Chuyên đề liên hệ giữa cung và dây - THCS.TOANMATH.com

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng nửa đường tròn lấy hai điểm C, D.. Trường hợp 1: Tâm O ở giữa của hai dây. a) HS tự chứng minh.. a) HS tự chứng minh. a) HS tự chứng minh.. b)[r]

LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định lí

Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau:

a) Hai cung căng hai dây

b) Hai dây căng hai cung

2 Định lí

Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau:

a) Cung lớn căng dây lớn

b) Dây lớn căng cung lớn

3 Bổ sung

a) Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song

b) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung

Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây (khơng qua tâm) qua điểm cung bị căng dây

c) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại

II BÀI TẬP MINH HỌA

A.BÀI MINH HỌA

Phương pháp giải: Để giải toán liên quan đến cung dây, cần nắm định nghĩa góc tâm kết hợp với liên hệ cung dây

1 Chứng minh hai cung bị chắn hai dây song song

3 Giả sử AB dây cung đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm C D cho AC BD. Chứng minh AB CD song song

4 Giả sử ABC tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH cắt đường trịn (O) D Kẻ đường kính AE đường tròn (O) Chứng minh:

a) BC song song với DE;

b) Tứ giác BCED hình thang cân

5 Cho đường trịn (O) đường kính AB đường trịn (O') đường kính AO Các điểm C, D thuộc

đường tròn (O) cho B CD BC < BD Các dây AC AD cắt đường tròn (O') theo thứ tự E F Hãy so sánh:

a) Độ dài đoạn thẳng OE OF;

b) Số đo cung AE AF đường tròn (O')

6 Cho đường tròn tâm o đường kính AB Vẽ hai dây AM BN song song với cho sđ BM < 90° Vẽ dây MD song song với AB Dây DN cắt AB £ Từ R vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM C Chứng minh:

a) AB  DN; b) BC tiếp tuyến đường tròn (O)

7 Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB C điểm nửa đường trịn Trên

cung CA CB lấy điểm M N cho CMBN Chứng minh: a) AM = CN; b) MN = CA = CB

8 Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy hai điểm C, D Kẻ CH vng góc với AB H, CH cắt (O) điểm thứ hai E Kẻ AK vng góc với CD K, AK cắt (O) điểm thứ hai F Chứng minh:

a) Hai cung nhỏ CF DB nhau;

b) Hai cung nhỏ BF DE nhau; c) DE = BF

1 Trường hợp 1: Tâm O hai dây

Kẻ OM AB suy OM  CD N

Ta chứng minh AOM BOM (1)

Tương tự CON DON (2)

Từ (1), (2)  AOC BOCAC BD

Trường hợp 2: Tâm O nằm khoảng hai dây Kẻ OM  AB suy OM  CD N

Tương tự AOC BOCAC BD

2 Ta chứng minh AD BE, mà CD AB nên Từ suy

* Cách khác:Chứng minh AOC BOE   ĐPCM

3 Ta lấy K điểm cung nhỏ AB

Ta chứng minh CK KD Từ ta có OK  CD, OK  AB  CD//AB

4

a) HS tự chứng minh

b) Ta chứng minh BE CD từ suy BE = CD tứ giác BDEC hình thang cân

a) Ta chứng minh E trung điểm AC nên OE BC

Tương tự ta có OF  DB

Mà BC < BD ta suy OE < OF

b) Chứng minh AE2 = AO2 - OE2 AF2 = AO2 - OF2

Từ ta có

AE2 > AF2  AE > AF

 sđ AE sđ AF

6

a) HS tự chứng minh

b) Ta chứng minh tứ giác BCEN hình bình hành  BC = EN

Do BCDE hình bình hành

 BC = ED; DE = EN

 BA EN  BA  BC

 BC tiếp tuyến

7

a) HS tự chứng minh

b) Chứng minh MN CA CB   ĐPCM 8 a) HS tự chứng minh

b) Từ giả thiết ta có AB đường trung trực

   

CEBC BE BF DE

B.BÀI TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho đường tròn  O đường kính ABvà cungAC có số đo nhỏ 900 Vẽ dây CD

vng góc với ABvà dây DEsong song với AB

Chứng minh: AC BE

Bài 2: Cho đường trịn O R;  có hai dây cung AB CD vng góc với I (C thuộc cung nhỏ AB) Kẻ đường kính BE  O Chứng minh:

a) AC DE

b) IA2IB2IC2ID2 4 R2

c) AB2CD2 8R24OI2

Bài 3: Giả sử tam giác ABC tam giác nhọn nội tiếp đường tròn  O Đường cao AH cắt

đường tròn  O D Kẻ đường kính AE đường trịn  O Chứng minh:

a) BC song song với DE

b) Tứ giác BCED hình thang cân

Bài 4: Trên dây cung AB  O , lấy điểm C D, chia dây thành đoạn

AC CD DB  Các bán kính qua C D cắt cung nhỏ AB E F Chứng minh:

a)AE FB

b)AE EF

Bài 5: Cho đường tròn  O đường kính AB Trên nửa đường trịn lấy hai điểm C D, Kẻ CH

vuông góc với AB H, CH cắt ( )O điểm thứ hai E Kẻ AK vng góc với CD K, AK

cắt O điểm thứ hai F Chứng minh :

a) Hai cung nhỏ CF , DB

b) Hai cung nhỏ BE , DE

Bài 6: Cho đường trịn  O đường kính AB Vẽ hai dây AM BN song song với cho

số đo cung nhỏ BM 900 Vẽ dây MDsong song với AB Dây DN cắt AB E Chứng minh:

a) BMAD b) DN AB c) DE EN

Bài 7: Cho đường trònO R,  dây AB Gọi M N điểm cung nhỏ AB, cung lớnAB P trung điểm dây cungAB

a) Chứng minh bốn điểm M N O P, , , thẳng hàng

b) Xác định số đo cung nhỏAB để tứ giácAMBO hình thoi

HƯỚNG DẪN

Bài 1: Cho đường tròn  O đường kính ABvà cungAC có số đo nhỏ 900 Vẽ dây CD

vng góc với ABvà dây DEsong song với AB

Chứng minh: AC BE Giải

Ta có: CD AB AB DE CDDECE đường kính  O

Chứng minh được:

 .   

AOC BOE c g c AC BE

    

E D

C

B O

Bài 2: Cho đường tròn O R;  có hai dây cung AB CD vng góc với I (C thuộc cung nhỏ AB) Kẻ đường kính BE  O Chứng minh:

a) AC DE

b) 2 2 IA IB IC ID  R

c) AB2CD2 8R24OI2

Giải

a) Dễ dàng chứng minh được: AC DE b) Gợi ý:

2 2

2 2 IA IC AC IB ID BD

 

 

Và AC DE

Lại có: 2  2

2

BD DE BE  R  R

c) Gợi ý:

Lấy M N; trung điểm AB CD;

Ta có:

   

2 4 4 4 2 4 2 AB CD  AM  CN  R OM  R ON

( Chú ý : OM2ON2 OI2 )

Bài 3: Giả sử tam giác ABC tam giác nhọn nội tiếp đường tròn  O Đường cao AH cắt

đường tròn  O D Kẻ đường kính AE đường trịn  O Chứng minh: E

D C

B A

I

a) BC song song với DE

b) Tứ giác BCED hình thang cân

Giải

a) Chứng minh được:

ADDE ADBCDE BC

b) Ta có: DE BC

Chứng minh được:

 

BE CD BE CD BDEC

  



Là hình thang cân

Bài 4: Trên dây cung AB  O , lấy điểm C D, chia dây thành đoạn

AC CD DB  Các bán kính qua C D cắt cung nhỏ AB E F Chứng minh:

a)AE FB

b)AE EF Giải

H

E D

C B

A

a)  

   

BOF AOC BOD c g c

AOE AE BF

  

   

b) OC OD  OCDcân O

 900  900

OCD ECD

   

Xét CDE có:

 

ECD CED ED CD ED AC Xét AOC EOD có:

   

OA OE OC OD

AC ED

AOC EOD AE EF

  

   

Bài 5: Cho đường trịn  O đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy hai điểm C D, Kẻ CH

vng góc với AB H, CH cắt ( )O điểm thứ hai E Kẻ AK vng góc với CD K, AK

cắt O điểm thứ hai F Chứng minh :

a) Hai cung nhỏ CF , DB

b) Hai cung nhỏ BE , DE

c) DE BF Giải

F E

D C

B A

Có thể dùng Hình Hình 2:

Dưới Chứng minh theo Hình 1:

a)  

     

BF CD BC DF

BC CD DF CD BD CF

 

     



b) AB đường trung trực CE

   

     

BC BE BC BE DF BE

BE EF DF EF BF DE

     

     

c) BF DEBF DE

Bài 6: Cho đường trịn  O đường kính AB Vẽ hai dây AM BN song song với cho

số đo cung nhỏ BM 900 Vẽ dây MDsong song với AB Dây DN cắt AB E Chứng minh:

A H

F K

E D

C

B O

H K

F

E

D C

B

a) BMAD b) DN  AB c) DE EN Giải

a) Ta có:

 

MD AB MB AD

b)

 

 

AM BN BM AN AD AN AD AN AO

 

   

 

Là trung trực DN AODN c) DN AB E DE DN

Bài 7: Cho đường trònO R,  dây AB Gọi M N điểm cung nhỏ AB, cung lớnAB P trung điểm dây cungAB

a) Chứng minh bốn điểm M N O P, , , thẳng hàng

b) Xác định số đo cung nhỏAB để tứ giácAMBO hình thoi

Giải

M

N E D

B A

a) Ta có:

 

 

MA MB MA MB

NA NB NA NB

  

  

Mặt khác:

;

PA PB OA OB 

Nên điểm: M N O P, , , thẳng hàng (vì

nằm đường trung trực AB)

b) Tứ giác AMBO hình thoi

OA AM MB BO AOM       AOM 600 AOB 1200 SđAMB1200

- HẾT - P

O

N

B M