Chuyên đề Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông

c b a B A C c b a h B A C H Ngày soạn : / . / 2009 Ngày giảng: / / 2009 CH 1: Hệ thức lợng trong tam giác vuông I./ Mục tiêu: * Giúp học sinh củng cố các kiến thức cơ bản về các hệ thức trong tam giác vuông, các tỉ số lợng giác. * Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, t duy tính toán thông qua cá bài tập cơ bản và phát triển nâng cao * Giáo dục tinh thần tự giác trong học tập, lao động, t duy độc lập sáng tạo. II/ Nội dung: I. Kiến thức cơ bản: 1) Các hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông - Định lí 1: b 2 = a. c ; c 2 = a .c - Định lí 2: h 2 = b .c - Định lí 3: b.c = a.h ` - Định lí 4: 2 1 h = 2 1 b + 2 1 c 2) Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông b = a.SinB = a.CosC c = a.SinC = a.CosB b= c.TgB= c.CotgC c = b.TgC = b.CotgB - Nếu biết 1 góc nhọn thì góc còn lại là 90 0 - - Nếu biết 2 cạnh thì tìm 1 tỉ số LG của góc Tìm góc đó bằng cách tra bảng - Dùng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuôn - Từ hệ thức : b = a.SinB = a . CosC a = SinB b = CosC b c = a. SinC = a . CosB a = SinC C = CosB C 30 Ví dụ minh hoạ Ví dụ1: Cho vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4 . Khi đó độ dài các cạnh huyền là A. 4 B. 5 C. 6 D. một gía trị khác Ví dụ2: Với đề bài nh bài tập 1 và kẻ đờng cao ứng với cạnh huyền . Khi đó độ dài đờng cao là A. 1,3 B. 2 C. 2,4 D. 1 giá trị khác Ví dụ3: Cho có các độ dài các cạnh nh sau. nào là vuông ? A. ( 2,3,4) B. ( 6,9,10) C. ( 7,24,25) D. ( 3,5,6 ) Ví dụ4: Cho ABC ( A = 1v), AH BC ; AB = 6, AC = 8 Tính AH = ? HB = ? HC = ? 1 H B A C 25 16 B A C H 3 4 B A C H Theo pi ta go : ∆ ABC ( A ˆ = 1v) BC = 22 ACAB + = 22 86 + = 100 = 10 - Tõ ®/lÝ 3: AH. BC = AB . AC ⇒ AH = BC ACAB. = 10 8.6 = 4,8 Tõ ®/lÝ 1: AB 2 = BC. HB ⇒ HB = BC AB 2 = 10 6 2 = 3,6 AC 2 = BC . HC ⇒ HC = BC AC 2 = 10 8 2 = 6,4 VÝ dô5: ∆ ABC( A ˆ = 1v) ; AH ⊥ BC GT AH = 16 ; HC = 25 KL AB = ? ; AC = ? ; BC = ? ; HB = ? Híng DÉn - Pi ta go ∆ AHC ( H ˆ = 1v) AC = 22 HCAH + = 22 2516 + = 881 = 29,68 Tõ ®/lÝ 1: AC 2 = BC.HC BC = HC AC 2 = 25 )68,29( 2 ≈ 35,24 Pi ta go ∆ ABC ( A ˆ = 1v) AB = 22 ACBC − = 22 68,2924,35 − ≈ 18,99 Tõ ®/lÝ 2: AH 2 = HB.HC ⇒ HB = HC AH 2 = 25 16 2 = 10,24 VÝ dô6: Cho ∆ ABC ( A ˆ = 1v) ; AB = 3 ; AC = 4 a) TÝnh tØ sè lîng gi¸c cña C ˆ b) Tõ KQ ( a) ⇒ c¸c tØ sè lîng gi¸c cña gãc B Híng DÉn a. Theo Pi ta go ∆ ABC ( A ˆ = 1v) BC = 22 ACAB + = 22 43 + = 25 = 5 SinC = BC AB = 5 3 ; CosC = BC AC = 5 4 ; tgC = AC AB = ; 4 3 CotgC = AB AC = 3 4 Do B ˆ vµ C ˆ lµ hai gãc phô nhau SinB = cosC = 5 4 ; cosB = sinC = 4 3 gB = cotgC = 3 4 ; cotgB = tgC = 4 3 2 6 C A B C D A B H K 60 C B A P Ví dụ7: Cho ABC ( A = 1v) ; AB = 6 ; B = tg = 12 5 . Tính a) AC = ? b) BC = ? a. tg = AB AC = 12 5 AC = AC AB.5 = 12 5.6 = 2,5 (cm) b) Pi ta go ABC ( A = 1v) BC = 22 ACAB + = 22 )5,2(6 + = 25,42 = 6,5 (cm) Bài tập về nhà : Đơn giản biểu thức 1). 1 Sin 2 = ? 2). (1 - cos ).(1+ cos ) = ? 3). 1+ sin 2 + cos 2 = ? 4). sin - sin .cos 2 = ? 5). sin 4 + cos 4 + 2sin 2 .cos 2 = ? 6).Không dùng bảng số và máy tinh. Hãy so sánh các tỉ số LG theo thứ tự từ lớn đến nhỏ: Cotg25 0 ; tg32 0 ; cotg18 0 ; tg44 0 ; cotg62 0 Gợi ý a) sin 2 + cos 2 = 1 thay vào và thu gọn Đs : cos 2 b) Dùng A 2 -B 2 và gợi ý phần a) Đs : = sin 2 c) Đs : = 2 d) đặt thừa số chung Đs : sin 3 e) HĐT : ( A+B ) 2 Đs: = 1 Ví dụ8: Tính S hình thang cân . Biết hai cạnh đáy là 12cm và 18cm . góc ở đáy bằng 75 0 Hớng Dẫn Kẻ AH ; BK CD Ta có : AB = KH = 12 (cm) DH + KC = DC HK = 18 12 = 6 DH = 2 6 = 3 (cm) AH = DH.tgD = 3 . 3,732 = 11,196 S ABCD = 2 ).( AHDCAB + = 2 196,11).1812( + = 167,94 (cm) Ví dụ9: Cho ABC có góc A = 20 0 ; B = 30 0 ; AB = 60cm . Đờng cao kẻ từ C đến AB cắt AB tại P ( hình vẽ) . Hãy tìm a) AP ? ; BP ? b) CP ? 3 60 C B A P H x ? 9 20 H C B A Híng DÉn a) KÎ AH ⊥ BC ; ∆ AHB ⊥ t¹i H ⇒ AH = AB . SinB = 60.Sin30 0 = 60. 2 1 = 30 ∆ AHC ( H ˆ = 1v) AH = AC. Cos40 0 ⇒ AC = 0 40Cos AH = 7660,0 30 = 39,164 ∆ APC cã ( P ˆ = 1v) AP = AC.Cos 20 0 = 39,164 . 0,9397 = 36,802 PB = AB – AP = 60 – 36,802 = 23, 198 b) ∆ APC ( P ˆ = 1v) CP = AC. Sin20 0 = 39,164 . 0,342 = 13, 394 HỆ THỨC LƯỢNG CÁC BÀI TOÁN HAY GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ (Đề sưu tầm từ các vòng thi Olypic đầu tiên- lớp 9) Bài 1:Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài AH. Lời giải sơ lược: 4 x 2x 8cm 60 ° H C B A 10 cm 1cm D C B A x 4 10 4 D C B A 10cm X X H K D C B A Đặt BH = x. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông ở A, có đường cao AH ta được: AB 2 = BH. BC hay 20 2 = x(x + 9). Thu gọn ta được phương trình : x 2 + 9x – 400 = 0 Giải phương trình này ta được x 1 = 16; x 2 = –25 (loại) Dùng định lý Pitago tính được AH = 12cm Lưu ý : Giải PT bậc 2 nên dùng máy tính để giải cho nhanh. Thuộc một số bộ ba số Pitago càng tốt để mau chóng ghi kết qu Bài 2: Cho tam giác ABC , µ 0 60B = , BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ dài cạnh AB. Lời giải sơ lược: Kẻ AH ⊥ BC. Đặt AB = 2x. Từ đó tính được BH = x và AH = x 3 ; HC = 8 – x Áp dụng định lí Pitago ta cho tam giác AHC vuông tại H Ta có: AC = ( ) ( ) 2 2 3 8x x+ − = 2 4 16 64x x− + Do AB + AC = 12 nên 2x + 2 4 16 64x x− + = 12 Giải PT trên ta được : x = 2,5 AB = 2.2,5 = 5cm Chú ý: Ta cũng tính được chu vi tam giác ABC = 20cm . Diện tích tam giác ABC = 10 3 cm. Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác. Biết rằng AD = 1cm; BD = 10 cm. Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phân) Bài giải sơ lược Áp dụng định lí Pitago tính được AB = 3cm. Đặt BC = x , dùng Pitago tính được AC = 2 9x − . Do AD = 1 nên DC = 2 9x − – 1 x Tam giác ABC có BD là phân giác góc ABC nên : AB AD BC DC = hay 2 3 1 9 1 x x = − − . Từ đó ta được phương trình 8x 2 – 6x – 90 = 0 Xử dụng máy tính tìm được x = 3,75cm Trả lời : BC = 3,75cm Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A; BD là phân giác . Biết AD = 4cm; BD = 4 10 cm . Tính diện tích tam giác ABC. (Nhập kết quả dưới dạng phân số) - Hướng dẫn: Giải giống như bài 3. Chú ý nhập kết quả theo yêu cầu. Bài 5: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó. Bài giải sơ lược: Kẻ AH ⊥ CD ; BK ⊥ CD. Đặt AH = AB = x ⇒ HK = x 5 2x 12 15,6 // // K H C B A ∆ AHD = ∆ BKC (cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra : DH = CK = 10 2 x− . Vậy HC = HK + CK = x + 10 2 x− = 10 2 x + Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH Ta có : AH 2 = DH . CH hay 2 10 10 . 2 2 x x x − + = ⇔ 5x 2 = 100 Giải phương trình trên ta được x = 2 5 và x = – 2 5 (loại) Vậy : AH = 2 5 Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC. Bài giải sơ lược: Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x Áp dụng định lí Pitago tính được AC = 2 2 15,6 x+ Từ hai tam giác vuông KBC và HAC đồng dạng ta được: BC KB AC AH = hay 2 2 2 12 15,6 15,6 x x = + Đưa về phương trình 15,6 2 + x 2 = 6,76x 2 Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5 Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm) Bài 7: Tính giá trị của biểu thức : A = cos 2 1 0 + cos 2 2 0 + cos 2 3 0 + . . . . + cos 2 87 0 + cos 2 88 0 + cos 2 89 0 – 1 2 Hướng dẫn: α + β = 90 0 ⇒ sin α = cos β ; cos α = sin β ; . và cos45 0 = 2 2 ta được: A = cos 2 1 0 + cos 2 2 0 + cos 2 3 0 + . . . . + cos 2 87 0 + cos 2 88 0 + cos 2 89 0 – 1 2 = (cos 2 1 0 + cos 2 89 0 ) + (cos 2 2 0 + cos 2 88 0 ) + +(cos 2 44 0 + cos 2 46 0 )+cos 2 45 0 – 1 2 = (cos 2 1 0 + sin 2 1 0 ) + (cos 2 2 0 + sin 2 2 0 ) + + (cos 2 44 0 + sin 2 44 0 ) + 2 2 2    ÷  ÷   – 1 2 = 1.44 = 44 Bài tập tương tự: Tính giá trị các biểu thức sau: a) B = sin 2 1 0 + sin 2 2 0 + sin 2 3 0 + . . . . + sin 2 87 0 + sin 2 88 0 + sin 2 89 0 – 1 2 . b) C = tg 2 1 0 . tg 2 2 0 . tg 2 3 0 . . . . tg 2 87 0 . tg 2 88 0 . tg 2 89 0 . c) D = (tg 2 1 0 : cotg 2 89 0 ) + (tg 2 2 0 : cotg 2 88 0 ) + . . . . + (tg 2 44 0 : cotg 2 46 0 ) + tg 2 45 0 . Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 108cm 2 . Biết AB – BC = 3cm. Tính chu vi của hình chữ nhật ABCD ? 6 y x 108 cm 2 108cm 2 D C BA = = // // F E D C B A b c a // // 2 1 1 M D I C B A Hướng dẫn: Đặt AB = x (cm) và BC = y(cm) với x >y. Tính x và y rồi suy ra chu vi của hình chữ nhật bằng 2(x + y) Cách 1: Ta có S ABCD = x.y hay x.y = 108 Từ x – y = 3 . Suy ra (x – y) 2 = 9 hay (x + y) 2 – 4xy = 9 (1) Thay xy = 108 vào (1) ta được (x + y) 2 = 441 ⇒ x + y = 21 Kết hợp với giả thiết x – y = 3 ta được kết quả x = 12 và y = 9 Vậy chu vi của hình chữ nhật là 2(12 + 9) = 42 cm Cách 2: Từ x – y = 3 ⇒ y = x – 3 thay vào đẳng thức x. y = 108 ta được phương trình: x (x – 3) = 108 ⇔ x 2 – 3x – 108 = 0 (1) ⇔ x 2 – 12x + 9x – 108 = 0 ⇔ ( x – 12)(x + 9) = 0 Nghiệm dương của phương trình x = 9. Từ đó tìm y và trả lời kết quả. Lưu ý: Giải phương trình (1) trên máy tính để đưa ra kết quả nhanh hơn. Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích 504 dm 2 . Biết AB – AC = 47dm. Tính độ dài AB và AC. Hướng dẫn: AB = x ; AC = y ta có: x – y = 47 và x.y = 1008 . Từ đó ta được phương trình: x 2 – 47x – 1008 = 0. Nghiệm dương trên máy tính x = 63 Trả lời: AB = 63 cm ; AC = 16cm Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 3 5 cm. Hình vuông ADEF cạnh bằng 2 cm có D ∈ AB , E ∈ BC , F ∈ AC. Biết AB > AC và 4 9 ADEF ABC S S= . Tính AB ; AC. Hướng dẫn: Đặt AB = x , AC = y( x > y > 0). Ta có x 2 + y 2 = ( ) 2 3 5 = 45. (1) Hình vuông ADEF có cạnh bằng 2 nên 4 ADEF S = Mà 4 9 ADEF ABC S S= nên S ABC = 9.Do đó: x.y = 18 hay 2xy =36(2) Từ (1) và (2) suy ra: (x + y) 2 = 81 và (x – y) 2 = 9 Do x > y > 0 nên x + y = 9 và x – y = 3 Vậy x = 6 và y = 3. Trả lời: AB = 6 (cm) và AC = 3 (cm) Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC; Gọi I là giao điểm các đường phân giác , M là trung điểm BC. Cho biết · 0 90BIM = . Tính BC : AC : AB ? Hướng dẫn: Chú ý · 0 90BIM = ; I là giao điểm các đường phân giác ta tính được · 0 45DIC = , từ đó chứng minh được BC = 2CD và AB = 2AD. Xử dụng tính chất đường phân giác BD kết hợp với định lý pitago ta tìm được mối quan hệ giữa ba cạnh tam giác. Lời giải: Đặt BC = a ; AC = b ; AB =c ; D = BI I AC . 7 A / / // // 6 9 N M C B // // 10 13 K H CB A µ µ µ 2 1 1 I B C= + (góc ngoài tam giác BIC) = · · ( ) 1 2 ABC ACB+ = 0 0 1 .90 45 2 = (do BI và CI là phân giác của các góc B và C và ∆ ABC vuông ở A); kết hợp với giả thiết · 0 90BIM = ta được µ 0 1 45I = . Vậy ∆ CIM = ∆ CID (g.c.g) Do đó : CM = CD mà BC = 2CM nên BC = 2CD hay a = 2CD. (1) BD là phân giác của tam giác ABC nên AB AD BC DC = hay AB BC AD CD = = 2. Vậy AB = 2AD hay c = 2AD. (2) Từ (1) và (2) ta được a + c = 2CD + 2AD = 2(CD + AD) = 2AC = 2b (3) Mà a 2 – c 2 = b 2 hay (a – c)(a + c) = b 2 kết hợp với a + c = 2b ta được a – c = 2 b (4) Cộng (3) và (4) vế theo vế ta được 2a = 5 2 b . Vậy a = 5 4 b . Do đó c = 3 4 b . Vậy a : b : c = 5 3 : : 4 4 b b b = 5 3 :1: 4 4 = ( 5 .4 4 ): (1.4) : ( 3 4 .4) = 5 : 4 : 3 Trả lời: BC : AC : AB = 5 : 4 : 3 Lưu ý: Bài toán này được trích từ Quyển “Nâng cao và phát triển Toán 9- Vũ Hữu Bình” có sửa đổi để phù hợp với đề thi trắc nghiệm. Bài 11: Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm. Hướng dẫn: Đặt AB = x ; AN = y ⇒ AC = 2y. Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền ta được BC = 2AM = 2.6 = 12 cm Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC và ABN vuông tại A Ta được: x 2 + 4y 2 = 144 (1) và x 2 + y 2 = 81 ⇔ y 2 = 81 – x 2 (2) Thay (2) vào (1) ta được phương trình : x 2 + 4( 81 – x 2 ) = 144 Thu gọn phương trình trên ta được phương trình : 3x 2 = 180 Nghiệm dương của phương trình : x = 2 5 Trả lời: AB = 2 5 cm Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13cm ; BC = 10cm . Tính cos A . Hướng dẫn: Kẻ các đường cao AH và BK . Từ tính chất của tam giác cân và định lí Pi ta go ta tính được CH = 5cm ; AH = 12 cm Xử dụng cặp tam giác đồng dạng KCB và HCA ta tính được CK = 50 13 ⇒ AK = 119 13 Vậy cos A = AK AB = 119 13 : 13 = 119 169 Trả lời: cos A = 119 169 CHUYÊN ĐỀ TỰ CHỌN NÂNG CAO HÌNH 9 CHỦ ĐỀ : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG • Hệ thức lượng trong tam giác vuông A- Nhắc lại lí thuyết : 8 Cho tam giác ABC có Â = 90 0 , gọi AB = c , AC = b , BC = a . Ta có một số công thức như sau: c b c' h b' b 2 = ab' c 2 = ac' bc = ah h 2 = b'c' 1 h 2 = 1 b 2 + 1 c 2 H B C A B- Một số bài tập áp dụng: BT1 : ( SBT Toán 9 Tập 1 )Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1 cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4cm. Hãy tính các cạnh góc của tam giác này? HD: b a c c-1=a;a+b-c=4; a 2 +b 2 =c 2 Suy ra b =5 ; Thay a = c-1 & b =5 → (c-1) 2 +5 2 =c 2 A B C Từ đó có c = 13cm và a = 12 cm BT 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30 cm và chu vi tam giác ACH là 40 cm. Tính chu vi tam giác ABC HD: Gọi chu vi , ,AHB CHA CAB∆ ∆ ∆ lần lượt là p 1 ,p 2 , p 3 AHB ∼ CHA → p 1 p 2 = AB AC = 3 4 = .= BC 5 Suy ra AB 3 = AC 4 = BC 5 & AHB ∼ CHA ∼ CAB H B C A Từ đó tính được chu vi ABC∆ bằng 50 cm. BT 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có dường phân giác trong AF. Biết BD = 3cm, DC = 4 cm. Tính các cạnh của tam giác ABC ? HD: Theo tính chất của đường phân giác trong thì 2 2 2 3 49 4 3 4 9 16 25 25 AB DB AB AC AB AC BC suyra AC DC = = = = = = = . Từ đó tính được AB, BC, AC . Đáp số AB = 4,2cm; AC = 5,6 cm; BC = 7 cm BT 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E . Chứng minh: CD 2 + BE 2 = CB 2 + DE 2 . HD: Áp dụng Pytago cho các tam giác ADC, ABE 9 F E H B C A CD 2 =AD 2 +AC 2 & BE 2 = AB 2 +AE 2 CD 2 +BE 2 =AD 2 + AC 2 +AB 2 +AE 2 ma AC 2 +AB 2 =BC 2 & AD 2 +AE 2 =DE 2 C A B E D BT 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng: a) 3 FB AB FC AC   =  ÷   b) BC . BE . CF = AH 3 HD: Hình vẽ bên a) Trong AHB∆ có HB2 = BE . BA (1) ; AHC∆ có HC2 = CF . CA (2 ) Từ (1) và (2) có : 2 2 . HB BE AB HC FC AC = . Trong ABC∆ có :AB2 = BH . BC và AC2 = HC . BC suy ra 2 4 2 2 HB AB HB AB HC AC HC AC     = ⇔ =  ÷  ÷     Vậy 3 EB AB FC AC   =  ÷   . b) BE BH ABC EBH BA BC ∆ ∆ → =: . Thay 2 3 2 AB AB BH BE BC BC = → = (3) Tương tự ta cũng có 3 2 AC CF BC = ( 4) . tỪ (3) VÀ (4) Ta có BE .CF = 3 3 4 .AB AC BC . Mà AB. AC = BC . AH nên BC . BE . CF = AH 3 • VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC KHÔNG VUÔNG. A- Lí thuyết Mọi tam giác nhọn đều có thể vẽ đường cao để tạo ra 2 tam giác vuông . Mọi tam giác tù cũng có thể kẻ đường cao để tạo ra 1 tam giác vuông hoặc 2 tam giác vuông . Một số công thức cho tam giác không vuông ( Các kí hiệu như trong tam giác vuông ) +S = 1 2 bc . sin A = 1 2 ca. sinB = 1 2 ab .sin C (1) +S = ( )( )( )p p a p b p c− − − (2) Công thức Heron ; p là nửa chu vi tam giác +S = 4 abc R (3) 10 [...]... tròn Đờng kính và dây của đờng tròn I./ Mục tiêu: * Giúp học sinh tiếp tục củng cố các kiến thức cơ bản về các hệ thức trong tam giác vuông, các tỉ số lợng giác * Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, t duy tính toán thông qua cá bài tập cơ bản và phát triển nâng cao * Giáo dục tinh thần tự giác trong học tập, lao động, t duy độc lập sáng tạo *Củng cố về cách xác định đờng tròn *Vận dụng kt vào chứng minh bài tập... xúc ngoài : OO = R + r b Tiếp xúc trong : OO = R r > 0 3) Hai đờng tròn không giao nhau: a Hai đờng trong ở ngoài nhau: OO > R + r b Hai đờng tròn đựng nhau: OO < R r 3) Các Ví Dụ minh hoạ: Ví dụ1: ABCD là hình vuông O giao 2 đờng chéo , OA = 2 cm Vẽ ( A; 2 ) trong 5 điểm A,B, C, D , O Điểm nào năm bên trong, bên ngoài đờng tròn ? Hớng Dẫn OA = 2 2 = R O nằm bên trong (A) AB = AD = 2 = R B , D... đờng vuông góc kẻ từ A và B đến d , gọi H là chân đờng vuông góc kẻ từ C đến AB Chứng minh rằng a) CE = CF b) AC là tia p /giác của BAE 19 c) CH2 = AE.BF Chứng minh: a) Ta có: AE d ; BF d AE // BF Tứ giác AEFB là hình thang Mà : OA = OB = R OC // AE // BF CE = CF ( Đ/ lí đờng TB ) b) AOC có : OC = OA = R AOC cân tại O C1 = A2 A1 = C1 ( so le vì AE // OC ) A1 = A2 Nên AC là phân giác. .. ứng với cạnh CD AM = 0 A 0' 1 CD 2 ACD vuông tại A CAD = 900 b)Ta có MO , M0 làtia phân giác hai góc kề bù AMC và AMD OMO = 900 Nên OMO vuông tại M Nên MA là đờng cao Theo hệ thức lợng : MA2 = OA.OA = 4,5 2 = 9 MA = 9 = 3 Vậy CD = 2.M = 2.3 = 6 (cm) 15 BI TP V NG TRềN ( T LU Y N) Bi 1: Cho tam giỏc ABC nhn ni tip ng trũn (O) ng kớnh AD Gi H l trc tõm ca tam giỏc a) Tớnh s o gúc ABD b) T giỏc...+ S = pr (4) Trong ú R l bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc, r l bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc + Nu a2 < b2 + c2 thỡ gúc A nhn ( HS t chng minh iu ny nh mt bi tp ) + a2 = b2 + c2 2bc.cosA ; b2 = a2 + c2 2ac.cosB ; c2 = b2 + a2 2ba.cosC +Chng minh : H thc (1) V thờm ng cao AH thỡ trong AHB cú AH = c.sin B Do ú din tớch ABC l : 1 1 1 S = AH BC... tam giỏc nhn ABC cú di ba cnh l a,b,c ( nh cỏch gi thụng thng ) Tớnh din tớch tam giỏc theo a,b,c ? HD: V ng cao AH vuụng gúc BC, gi BH = x thỡ HC = a x p dng Pytago cho tam giỏc AHB v AHC ta cú : A A b c a-x x B b c h H AH2 = c2 x2 = b2 ( a x )2 C B a-x x H a C Trong AHB cú AH2 = AB2 HB2 AH 2 = c 2 x 2 (1) v 2 Trong AHC cú AH2 = AC2 HC2 AH 2 = b 2 ( a x ) (2) T (1) v (2) ta cú c2 x2... AH2 = HB HD = HB HC + cỏch 2 : ng dng tam giỏc ng dng ( HS v nh nghiờn cu ) Hỡnh v gi ý 1 2 2 A 1 B C H ý rng HAC : HBA à à BT 5: Cho tam giỏc ABC bit a = 3 + 3 , B = 450 ; C = 600 a) Tớnh di nh cao AH? b) Tớnh ? di cnh b, c v din tớch tam giỏc ABC? c) T cỏc kt qu trờn, tớnh cos 750 ? HD: 13 A B 60 45 H C AHB vuụng cõn ,d thy AH = BH = x ( do ta t ) Trong AHC cú CH = xcotgC = x suy ra a =... trung tuyn ca tam 1 giỏc ABC ta cú a2 + c2 = 2BM2 + AC2 2 Tng t ỏp dung tớnh cht trung tuyn cho tam giỏc ADC ta cú 1 b2 + d2 = 2DM2 + AC2 2 B a A c d N M D b C Cng tng v ta cú a2 +b2 +c2 +d2 =m (BM2 + DN2 ) + AC2 (1) 1 1 Ta li cú BM2 + DM2 = 2MN2 + BD2 = 2( b a / 2)2 + BD2 Thay vo (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A +b +c +d = (b a) + BD +AC T BD2 + AC2 = c2 +d2 + 2ab Chỳ ý : H thc v trung tuyn trong tam giỏc nh... thờm BE // AC thỡ tam giỏc BDE vuụng ti B BT 3: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD , AB = 25 cm, BC = 35 cm, gúc BAD = 1250 Cỏc ng phõb giỏc ca gúc A v B ct nhau ti P, cỏc ng phõn giỏc ca gúc C v D ct nhau ti Q a) Chng minh APB v CQD l nhng tam giỏc vuụng? b) Tớnh AP, BP , PQ ? HD: Hỡnh v A H A B K K P D Q M D C L H B P M Q L C à +B A à = 900 , do ú APB vuụng ti P Tng t CQD vuụng ti Q 2 ã b) Trong APB cú AP =... Tứ giác OCAD là hình gì ? tại sao ? b) Kẻ tiếp tuyến với (O) tại C tiếp tuyến này cắt OA tại I Tính độ dài CI , biết OA = R Chứng minh: a) Gọi H là giao điểm của OA và CD C Ta có : OA CD ( gt) HC = HD ( đ/lí 2) Mà tứ giác OCAD có : OH = HA ( gt) 0 HC = HD ( Cm trên) A OCAD là hình bình hành H Mà OA CD OCAD là H ình Thoi b) AOC có : OC = CA ( cạnh H Thoi) OC = OA = R OC = CA = OA nên AOC đều . đường cao để tạo ra 1 tam giác vuông hoặc 2 tam giác vuông . Một số công thức cho tam giác không vuông ( Các kí hiệu như trong tam giác vuông ) +S = 1 2 bc. DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC KHÔNG VUÔNG. A- Lí thuyết Mọi tam giác nhọn đều có thể vẽ đường cao để tạo ra 2 tam giác vuông . Mọi tam giác tù cũng