Toán lớp 12 bài 1 hệ tọa độ trong không gian

Bài 1 Hệ tọa độ trong không gian Hoạt động 1 trang 63 SGK Toán lớp 12 Hình học Trong không gian Oxyz, cho một điểm M Hãy phân tích vectơ OM theo ba vectơ không đồng phẳng i; j ; k đã cho trên các trục[.]

Bài : Hệ tọa độ không gian Hoạt động trang 63 SGK Tốn lớp 12 Hình học: Trong không gian Oxyz, cho điểm M Hãy phân tích vectơ OM theo ba vectơ khơng đồng phẳng i; j ; k cho trục Ox, Oy, Oz Lời giải: Giả sử tọa độ điểm M (x; y; z) ta có: OM = x.i + y j +z k Hoạt động trang 64 SGK Tốn lớp 12 Hình học: Trong khơng gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có AB; AD; AA' theo thứ tự hướng với i; j ; k có AB = a, AD = b, AA’ = c Hãy tính tọa độ vectơ AB; AC ; AC' AM với M trung điểm cạnh C’D’ Lời giải: Dựa vào đề ta có hình vẽ sau: Ta có: A(0; 0; 0) trùng với gốc tọa độ Vì B ∈ Ax nên B(a; 0; 0) (trong a độ dài đại số đoạn AB) Tương tự ta suy đỉnh D(0; b; 0), A′(0; 0; c) Điểm C thuộc mp (Axy) nên tọa độ C có dạng (x; y; 0) x độ dài đại số AB, y độ dài đại số AD Suy C(a; b; 0) a  Tương tự ta suy D′(0; b; c), B′(a; 0; c), C′(a; b; c), M  ;b;c  2  Từ đó, suy tọa độ vectơ là: a  AB = (a;0;0) ; AC = (a;b;0); AC' = (a;b; c) AM  ;b;c  2  Hoạt động trang 66 SGK Tốn lớp 12 Hình học: Với hệ tọa độ Oxyz không gian, cho a = (3;0;1); b = (1; − 1; − 2);c = (2;1; −1) Hãy tính a (b + c) a +b Lời giải: Ta có: b + c = (1 + 2; −1 + 1; ( −2 ) + ( −1) ) = (3;0; −3)  a (b + c) = 3.3 + 0.0 +1.(−3) = a + b = ( + 1;0 + ( −1) ;1 + ( −2 ) ) = (4; − 1; − 1)  a + b = 42 +(−1) +(−1) = 18 = Hoạt động trang 67 SGK Tốn lớp 12 Hình học: Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; –2; 3) có bán kính r = Lời giải: Phương trình mặt cầu là: (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 52 Bài tập Bài trang 68 SGK Tốn lớp 12 Hình học: Cho ba vectơ: a = (2; −5;3);b = (0;2; −1); c = (1;7;2) a) Tính tọa độ vectơ d = 4a − b + 3c b) Tính tọa độ vectơ e = a − 4b − 2c Lời giải: a)Ta có: 4a = 4.( 2; −5;3) = (8; −20;12); −1 −2 b = − ( 0;2; −1) = (0; ; ); 3 3 3c = (1;7;2 ) = (3;21;6) −2    55  Suy ra: d = 4a − b + 3c =  − + 3; −20 − + 21;12 − +  = 11; ;  3    3 b) Ta có: − 4b = −4 ( 0;2; −1) = (0; −8;4) −2c = −2 (1;7;2 ) = (−2; − 14; − 4) Vậy e = a − 4b − 2c = (0; − 27;3) Bài trang 68 SGK Tốn lớp 12 Hình học: Cho ba điểm A = (1; –1; 1), B = (0; 1; 2), C = (1; 0; 1) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Lời giải: Vì G trọng tâm tam giác ABC nên: xA + xB + xC  x = = G  3   y + yB + yC =0  yG = A   zA + zB + zC =  z G = 3 4 2 Vậy G  ; 0;  3 3 Bài trang 68 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 2), D = (1; –1; 1), C' = (4; 5; –5) Tính tọa độ đỉnh cịn lại hình hộp Lời giải: Ta có: AB = (1;1;1); AD = (0; − 1;0) Vì ABCD hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành: AC = AB + AD = (1 + 0;1 + ( −1) ;1 + ) = (1;0;1)  C = (2;0;2)  CC' = (2;5; −7) Vì ABCD.A'B'C'D' hình hộp nên: AA' = BB' = CC' = DD' = (2; 5; −7)  xA' − xA =  xA' = xA + =3   Ta có:  y A ' − y A =   y A ' = y A + =  A '(3;5; −6) z − z = −7 z = z − = −  A' A  A' A  x B' − x B =  x B' = x B + =   Tương tự:  y B' − y B =   y B' = y B + =  B'(4;6; − 5) z − z = −7 z = z − = −  B' B  B' B  xD' − xD =  xD' = xD + =3   Và  y D ' − y D =   y D ' = y D + =  D'(3;4; −6) z − z = −7 z = z − = −  D' D  D' D Bài trang 68 SGK Toán lớp 12 Hình học : Tính: a) a.b với a = (3;0; −6); b = (2; − 4;0) ; b) c.d với c = ( 1; −5;2);d = (4;3; −5) Lời giải: a) Ta có: a.b = 3.2 + 0.(−4) + (−6).0 = b) Ta có: c.d = 1.4 + (−5).3 + 2.(−5) =− 21 Bài trang 68 SGK Tốn lớp 12 Hình học : Tìm tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau đây: a) x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + = 0; b) 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x + 8y + 15z – = Lời giải: a) Ta có: x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + = Có: 2a = nên a = 4; 2b = nên b = 1; 2c = nên c = Vậy mặt cầu có tâm I(4; 1; 0) bán kính R = 42 + 12 + 02 −1 = b) Ta có: 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x + 8y + 15z – = 0;  x +y + z − 2x + y + 5z − = Có 2a =  a = 1;2b = −8 −5  b = − ;2c = −5  c = 3 Vậy mặt cầu có tâm I(1; −4 −5 ; ), 19  −4   −5  Và bán kính R = +   +   − (−1) =     2 Bài trang 68 SGK Tốn lớp 12 Hình học : Lập phương trình mặt cầu hai trường hợp sau đây: a) Có đường kính AB với A = (4; –3; 7), B = (2; 1; 3) b) Đi qua điểm A = (5; –2; 1) có tâm C = (3; –3; 1) Lời giải: a) Gọi I tâm mặt cầu Suy ra, I trung điểm AB (do AB đường kính) xA + xB  x = =3 I   y + yB    yI = A = −  I(3; −1;5)  zA + zB  z = =5  I (2 − 4) + (1 + 3) + (3 − 7) AB = =3 Bán kính R = 2 Vậy phương trình mặt cầu là: (x – 3)2 + (y + 1)2 + (z – 5)2 = b) Vì A nằm mặt cầu có tâm C nên bán kính R = CA = (3 − 5)2 + (−3 + 2)2 + (1 − 1) = Phương trình mặt cầu là: ( x – 3)2 + (y + 3)2 + (z – 1)2 = ... Hoạt động trang 66 SGK Toán lớp 12 Hình học: Với hệ tọa độ Oxyz không gian, cho a = (3;0 ;1) ; b = (1; − 1; − 2);c = (2 ;1; ? ?1) Hãy tính a (b + c) a +b Lời giải: Ta có: b + c = (1 + 2; ? ?1 + 1; (... −2 ) + ( ? ?1) ) = (3;0; −3)  a (b + c) = 3.3 + 0.0 +1. (−3) = a + b = ( + 1; 0 + ( ? ?1) ;1 + ( −2 ) ) = (4; − 1; − 1)  a + b = 42 +(? ?1) +(? ?1) = 18 = Hoạt động trang 67 SGK Toán lớp 12 Hình học:... 14 ; − 4) Vậy e = a − 4b − 2c = (0; − 27;3) Bài trang 68 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cho ba điểm A = (1; ? ?1; 1) , B = (0; 1; 2), C = (1; 0; 1) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Lời giải: Vì G trọng