Bài tập tứ giác nội tiếp 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm E và vẽ (K) đường kính EC cắt BC tại M, tia BE cắt (K) tại D, AD cắt (K) tại S. CMR: a) Các tứ giác ABCD, ABME nội tiếp b) CA là tia phận giác của góc BCS và MS //AB c) EMAESA ˆ ˆ = d) 4 điểm A, M, K, D cùng thuộc 1 đường tròn 2. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), đường cao AH, tia phân giác góc BAC cắt (O) tại M và BC tại I. Kẻ CKvuông góc AM, KH cắt AB tại E. CMR: a) OM đi qua trung điểm của BC và tứ giác AHKC nội tiếp b) AM là tia phân giác của góc HAO c) 4 điểm A, E, H, I cùng thuộc 1 đường tròn 3. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), Cho tam giác ABC nội tiếp (O), M là trung điểm của cung BC không chứa A, E là giao điểm của AM và BC, trên AC lấy AD= AB. a) CM: AM là phân giác của góc BAC. b) CM: DCME nội tiếp. c) MD cắt (O) tại N, BN cắt AM tại K. CM: 4 điểm A, N, D, K cùng thuộc 1 đường tròn . d) CM: ED //BN. 4. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có AB<BC, hai đường cao BM và CN giao nhau tại H. Tia CN cắt (O) tại E. a) CM: Các tứ giác ANHM, BNMC nội tiếp , xác đònh tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BNMC. b) CM: MN vuông góc với tiếp tuyến xy tại A của (O). c) CM: E và H đối xứng với nhau qua AB d) Gọi I là trung điểm MN. Chứng minh OA // IK e) Gọi D là giao điểm của BE và KN. Chứng minh 4 điểm B, D, M, K cùng thuộc 1 đường tròn. 5. Cho tam giác ABC nội tiếp (O,R). AH, BE và CK là 3 đường cao của tam giác ABC giao nhau tại I, tia BI cắt (O) tại M. a) CM: BKEC nội tiếp. b) CM: CI=CM. c) CM: OA vuông góc KE. d) Gọi p là nửa chu vi tam giác HKE. CM: S ABC = R.p 6. Cho AB, AC là 2 tiếp tuyến của (O) , lấy I thuộc BC, đường thẳng vuông góc OI tại I cắt AB và AC tại M và N. a) CM: ABOC, OINC, OMBI nội tiếp. b) CM: OM=ON. c) CM: A, M, O, N cùng thuộc 1 đường tròn. d) Lấy E thuộc AB sao cho CBANIE ˆˆ = . CM: BE.CN=BI.IC 7. Cho AB và CD là 2 đường kính của (O) vuông góc nhau. Lấy điểm E thuộc cung nhỏ BC. Tiếp tuyến tại E cắt AB tại M, Tia CE cắt AB tại K. Gọi I là giao điểm của ED và AB. a) CM: EA là phân giác của góc CED. b) CM: Tứ giác OEKD nội tiếp được 1 đường tròn mà ta xác đònh được tâm. c) Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OEKD. CM: 4 điểm O, E, M, H cùng thuộc 1 đường tròn. d) CM: EB là tia phân giác của KEI ˆ rồi suy ra AI.BK=IK.IB 8. Cho AB, AC là 2 tiếp tuyến của (O,4cm), vẽ cát tuyến AMN với (O). a) CM: ABOC nội tiếp và OA vuông góc BC tại H. b) CM: AB 2 = AM.AN. c) CM: O, H, M,N cùng thuộc 1 đường tròn. d) Giả sử AM = 5cm và góc BOC= 120 0 ,.Tính độ dài AM và S AON . 9. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R), hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. a/ Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp được đường tròn có tâm là M. Xác đònh vò trí của M b/ Tia AH cắt BC tại D. Chứng minh: EB là tia phân giác của FED ˆ c/ Đường thẳng EF cắt (O) tại M và N (điểm F nằm giữa N và E). Chứng minh tam giác AMN cân. d/ Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD 10. Cho (O,R), OP = 2R. Vẽ cát tuyến PAB, từ a và B vẽ 2tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M. Gọi H là hình chiếu của M trên OP. a/ Chứng minh OM vuông góc với AB tại I và tứ giác MIHP nội tiếp. b/ Chứng minh OH . OP = OI . OM c/ Chứng minh độ dài OH luôn không đổi khi cát tuyến PAB quay quanh P d/ Cho OI= 3 R . Tính diện tích tam giác AHP theo R câu c: OH = 2 R câu d: S AHP = ( ) 24 2235 2 −R đvS . trung điểm của BC và tứ giác AHKC nội tiếp b) AM là tia phân giác của góc HAO c) 4 điểm A, E, H, I cùng thuộc 1 đường tròn 3. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), Cho tam giác ABC nội tiếp (O), M là trung. tập tứ giác nội tiếp 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm E và vẽ (K) đường kính EC cắt BC tại M, tia BE cắt (K) tại D, AD cắt (K) tại S. CMR: a) Các tứ giác ABCD, ABME nội tiếp b). tại H. Tia CN cắt (O) tại E. a) CM: Các tứ giác ANHM, BNMC nội tiếp , xác đònh tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BNMC. b) CM: MN vuông góc với tiếp tuyến xy tại A của (O). c) CM: E và