : T = x+2
x√x −1+
√x+1 x +√x+1−
√x +1
x − 1 với x > x
1) Rút gọn biểu thức T
2) Chứng minh với x > x ln có T < 13 Bài ( 2,5 điểm)
Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 -
2 = (1)
1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm nghiệm phương trình có giá trị tuyệt đối
(9)Bài 3(1 điểm)
Trên hệ trục toạ độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y = x2 (P)
Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = 3x + 12 có với parabol (P) điểm chung
Bài (4 điểm)
Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R Một điểm M chuyển dộng đường tròn (O) ( M khác với A B) Gọi H hình chiếu vng góc M đường kính AB.Vẽ đường trịn (T) có tâm M bán kính MH Từø A B kể tiếp tuyến AD BC đến đường tròn (T) (D C tiếp điểm)
1) Chứng minh M di chuyển đường trịn (O) AD + BC có giá trị khơng đổi
2) Chứng minh đường thẳng CD tiếp tuyến đường tròn (O)
3) Chứng minh với vị trí M đường trịn (O) ln có bất đẳng thức AD.BC R2 Xác định vị trí M đường trịn (O) để đẳng
thức xảy
4) Trên đường trìn (O) lấy điểm N cố định Gọi I trung điểm MN P hình chiếu vng góc I MB Khi M chuyển động đường trịn (O) P chạy đường ?
ĐÁP ÁN: Bài
Caâu 1: T = x+2
x√x −1+
√x+1 x +√x+1−
√x +1 x − 1
=
√x¿3−1 ¿ ¿
x +2
¿
0,5ñ
= x +2+(√x +1)(√x −1)−(x +√x+ 1)
(√x −1)(x+√x +1) 0,25ñ
= x −√x
(√x −1)(x +√x+1) 0,25ñ
= √x (√x −1)
(√x −1)(x +√x+1) 0,25ñ
= √x
x +√x+1 0,25đ
Câu 2:
Xeùt 13 - T = 13 - √x
x +√x+1 =
√x −1¿2 ¿ √x+1
2¿
+9 3¿
¿ ¿
(10)=> 13 - T > ( √x - 1)2 > 0,25đ
3( √x+1
2¿
+9
4 > với x > x 0,25đ => T < 13 với x > ø x 0,25đ
Baøi
Câu (1đ) : Giả sử phương trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn |x1|=|x2| => x1 = x2 x1 = - x2 0,25đ
a) Neáu x1 = x2 => Δ = => Δ = 12 = (vô lý)
0,25đ
b) Neáu x1 = - x2 => x1 + x2 = => 2m = => m = 0,25đ
=> phương trình cho trở thành : x2 -
2 = ⇔ x = ±
√2
=> phương trình có nghiệm có giá trị tuyệt đối
=> m = giá trị cần tìm 0,25đ Câu 2(1,5đ)
Giả sử phương trình có nghiệm x1 x2 số đo cạnh góc vng tam
giác vuông có cạnh huyền
=> x1 > ; x2 > vaø x12 + x22 = 0,25đ
Ta có x12 + x22 = (x1 + x2 )2 - 2x1x2 = 4m2 – 2(m2 - 12 ) = 2m2 + 0,25đ
=> x12 + x22 = ⇔ 2m2 + = ⇔ m = ±
0,25ñ
+Với m = phương trình cho trở thành : x2 - 4x +
2 = Phương trình có nghiệm là:
x1 = 2 -
1
√2 ; x2 = 2 +
√2 (thoả mãn)
=> m = giá trị cần tìm 0,25đ + Với m = -2 phương trình cho trở thành:
x2 + 4x +
2 = Phương trình có nghiệm laø :
x1 = - -
1
√2 < vaø x2 = - +
√2 < (loại)
=> m = -2 khơng troả mãn 0,25đ Tóm lại: Phương trình cho có hai nghiệm nghiệm số đo cạnh
của góc vuông tam giác vuông có cạnh huyền ⇔ m = 0,25đ
Bài 3:
+)Gọi (d) đường thẳng phải tìm.Vì đường thẳng (d) // đường thẳng
(11)+)Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) parabol y = x2 nghiệm phường
trình: x2 = 3x + m ⇔ x2 – 3x – m = (*) 0,25ñ
+)Đường thẳng (d) parabol y = x2 có điểm chung
⇔ phương trình (*) có nghiệm
⇔ Δ = ⇔ + 4m = ⇔ m = - 94 0,25đ
=> phương trình đường thẳng (d) y = 3x - 94 0,25đ
Bài 4:
Câu 1: (0,75đ)
+) Vì AD AH tiếp tuyến đường tròn (M,MH) xuất phát từ đỉnh A => AD = AH (1) 0,25đ +) Vì BH BC tiếp tuyến đường tròn (M, MH) xuất phát từ đỉnh B => BC = BH (2) 0,25đ
+) Từ (1) và(2) => AD + BC = AH + BH = AB = 2R = không đổi
A B
D
C O
M H N
II K
Câu 2: (1,25đ)
a) Trước hết ta chứng minh điểm C, D , M thẳng hàng Thật vậy:
+ Vì AD AH tiếp tuyến đường tròn (M,MH) xuất phát từ A => góc AMD = góc AMB (3)
+ Vì BH BC tiếp tuyến đường trịn (M, MH) xuất phát từ B => góc BMC = góc BMH (4)
Từ (3) (4) => góc AMD + góc BMC = góc AMH + góc BMH
= góc AMB = 900 0,25đ
=> (góc AMD + góc BMC) + (góc AMH + góc BMH) = 1800 0,25đ
=> điểm C, D, M thẳng hàng M trung điểm CD 0,25đ b)Vì AD BC tiếp tuyến đường tròn (M,MH)
(12) OM đường trung bình hình thang ABCD
OM // AD 0,25đ LẠi có AD CD => OM CD 0,25đ Mà Om đường kính đường trịn (O)
=> CD tiếp tuyến đường tròn (O) 0,25đ Câu 3;(1đ)
Ta coù : 4.AD.BC = (AD + BC)2- (AD – BC)2 0,25ñ
(AD +BC)2 = 4R2 0,25ñ
=> AD.BC R2 0,25ñ
Đẳng thứ xảy ⇔ AD = BC ⇔ ABCD hình chữ nhật ngoại tiếp nửa đường trịn đường kính AB ⇔ M trung
điểm của nửa đường trịn đường kính AB 0,25đ Câu (1đ)
Ta có góc AMB = 900 (Góc nơịo tiết chắn nửa đường trịn )
AM MB.Mặt khác : IP MP (gt) => AM // IP hay IK //AM
Xeùt Δ ANM có IK // AM , I trung điểm MN
=> IK đường trung bình 0,25đ => K trung điểm AN mà A N cố định => K cố định 0,25đ Ta có góc BPK = 900 điểm B, K cố định 0,25đ
=> Khi m chuyển động đường trịn (O) P chạy đường trịn đường kính BK 0,25đ
ĐỀ THI TUYỂN SINH
VAØO LỚP 10 – PTTH TỈNH NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2000- 2001
Bài 1: (2điểm) Cho A = ( a+√a
√a+1+1¿.( a −√a
√a − 1−1) Với a ≥ 0
a Ruùt goïn A
b Với a ≥ 0 Tìm a cho A = - a2
Bài 2: (2 điểm)
Trên hệ trục toạ độ Oxy cho điểm : M(2 ; 1) N(5; - 12 ) đường thẳng (d): y = ax + b
a) Tìm a b để đường thẳng (d) qua M N
b) Xác định toạ độ giao điểm đường thẳng (d) với trục Ox Oy Bài 3: (2 điểm)
(13)Bài 4: ( điểm)
Cho tam giác PBC , PA đường cao Đường trịn đường kính BC cắt PB ,PC M N , NA cắt đường tròn điểm thứ hai E
a) Chứng minh điểm : A, B, P, N thuộc đường trịn Xác định tâm bán kính đường trịn
b) Chứng minh : EM BC
c) Gọi F điểm đối xứng N qua BC, chứng minh AM.AF = AN AE Bài 5(1 điểm): Giả sử n số tự nhiên Chứng minh :
12+ 3√2+
1
4√3+ + (n+1)√n<2
Đáp Án: Bài 1:
a) A = ( a+√a √a+1+1¿.(
a −√a
√a − 1−1) = [
√a(√a+1)
√a+1 +1].[
√a(√a− 1)
√a− 1 − 1]
= ( √a+1¿.(√a −1) = a –
b) Tìm a ≥ 0 Thoả mãn đẳng thức A = - a2
⇔
¿ 1≠ a ≥ 0
A=− a2
¿{ ¿
⇔
¿ 1≠ a ≥ 0
a −1=−a2
¿{ ¿
⇔
¿ 1 ≠ a ≥ 0
a2+a − 1=0 ¿{
¿
⇔
1≠ a ≥ 0
a=√5 −1
2 ¿
a=−√5 − 1
2 ¿ ¿ ¿ { ¿ ¿ ¿
⇔ a = √5 −12
Baøi 2:
(14)¿ 1=2 a+b
−1
2=5 a+b ¿{
¿
⇔
¿ 1=2 a+b
3 a=−3 ¿{ ¿ ⇔ ¿ 1=2 a+b a=−1 ¿{ ¿ ⇔ ¿ 1=2 (−1
2)+b
a=−1 ¿{ ¿ ⇔ ¿ b=2 a=−1 ¿{ ¿
Vậy đường thẳng (d) : y = - 12 x +
b) Xác định tạo độï giao giao điểm (d) với trục toạ độ
+ Giao (d) với trục Oy: Cho x = vào phương trình y = - 12 x + ta tìm y = 2 => (d) cắt trục Oy điểm (0; 2)
+ Giao (d) với trục Ox : Cho y = ta có: = - 12 x + => x = (d) cắt trục Ox điểm (4;0)
Baøi
Gọi số nguyên dương có hai chữ số ab (Điều kiện : a , b N ; a ≤ 9 ; 0 b ≤ 9 )
Tổng hai chữ số la:ø a + b
Theo ta có phương trình : a+ b = 18 ab hay : a+b = 18 (10a+ b) (1)
Tích hai chữ số : a.b
Theo đầu ta có phương trình: ab + 13 = ba hay : ab + 13 = 10b + a (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:
¿
a+b=1
8(10 a+b) ab+13=10 b+a
¿{ ¿
⇔
¿
8 a+8 b=10 a+b ab+13=10 b+a
¿{ ¿
⇔
¿
2 a −7 b=0 (1❑
) ab+13=10 b+a (2❑
) ¿{
¿
Từ (1/) => a = 7 b
2 vào (2/) ta : 7 b
2 b + 13 = 10b + 7 b
2 ⇔ 7b2 – 27b + 26 =
Coù : Δ = 272 – 4.7.26 = =>
√Δ = => b1 = 27+114 = (thoả mãn)
b2 = 27 −114 = 2614 ∉ N (loại)
Với b = => a = 22 = Đối chiếu với điều kiện đặt ta có a = ; b = thoả mãn
(15)Baøi 4:
P
B C
N M
A
E H
F K
a) Ta có : góc BNC = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
=> góc BNP = 1v.Tứ giác ABPN có góc BNP = góc BAP = 1v nhìn PB nên điểm A,B,P,N thuộc đường trịn đường kính BP
(Tâm đường tròn trung điểm BP , bán kính BP/2)
b)Có tứ giác ABPN nội tiếp => góc BPA = góc BNA (cùng chắn cung AB) MaËt khác : góc BME = góc BNA ( chắn cung BE)
=> goùc BPA = goùc BME
Mà góc vị trí đồng vị => ME // AP mà AP BC => EM BC
c)Ta có F điểm đối xứng N qua BC mà N (O) => F (O) (Tính chất đối xứng)
Tam giác AME cân (vì có AB ME => HM = HE => AH vừa đường cao vừa trung tuyến) nên AM = AE (1)
(16)Tử (1) (2) => AM.AF = AN AE Bài 5:
Ta coù :
(n+1)√n=
√n
n(n+1)=√n
1
n (n+1)=√n
n+1− n
(n+1)n=√n (
n−
1
n+1)
= √n (
√n+
1 √n+1)(
1 √n−
1
√n+1)=(1+
√n
√n+1)(
1 √n−
1
√n+1)<2.(
1 √n−
1 √n+1)
(Vì dễ thấy : + √n
√n+1 < 1+1 = )
Vaäy :
(n+1)√n<2(
1 √n−
1
√n+1) (1)
Áp dụng bất đẳng thức (1) với n = 1, 2, 3, … n ta có: 12=
(1+1)√1<2( √1−
1 √2)
3√2=
(2+1)√2<2( √2−
1 √3)
4√3=
(3+1)√3<2( √3−
1 √4) ………
(n+1)√n<2( √n−
1 √n+1)
Cộng vế bất đẳng thức ta có: 12+
3√2+
4√3+ +
(n+1)√n<2 (1-
√n+1¿ < (Bởi
1-1
√n+1 < )
ĐỀ THI TUYỂN SINH VAØO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2001- 2002
MƠN TỐN Bài 1: (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức : M = ( 1 − a√a
1 −√a +√a¿
1
1+√a Với a a
Baøi (1,5 điểm)
Tìm hai số x y thoả mãn điều kện
¿
x2
+y2=25 xy=12
(17)Hai người chung công việc hoàn thành ngày Nếu người làm riêng để hồn thành cơng việc thời gian người thứ người thứ hai Hỏi làm riêng người phải làm hồn thành cơng việc
Bài (2 điểm) Cho hàm số :
y = x2 (P)
y = 3x + m2 (d)
( x biến số , m tham số cho trước)
1) Chứng minh với giá trị m , đường thẳng (d) cắt parabol(P) điểm phân biệt
2) Gọi y1 y2 tung độ giao điểm đường thẳng (d) parabol(P).Tìm m để
có đẳng thức : y1 + y2 = 11y1.y2
Baøi 5(3 điểm)
Cho tam giác ABC vng đỉnh A.Trên cạnh AC lấy điểm M( Khác với điểm A C).Vẽ đường trịn (O) đường kính MC.Gọi T giao điểm thứ hai cạnh BC với đường tròn (O).Nối BM kéo dài cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai S.Chứng minh:
1) Tứ giác ABTM nội tiếp đường tròn
2) Khi điểm M di chuyển cạnh AC góc ADM có số đo khơng đổi 3) Đường thẳng AB song song với đường thẳng ST
Đáp Án:
Bài 1(1,5 điểm)
Ta có
√a¿3 ¿ 1 −¿ 1 − a√a
1 −√a =¿
0,25ñ
= (1−√a)(1+√a+a)
1−√a 0,25ñ
= + √a + a 0,25ñ => 1 − a√a
1 −√a +√a = (1 + √a + a) + √a 0,25ñ
= (1 + √a )2 0,25ñ
=> M = (1+ √a )2 1+1
√a = + √a 0,25đ
(18)Vì :
¿
x2
+y2=25 xy=12
¿{ ¿
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = 25 + 2.12 = 49
x + y = ± 0,25đ a) Trường hợp : x + y =
Lại có xy = 12 => x, y nghiệm phương trình bậc hai:
t2 – 7t + 12 = 0,25đ
Phương trình có : Δ = 49 – 48 = ,nên phương trình có nghiệm là: t1 = ; t2 =
=> số cần tìm :
¿
x1=3
y1=4
¿{ ¿
¿
x2=4
y2=3
¿{ ¿
0,25ñ
b)Trường hợp : x + y = -
Lại có xy = 12 => x, y nghiệm phương trình bậc hai: t2 + 7t + 12 =
Phương trình có : Δ = 49 – 48 = Nên có hai nghiệm : t3 = -3 ; t4 = -
=> số cần tìm là:
¿
x3=−3
y3=− 4 ¿{
¿
¿
x4=−4
y4=−3 ¿{
¿
0,25đ
Tóm lại có cặp số thoả mãn điều kiện cho là:
¿
x1=3
y1=4 ¿{
¿
; ¿
x2=4
y2=3 ¿{
¿
; ¿
x3=−3
y3=− 4 ¿{
¿
; ¿
x4=−4
y4=−3 ¿{
¿
0,25đ
Bài (2 điểm)
Gọi thời gian người thứ làm để hồn thành cơng việc x Điều kiện: x >
(19)1x + x +61 = 14 0,25ñ
⇔ 4(x + 6) + 4x = x(x+ 6) ⇔ x2
– 2x – 24 = 0,25đ
Phương trình có hai nghiệm x1 = ; x2 = -4(loại) 0,25đ
Vậy thời gian người thứ làm để hồn thành cơng việc
là 0,25đ Thời gian người thứ hai làm để hồn thành cơng việc
+ – 12 0,25đ Bài
Câu (1 điểm)
Hồnh đọ giao điểm parabol (P) đường thẳng (d) nghiệm phương trình : x2 = 3x + m2
⇔ x2 - 3x - m2 = (*) 0,25đ
Phương trình (*) có : Δ = + 4m2 > với m 0,25đ
=> phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt 0,25đ => Đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt 0,25đ Câu (1 điểm)
Gọi A B giao điểm đường thẳng (d) para bol (P) toạ độ giao điểm chúng là:
A(x1; y1) ; B(x2 ; y2)
Áp dụng hệ thức viet cho phương trình (*) ta có :
¿
x1+x2=3
x1 x2=−m2 ¿{
¿
0,25ñ
Ta coù y1 + y2 = ( 3x1 + m2) + (3x2 + m2 ) = 3(x1 + x2) + 2m2
= 2m2 + (1)
vaø y1.y2 = x12.x22 = (x1.x2)2 = (-m2)2 = m4 (2)
Từ (1) (2) ta có :
y1 + y2 = 11y1 y2
⇔ 2m2 + = 11 m4 (3)
⇔ 11m4 – 2m2 – = 0,25ñ
Đặt : t = m2 , điều kiện t 0 ,phươưng trình (3) trở thành:
11t2 – 2t – = 0
Vì phương trình có a + b + c = 0, nên phương trình có nghiệm t = ngiệm lại t = - 119 (loại)
Với t = => m2 = => m = ±
0,25đ
Vì phương trình (*) có nghiệm với m nên m = ± thoả mãn
(20)y1 + y2 = 11y1.y2 ⇔ m = ±
0,25ñ Baøi 5:
B
A C
T
S D
M
Câu 1(1đ)
Ta có ∠ MTC = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) 0,25đ
Lại coù : ∠ BAC =1v (gt)
=> Tứ giác ABTM có : ∠ A + ∠ T = 2v 0,25đ
=> Tứ giác ABTM nội tiếp đường tròn 0,5đ Câu (1 điểm)
Ta có ∠ MDC = 1v (góc nộitiếp chắn nửa đường trịn) Lại có ∠ BAC = 1v
=> điểm A D nằm đường trịn đường kính BC 0,25đ => điểm A, B, C , D thuộc đường trịn đường kính BC
(21)mà sđ ∠ ACB không đổi => sđ ∠ ADB không đổi (đpcm) 0,25đ
Câu (1 điểm)
Vì tứ giác CMDS nội tiếp đường tròn (O)
=> ∠ MDA = ∠ MCS (cùng bù với góc MDS) (2) 0,25đ
Từ (1) (2) => ∠ TMC = ∠ MCS (3) => Δ MTC = Δ MSC => CT = CS
=> Δ CTS cân đỉnh C 0,25đ
Từ (3) => CM phân giác ∠ SCT nên CM đường cao
=> ST AC 0,25ñ Mà AB AC => ST // AB (đpcm) 0,25đ
ĐỀ THI TUYỂN SINH VAØO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2003 – 2004
MƠN THI TỐN Bài 1:(2điểm)
Giải hệ phương trình :
¿
x+
5
x + y=2
3
x+
1
x + y=1,7
¿{ ¿ Bài :(2 điểm)
Cho biểu thức P = √x +1+
x
√x − x với x > x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị P x = √2 Bài :(2 điểm)
Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Biết đường thẳng (d) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ song song với đường thẳng y = - 2x + 2003 a)Tìm a b
b) Tìm toạ độ điểm chung (nếu có ) (d) parabol: y = - 12 x2
(22)Cho đường trịn (O) có tâm điểm O điểm A cố định nằm ngồi đường trịn.Từ A kẻ tiếp tuyến AP AQ với đường tròn (O) , P Q tiếp điểm Đường thẳng qua O vng góc với OP cắt đường thẳng AQ M
a) Chứng minh MO = MA
b) Lấy điểm N cung lớn PQ đường tròn (O) cho tiếp tuyến N đường tròn (O) cắt tia AQ AQ tương ứng B C
1 – Chứng minh AB + AC – BC khơng phụ thuộc vào vị trí điểm N – Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp đường trịn PQ // BC Bài 5.(1 điểm)
Giải phương trình : √x2−2 x −3+√x +2=√x2+3 x+2+√x −3
ĐÁP ÁN: Bài ( điểm)
Điều kiện : x x + y 0,25đ Đặt 1x = u , x + y1 = v , hệ phương trình cho trở thành: 0,25đ
¿ 2 u+5 v =2 3 u+v =1,7
¿{ ¿
0,25ñ
Giải hệ u = 12 , v = 15 0,5đ
Từ : ¿
x=
1
x + y=
1 ¿{
¿
0,25ñ
⇔ ¿
x=2 x+ y=5
¿{ ¿
(Thoả mãn điều kiện) 0,25đ
⇔ ¿
x =2 y=3
¿{ ¿
0,25đ
Bài (2 điểm) a) (1,25đ)
Ta coù : P =
√x¿2 ¿ ¿ √x +1+¿
(23)= √x +1+
√x
1 −√x 0,25ñ
= 1 −√x +√x(√x +1)
(1+√x)(1 −√x) 0,25ñ
= 1 − x1+x 0,5ñ b) (0,75ñ)
Với x =
√2 ta coù : P =
1+ √2 1 −
√2
0,25ñ
P =
√2+1¿2 ¿ ¿ √2+1 √2 −1=¿
0,25ñ
= + √2 0,25đ Bài 3.(2 điểm)
a) (1ñ)
Đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = - 2x + 2003 nên chúng có hệ số góc => a = -2 0,5đ Đường thẳng (d) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ nên toạ độ điểm (1;0) thoả mãn phương trình (d):
= a.1 + b 0,25đ Giải ta : a = -2 b = 0,25đ b) (1 đ)
Toạ độ điểm chung (d) parabol y = - 12 x2 nghiệm hệ phương trình:
¿
y=− x +2 y =−1
2x
¿{ ¿
0,25ñ
=> - 12 x2 = - 2x + 0,25ñ
⇔ x2 - 4x + =
Giải phương trình ta x = 0,25đ => y = -
(24)O A
P Q
M
N C
B T
a) (1đ) Vì AP tiếp tuyến P (O) nên OP AP Theo gt ta có MO OP , neân MO // AP
=> ∠ MOA = ∠ OAP ( So le trong) 0,25đ
Vì AP AQ hai tiếp tuyến xuất phát từ A nên ∠ OAP= ∠ OAQ 0,25đ
Vaäy ∠ MOA = ∠ OAQ 0,25ñ
=> Δ MOA cân => MO = MA (đpcm) 0,25đ
b)
1- (1đ) Ta có cặp đoạn thẳng AP AQ , CQ CN , BN BP cặp tiếp tuyến xuất phát từ điểm nên:
AP = AQ , CQ = CP , BN = , BP 0,5đ => AB + AC – BC = AP + BP + AQ + CQ – CN – BN = AP +AQ = 2AP 0,25đ Vậy AB + AC – BC khơng phụ thuộc vào vị trí N 0,25đ 2- (1đ) Nếu BCQP tứ giác nội tiếp thì:
∠ QCB + ∠ QPB = 2v (Hai góc đối tứ giác nội tiếp) 0,25đ
Maët khaùc : ∠ QPB + ∠ QPA = 2v (hai góc kề bù)
=> ∠ QCB = ∠ QPA 0,25đ
(25)Nên Δ APQ cân => ∠ PQA = ∠ QPA 0,25ñ
Ta có ∠ PQA = ∠ TQC (hai góc đối đỉnh) => ∠ TQC = ∠ QCB
=> BC // PQ (vì có hai góc so le nhau) 0,25đ Bài (1đ)
Ta có : √x2−2 x −3+
√x +2=√x2+3 x+2+ √x −3
⇔ √(x +1)(x −3)+√x+2=√(x +1)( x+2)+√x −3 0,25ñ
Điều kiện : x
Với điều kiện phương trìn cho tương đương với: √x+1 √x −3+√x+2=√x+1 √x +2+√x − 3
⇔ ( √x+1 −1¿.(√x −3 −√x +2)=0 0,25đ Xét hai trường hợp:
√x+1 −1 = ⇔ x = loại khơng thoả mãn điều kiện 0,25đ
√x −3=√x+2 , vô nghiệm x – < x + => √x −3<√x +2
0,25đ
Tóm lại phương trình cho vơ nghiệm
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 Năm học 2004 – 2005
MƠN: TỐN Bài ( điểm)
1) Đơn giản biểu thức :
(26)Q = ( √x +2
x+2√x+1−
√x −2 x −1 ).√
x+1
√x với x > x
a) Chứng minh : Q = x −12
b) Tìm số nguyên x lớn để Q có giá trị số nguyên Bài (3điểm)
Cho hệ pgương trình :
¿ (a+1)x + y =4 ax+ y =2 a
¿{ ¿
1) Giải hệ phương trình a =
2) Chứng minh với giá trị a , hệ ln có nghiệm (x,y) cho x + y
Baøi (3 điểm)
Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) A M Q điểm phân biệt chuyển động (d)sao cho M khác A Q khác A Các đường thẳng BM BQ cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N P Chứng minh:
1) Tích BM.BN khơng đổi
2) Tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn 3) Bất đẳng thức : BN + BP + BM + BQ > 8R Bài 4.(1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x2+2 x +6
√x2+2 x +5
ĐÁP ÁN: Bài (3 điểm) 1) (1 đ)
√14+6√5 = √5+3¿ ¿
√5+6√5+9=√¿
0,25ñ
(27)2.a (1,5 ñ)
Q =
√x +1¿2 ¿ ¿.√x+1
√x
√x +2
¿ ¿
0,25ñ
= [√x+2 √x+1−
√x −2
√x −1]
1
√x 0,25ñ
= [(√x +2)(√x −1) (√x +1)(√x −1)−
(√x −2)(√x +1)
(√x +1)(√x −1)]
√x 0,25ñ
= (x −√x +2√x −2)−(x +√x − 2√x − 2)
√x(√x +1)(√x −1) 0,25ñ
= x −√x+2√x − 2− x −√x +2√x +2
√x (x − 1) 0,25ñ
= 2√x √x (x − 1)=
2
x − 1 0,25ñ
2.b.(0,5ñ)
Q = x −12 nguyên ⇔ x -1 ước ⇔
x − 1=± 1
¿
x −1=± 2
¿ ¿ ¿ ¿
0,25đ
Do x lớn ⇔ x – = ⇔ x = 0,25đ
Bài (3 điểm)
Trừ vế với vế phương trình ta được: x = – 2a 0,25đ Thay x = – 2a vào phương trình : a(4 – 2a) + y = 2a 0,25đ
⇔ y = 2a2 – 2a
0,25ñ
Vậy nghiệm hệ :
¿
x =4 − a y=2 a2−2 a
¿{ ¿
(1) 0,25ñ 2.1 (0,5ñ)
Thay a = vào (1), ta : ¿
x=2 y=0
¿{ ¿
0,5ñ
2.2 (1,5ñ)
(28)= 2(a2 – 2a + 1) + 0,25ñ
= 2(a – 1)2 + 0,25ñ
Do 2(a – 1)2 neân 2(a – 1)2 +
0,25ñ
Vậy x + y 0,25đ
Bài ( điểm)
M A Q
B
N
P
3.1 ( 1điểm)
MQ tiếp tuyến đường tròn (O) A nên MQ AB
=> Δ BMA vng A 0,25đ Góc ANB góc chắn nửa đường trịn đường kính AB
=> góc ANB = 900 0,25đ
=> AN AB => Bn hình chiếu vuông góc AB BM 0,25đ => BM.BN = AB2 Mà AB = 2R
=> BM BN = 4R2 (1) Vậy BM BN không đổi 0,25đ
3.2 (1 điểm)
Tương tự BP BQ = 4R2 (2) Từ (1) (2) ta có BM BN = BP BQ
=> BNBQ=BP
BM neân Δ BPN ~ Δ BMQ (vì chúng có góc MBQ chung) 0,25ñ
=> ∠ BNP = ∠ BMQ 0,25đ
Mặt khác : ∠ BNP + ∠ PNM = 1800 => ∠ PNM + ∠ PMQ = 1800
0,25ñ
=> Tứ giác MNPQ nội tiếp 0,25đ 3.3 ( đ)
Do M A nên M khác N => BM BN => ( √BM −√BN )2 >
0,25đ
(29)Có x2 + 2x + = (x + 1)2 + =>
√x2+2 x+5 0,25ñ
=> (2 √x2+2 x+5 - 1)( √x2
+2 x+5 - 2) 0,25ñ
=> 2(x2 + 2x + 5) - 5
√x2+2 x+5 + 0 => x
2
+2 x +6 √x2+2 x +5
5
2 hay y
5
2 0,25ñ