Chuyên đề Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9 A Lý thuyết 1 Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn a) Đường thẳng và đường tròn cắt nhau Khi một đường thẳng có hai điểm ch[.]
Chuyên đề Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn - Tốn A Lý thuyết Ba vị trí tương đối đường thẳng đường trịn a) Đường thẳng đường tròn cắt Khi đường thẳng có hai điểm chung A, B với đường trịn (O) ta nói đường thẳng cắt đường trịn hai điểm phân biệt Khi ta có kết quan trọng sau: Theo định lý Pitago ta có: OH2 = MO2 - MH2 Mặt khác ta có: OH2 = R2 - AH2 nên suy MO2 - MH2 = R2 - AH2 ⇔ MH2 - AH2 = MO2 - R2 ⇔ (MH - AH)(MH + AH) = MO2 - R2 + Nếu M nằm đoạn AB MA.MB = MO2 - R2 + Nếu M nằm đoạn AB MA.MB = R2 - MO2 Mối liên hệ khoảng cách dây cung: R2 = OH2 + AB2/4 b) Đường thẳng đường tròn tiếp xúc Khi đường thẳng Δ có điểm chung H với đường trịn (O), ta nói đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, hay Δ tiếp tuyến đường tròn (O) Điểm H gọi tiếp điểm tiếp tuyến với đường tròn (O) Như Δ tiếp tuyến (O) Δ vng góc với bán kính qua tiếp điểm Ta có OH = R c) Đường thẳng đường trịn khơng giao Khi đường thẳng Δ đường tròn (O) khơng có điểm chung ta nói đường thẳng Δ đường trịn (O) khơng giao Khi OH > R Hệ thức khoảng cách từ tâm đường trịn đến đường thẳng bán kính đường trịn Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Số điểm chung Hệ thức d R Đường thẳng đường tròn cắt dR B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Đường thẳng đường trịn có nhiều điểm chung A B C.3 D Lời giải: Đường thẳng đường trịn có nhiều hai điểm chung Chọn đáp án B Câu 2: Nếu đường thẳng đường trịn có điểm chung A đường thẳng tiếp xúc với đường tròn B đường thẳng cắt đường trịn C đường thẳng khơng cắt đường trịn D đáp án khác Lời giải: Đường thẳng đường trịn có điểm chung đường thẳng tiếp xúc với đường tròn Chọn đáp án A Câu 3: Nếu đường thẳng d tiếp tuyến đường tròn (O) A A d // OA B d ≡ OA C d ⊥ OA A D d ⊥ OA O Lời giải: Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm Nên d ⊥ OA tiếp điểm A Chọn đáp án C Câu 4: Cho đường tròn (O) đường thẳng a Kẻ OH ⊥ a H, biết OH > R đường thẳng a đường trịn (O) A cắt B không cắt C tiếp xúc D đáp án khác Lời giải: Vì OH > R nên α không cắt (O) Chọn đáp án B Câu 5: Điền vào vị trí (1); (2) bảng sau (R bán kính đường trịn, d khoảng cách từ tâm đến đường thẳng): A (1): cắt nhau; (2): 8cm B (1): 9cm ; (2): cắt C (1): không cắt nhau; (2): 8cm D (1): cắt nhau; (2): 6cm Lời giải: + Vì d < R (4cm < 5cm) nên đường thẳng cắt đường trịn + Vì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nên d = R = 8cm Chọn đáp án A Câu 6: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A( 5; 6) Xác định vị trí tương đối đường trịn (A; 5) với trục tọa độ? A Đường tròn tiếp xúc trục Oy B Đường tròn tiếp xúc với trục Ox C Đường trịn khơng cắt trục Ox D Đường trịn khơng cắt trục Oy Lời giải: Ta có khoảng cách từ A đến trục Ox > R Đường tròn (A; R) cắt trục Ox điểm phân biệt Khoảng cách từ A đến trục Oy = R Do đó, đường trịn (A; R) tiếp xúc với trục Oy Chọn đáp án A Câu 7: Cho đường tròn tâm (O; 3) điểm A cách O khoảng cm Kẻ tiếp tuyến AB với đường trịn (B tiếp điểm) Tính AB A AB = 3cm B AB = 5cm C AB = 4cm D Đáp án khác Lời giải: Do AB tiếp tuyến đường tròn (O) với B tiếp điểm nên ta có: OA2 = OB2 + AB2 ⇒ AB2 = OA2 - OB2 = 52 - 32 = 16 ⇒ AB = 4cm Chọn đáp án C Câu 8: Cho đường tròn (O; 6cm) Điểm M cách điểm O khoảng 4cm Hỏi qua M kẻ tiếp tuyến đến đường tròn? A B.2 C Vơ số D Lời giải: Ta có: OM = cm R = cm nên OM < R Do đó, điểm M nằm đường trịn (O) Suy ra, qua điểm M không kẻ tiếp tuyến đến đường tròn Chọn đáp án D Câu 9: Cho đường tròn , cho điểm A thỏa mãn: IA = 2√2 Hỏi qua điểm A kẻ tiếp tuyến đến đường tròn? A B C D Vơ số Lời giải: Do đó, điểm A nằm đường trịn cho Khi đó, qua điểm A ta vẽ tiếp tuyến đến đường tròn (I) Chọn đáp án A Câu 10: Cho tam giác ABC vng A có AB = cm BC = 10 cm Vẽ đường tròn ( A; 6) Hỏi qua C dựng tiếp tuyến đến đường tròn? A B C.2 D Vơ số Lời giải: Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 ⇒ AC2= BC2 - AB2 = 102 - 62 = 64 ⇒ AC = 8cm Ta có: AC > R (8 > 6) nên điểm C nằm ngồi đường trịn (A ; 6) Do đó, qua điểm C ta vẽ hai tiếp tuyến đến đường tròn Chọn đáp án C II Bài tập tự luận có lời giải Câu 1: Cho đường trịn tâm O bán kính 6cm điểm A cách O 10cm Kẻ tiếp tuyến AB với đường trịn (B tiếp điểm) Tính độ dài đoạn AB Lời giải: OA = 10cm ⇒ A nằm ngồi đường trịn Ta có: AB tiếp tuyến, B tiếp điểm, OB = R = 6cm AB ⊥ OB áp dụng định lý Py – ta – go ta có: AB2 + OB2 = OA2 Vậy AB = 8cm Câu 2: Cho hình vng ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm H cho BH = BA , qua H vẽ đường thẳng vng góc với BD cắt AD O a) So sánh OA, OH HD b) Xác định vị trí tương đối BD với (O; OA) Lời giải: Câu 3: Cho đường trịn (O; 5) Từ M ngồi O vẽ hai tiếp tuyến MA, MB cho MA ⊥ MB M a) Tính MA, MB b) Gọi I giao điểm OM với (O) Kẻ tiếp tuyến với (O) I cắt OA, OB C D Tính CD Lời giải: a) Ta có: MA, MB hai tiếp tuyến nên khoảng cách từ O đến MA MB OA OB (do A, B tiếp điểm với (O)) Từ ta có: OA ⊥ MA, OB ⊥ MB Tứ giác OAMB có góc vng OA = OB = R nên OAMB hình vng ⇒ MA = MB = R = b) Dễ dàng chứng minh Câu 4: Cho đường tròn tâm O bán kính 6cm điểm A cách O 10cm Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B tiếp điểm) Tính độ dài đoạn AB Lời giải: OA = 10cm ⇒ A nằm ngồi đường trịn Ta có: AB tiếp tuyến, B tiếp điểm, OB = R = 6cm AB ⊥ OB áp dụng định lý Py – ta – go ta có: AB2 + OB2 = OA2 Vậy AB = 8cm Câu 5: Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I có tọa độ (-3; 2) Nếu vẽ đường tròn tâm I bán kính đường trịn có vị trí trục tọa độ ? Lời giải: Kẻ IA⊥Ox A Ta có: IA = = R (do điểm I có tọa độ (-3; 2)) Do đó, đường trịn (I) tiếp xúc với trục hồnh Kẻ IB⊥Oy B Ta có IB = > R (do điểm I có tọa độ (-3; 2)) Do đó, đường trịn (I) trục tung khơng có điểm chung Câu 6: Cho đường thẳng a Tâm I tất đường trịn có bán kính 5cm tiếp xúc với đường thẳng a nằm đường ? Lời giải: Vì đường trịn tâm I bán kính 5cm tiếp xúc với đường thẳng a nên khoảng cách từ I đến a 5cm Vậy I nằm hai đường thẳng x y song song với a, cách a khoảng 5cm Câu 7: Cho điểm A cách đường thẳng xy 12cm Vẽ đường tròn (A ; 13cm) a) Chứng minh đường tròn (A) có hai giao điểm với đường thẳng xy b) Gọi hai giao điểm nói B C Tính độ dài BC Lời giải: a) Kẻ AH⊥xy H Ta có: AH = 12cm Bán kính đường trịn (I) 13cm hay R = 13cm Mà ta có: AH = d = 12cm < R = 13cm Do đó, đường trịn (A; 13cm) cắt đường thẳng xy hai điểm phân biệt B C b) Xét tam giác AHC vng H Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AC2=AH2+HC2⇒HC2=AC2−AH2=132−122=25 ⇒HC=25=5 (cm) Mặt khác, AH phần đường kính, BC dây cung, AH vng góc với BC H Do đó, H trung điểm BC ⇒BC=2CH=2.5=10 (cm) Câu 8: Cho đường tròn (O) bán kính 2cm Một đường thẳng qua điểm A nằm bên ngồi đường trịn cắt đường trịn B C, AB = BC Kẻ đường kính COD Tính độ dài AD Lời giải: Xét tam giác ACD, ta có : B trung điểm AC (gt) O trung điểm CD (tâm – đường kính) Do đó, OB đường trung bình tam giác ACD ⇒OB=12AD ⇒AD=2OB=2.2=4 (cm) Câu 9: Cho hình thang vng ABCD A^=D^=90o, AB = 4cm, BC = 13cm, CD = 9cm a) Tính độ dài AD b) Chứng minh đường thẳng AD tiếp xúc với đường trịn có đường kính BC Lời giải: a) Kẻ BE vng góc với CD E Xét tứ giác ABED có: BAD^=ADE^=90o (theo đề bài) BED^=90o (do BE vng góc với CD E) Do đó, ABED hình chữ nhật ⇒AD=EB, AB = DE = 4cm ⇒ CE = CD – DE = – = (cm) Xét tam giác BCE vuông E Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: BC2=BE2+CE2⇒BE2=BC2−CE2=132−52=144 ⇒BE=144=12 (cm) ⇒AD=EB=12 cm b) Gọi I trung điểm BC ⇒IB=IC=BC2=132=6,5 (cm) (1) Kẻ IH vng góc với AD H Xét hình thang ABCD có: I trung điểm BC Mà CD, AB vng góc với AD A^=D^=90o ⇒ IH // CD // AB Do đó, H trung điểm AD Hay IH đường trung bình hình thang ABCD ⇒IH=AB+CD2=4+92=6,5 (cm) (2) Từ (1) (2) ta suy IB = IH = IC = BC2 Vậy đường tròn (I; BC2) tiếp xúc với đường thẳng AD Câu 10: Cho đường trịn (O), bán kính OA, dây CD đường trung trực OA a) Tứ giác OCAD hình gì? Vì sao? b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn C, tiếp tuyến cắt đường thẳng OA I Tính độ dài CI biết OA = R Lời giải: a) Gọi H giao điểm OA CD Vì CD đường trung trực OA nên: CD⊥OA H HA = HO Mà OH phần đường kính, CD dây cung nên H trung điểm CD ⇒ HC = HD Vì tứ giác ACOD có hai đường chéo cắt trung điểm đường H vng góc với H nên ACOD hình thoi b) Vì ACOD hình thoi nên AC = OC Mà OC = OA = R nên AC = OC = OA Do đó, tam giác OAC ⇒OAC^=60o hay COI^=60o Mà CI⊥OC (tính chất tiếp tuyến) Xét tam giác OCI vuông C Áp dụng hệ thức lượng tam giác ta có: CI=OC.tanCOI^=R.tan60o=R3 III Bài tập vận dụng Câu 1: Cho a, b hai đường thẳng song song cách khoảng 2,5cm Lấy điểm I a vẽ đường trịn (I; 2,5cm) Khi đường trịn với đường thẳng b Câu 2: Cho a, b hai đường thẳng song song cách khoảng 3cm Lấy điểm I a vẽ đường tròn (I; 3,5cm) Khi đường trịn với đường thẳng b Câu 3: Cho Đường tròn (I) đường tròn tiếp xúc với hai cạnh Ox; Oy Khi điểm I chạy đường nào? Câu 4: Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm điểm A cách O 5cm Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B tiếp điểm) Tính độ dài AB Câu 5: Cho đường trịn tâm O bán kính 6cm điểm A cách O 10cm Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B tiếp điểm) Tính độ dài AB Câu 6: Cho hình vng ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm H cho BH = BA , qua H vẽ đường thẳng vng góc với BD cắt AD O ... Δ đường trịn (O) khơng giao Khi OH > R Hệ thức khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính đường trịn Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Số điểm chung Hệ thức d R Đường thẳng đường. .. Đường thẳng đường trịn có nhiều hai điểm chung Chọn đáp án B Câu 2: Nếu đường thẳng đường trịn có điểm chung A đường thẳng tiếp xúc với đường tròn B đường thẳng cắt đường tròn C đường thẳng khơng... đường tròn cắt dR B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Đường thẳng đường tròn có nhiều điểm chung A B C.3 D Lời giải: Đường