Chuyên đề dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn - THCS.TOANMATH.com

Cho đường tròn (O) có dây AB khác đường kính. a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn. Tính độ dài đoạn thẳng OC. Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây BC vuông góc vói OA t[r]

(1)

DẤU HIỆU NHẬN BIỂT-TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN

A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Dấu hiệu Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng âỳ tiếp tuyến đường tròn

Dấu hiệu Theo định nghĩa tiếp tuyến

B.BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn

Phương pháp giải: Để chứng minh đường thẳng a tiếp tuyến đường tròn (O; R) tiếp điểm C, ta làm theo cách sau:

Cách Chứng minh C nằm (O) OC vng góc vói a C Cách Kẻ OH vng góc a H chứng minh OH = OC = R Cách Vẽ tiếp tuyến a' (O) chứng minh a  a'

Bài Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = cm, BC = 10 crn Vẽ đường tròn (B; BA) Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn (B)

Bài Cho đường thẳng d A điểm nằm d; B điểm nằm d Hãy dựng đường tròn (O) qua điểm B tiếp xúc với d A

Bài Cho tam giác ABC cân A có đường cao AH BK cắt I Chứng minh: a) Đường trịn đường kính AI qua K;

b) HK tiếp tuyến đường trịn đường kính AI

Bài Cho tam giác ABC có hai đường cao BD va CE căt H

a) Chứng minh bốn điểm A, D, H, E nằm đường tròn

b) Gọi (O) đường tròn qua bốn điểm A, D, H, E M trung điểm BC Chứng minh ME tiếp tuyên (O)

Dạng Tính độ dài

Phương pháp giải: Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý tính chất tiếp tuyên sử dụng công thức hệ thức lượng tam giác vng để tính độ dài đoạn thẳng

Bài Cho đường trịn (O) có dây AB khác đường kính Qua O kẻ đường vng góc với AB, cắt tiếp tuyến A (O) điểm C

a) Chứng minh CB tiếp tuyến đường tròn

b) Cho bán kính (O) 15 cm dây AB = 24 cm Tính độ dài đoạn thẳng OC

Bài Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Vẽ dây AC choCAB 30   Trên tia đối tia BA lấy điểm M cho BM = R Chứng minh:

a) MC tiếp tuyến (O); b)M C  R 3

(2)

a) Tứ giác OCAB hình gì? Vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn B, cắt đường thẳng OA E Tính độ dài BE theo R

Bài Cho tam giác ABC vuông A, AH đường cao, AB = cm,BC = 16 cm Gọi D điểm đôi xứng với B qua H Vẽ đường trịn đường kính CD cắt AC E

a) Chứng minh HE tiếp tuyến đường trịn b) Tính độ dài đoạn thẳng HE

Dạng 3.Tổng hợp

Bài 9.Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đường trịn tâm O Vẽ hình bình hành ABCD Tiếp tuyến tại C đường tròn cắt đường thẳng AD N Chứng minh:

a) Đường thẳng AD tiếp tuyến (O); b) Ba đường thẳng AC, BD ON đồng quy

Bài 10.Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB M điểm nằm (O) Tiếp tuyến M cắt tiếp tuyến A B (O) C D Đường thẳng AM cắt OC E, đường thẳng BM cắt OD F

a) Chứng minhCOD 90   b) Tứ giác MEOF hình gì?

c) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD

Bài 11.Cho tam giác ABC vuông A có AH đường cao Gọi BD, CE tiếp tuyến đường tròn (A; AH) với D, E tiếp diêm Chứng minh:

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng;

b) DE tiếp xúc với đường trịn đường kính BC

Bài 12.Cho điểm M nằm nửa đường trịn tâm o đường kính AB Qua M vẽ tiếp tuyến xy gọi C, D hình chiếu vng góc A, B xy Xác định vị trí điểm M (O) diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn

Bài 13.Cho đường trịn (O) đường kính AB = 10 cm Bx tiếp tuyến (O) Gọi C điểm (O) cho CAB 30   E giao điểm tia AC, Bx

a) Tính độ dài đoạn thẳng AC, CE vả BC b) Tính độ dài đoạn thẳng BE

Bài 14.Cho đường trịn (O) đường kính AB Lâỳ điểm M thuộc (O) cho

MA < MB Vẽ dây MN vng góc với AB H Đường thẳng AN cắt BM C Đường thẳng qua C vng góc với AB K cắt BN D

a) Chứng minh A, M, C, K thuộc đường tròn b) Chứng minh BK tia phân giác góc MBN

c) Chứng minh  KMC cân KM tiếp tuyến (O)

d) Tìm vị trí M (O) để tứ giác MNKC trở thành hình thoi HƯỚNG DẪN

Bài Ta có



2 2

0 BC AB AC

BAC 90 BA AC

 

(3)

Bài Trung trực AB cắt đường thẳng

vng góc với d A O Đường tròn

(O;OA) đường tròn cần dựng

Bài

a) Chứng minh  BKA  90 b) Gọi O trung điểm AI

Ta có:

+ OK = OA OKA OAK

+ OAK HBK (cïng phô ACB) 

+ HB = HK  H BK  H K B

+   

OKA HKB HKO 90

   

Bài

a) Gọi O trung điểm AH

OE = OA = OH = OD

b) Tương tự 2A

Bài

a)

 

OAC OBC (c.g.c)

OBC OAB 90

  

  

ĐPCM

b) Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng

OBC tính OC=25cm

Bài

a) Vì OCB tam giác nên BC=BO=BM=R



OCM 90

   MC tiếp tuyến (O;R) b) Ta có

2 2

2

O M O C M C

M C R

 

 

Bài

(4)

M trung điểm BC OCAB hình thoi

b) Tính BE=R

Bài

a) Gọi O trung điểm CD

Từ giả thiết suy tam giác ABD tam giác ODE

DE = DH = DO = B C

 

H EO  90

HE tiếp tuyến đường trịn đường kính CD

b) HE = Bài

a) Tam giác ABC cân A nội tiếp (O)

OA BC

OA AD (v× AD BC)

 

  

AD tiếp tuyến (O)

b) Chứng minh ON tia phân giác

của AOD mà OAC cân O nên ON đường trung tuyến ON cắt AC trung

điểm I ACON,AC,BD qua trung

điểm I AC

Bài 10

a) Dễ thấy  

AMB 90 hay EMF 90 tiếp tuyến CM,CA



OC AM OEM 90

    Tương tự 

OFM 90

 

Chứng minh CAO  CM O  AOC  M OC OC tia phân giác AM O

Tương tự OD tia phân giác BOM suy



OC OD  COD 90

(5)

giác đồng thời đường cao



O E M 90

  chứng minh tương tự  OFM  90 Vậy MEOF hình chữ nhật

c) Gọi I trung điểm CD I tâm đường trịn

đường kính CD IO=IC=ID Có ABDC hình

thang vng A B nên IO AC BD IO

vng góc với AB Do AB tiếp tuyến

đường trịn đường kính CD

Bài 11

a) Vì BH, BD tiếp tuyến (A;AH)

 

H A D H A B

 

Vì CH,CE tiếp tuyến (A;AH)

 

HAE 2HAC

 

   

H A D H A E 2(H A B H A C ) 180

    

D,A,E thẳng hàng b) Tương tự

Bài 12 Ta có ABCD hình thang vng C D

Mà O Là trung điểm AB OM vng góc với

CD( tiếp tuyến (O)

 AD+BC=2OM=2R Chú ý CD AB ( hình chiếu đường xiên)

A B C D

2

1

S (A D BC ).C D

R.C D R.A B R

  

  

Do SABCDlớn CD=AB hay M điểm nửa đường trịn đường kính AB

Bài 13

a) Tính BC=5cm

5

AC 3cm , CE = cm

(6)

b) Tính BE 10 cm 

Bài 14

a)  

C K A  C M A  90  C , K , A , M thuộc đường trịn đường kính AC b) MBN cân B có BA đường cao, trung tuyến phân giác

c) BCD cã BK CD vμ CN BN nên A trực tâm B C D  D,A,M thảng hàng

Ta có DM C vng M có MK trung tuyến nên K M C cân

 

   

K K C M K M C

l ¹ i c ã K B C O M B n ª n

K M C O M B K C B K B C

 



   

Vậy 

KMO90 mà OM bán kính

nên KM tiếp tuyến (O)

d) MNKC hình thoi



M N C K v μ C M = C K K C M ® Ị u

K B C A M R

 

 

   

C.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ

Câu 1: Cho ( ; )O R Đường thẳng d tiếp tuyến đường tròn ( ; )O R tiếp điểm A

A d ^OA A AỴ( )O B d ^OA C AỴ( )O D d OA//

Câu 2: “Nếu đường thẳng qua điểm đường tròn … đường thẳng tiếp tuyến đường trịn” Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống

A Song song với bán kính qua điểm B Vng góc với bán kính qua điểm

C Song song với bán kính đường trịn D Vng góc với bán kính

Câu 3: Cho ( ; 5O cm) Đường thẳng d tiếp tuyến đường tròn ( ; 5O cm), đó:

A Khoảng cách từ O đến đường thẳng d nhỏ 5cm

B Khoảng cách từ O đến đường thẳng d lớn 5cm

C Khoảng cách từ O đến đường thẳng d 5cm

D Khoảng cách từ O đến đường thẳng d 6cm

(7)

A Khoảng cách từ O đến đường thẳng d nhỏ 4cm

B Khoảng cách từ O đến đường thẳng d 4cm

C Khoảng cách từ O đến đường thẳng d lớn 4cm

D Khoảng cách từ O đến đường thẳng d 5cm

Câu 5: Cho tam giác MNP có MN =5cm NP, =12cm MP, =13cm Vẽ đường tròn ( ;M NM) Khẳng định sau đúng?

A NP tiếp tuyến ( ;M MN) B MP tiếp tuyến ( ;M MN)

C DMNP vuông M D DMNP vuông P

Câu 6: Cho tam giác ABC có AC =3cm AB, =4cm BC, =5cm Vẽ đường tròn ( ;C CA) Khẳng định sau đúng?

A Đường thẳng BC cắt đường tròn ( ;C CA) điểm

B AB cát tuyến đường tròn ( ;C CA)

C AB tiếp tuyến ( ;C CA)

D BC tiếp tuyến ( ;C CA)

Câu 7: Cho tam giác ABC cân A; đường cao AH BK cắt I Khi đường thẳng sau tiếp tuyến đường trịn đường kính AI

A HK B IB C IC D AC

Câu 8: Hình chữ nhật ABCD, H hình chiếu A lên BD M N, trung điểm

,

BH CD Đường sau tiếp tuyến đường trịn tâm A, bán kính AM

A BN B MN C AB D CD

Câu 9: Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Đường trịn đường kính BH cắt AB

D, đường trịn đường kính CH cắt AC E Chọn khẳng định sai khẳng định sau

A DE cát tuyến đường trịn đường kính BH

B DE tiếp tuyến đường trịn đường kính BH

C Tứ giác AEHD hình chữ nhật

D DE ^DI (với I trung điểm BH )

Cho đường tròn ( ; )O R đường kính AB Vẽ dây AC cho ABC = 30 Trên tia đối tia

AB lấy điểm M cho AM =R

Câu 10: Chọn khẳng định đúng?

(8)

Câu 11: Tính độ dài MC theo R

A MC = 2R B MC = 3R C MC =3R D MC =2R

Cho đường trịn ( ;2O cm) đường kính AB Vẽ dây AC cho OBC = 60 Trên tia OB lấy điểm

M cho BM =2cm

A MC tiếp tuyến ( )O B MC cát tuyến ( )O C MC ^BC D MCB = 45

Câu 13: Tính độ dài MC

A MC =2 2cm B MC = 3cm C MC =2 3cm D MC =4cm

Từ điểm A bên ngồi đường trịn ( ; )O R , vẽ hai tiếp tuyến AB AC, với ( )O Đường thẳng vng góc với OB O cắt tia AC N Đường thẳng vng góc với OC cắt tia AB M

Câu 14: Tứ giác AMON hình gì?

A Hình bình hành B Hình thoi C Hình thang D Hình chữ nhật

Câu 15: Điểm A phải cách O khoảng MN tiếp tuyến ( )O ?

A OA=2R B

2

OA= R C OA=3R D

3

OA= R

Cho đường tròn ( )O , dây AB khác đường kính Qua O kẻ đường vng góc với AB, cắt tiếp tuyến A đường tròn điểm C

A BC cát tuyến ( )O B BC tiếp tuyến ( )O

C BC ^AB D BC//AB

Câu 17: Cho bán kính đường trịn 15cm AB; =24cm Tính OC

A OC =35cm B OC =20cm C OC =25cm D OC =15cm

Cho đường tròn ( )O , dây MN khác đường kính Qua O kẻ đường vng góc với MN , cắt tiếp tuyến M đường tròn điểm P

A PN tiếp tuyến ( )O P B DMOP = DPON

C PN tiếp tuyến ( )O N D ONP = 80

(9)

A OP=12, 5cm B OP =17, 5cm C OP =25cm D OP =15cm

Cho tam giác ABC có hai đường cao BD CE, cắt H

Câu 20: Xác định tâm F đường tròn qua bốn điểm A D H E, , ,

A F ºB B F trung điểm đoạn AD

C F trung điểm đoạn AH D F trung điểm đoạn AE

Câu 21: Gọi M trung điểm BC Đường tròn ( )F nhận đường thẳng tiếp tuyến

A ME MF; B ME C MF D EC

Cho nửa đường trịn đường kính AB C điểm thuộc nửa đường trịn Vẽ dây BD phân giác góc ABC BD cắt AC E AD cắt BC G H điểm đối xứng với E qua D

Câu 22: Chọn đáp án Tứ giác AHGE hình gì?

A Hình bình hành B Hình thoi C Hình vng D Hình chữ nhật

Câu 23: Chọn câu đúng:

A AH tiếp tuyến đường tròn đường kính AB

B HG tiếp tuyến đường trịn đường kính AB

C ADB = 90

D Cả A C

Cho hình vẽ đây: Biết BAC = 60; AO =10cm Chọn đáp án đúng:

Câu 25: Độ dài bán kính OB là:

A 4 3 B 5 C 5 3 D 10

Câu 26: Độ dài tiếp tuyến AB là:

A 4 3 B 5 C 5 3 D 10

C

O B

(10)

Cho hình vẽ Biết AB AC hai tiếp tuyến ( ),O BAC =120 ,AO =8cm Chọn đáp án

Câu 27: Độ dài bán kính OB là:

A 4 3 B 5 C 4 D 8

Câu 28: Độ dài đoạn AB là:

A 4 3 B 5 C 5 3 D 4

Câu 29: Cho nửa đường tròn ( ; ),O R AB đường kính Dây BC có độ dài R Trên tia đối tia

CB lấy điểm D cho CD =3R Chọn câu

A AD tiếp tuyến đường tròn B ACB = 90

C AD cắt đường tròn ( ; )O R hai điểm phân biệt D Cả A, B

Câu 30: Cho xOy, Ox lấy P, Oy lấy Q cho chu vi DPOQ 2a không đổi Chọn câu

A PQ tiếp xúc với đường trịn cố định

B PQ khơng tiếp xúc với đường tròn cố định

C PQ =a

D PQ=OP

HƯỚNG DẪN

1 Lời giải:

Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn

Đáp án cần chọn A

2 Lời giải:

A

O C

(11)

Nếu đường thẳng qua điểm đường tròn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn

Đáp án cần chọn B

3 Lời giải:

Khoảng cách từ tâm đường trịn đến tiếp tuyến bán kính đường trịn

Đáp án cần chọn C

4 Lời giải:

Khoảng cách từ tâm đường trịn đến tiếp tuyến bán kính đường trịn

5 Lời giải:

Xét tam giác MNP có MP2 =132 =169;NM2+NP2 =52+122 =169

2 2

MP NM NP

 = +

MNP

 D vuông N (định lý Pytago đảo)

MN NP

 ^ mà N Ỵ( ;M MN) nên NP tiếp tuyến ( ;M NM)

6 Lời giải:

Xét tam giác ABC có BC2 =52 =25;AB2 +AC2 =42+32 =25BC2 =AB2+AC2

ABC

 D vuông A (định lý Pytago đảo)

AB AC

 ^ mà AỴ( ;C CA) nên AB tiếp tuyến ( ;C CA)

M

N P

C

(12)

7 Lời giải:

Gọi O trung điểm AI Xét tam giác vngAIK có ;

AI OK =OI =OAK ẻ ỗổỗỗO ửữữữữ

ỗố ứ (*)

Ta i chng minh OK ^KH K

Xét tam giác OKA cân O ta có: OKA =OKA (1)

Vì tam giác ABC cân A có đường cao AH nên H trung điểm BC Xét tam giác vuông

BKC có

2

BC HK =HB =HC =

Suy tam giác KHB cân H nên HKB =HBK (2)

Mà HBK =KAH (cùng phụ với ACB) (3)

Từ (1); (2); (3) suy HKB =AKO mà AKO OKI + =90 HKB OKI+ =90 OKH =90

hay OK ^KH K (**)

Từ (*) (**) HK tiếp tuyến đường trịn đường kính AI

8 Lời giải:

O

I K

H

C B

A

E

N M

H

C

A B

(13)

Lấy E trung điểm AH Do M trung điểm BH (gt) nên EM đường trung bình

AHB

D EM / /AB

2

EM = AB

Hình chữ nhật ABCD có CD AB// CD =AB mà N trung điểm DC , suy ra:

//

DN AB

2

DN = AB

Từ (1) (2) ta có EM DN// EM =DN

Suy tứ giác EMND hình bình hành, DI MN//

Do EM/ /AB mà AB ^AD (tính chất hình chữ nhật)

AH ^DM (gt) nên E trực tâm DADM

Suy DE ^AM , mà DE MN// (cmt)MN ^AM M

Vì MN tiếp tuyến đường tròn ( ;A AM)

9 Lời giải:

Gọi I J, trung điểm BH CH

Để chứng minh DE tiếp tuyến đường trịn tâm I đường kính BH ta chứng minh ID ^DE

hay ODI = 90

Vì D E, thuộc đường trịn đường kính BH HC nên ta có: BDH=CEH =90

Suy tứ giác ADHE hình chữ nhật

Gọi O giao điểm AH DE, ta có OD =OH =OE =OA

Suy DODH cân OODH =OHD

Ta có DIDH cân I IDH=IHD

Từ IDH+HDO =IHD+DHO IDO =90 ID^DE

O

E

D

I H

B J C

(14)

Ta có ID ^DE D, Ỵ( )I nên DE tiếp tuyến đường trịn đường kính BH

Từ chứng minh suy phương án B, C, D

Đáp án cần chọn A

10 Lời giải:

Tam giác OBC cân O có ABC = 30 suy AOC = 60 (góc ngồi đỉnh tổng hai góc khơng kề với nó)

Nên tam giác OCA tam giác suy AC =AO=AM =ROCM=90 MC tiếp tuyến ( ; )O R

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OCM , ta có OM2 =OC2+MC2

2 2 3 3

MC OM OC R MC R

 = - =  =

M A O B

C

M A O B

(15)

Tam giác OBC cân O có OBC = 60

Nên tam giác OCB tam giác suy BC =OB =OC =2

Xét tam giác OCM có 2

OM

BC =OB=BM = = nên DOCM vuông C

OC CM MC

 ^  tiếp tuyến ( ;2O cm)

Theo câu trước ta có DOCM vng C

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OCM , ta có OM2 =OC2+MC2

2 2 42 22 12 2 3

MC OM OC MC cm

 = - = - =  =

M

O B

C

M

O B

(16)

Dễ có AMON hình bình hành (Vì ON AM OM AN// ; // )

Ta chứng minh OM =ON

Xét tam giác OBM tam giác OCN có:

  90

OBM =OCN = ;

OB =OC =R,

Và OMB =ONC =A

OBM OCN

 D = D OM =ON AMON hình thoi

Tứ giác AMON hình thoi nên OA^MN

Mà độ dài OA lần khoảng cách từ O đến MN A

M B N

O C

A

M B O C

(17)

Do MN tiếp tuyến đường tròn ( ; )O R  khoảng cách từ O đến MN R OA=2R

Ta có OC ^AB OC qua trung điểm AB

OC

 đường cao đồng thời trung tuyến DABC

ABC

 D cân C

 

ACO BCO

AOC BOC AC CB

ìï =

ïï

íï  D = D

=

ïïỵ (c – g – c)

OB BC

 ^ BC tiếp tuyến ( )O

Gọi I giao điểm OC 12

AB

AB AI =BI = = cm

Xét tam giác vng OAI có OI = OA2-AI2 =9cm

Xét tam giác vng AOC có

2

2 . 15 25

9

AO

AO OI OC OC cm OI

=  = = =

Vậy OC =25cm

I

C

O A

(18)

Gọi I giao điểm MN OP

Ta có OP ^MN I I trung điểm MN

PI

 đường cao đồng thời trung tuyến DMNP  DMNP cân P

 

MPO NPO

PMO PNO PM PN

ìï =

ïï

íï  D = D

=

ïïỵ (c – g – c)

  90

PMO PNO ON NP

 = =   ^

PN

 tiếp tuyến ( )O

Gọi I giao điểm MN OP

Ta có OP ^MN I I trung điểm MN , nên 12

2

MN

IM = = = cm

xét tam giác vng OMI có OI = OM2-MI2 = 102-62 =8cm

xét tam giác vuông theo hệ thức lượng tam giác vng ta có: I

P

M O

N

I

P

M O

(19)

2

2 . 10 12, 5

8

MO

MO OI OP OP cm OI

=  = = =

Vậy OP =12, 5cm

Gọi F trung điểm AH

Xét hai tam giác vng AEH ADH ta có

2

AH FA=FH =FE =FD =

Nên bốn đỉnh A D H E, , , thuộc đường trịn tâm F bán kính

2

AH

AH cắt BC K AK ^BC H trực tâm tam giác ABC

Ta chứng minh ME ^EF E

FAE

D cân F (vì FA=FE ) nên FEA =FAE

F

H E

D

B C

A

M K

F

H E

D A

(20)

MEC

D cân M (vì

2

BC

ME =MC =MB = ) nên MEC =MCE mà BAK =ECB (cùng phụ

với ABC)

Nên MEC=FEA MEC+FEC =FEA FEC+ MEF =90 ME ^EF E

Từ ME tiếp tuyến ;

AH F

ổ ửữ

ỗ ữ

ỗố ứ

Tng t ta cng có MF tiếp tuyến ;

AH F

ổ ửữ

ỗ ữ

ỗố ứ

ỏp ỏn cn chọn A

Vì D thuộc đường trịn đường kính AB nên BD^AD BD đường cao DABG, mà BD đường phân giác ABG (gt) nên BD vừa đường cao vừa đường phân giác DABG

Do DABG cân B suy BD trung trực AG (1)

Vì H đối xứng với E qua D (gt) nên D trung điểm HE (2)

Từ (1) (2) suy D trung điểm HE AG

Do tứ giác AHGE hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Mà HE ^AG nên DHGE hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)

H

E G

A B

D

(21)

Vì tứ giác AHGE hình thoi (theo câu trước) nên AH GE// (1) HE ^AG (tính chất) nên ADB = 90 (do C đúng)

Xét DABC có BD AC đường cao, mà BD cắt AD E

Suy E trực tâm cua DABG, GE ^AB (2)

Từ (1) (2) suy AH ^AB

Do AH tiếp tuyến đường trịn đường kính AB

Đáp án cần chọn D

Từ hình vẽ ta có AB AC; tiếp tuyến ( )O B C, suy OC ^AC C

Suy DABO = DACO (c – g – c) nên    30

BAC BAO =CAO= = 

Xét DABO có OB =AO sinA=10 sin 30 =5cm

BAC BAO =CAO= = 

Xét DABO có AB=AO.cosA=10.cos 30 =5 3cm

H

E G

A B

D

C

C O B

(22)

BAC BAO =CAO= = 

Xét DABO có OB=AO.sinA=10.sin 60 =4 3cm

Từ hình vẽ ta có AB AC; tiếp tuyến ( )O B C, suy OB ^AB B OC ^AC

C

BAC BAO =CAO= = 

Xét DABO có AB =AO cosA=8 cos 60 =4cm

Vì AB đường kính ( ; )O R nên AB =2R

Vì D thuộc tia đối tia CB nên BD =CD+BC =3R+R=4R

Suy 1;

4 2

AB R BC R BD = R = AB = R =

Xét DABD DCBA có B chung

2

BC AB

AB =BD = (cmt)

Vì DABD ∽DCBA (c.g.c) DAB=ACB D

O

A B

(23)

Mà C thuộc ( ; )O R AB đường kính nên

2

AB

OC =OA=OB = suy DACB vuông C

hay ACB = 90

Do DAB =ACB =90 hay AD ^AB

Suy AD tiếp tuyến ( ; )O R

Gọi I giao điểm tia phân giác xPQ yQP ; A B C, , hình chiếu I lên Ox PQ, Oy

Vì I thuộc phân giac góc xPQ nên IA=IB

Xét DPAI DPBI có:

IA=IB (cmt)

Chung PI

  90

PAI =PBI = 

Nên DPAI = DPBI (cạnh huyền – cạnh góc vng)

Suy PA=PB

Lí luận tương tự, ta có QB =QC

2

OA OC+ =OP+PA OQ+ +QC =OP+PB+OQ+QB =OP+PQ+QO = a (do chu vi

OPQ

D 2a)

Vì IA=IB IB =IC (cmt) nên IA=IC

Xét DOAI DOCI có:

IA=IC (cmt)

  90

OAI =OCI = 

y x

A

C B

I

O P

(24)

Cạnh chung OI

Nên DOAI = DOCI (cạnh huyền – cạnh góc vng)

2

a OA OC a

 = = =

Vì a không đổi A C, thuộc tia Ox Oy, cố định nên A C cố định

Do A C hình chiếu I lên Ox Oy, nên hai đường thẳng AI CI cố định hay I

cố định

Do I A cố định nên độ dài đoạn thẳng AI không đổi

Do IA=IB (cmt) nên IB bán kính đường tròn ( ;I IA), mà IB^PQ B nên PQ tiếp xúc với đường tròn ( ;I IA) cố định

D.TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB-6,AC =6,BC =10 Vẽ đường trịn ( ;B BA), đường tròn

( ;C CA)

Chứng minh rằng:

AB tiếp tuyến đường tròn ( ;C CA)

CA tiếp tuyến đường tròn ( ;B BA)

Bài 2: Từ điểm A đường tròn ( ; )O R vẽ tiếp tuyến AB (B tiếp điểm), C điểm đường tròn ( )O cho AC =AB

a) Chứng minh AC tiếp điểm đường tròn ( )O

b) D điểm AC Đường thẳng qua C vng góc với OD M cắt đường tròn ( )O

E (E khác C ) Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn ( )O

Bài 3: Cho đường tròn ( ; )O R , đường kính AB, M điểm ( )O , AM cắt tiếp tuyến đường trịn ( )O B C

a) Tính AM AC theo R

b) Xác định vị trí M để 2AM +AC đạt giá trị nhỏ

Bài 4: Cho nửa đường tròn ( ; )O R đường kính AB M điểm di động nửa đường tròn Qua

M vẽ tiếp tuyến với nửa đường trịn Gọi D C, hình chiếu A B, tiếp tuyến

a) Chứng minh AD+BC không đổi

b) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABCD lớn

Bài 5: Cho đường tròn ( ; )O R có AB dây cung cố định khơng qua tâm O, C điểm di động cung lớn AB (C không trùng với A B)

(25)

C B A D E M A C B O C M B A O

Bài 6: Cho nửa đường trịn ( ; )O R đường kính AB Điểm M đường tròn ( )O H hình chiếu M AB

Xác định vị trí M để AH +HM lớn

HƯỚNG DẪN

Bài 1:

2 82 62 100 AB +AC = + =

2

10 100

BC = =

ABC

D có: AB2+AC2 =BC2, theo định lí Py-ta-go

đảo ta có tam giác ABC vng A

AB CA

 ^

Do AB tiếp tuyến đường tròn ( ;C CA), CA tiếp tuyến đường tròn ( ;B BA)

Bài 2:

a) Xét DOAC DOAB

Có OC =OB(=R)

OA (cạnh chung)

AC =AB (gt)

Do đó: DOAC = DOAB (c.c.c)

  900

OCA OBA

 = =

AC

 tiếp tuyến đường tròn ( )O

b) OD ^EC (gt)

M

 trung điểm EC

(Định lí đường kính vng góc dây cung)

OD đường trung trực đoạn thẳng EC

DE DC

 =

Do đó: OED =OCD =900 (tính chất đối xứng trục)

Vậy DE tiếp tuyến đường tròn ( )O

Bài 3:

a) DMAB nội tiếp đường trịn đường kính AB MAB

 D vng M

(26)

E M

D

C

B

A O



90

ABC

 =

ABC

D vuông B BM, đường cao

Nên: AM AC. =AB2 =4R2

b) Theo bất đẳng thức Cơ si cho hai số dương có:

2AM +AC ³2 2AM AC

2AM +AC ³4 2R, không đổi

Dấu “=” xảy 2AM =AC

M

 trung điểm AC

ABC

 D vuông cân B

M

 ( )O cho MAB = 450

Vậy M đường tròn ( )O cho

 450

MAB = 2AM +AC đạt giá trị nhỏ

Bài 4:

a) AD ^CD (gt), BC ^CD (gt)

OM ^CD (CD tiếp tuyến đường tròn ( )O )

Suy AD BC OM 

Hình thang ABCD (AD BC ) có:

OM AD BC 

O trung điểm AB

M

 trung điểm CD

Ta có OM đường trung bình hình thang ABCD

2

AD BC

OM

+

 =

2

AD BC R

 + = , không đổi

b) Vẽ AE ^BC E

Tứ giác ADCE có ADC =DCE =CEA=900 nên hình chữ nhật

CD =AE

2

(27)

K N M C B A O K M N C B A

Do đó:

2 ABCD

AD BC

S = + CD=RCD £R R

2

2 ABCD

S £ R , không đổi

Dấu “=” xảy E ºB

DC AB

 

M

 giao điểm đường thẳng vng góc AB vẽ từ O đường tròn ( )O

Vậy M giao điểm đường thẳng vuông góc với AB vẽ từ O đường trịn ( )O diện tích vẽ từ O đường trịn ABCD lớn

Bài 5:

 Vẽ AK ^BN K, ỴBN

Tứ giác AMNK có:

   900 M =N =K =

Nên hình chữ nhật

MN AK

 =

Mà AK ^KB AK £AB

Do MN £AB không đổi

Dấu “=” xảy K ºB

MN AB

 

C

 giao điểm đường trung trực AB với cung lớn AB

Vậy khoảng cách MN dài C điểm đường trung trực AB với cung lớn AB

 Ta có: MN ³0

Dấu “=” xảy M ºN

, , ,

M N A B

 thẳng hàng

d AB

 ^

C

 đầu mút đường kính song song AB

Vậy khoảng cách ngắn C đầu mút đường kính đường trịn ( )O song song với

AB

Bài 6:

(28)

 450

BON = Tiếp tuyến nửa đường

tròn ( )O N cắt AB C Ta có N C, cố định:

 DNOC vuông cân N

 Xét M ºN

Ta có: M ºN nên H ºK

Do đó: AH +HM =AK +KN =AK+KC =AC

 Xét M ¹N

Tia CM nằm hai tia CA CN,

Do đó: ACM <ACN =450

MHC

D có MHC = 900

Nên HMC+HCM =900

Mà HCM < 450 nên HMC>450 HCM <HMC

HMC

D có HCM <HMC HM <HC

Do đó: AH +HM <AH +HC =AC

Vậy M đường tròn ( ; )O R cho BOM = 450 tổng AH +HM lớn

Chuyên đề dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn - THCS.TOANMATH.com

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan