Chuyên đề tứ giác nội tiếp - THCS.TOANMATH.com

cạnh BC, E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC, F là điểm đối xứng của E qua M. Chứng minh các điểm A, D, O, F cùng thuộc một đường tròn. c) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC [r]

(1)

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

TỨ GIÁC NỘI TIẾP

A.TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa

- Tứ giác nội tiếp đường trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn

- Trong Hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD

2 Định lí

- Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180°

- Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện 180° tứ giác nội tiếp đường tròn

3 Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

- Tứ giác có tổng hai góc đổi 180°

- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện

- Tứ giác có đỉnh cách điểm cố định (mà ta xác định được) Điểm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

-Tứ giác có hai đinh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α

Chú ý: Trong hình học hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân nội tiếp đường tròn

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Chứng minh tứ giác nội tiếp

Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta sử dụng cách sau:

Cách Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đơì 180°

Cách Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α

Cách Chứng minh tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện

(2)

1.1 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM CN cắt H Chứng minh tứ giác AMHN BNMC tứ giác nội tiêp

1.2 Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( B, c tiếp điểm) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp

2.1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M điểm cung AB Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt E P Chứng minh PEDC tứ giác nội tiếp

2.2 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc đường trịn Vẽ MH vng góc với BC H, vẽ MI vng góc với AC Chứng minh MIHC tứ giác nội tiếp

Dạng Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh góc nhau, đoạn thẳng nhau, đường thẳng song song đồng quy, tam giác đồng dạng

Phương pháp: Sử dụng tính chât tứ giác nội tiếp

3.1 Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi H điểm nằm O B Kẻ dây CD vng góc với AB tại H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK  AE K Đường thẳng DE cắt CK F Chứng minh:

a) Tứ giác AtìCK tứ giác nội tiếp;

b) AHì.AB = AD2;

c) Tam giác ACE tam giác cân

3.2 Cho nửa (O) đường kính AB Lấy M  OA (M không trùng o A) Qua M vẽ đường thẳng d vng góc với AB Trên d lấy N cho ON > R Nôi NB cắt (O) c Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (£ tiếp điểm, E A thuộc nửa mặt phẳng bờ d) Chứng minh:

a) Bốn điểm O, E, M, N thuộc đường tròn;

b) NE2 = NC.NB;

c) NEH NME (H giao điểm AC d);

d) NF tiếp tuyến (O) với F giao điểm HE (O)

4.1 Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I trung điểm OA, dây CD vng góc với AB I Lấy K tùy ý cung BC nhỏ, AK cắt CD H

a) Chứng minh tứ giác BIHK tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh AHAK có giá trị khơng phụ thuộc vị ữí điểm K

(3)

4.2 Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định ngồi đường trịn Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tói đường trịn (M, N hai tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O; R) B C (AB < AC) Gọi trung điểm BC

a) Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc đường tròn

b) Chứng minh AM2 = AB.AC

c) Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN E Chúng minh IE song song MC

d) Chứng minh d thay đổi quanh quanh điểm A trọng tâm G tam giác MBC nằm đường trịn cơ' định

III BÀI TẬP VỂ NHÀ CƠ BẢN

5 Cho điểm C nằm nửa đường trịn (O) vói đường kính AB cho cung AClớn cung BC (C ≠ B) Đường thăng vng góc vói AB O cắt dây AC D Chứng minh tứ giác BCDO nội tiếp

6 Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H khơng trùng O, B) Trên đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M đường tròn; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) c D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MCID MCHB tứ giác nội tiếp

7 Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A, B Kẻ đường kính AC (O) cắt đường trịn (O’) F Kẻ đường kính AE (O') cắt đưòng tròn (O) G Chứng minh:

a) Tứ giác GFEC nội tiếp; b) GC, FE AB đồng quy

8 Cho tam giác ABC cân A Đường thẳng xy song song với BC cắt AB E cắt AC F Chúng minh tứ giác EFCB nội tiếp

9 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Kẻ HE vng góc với AB E, Kẻ HF vng góc với AC F Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp

10 Cho tam giác ABC vuông A điểm M thuộc cạnh AC Vẽ đường trịn tâm O đường kính MC cắt BC E Nối BM cắt đường tròn (O) N, AN cắt đường tròn (O) D Lấy I đối xứng với M qua A, K đối xứng với M qua E

a) Chứng minh BANC tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh CA phân giác BCD

c) Chứng minh ABED hình thang

(4)

4. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

11 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường trịn (O; R) có đường kính BC cắt AB, AC F E; BE cắt CF H

a) Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp Từ đó, xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác

b) Tia AH cắt BC D Chứng minh HE.HB = 2HD.HI

c) Chứng minh bôn điểm D, E, I, F nằm đường tròn

12 Cho đường tròn (O; R) dây CD cố định Điểm M thuộc tia đối tia CD Qua M kẻ hai tiếp tuyên MA, MB tới đường tròn (A thuộc cung lớn CD) Gọi I trung điểm CD Nối BI cắt đường tròn E (E khác B) Nối OM cắt AB H

a) Chứng minh AE song song CD

b) Tìm vị trí M để MA  MB

c) Chứng minh HB phân giác CHD

13 Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm c D thuộc đường trịn, B điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA; tia đối tia AB lấy điểm S Nối S với cắt (O) M, MD cắt AB K, MB cắt AC H Chứng minh:

a) BMDBAC Từ suy tứ giác AMHK nội tiếp;

b) HK song song CD

14.Cho hình vuông ABCD E di động đoạn CD (E khác c, D) Tia AE cắt đường thẳng BC F, tia Ax vng góc vói AE A cắt đường thẳng DC K Chứng minh:

a) CAF CKF;

b) Tam giác KAF vuông cân;

c) Đường thẳng BD qua trung điểm I KF;

d) Tứ giác IMCF nội tiếp với M giao điểm BD AE

15 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), M điểm thuộc cung nhỏ AC Vẽ MH vng góc với BC H, MI vng góc AC I

a) Chứng minh IHM ICM

b) Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB K Chứng minh MK vng góc vói BK

(5)

d) Gọi E trung điểm IH F trung điểm AB Chứng minh tứ giác KMEF nội tiếp từ suy ME vng góc vói EF

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ

1.1 Xét tứ giác AMHN có:

  900 900 1800

AMHANH   

 ĐPCM

Xét tứ giác BNMC có:

  900

BNC BMC   ĐPCM

1.2 HS tự chứng minh

2.1 Ta có: 

AED (sđAD + sđMB)

1

 sđDM MCD. DEP PCD 1800

 PEDC nội tiếp

2.2 Ta có: MIC CHM900

 MIHC nội tiếp (hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc vng)

3.1 a) Học sinh tự chứng minh

b) ADB vng D, có đường cao DH  AD2 = AH.AB

c)  

EAC EDC  sđ EC, EACKHC

(Tứ giác AKCH nội tiếp)

 EDC KHC DF//HK (H trung điểm DC nên K trung điểm FC)

 ĐPCM

(6)

b)  

NEC CBE  sđ CE

 NEC  NBE (g.g)  ĐPCM

c) NCH  NMB (g.g)

 NC.NB = NH.NM = NE2

NEH  NME (c.g.c)

 NEH EMN

d) EMNEON (Tứ giác NEMO nội tiếp)

 NEH NOE EH  NO

 OEF cân O có ON phân giác  EONNOF

 NEO = NFO NFO NEO 900 ĐPCM

4.1 a) HIB HKB1800

 Tứ giác BIHK nội tiếp

b) Chứng minh được: AHI  ABK (g.g)

 AH.AK = AI.AB = R2 (không đổi)

c) Chứng minh MCND hình chữ nhật từ  ĐPCM

4.2 a) Chú ý: AMOAIOANO900

b)  

AMB MCB  sđ MB

 AMB  ACM (g.g)

 ĐPCM

c) AMIN nội tiếp

(7)

BE//AM  AMNBEN

 BEN AIN   Tứ giác BEIN nội tiếp  BIE BNM 

Chứng minh được:  BIE BCM  IE//CM

d) G trọng tâm MBC  G  MI

Gọi K trung điểm AO  MK = IK = 2AO

Từ G kẻ GG'//IK (G'  MK)

' '

3

GG MG MG

IK AO

IK MI MK

     không đổi (1)

2

' '

3

MG  MK G cố định (2) Từ (1) (2) có G thuộc (

1 ';

3

G AO)

5 Học sinh tự chứng minh

8 Gợi ý: Chứng minh BEFC hình thang cân

9 Gợi ý: AFE AHE (tính chất hình chữ nhật

 

AHE ABH (cùng phụ BHE)

10 a) Học sinh tự chứng minh

b) Học sinh tự chứng minh

c) Học sinh tự chứng minh

d) Chú ý:

  , 

BIA BMA BMC BKC 

(8)

mà đường kính (T) ≥ BC nên đường kính nhỏ BC

Dấu "=" xảy BIC900  I A M  A

11 HS tự làm

12 a) HS tự chứng minh

b) OM R

c) MC MD = MA2 = MH.MO

 MC MD = MH.MO

 MHC  MDO (c.g.c)

 

MHC MDO

   Tứ giác CHOD nội tiếp

Chứng minh được: MHC OHD

 

CHB BHD

  (cùng phụ hai góc nhau)

13 HS tự chứng minh

14 a) HS tự chứng minh

b) HS tự chứng minh

c) Tứ giác ACFK nội tiếp (i) với I trung điểm KF  BD trung trực AC phải qua I

d) HS tự chứng minh

15 HS tự chứng minh

b) HS tự chứng minh

c) HS tự chứng minh

d) MIH MAB

2

MH IH EH EH

MB AB FB FB

   

MHE MBF

(9)

 

MFA MEK

  (cùng bù với hai góc nhau)

 KMEF nội tiếp  MEF= 900

B.NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY

Bài Cho hình hành ABCD có đỉnh D nằm đường trịn đường kính AB Kẻ BN DM vng góc với đường chéo AC Chứng minh rằng:

a) Tứ giác CBMD tứ giác nội tiếp

b) Khi điểm D di động đường tròn  BMD BCD khơng đổi

c) DB DC DN AC 

Bài Cho hai đường tròn  O  O cắt A B Các tiếp tuyến A đường tròn  O

 O cắt đường tròn  O  O theo thứ tự C D Gọi P Q trung điểm dây AC AD Chứng minh rằng:

a) Hai tam giác ABD CBA đồng dạng

b) BQD APB 

c) Tứ giác APBQ nội tiếp

Bài Cho hai vòng tròn  O1  O2 tiếp xúc điểm T Hai vòng tròn nằm

vòng tròn  O3 tiếp xúc với  O3 tương ứng M N Tiếp tuyến chung T  O1  O2 cắt

 O3 P PM cắt vòng tròn  O1 điểm thứ hai A MN cắt  O1 điểm thứ hai B PN cắt vòng

tròn  O2 điểm thứ hai D MN cắt  O2 điểm thứ hai C

a) Chứng minh tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh đường thẳng AB, CD PT đồng quy

Bài Từ điểm A nằm đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB AC (B C tiếp điểm) Gọi

M điểm cung nhỏ BC đường tròn  O (M khác B C) Tiếp tuyến qua M cắt AB

AC E F Đường thẳng BC cắt OE OF P Q Chứng minh rằng:

(10)

10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

b) Tứ giác PQFE tứ giác nội tiếp

c) Tỉ số PQ

FE khơng đổi M di chuyển đường trịn

Bài Cho tam giác ABC, D E tiếp điểm đường tròn nội tiếp với cạnh AB AC Chứng minh đường phân giác góc B, đường trung bình tam giác song song với cạnh AB đường thẳng DE đồng quy

Bài Cho đưòng tròn O R;  đường kính AB cố định đường kính CD quay quanh điểm O Các đường

thẳng AC AD cắt tiếp tuyến B đường tròn theo thứ tự E F

1 Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn

2 Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE Chứng minh điểm I di động đường thẳng cố định đường kính CD quay quanh điểm O

Bài Cho tam giác ABC vuông A D điểm cạnh AC (Khác với A C) Vẽ đường tròn

tâm D tiếp xúc với BC E Từ B kẻ tiếp tuyến thứ hai BF với đường tròn  D Gọi M trung điểm

BC, N giao điểm BF AM Chứng minh năm điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn ANNF

Bài Cho hai đường tròn O R;  O R ;  cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay

đổi tia đối tia AB, vẽ tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O (D; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O) Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O M N (M, N khác với điểm) Đường thẳng DE cắt MN Chứng minh rằng:

a) MI BE BI AE 

b) Khi điểm C thay đổi đường DE ln qua điểm cố định

Bài Cho đường tròn O R;  dây AB cố định, AB R Điểm P di động dây AB (P khác A

B) Gọi C R; 1 đường tròn qua P tiếp xúc với đường tròn O R;  A, D R; 2 đường tròn

qua P tiếp xúc với O R;  B Hai đường tròn C R; 1 D R; 2 cắt điểm thứ hai M

a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM CD// điểm C, D, O, M thuộc đường trịn;

(11)

11. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

c) Tìm vị trí P để tích PM.PN lớn nhất? Diện tích tam giác AMB lớn

Bài 10 Cho tam giác ABC AB AC  nội tiếp đường trịn  O có AD phân giác góc BAC, tia AD

cắt đường tròn điểm E (E khác A) Kẻ đường kính EF đường trịn  O Gọi P điểm nằm

giữa A D Tia FP cắt đường tròn  O Q khác F Đường thẳng qua P vuông góc với AD cắt CA, AB

lần lượt M, N

a) Chứng minh tứ giác PQBN, PQCM tứ giác nội tiếp

b) Giả sử QN PC cắt điểm thuộc đường tròn  O Chứng minh QM PB cắt

nhau điểm thuộc đường tròn  O

Bài 11 Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp O R;  có AB AC Vẽ đường cao AD, BE, CF

tam giác ABC cắt H, AD cắt  O K cắt EF I

a) Chứng minh rằng: BC trung trực HK IF IE IH IA  ;

b) Chứng minh : Các tứ giác DHEC, BFIK nội tiếp được;

c) Chứng minh rằng: KC BK EF

AC BA  AI ;

d) Đường thẳng qua E song song với AD cắt BK M Chứng minh rằng: điểm F, D, M thẳng hàng;

Bài 12 Cho tam giác ABC nhọn với AB AC có AD đường phân giác Đường thẳng qua C song song với AD cắt đường trung trực AC E Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực AB F

a) Chứng minh tam giác ABF đồng dạng với tam giác ACE

b) Chứng minh đường thẳng BE, CF, AD đồng quy điểm, gọi điểm G

c) Đường thẳng qua G song song với AE cắt đường thẳng BF Q Đường thẳng QE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC P khác E Chứng minh điểm A, P, G, Q, F thuộc đường tròn

Bài 13 Cho 19 điểm nằm hay cạnh lục giác cạnh cm Chứng minh

luôn tồn số 19 điểm cho mà khoảng cách chúng không vượt 3 cm

(12)

Cho tam giác ABC AB AC  có góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M trung điểm

cạnh BC, E điểm cung nhỏ BC, F điểm đối xứng E qua M

a) Chứng minh EB2EF EO. ;

b) Gọi D giao điểm AE BC Chứng minh điểm A, D, O, F thuộc đường tròn

c) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC P điểm thay đổi đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC cho P, O, F không thẳng hàng Chứng minh tiếp tuyến P đường tròn ngoại tiếp tam giác POF qua điểm cố định

HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ

Bài

a) AB đường kính đường tròn  O  90ADB  mà ADB DBC  (so le trong)  90DBC  Mặt

khác DMC 90  suy ra: DMC DBC 90  tứ giác CBMD nội tiếp đường trịn đường kính CD

Nhận xét Ngồi cách giải trên, giải theo hướng sau:

• Ta có: MDB DBNDANMCB

Suy điều phải chứng minh

• Ta có: DMB DNB; DAB DCB

Mà  180DAB DNB  

b) Khi điểm D di động đường trịn  O tứ

giác CBMD ln tứ giác nội tiếp

Suy BMD BCD  180   (điều phải chứng minh)

c) Do  90ANB  thuộc  O

Ta có: BDNBAN (góc nội tiếp) mà ACD BAN (so le trong)

 

BDN ACD

 

(13)

Suy ra: ACD∽BDN (g.g) AC CD AC DN BD CD

BD DN

   

Bài

a) Áp dụng hệ góc tạo tia tiếp tuvến dây cung, ta có:

 

CAB ADB, ACD BAD

Suy ra: ABD∽CBA (g.g)

b) Vì ABD∽CBA, suy ra: AD BD

CA  BA

Mà

2

AD

DQ ;

2

AC AP

BD DQ

BA AP

 

Lại có: QDB PAB 

Suy ra: BQD∽APB (c.g.c)

 

BQD APB

 

c) Ta có: AQB BQD  180  , mà BQD APB   180AQB APB  

(14)

Bài

a) Gọi O1; T; O2 thẳng hàng

Các tam giác cân O MB1 O MN3 có chung góc M suy

ra O MB1 ∽O MN3

1

3

MO MB

MN MO

 

Tương tự suy O MA1 ∽O MP3

1

3

MO MA

MP MO

 

Vậy MB MA AB PN//

MN  MP

Tương tự ta có CD PM//

Gọi E giao điểm AB CD

Tứ giác AEDP hình bình hành

Tacó: EBC PNM ; ECB PMN  nên EBC∽PNM (g.g)  1

EB PN

EC PM

 

Ta có: PTA PMT MPT chung, nên PAT∽PTM (g.g)

2

PA PT PA PM PT

PT PM

   

Tương tự, ta có: PD PN. PT2

PA PM PD PN

  nên PNM∽PAD (c.g.c)  2

Mà APDE hình bình hành nên EDA PAD  3

Từ  1 , (2),  3 suy ra: EBC∽EDAEBC EDA 

(15)

b) Gọi giao điểm PT AB I Tia IC cắt  O2 D

Ta có: IA IB IT.  2IC ID. suy IBC∽ID A IBC ID A

Do tứ giác ABCD nội tiếp mà ABCD nội tiếp nên D trùng D

Vậy đường thắng AB, CD PT đồng quy

Bài

a) Ta có EB, EM tiếp tuyến nên 1

EOM  BOM ;

Ta có FC, FM tiếp tuyến nên    1

2

FOM  COM EOF BOC;

Mặt khác  1 

2

EOF BOC sd BMC

 

Suy EBQ EOQ 

Từ ta có O B hai đỉnh liên tiếp nhìn EQ góc

Vậy OBEQ tứ giác nội tiếp

Chứng minh tương tự ta có OCFP tứ giác nội tiếp

b) OBEQ tứ giác nội tiếp nên

  180  90  90

OBE OQE   OQE  FQE 

OCFP tứ giác nội tiếp nên OCF OPF  180 OPF  90 EPF 90

(16)

Vậy tứ giác PQFE tứ giác nội tiếp

c) Kẻ OH vng góc với BC

Ta có: PQFE tứ giác nội tiếp

Suy OPQ EFO 

Do OPQ∽OFE (g.g) PQ OH

EF OM

 

Vì điểm A  O cố định nên OH OM không đổi tỉ số PQ

FE khơng đổi M di chuyển

đường tròn

Bài Tứ giác ADOE nội tiếp EAO EDO

Gọi tia BO cắt tia DE H thì:

 180   180 90    2

A B C

BHD  HDB HBD       

Mặt khác  

C

ACO nên tứ giác EOCH nội tiếp

  90

OHC OEC

   

Hay BH vng góc với CH

Gọi M trung điểm BC

Suy MB MC MH   BHM cân

   

HBM MHB ABH MHB

   

Suy BH song song với AB

Bài

1 Ta có: ACDABD; ABD AFB nên ACD AFB

Do tứ giác CDFE nội tiếp

(17)

Đường tròn  I qua CD nên I thuộc trung

trực CD

Đường tròn  I qua EF nên I thuộc trung

trực EF

Gọi H trung điểm EF

Do I giao điểm hại đường trung trực CD EF

//

AO HI

 trùng với HI (cùng vng

góc với EF)  1

Tam giác AEF vng, có AH trung tuyến ứng với cạnh huyền nên HA HE  HAE cân H

   

HAE HEA HAE ADC

   

Mà   90ADC ACD   nên HAE ACD  90  

Suy AHCD

Mà OI CD nên AH OI//  2

Từ  1  2 , suy tứ giác AOIH hình bình hành Do đóIH OA R  Suy I cách EF khoảng

không đổi R, nên I di động đường thẳng d song song với EF cách EF khoảng R

Bài Ta có: BFD BED BAD 90 

Do B, E, D, A, F thuộc đường trịn đường kính BD

Trong tam giác vng ABC có AM lcà cạnh huyền nên MA MC

MAC

  cân M

 

MAC MCA

 

Xét đường tròn qua năm điểm A, B, E, D, F

(18)

Xét: NAFMAC DAF  MCA DBF  MCA DBE BDA NFA  

NAF

  cân N NFNA

Bài

a) Ta có BDE BAE  (cùng chắn cung BE đường tròn tâm O)

 

BDE BMN (cùng chắn cung BN đường

tròn tâm O)

 

BDE BMN

  hay BDIBMN Tứ giác BDMI nội tiếp

 

MDI MBI

  (cùng chắn cung MI)

Mà MDIABE (cùng chắn cung AE đường tròn tâm O)

 

ABE MBI

 

Mặt khác: BMIBAE

MBI ABE

  ∽ (g.g)

MI BI

MI BE BI AE

AE BE

   

b) Gọi Q giao điểm CO DE

Ta có OCDE Q

OCD

  vng D , có đường cao DQ nên OQ OC OD.  R2  1

Gọi K giao điểm hai đường thẳng OO DE, H giao điểm AB OO

Ta có: OO AB H KQO∽CHO (Q H 90 ; O chung)

KO OQ OC OQ KO OH

CO OH

     2

Từ  1  2 , suy ra: KO OH. R2 OK R2

OH

(19)

Vì OH cố định R khơng đổi nên OK khơng đổi Do K cố định

Bài

a) Nối CP, PD

Ta có A, C, O thẳng hàng; B, D, O thẳng hàng

Ta có: ACP, OAB cân C, O nên

  

CPA CAP OBP 

Do CP OD//  1

Tương tự, ta có OD CP//  2

Từ  1  2 suy tứ giác ODPC hình bình hành

Gọi H giao điểm CD MP, K giao điểm CD OP

Do K trung điểm OP

Theo tính chất hai đường trịn cắt CDMP

 H trung điểm MP

Do HK OM// CD OM//

Giả sử AP BP

Vì tứ giác CDOM hình bình hành nên OC DP ; DP DM R2 nên tứ giác CDOM hình thang

cân

Do điểm C, D, O, M thuộc đường trịn

b) Ta có:OA2OB22R2 AB2 Do AOB vng cân O

Vì điểm C, D, O, M thuộc đường tròn (Kể M trùng O) nên COB CMD   1

Ta có: MAB MCD (cùng 

2sd MP đường tròn  C )

Vì MBP MDC (cùng 

2sd MP đường tròn  D )

(20)

Do AB cố định nên điểm M thuộc đường tròn tâm I đường kính AB

Ta có:    90   45

ACP BDP  AOB  AMP ACP  (Góc nội tiếp góc tâm  C )

  45

BMP BCP

    (góc nội tiếp góc tâm  D )

Do MP tia phân giác AMB Mà AMB 90AOB  nên M thuộc đường tròn  I ngoại tiếp

tam giác AOB Giả sử MP cắt đường tròn  I N N trung điểm cung AB không chứa điểm O nên

N cố định

c) Ta có: MPA BPN ; AMP PBN  (góc nội tiếp chắn cung)

Do MAP∽BNP (g - g)

2 2

2

PA PM PM PN PA PB PA PB AB R

PN PB



 

       

  (không đổi)

Vậy PM.PN lớn

2

R

PA PB hay P trung điểm dây AB Tam giác AMB vuông M

nên:

  2

2

1

2 4

AMB

AB R

S  AM BM  AM BM  

Vậy SABM lớn

2

R

PA PB hay P trung điểm dây AB

Bài 10

a) EF đường kính nên  90EAF 

Mà AEMN suy AF MN// QPN QFA

(21)

  180

QPN QBN

   

Suy tứ giác PQBN nội tiếp

Lại có QCA QFA QPN QCM 

Suy tứ giác PQCM nội tiếp

b) Giả sử QN PC cắt R thuộc  O

Từ tứ giác PQBN nội tiếp suy raNPB NQB BCP

Từ tứ giác PMCQ nội tiếp ta có:

        

PBC RPB PCB RPN NPB NPB RPN MPC MQC       

Từ QM cắt BP điểm S SBQC nội tiếp hay S thuộc đường trịn  O

Bài 11

a) Ta có: BKA ACB (2 góc nội tiếp chắn cung AB)

Mà ACB BHK (cùng phụ với góc EBC) BKA BHK

 tam giác BHK cân  BH BK

Lập luận tương tự ta có CH CK

 BC trung trực HK

Ta có: AEH  90AFH  

 Tứ giác AFHE nội tiếp

Xét tam giác AIE tam giác FIH ta có:

 

AIE FIH (2 góc đối đỉnh),

 

IAE IFH (Tứ giác AFHE nội tiếp)

AIE FIH

  ∽ (g.g) AI FI AI HI EI FI

EI HI

   

(22)

Xét tứ giác BFEC ta có: BFC BEC 90   Tứ giác BFEC nội tiếp

 

AFE ACB

  mà ACB AKB (chứng minh trên)

 

AFE AKB

   Tứ giác KBFI nội tiếp

c) Theo ta có: BKHBHK mà BHKIHE (2 góc đối đỉnh)BKHIHE

Xét tam giác HEI tam giác KAB ta có:

 

BKH IHE (cmt), IHE BAK (tứ giác AFHE nội tiếp)

HEI KAB

  ∽ (g.g) KB HI

AB EI

 

Chứng minh tương tự ta có: KC HI

AC  FI

Từ suy 1

KB KC EI FI IH EF EF

IH IH

AB AC EI FI EI FI AI HI AI



 

      

 

(theo chứng minh ỏ câu a có IF IE IH IA  )

d) Ta có: BME BKH (2 góc vị trí đồng vị HK ME// )

Mà BKH BHK; BKH BME (2 góc vị trí đồng vị

//

HK ME)

 

BME BEM

  Tam giác BEM tam giác cân

Ta có: ADBC màEM BC// EM BC

Trong tam giác cân BEM có BC đường cao tam giác (do BCME)

 BC trung trực ME

Ta có D nằm đường trung trực MEDM DE

Tam giác DME tam giác cân

 

MDC EDC

 

(23)

Tứ giác ABDE nội tiếp

 

EDC BAC

 

Xét tứ giác AFDC ta có: AFC 90ADC 

 Tứ giác AFDC nội tiếp BAC BDF

Từ suy MDC BDF 

Ta có: 180 BDC MDC BDM   BDF BDM FDM

Ba điểm F, D, M thẳng hàng

Bài 12

a) Ta có ABF; ACE tam giác cân F E

Và FBA BAD DAC ECA   ABF∽ACE

b) Gọi G giao điểm BE CF

Ta có: GF BF AB DB

GC CE  AC  DC

//

DG BF



Mặt khác DA BF// suy A, D, G thẳng hàng

c) Ta có BQG QGA GAE GAC 

    

GAC CAE GAB BAF GAF

    

Suy AGQF tứ giác nội tiếp

(24)

Bài 13 Chia lục giác ABCDEF tâm O thành tam giác cạnh 4cm (hình vẽ)

Theo ngun lý Điriclê có điểm 19 điểm nằm hay cạnh tam giác Khơng tính tổng quát giả sử tam giác OAB

Chia tam giác OAB trọng tâm G thành tứ giác nội tiếp (hình vẽ) với GM  AB; GNOB; GP OA

OAB

 cạnh có đường cao

4

2

2  GA

Các tứ giác GMBN, GMAP, GPON nội tiếp đường tròn đường kính GB, GA, GO 3

Theo ngun lý Điriclê có điểm điểm xét nằm hay cạnh tứ giác nói trên, giả sử tứ giác GMBN

 khoảng cách hai điểm khơng vượt q đường kính 3

GB đường tròn ngoại tiếp tứ

giác  điều phải chứng minh

Bài 14

a) Ta có E, M, O, F thẳng hàng, ME MF (E, F đối xứng qua M) EFBC

BEF

  cân B BFE FEB 

Mặt khác OB OE suy OBE cân O

 

OBE OEB

 

Ta có BFE FEB OBE 

BEF OBE

  ∽ (g.g)

2 .

EB EF EB EF EO

OB EB

   

(25)

Dễ thấy FBD∽EAB (g.g) EB ED EB2 ED EA.

EA EB

   

Ta cóED EA EF EO. .  E 2 EO ED

E F

B

A E



 



Xét EOD EAF có EO ED

EA  EF ,



OED chung  EOD∽EAF (c.g.c)

 

EOD EAF

  , dẫn đến tứ giác DAFO nội tiếp Vậy điểm A, D, O, F thuộc đường trịn

c) Ta có EIB ABI BAI  , ABI IBC, BAI CBE EB EC  

     

EBI IBC CBE ABI BAI EIB EBI

        cân E EB EI

Mà EB EC nên EB EI ECE tâm đường tròn nội tiếp tam giác IBC

Do EP EB nên EP2 EF EO.

Xét EPO EFP có EP EO

EF  EP, PEO chung EPO∽EFP (c.g.c)

 

EPO EFP

   EP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác POF

Vậy tiếp tuvến đường tròn ngoại tiếp tam giác POF qua điểm E cố định

D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CƠ BẢN NÂNG CAO

Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn ( )O có A =120 ,0 B =1000 Tính C D ,

Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn ( )O vẽ dây DE vng góc với OA cắt cạnh AB AC,

lần lượt S K,

Chứng minh rằng: tứ giác BCKS nội tiếp

Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O vẽ Ax tiếp tuyến đường tròn ( )O

Đường thẳng song song với Ax cắt cạnh AB AC, D E,

Chứng minh tứ giác BCED nội tiếp

Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( )O AB=BD Tiếp tuyến O A cắt đường

thẳng BC Q Gọi R giao điểm hai đường thẳng AB DC

(26)

b) Chứng minh AD QR

Bài 5: Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đường trịn ( )O đường kính AI Gọi E trung

điểm AB K trung điểm OI

a) Chứng minh tam giác EKB tam giác cân

b) Chứng minh tứ giác AEKC tứ giác nội tiếp

Bài 6: Gọi M điểm đường tròn ngoại tiếp DABC; P Q R, , hình chiếu

M đường thẳng BC , CA

Chứng minh rằng:

a) Các điểm M B P R, , , thuộc đường tròn

b) Các điểm R P Q, , thẳng hàng

Bài 7: Từ điểm A ngồi đường trịn ( )O , kẻ tiếp tuyến AB AC, với đường tròn (B C,

tiếp điểm) Trên tia đối BC lấy điểm D Gọi E giao điểm DO AC Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn ( )O , tiếp tuyến cắt đường thẳng AB K

Chứng minh bốn điểm D B O K, , , thuộc đường tròn

Bài 8: Cho đường tròn ( )O , nội tiếp tam giác ABC, D E F, , điểm tiếp xúc ( )O với

, ,

BC CA AB Vẽ BB1 ^OA B( 1 ỴOA AA), 1 ^OB A( 1 ỴOB) Chứng minh D B A E, 1, ,1 thẳng hàng

Bài 9: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O M điểm thuộc cạnh đáy BC Vẽ đường

tròn qua B M đồng thời tiếp xúc với AB B Vẽ đường qua C M tiếp xúc với AC C Hai đường tròn cắt điểm N (khác M) Chứng minh rằng:

a) N thuộc đường tròn tâm O

b) Khi M di động cạnh BC đường thẳng MN ln qua điểm cố định

Bài 10: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( )O E đường chéo BD cho BAE=CAD

a) Chứng minh DBAE∽DCAD

b) AB CD +BC AD =AC BD

Bài 11: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH Gọi H H1, 2 điểm đối xứng H qua AB

(27)

D

C B

A Chứng tỏ rằng: AH BI, CK đồng quy

Bài 12: Cho hình vng ABCD, góc xAy = 450 Ax cắt BC BD E F Ay cắt

,

CD BD G H

Chứng minh tứ giác EFHG nội tiếp

Bài 13: Bốn đường thẳng cắt tạo thành bốn tam giác

Chứng minh bốn đường tròn ngoại tiếp bốn tam giác có chung điểm (Điểm Miquel)

Bài 14: Cho đường trịn ( )O , dây AB khơng qua O Gọi I trung điểm AB Qua I kẻ hai dây

cung CD EF (C E thuộc cung AB) CF ED cắt theo thứ tự M N Chứng minh IM =IN

Bài 15: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( )O Gọi E F G H, , , tâm đường tròn nội tiếp

các tam giác ABC BCD CDA DAB, , , Chứng minh EFGH hình chữ nhật

Bài 16: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn ( ; )O R có CD=AD+BC (BC >AD) Chứng minh

rằng hai tia phân giác hai góc DAB ABC cắt điểm thuộc cạnh D

Bài 17: Cho tứ giác nội tiếp đường trịn ( )O có AD cắt BC E AC cắt CD F Chứng minh

rằng EA ED. +FA FB. =EF2

HƯỚNG DẪN

Bài 1:

Tứ giác ABCD nội tiếp (gt)

    1800

A B C D

 + + + =

Mà A = 1200 (gt), B = 1000 (gt)

Do đó: C = 1800-1200 =600

 1800 1000 800

D = - =

Bài 2:

OA^DE (gt) xAC=AED

AD AE

(28)

28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com K S E D C B A O x O E D C B A Q R D C B A O s s BC

BSK = đ E + đAD (góc có đỉnh bên đường tròn)

 s 

2

SK B

B = đA (góc nội tiếp)

Do đó:   s  s  s 

2 BCE AD

BSK +BCK = đ + đ + đAB

  

0

s s s 360

180

2

BCE AE AB

= đ + đ + đ = =

Tứ giác nội BCKS nội tiếp

Bài 3:

 

( )

Ax DE gt xAC =ACD

(hệ góc tạo tia

tiếp tuyến dây cung)

Do đó: AED =DBC

Suy tứ giác BCED nội tiếp

Bài 4:

a) QCR =BAD (vì tứ giác ABCD nội tiếp)

 

2s

R A

QA = đ B (QAR góc tạo tia tiếp tuyến dây cung)

 

2s

D B

BA = đ D (BAD góc nội tiếp)

AB=BD

 

AB BD

 =

Do đó: QCR =QAR

 Tứ giác AQRC nội tiếp đường trịn

(29)

29. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

E

H

K I

C B

A

O

 

BAD =QCA (vì AB=BD)

Suy ra: QRA=BADmà QRA BAD so le

Do đó: AD QR

Bài 5:

a) Gọi H trung điểm đoạn thẳng BE

Ta có: E trung điểm AB,

AB không qua O (gt)

Mà ABI = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

Vì OE ^AB BI, ^AB ABI( =90 )0 OE BI

Do tứ giác BEOI hình thang

Mà H K, trung điểm cạnh BE OI, nên HK OE

Ta có: HK OE OE , ^AB

HK AB

 ^

EKB

D có HK vừa đường cao vừa đường trung tuyến

EKB

 D cân K

b) OB=OC(=R) AB=AC (gt)

O

 A thuộc đường trung trực đoạn thẳng BC

OA

 đường trung trực đoạn thẳng BC

Mà K ỴOA nên KB=KC

Xét DKBA DKCA có: AB=AC (gt)

;

KB=KC AK (cạnh chung)

Do đó: DKBA= DKCA (c.g.c)

 

KBI KCA

 =

 

KBA KEB

(30)

R

Q

P

M

C B

A

K

M

E

O D

C B

A Do đó: KEB =KCA Tứ giác AEKC nội tiếp

Bài 6:

a) BRM+BPM =900 +900 =1800

 Tứ giác RBPM nội tiếp

 Các điểm M P B C, , , thuộc đường tròn

b) Chứng minh tương tự a) có tứ giác MPQC nội tiếp

  1800

MPQ MCQ

 + =

Mà RBM =RPM (tứ giác RBPM nôi tiếp)

Và RBM =MCQ(tứ giác ABMC nội tiếp)

Do đó: RPM=MCQ

Ta có: RPM+MPQ =MCQ+MPQ=1800

, , R P Q

 thẳng hàng

Bài 7:

EK tiếp xúc với đường tròn ( )O M

,

EM EC tiếp tuyến ( )O (gt)

 1

2

MOE MOC

 =

Mà  1

2

MBC = MOC (hệ góc nội tiếp)

Do đó: MOE+MBC =1800 (hai góc kề bù)

  1800

MBC +MBD= (hai góc kề bù)

Suy ra: MOD =MBD

, , , D O M B

 thuộc đường tròn (1)

(31)

D E F

C B

A

O A1

B1  tứ giác KBOM nội tiếp

, , , K O M B

 thuộc đườg trịn (2)

Từ (1), (2) có điểm D K O M B, , , , thuộc đường tròn

, , , D O K B

 thuộc đường tròn

, , , D O K B

Bài 8:

 900

AEO = (AE tiếp tuyến O nên AE ^OE )



1

(AAO=90 (AA ^OB))

Ta có: 

1 90

AEO=AAO=

 Tứ giác AEAO2 nội tiếp đường tròn

 

1 180

OAE OA E

 + =



1 90 ( )

AB B BB OA

 = ^

 

1 90

AB B=AAO=

 Tứ giác AA B B1 1 nội tiếp đường tròn

 

1 1

BAB BAB

 =

Mà BAB1 =OAE (vì O tâm đường trịn nội tiếp DABC)

Do BAB1 =OAE

Ta có  

1 180

BAB +OA E =

 Ba điểm E A B, ,1 1 thẳng hàng

Do bốn điểm D B A E, 1, ,1 thẳng hàng

(32)

N M

D

C B

A

E

D

C B

A a) BNM =ABC (hệ góc tạo tia tiếp tuyến

dây cung)

Tương tự: CNM =ACB

Mà BAC+ABC+ACB =1800

Do tứ giác ABNC nội tiếp đường tròn ( )O hay N

thuộc đường tròn ( )O

b) Gọi D giao điểm MN đường tròn ( )O (D khác N)

Ta có: CAD =CND (góc nội tiếp cung CD)

Mà CND=ACB (chứng minh câu a)

 

CAD ACB

 = A B C, , cố định

D

 cố định hay đường thẳng MN qua điểm cố định

Bài 10:

a) Xét DBAE DCAD có:

 

BAE =CAD (hai góc nối tiếp chắn cung AD)

 

BAE =CAD (gt)

Do DBAE∽DCAD

b) Xét DEAD DBAC có:

 

EAD=BAC (vì BAE =CAD)

 

ADE =ACB (hai góc nội tiếp

chắn cung AB)

Do DEAD∽DBAC

AD DE AC BC

 =

BC AD AC DE

 =

(33)

x

K I

C B

A

H2

H1

H G

F

E

D

C B

A

AB BE

CD AB CD AC BE

AC CD

 =  =

Do đó: AB CD +BC AD =AC BE +AC DE =AC BE.( +DE)=AC BD

Bài 11:

Ta có: DAH H1 2 cân (AH1 =AH =AH2)AH H1 2 =AH H2 1

Ta có: AH I2 =AHI (vì H H2 đối xưng qua AC)

Vậy AH I1 =AHI

1

H H nằm phía AI Do H1 H nằm cung chứa góc dựng đoạn AI

1

, , ,

A H H I

Mặt khác:

1

H H đối xứng qua AB

 

1 90

AH B AHB

 = =

Do tứ giác AH BH1 nội tiếp đường

trịn đường kính AB

Từ ta có năm điểm A H B H I, , , 1, thuộc

một đường trịn đường kínhAB BIA = 900

BI

 đường cao tam giác ABC

Chứng minh tương tự CK đường cao tam giác ABC

Vậy AH BI CK, , đồng quy

Bài 12:

ABCD hình vng nên BDC = 450 lại có GAF = 450 (gt) A D phía GF nên

,

A D nằm cung chứa góc 450 vẽ đoạn FG

(34)

P

F E

D C

B

A

AG đường kính đường trịn (ADGH)

Vì AFG = 900 hay EFG = 900

Chứng minh tương tự EHG = 900

Vậy tứ giác EFGH nội tiếp

Bài 13:

Với giả thiết bốn đường thẳng cắt tạo

thành bốn tam giác nên khơng có ba đường

thẳng chúng cắt điểm

Giả sử đường thẳng AB BC CA, , cắt đường

thẳng thứ tư D E F, , (hình vẽ)

Gọi P (P ¹C) giao điểm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC CEF

Ta có: BPE =BPC+CPE

Trong đó: BPC=1800-BAC=DAF CPE ; =CFE

Suy ra: BPE =BPC+CPE =DAF+CFE =1800-ADE

  1800

BPE BDF

 + =

Tứ giác BPEDnội tiếp

P

 nằm đường tròn ngoại tiếp, tam giác BDE

Chứng minh tương tự: Điểm P nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF

Bài 14:

Ta có: CFE=CDE (hai góc nội tiếp chắn cung CE)

 

(35)

K

M I N

H F

E

D

C

B A

x O H

G F

E D

C B

A

Do DFIC ∽DDIE CI FC EI DE  = (1)

Vẽ OH OK, vng góc với CF ED (H ỴCF K, ỴED)

Ta có H K, trung điểm FC DE

(Định lí đường kính vng góc với dây cung)

Do đó: CI FC CH

EI =DE = EK

Xét DCHI DEKI có:

 

; CI CH

HCI KEI EI =EK =

Do DCHI ∽DEKI CHI=EKI hay MHI=NKI (2)

Mặt khác I trung điểm AB nên OI ^AB OH, ^PC

 Tứ giác OHMI nội tiếp đường tròn đường kính MO

Ta có: MHI =MOI (3) (góc nội tiếp chắn cung MI)

Tương tự: Tứ giác OKNI nội tiếp đường tròn

Nên: NKI=NOI (4)

Từ (2), (3) (4) ta có: MOI =NOI

MON

 D cân có OI đường cao nên OI đường trung tuyến

Do IM =IN

Bài 15:

Gọi tia đối tia FC tia Fx

 1  1

,

2

GDC = ADC GCD= ACD

(G tâm đường tròn nội tiếp DCDA)

Do đó:   1( )

(36)

F E

D C

B

A

 

0

1(180 ) 90

2 DAC 2DAC

= - =

-GDC

D có  1800 ( ) 900 1

2 DGC = - GDC+GCD = + DAC

Tương tự:  900 1 DFC = + DBC

Mà DAC=DBC (hai góc nội tiếp chắn cung DC)

Do đó: DGC =DFC

 Tứ giác GFCD nội tiếp

 

GFx GDC

 =

Tương tự: xFE=EBC

Mà   1 1 900

2

GDC +EBC = ADC + ABC =

Chứng minh tương tự ta có: HEF =90 ,0 FGH=900

Do tứ giác EFGH hình chữ nhật

Bài 16:

Tia phân giác DAB cắt cạnh CD E

Trên cạnh CD lấy F cho: DF =AD

Tam giác CBF cân C (( = )  =1800 -2

BCD

CF BC BFC )

Tứ giác ABCD nội tiếp nên:

= = + =1800

DAB BCD ABC CAD

Do đó:  =  DAB BFC

Mà =  DAB EAB

(37)

E

M

F

D C

B A

O

 

DAF =ABE (1)

Tam giác DAF cân D 



-=  =1800

( )

2 CDA

DF AD AFD

Nên  =  ABC

AFD (2)

Từ (1) (2) có  =   = 

ABC

ABE ABE EBC

Vậy BE tia phân giác góc ABC Do hai tia phân giác hai góc DAB ABC cắt

điểm E thuộc cạnh CD

Bài 17:

Gọi M cạnh EF cho FBM=AEF

Xét DFBM DFEA có FBM (chung), FBM=AEF

Do DFBM ∽ DFEA

 FB = FM

EF FA

FA FB =EF FM

= 

FBM AEF

 Tứ giác AEMB nội tiếp

 

EMA=EBA

Mà EDF=EBA (tứ giác ABCD nội tiếp)

Do đó: EMA =EDF

Xét DEMA DEDF có EMA =EDF AEM , (chung)

Do DEMA ∽ DEDF

 EA=EM

EF ED

(38)

Vậy EA ED. +AF FB. =EF EM. +EF FM. =EF EM( +FM)=EF2.

Định dạng
Số trang	38
Dung lượng	1,46 MB