Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 2 Hai đường thẳng vuông góc A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 93 SGK Toán lớp 11 Hình học Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của cạnh AB Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau[.]
Bài 2: Hai đường thẳng vng góc A Các câu hỏi hoạt động Hoạt động trang 93 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD có H trung điểm cạnh AB Hãy tính góc cặp vectơ sau đây: a) AB BC ; b) CH AC Lời giải: a) AC' = AC + AA' = AB + AD + AA' BD = AD − AB AC'.BD b) cos AC',BD = AC' BD ( ) ( )( AC'.BD = AB + AD + AA ' AD − AB ( ) ( ) ) = AB + AD + AA ' AD − AB + AD + AA ' AB Tứ diện ABCD có mặt tam giác a) Góc AB BC góc α α = 180o – 60o = 120o b) Góc CH AC góc β H trung điểm cạnh AB tam giác ABC nên CH vừa trung tuyến vừa đường cao nên CH ⊥ AB Xét tam giác vuông ACH H có ACH + CAH = 90 ACH = 90 − 60 = 30 Nên β = 180o – 30o = 150o Hoạt động trang 94 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a) Hãy phân tích vectơ AC' BD theo ba vectơ AB , AD , AA' ( ) b) Tính cos AC',BD từ suy AC' BD vng góc với Lời giải: = AB.AD + AD.AD + AA'.AD − AB.AB − AD.AB − AA'.AB Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ nên AB, AD, AA’ đôi vuông góc với ( ) ( ) AC'.BD = + AD + − AB − − = (vì AB = AD) ( ) cos AC ',BD = ( AC'.BD AC' BD =0 ) AC ',BD = 90 Vậy hai vectơ AC' BD vng góc với Hoạt động trang 95 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc cặp đường thẳng sau đây: a) AB B’C’; b) AC B’C’; c) A’C’ B’C Lời giải: a) Góc AB B’C’ góc AB BC (vì B’C’//BC) Suy góc AB B’C’ là: ABC = 90 b) Góc AC B’C’ góc AC BC (vì B’C’//BC) Suy góc AC B’C’ là: ACB = 45 c) Góc A’C’ B’C góc AC B’C (vì A’C’//AC) ACB' AC = B’C = AB’ (đường chéo hình vng nhau) Suy góc A’C’ B’C là: ACB' = 60 Hoạt động trang 97 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Hãy nêu tên đường thẳng qua hai đỉnh hình lập phương cho vng góc với: a) Đường thẳng AB; b) Đường thẳng AC Lời giải: a) Đường thẳng qua hai đỉnh hình lập phương cho vng góc với đường thẳng AB AD, A’D’, BC, B’C’, AA’, BB’, CC’, DD’ b) Đường thẳng qua hai đỉnh hình lập phương cho vng góc với đường thẳng AC BD, B’D’, AA’, BB’, CC’, DD’ Hoạt động trang 97 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Tìm hình ảnh thực tế minh họa cho vng góc hai đường thẳng khơng gian (trường hợp cắt trường hợp chéo nhau) Lời giải: Trường hợp cắt nhau: hai cạnh liền bàn, hai cạnh liền cửa số Trường hợp chéo nhau: bóng đèn tuyp tường tạo đường thẳng vng góc với cạnh mặt tường bên cạnh B Bài tập Bài tập trang 97 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ sau đây: a) AB EG ; b) AF EG ; c) AB DH Lời giải: Từ đẳng thức câu a ta có: AB.CD + AC.DB + AD.BC = a) Vì ABCD.EFGH hình lập phương nên EG = AC ( ) ( ) Do đó: AB,EG = AB,AC = 45 b) Ta có: ( AF,EG ) = ( AF,AC ) = 60 AD.BC = AD ⊥ BC Bài tập trang 97 SGK Tốn lớp 11 Hình học: a) Trong khơng gian hai đường thẳng a b vng góc với đường thẳng c a b có song song với không? b) Trong không gian đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a có vng góc với c khơng? Lời giải: a) Trong khơng gian hai đường thẳng a b vuông góc với đường thẳng c nói chung a b chưa song song với a b cắt chéo Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB BC vng góc với BB’ AB BC cắt B, nghĩa chúng không song song Do tam giác AFC có ba cạnh ba đường chéo ba mặt bên nên AFC tam giác c) Vì ABCD.EFGH hình lập phương nên DH = AE ( ) ( ) Do đó: AB,DH = AB,AE = 90 Bài tập trang 97 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD a) Chứng minh AB.CD + AC.DB + AD.BC = b) Từ đẳng thức suy tứ diện ABCD có AB ⊥ CD AC ⊥ BD AD ⊥ BC Lời giải: ( a) AB.CD = AB AD − AC ( ) AD.BC = AD.( AC − AB ) ) AC.DB = AC AB − AD Cộng vế ba đẳng thức ta được: AB.CD + AC.DB + AD.BC ( ) ( ) ( = AB AD − AC + AC AB − AD + AD AC − AB ) = AB.AD − AB.AC + AC.AB − AC.AD + AD.AC − AD.AB = AB.AD − AD.AB + AC.AB − AB.AC + AD.AC − AC.AD =0+0+0=0 b) AB ⊥ CD AB.CD = AC ⊥ DB AC.DB = b) Trong không gian a ⊥ b b ⊥ c a c cắt chéo nhau, nói chung a c chưa vng góc với Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB A’B’ vng góc với AA’ AB//A’B’ khơng vng góc Bài tập trang 98 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Trong khơng gian cho hai tam giác ABC ABC’ có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AC, CB, BC’ C’A Chứng minh rằng: a) AB ⊥ CC' ; b) Tứ giác MNPQ hình chữ nhật Lời giải: ( a) AB.CC' = AB AC' − AC ) = AB.AC' − AB.AC ( ) ( ) ( ) a) SA.BC = SA SC − SB = SA.SC − SA.SB = SA.SC.cos ASC − SA.SB.cos ASB = Vậy SA ⊥ BC = AB.AC'.cos BAC' − AB.AC.cos BAC b) SB.AC = SB SC − SA = SB.SC − SB.SA = SB.SC.cos BSC − SB.SA.cos ASB = 1 = a.a − a.a = 2 AB ⊥ CC' b) Theo giả thiết Q, P trung điểm AC’, BC’ QP đường trung bình tam giác ABC’ Suy ra: QP // AB, QP = AB (1) Chứng minh tương tự ta có: PB // CC’, PN = CC ' MN // AB, MN = AB (2) Từ (1) (2) suy ra: MN // QP, MN = QP Do MNPQ hình bình hành Ta có: MN // AB, PN // CC’ mà AB ⊥ CC ' MN ⊥ NP Hình bình hành MNPQ có góc vng nên MNPQ hình chữ nhật Bài tập trang 98 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC có ASB = BSC = CSA Chứng minh SA ⊥ BC , SB ⊥ AC , SC ⊥ AB Lời giải: Vậy SB ⊥ AC c) SC.AB = SC SB − SA = SC.SB − SC.SA = SC.SB.cos BSC − SC.SA.cos ASC = Vậy SC ⊥ AB Bài tập trang 98 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Trong khơng gian cho hai hình vng ABCD ABC’D’ có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O’ Chứng minh AB ⊥ OO' tứ giác CDD’C’ hình chữ nhật Lời giải: D' C' O' B A O D ( ) ( ) Ta có: AO = AO' ; AO,AB = AO',AB = 45 Do vậy: C ( AB.OO' = AB AO' − AO ) ( = AB.AO' − AB.AO = AB AO' cos45o – AB AO cos45o ( = AB.AO’.cos45o–AB.AO.cos45o = Suy ra: AB ⊥ OO ' CD∥ AB;CD = AB CD∥ C'D' Ta có: C'D'∥ AB;C'D' = AB CD = C'D' ( ) ) AB = AC = AD BAC = BAD = 60 Chứng minh rằng: a) AB ⊥ CD ; b) Nếu M, N trung điểm AB CD MN ⊥ AB MN ⊥ CD Lời giải: ) ( AB.AC Nên − cos A = − AB AC ) a) AB.CD = AB AD − AC = AB.AD − AB.AC = AB.AD.cos BAD − AB.AC.cos BAC = Vậy AB ⊥ CD 2 b) MN = MA + AD + DN (1) AB.AC − cos A = − AB AC Do đó: SABC AB.AC = AB.AC − AB2 AC2 AB2 AC2 2 = AB AC − AB.AC (điều phải chứng minh) Bài tập trang 98 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD có ( Vậy CDD’C’ hình bình hành Mặt khác ta có: CC'∥ OO' C'D'∥ AB CC' ⊥ C ' D ' OO' ⊥ AB Vậy CDD’C’ hình chữ nhật Bài tập trang 98 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho S diện tích tam giác 2 AB AC − AB.AC ABC Chứng minh S = Lời giải: 1 SABC = AB.AC.sin A = AB.AC − cos A 2 AB.AC Ta lại có: cos A = AB AC AB.AC cos A = AB AC ) AB.AC = AB2 AC2 − AB2 AC2 2 AB AC AB.AC = AB.AC − AB AC 2 MN = MB + BC + CN (2) Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) MN = MA + MB + AD + BC + DN + CN = + AD + BC + = AD + BC ( ) ( 1 AD + BC = AD + AC − AB 2 Ta có: AB.MN = AB AD + AC − AB MN = ( ) ) ( ) = AB.AD + AB.AC − AB2 = AB.AD.cos BAD + AB.AC.cos BAC − AB2 = ( AB.AD.cos60 + AB.AC.cos60 − AB2 ) 11 = AB2 + AB2 − AB2 = 2 2 Vậy AB ⊥ MN Lại có: MN.CD = AD + AC − AB AD − AC 2 = AD + AC.AD − AB.AD − AC.AD − AC + AB.AC = AD2 − AB.AD − AC2 + AB.AC = AD2 − AB.AC.cos BAD − AC2 + AB.AC.cos BAC = ( AB2 − AB2 cos60 − AB2 + AB2 cos60 ) = 0 = Vậy MN ⊥ CD ( ) ( )( ) ( ( ( ) ) ) Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng A Các câu hỏi hoạt động Hoạt động trang 100 SGK Toán lớp 11 Hình học: Muốn chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α), người ta phải làm nào? Lời giải: Muốn chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α), người ta phải chứng minh d vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng (α) Hoạt động trang 100 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hai đường thẳng a b song song với Một đường thẳng d vng góc với a b Khi đường thẳng d có vng góc với mặt phẳng xác định hai đường thẳng song song a b không? Lời giải: Khơng nội dung định lí u cầu a b cắt Ví dụ: trường hợp d, a, b thuộc mặt phẳng (α) mà a // b, d ⊥ a , d ⊥ b d ( ) d khơng vng góc (α) B Bài tập Bài tập trang 104 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b mặt phẳng (α) Các mệnh đề sau hay sai? a) Nếu a // (α) b ⊥ ( ) a ⊥ b b) Nếu a // (α) b ⊥ a b ⊥ ( ) c) Nếu a // (α) b // (α) b // a d) Nếu a ⊥ ( ) b ⊥ a b // (α) Lời giải: a) Đúng b a (α) b) Sai b song song cắt (α) Lời giải: b a (α) c) Sai xảy trường hợp b cắt a b chéo a a) Tam giác ABC cân A nên ta có đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời đường cao, đó: AI ⊥ BC Tương tự ta có: DI ⊥ BC Ta có: AI ⊥ BC DI ⊥ BC AI,DI ADI ( ) AI DI = I Vậy BC ⊥ (ADI) b a (α) b) Ta có AH đường cao tam giác ADI nên AH ⊥ DI Mặt khác: BC ⊥ (ADI) mà AH (ADI) nên AH ⊥ BC d) Sai xảy trường hợp b () a b (α) Bài tập trang 104 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC BCD hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC Gọi I trung điểm cạnh BC a) Chứng minh BC vng góc với mặt phẳng (ADI) b) Gọi AH đường cao tam giác ADI, chứng minh AH vng góc với mặt phẳng (BCD) Ta có: AH ⊥ BC AH ⊥ DI ID,BC ( BCD ) BC DI = {I} Vậy AH ⊥ (BCD) Bài tập trang 104 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD tâm O có SA = SB = SC = SD Chứng minh rằng: a) Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng (ABCD); b) Đường thẳng AC vng góc với mặt phẳng (SBD) đường thẳng BD vng góc với mặt phẳng (SAC) Lời giải: A H C O a) SA = SC nên tam giác SAC cân S O giao hai đường chéo hình bình hành nên O trung điểm AC BD Do SO vừa trung tuyến đồng thời đường cao tam giác SAC hay SO ⊥ AC Chứng minh tương tự ta được: SO ⊥ BD Ta có: SO ⊥ AC SO ⊥ BD SO ⊥ (ABCD) AC BD = O AC,BD (ABCD) b) ABCD hình thoi nên AC ⊥ BD AC ⊥ BD AC ⊥ SO AC ⊥ (SBD) SO BD = O SO,BD (SBD) BD ⊥ AC BD ⊥ SO BD ⊥ (SAC) Ta có: SO AC = O SO,AC (SAC) Bài tập trang 105 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc Gọi H chân đường vng góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: a) H trực tâm tam giác ABC 1 1 = + + b) 2 OH OA OB OC2 Lời giải: E B a) H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) nên OH ⊥ (ABC) OH ⊥ BC Mặt khác: OA ⊥ OB,OA ⊥ OC OA ⊥ (OBC) OA ⊥ BC BC ⊥ OH BC ⊥ (OAH) BC ⊥ OA OA OH = O Mà AH (OAH) BC ⊥ AH (1) OB ⊥ OA OB ⊥ (OAC) Ta có: OB ⊥ OC Mà AC (OAC) OB ⊥ AC OH ⊥ (ABC) OH ⊥ AC OB ⊥ AC AC ⊥ (OBH) AC ⊥ BH (2) Do OH ⊥ AC Từ (1) (2) ta có tam giác ABC có AH ⊥ BC BH ⊥ AC AH BH = H Suy H trực tâm tam giác ABC b) Trong mặt phẳng (ABC) gọi E = AH BC OH ⊥ (ABC) OH ⊥ AE AE (ABC) OA ⊥ (OBC) Ta có: OA ⊥ OE OE (OBC) OAE vng O có đường cao OH 1 = + (hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông OAE) 2 OH OA OE BC ⊥ (OAH) Lại có: BC ⊥ OE OE (OAH) Mà OB ⊥ OC nên OBC vng O có OE đường cao 1 = + 2 OE OB OC2 1 1 1 = + = + + (điều phải chứng minh) 2 2 OH OA OE OA OB OC Bài tập trang 105 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trên mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm AC BD, S điểm nằm mặt phẳng (α) cho SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng: a) SO ⊥ ( ) ; b) Nếu mặt phẳng (SAB) kẻ SH vng góc với AB H AB vng góc với mặt phẳng (SOH) Lời giải: Ta có: SO ⊥ BD SO ⊥ AC SO ⊥ (ABCD) BD AC = {O} BD,AC (ABCD) hay SO ⊥ () b) SO ⊥ (ABCD) SO ⊥ AB SO ⊥ AB SH ⊥ AB AB ⊥ (SOH) SO SH = S SO,SH (SOH) Vậy AB ⊥ (SOH) Bài tập trang 105 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I K hai SI SK = điểm lấy hai cạnh SB SD cho Chứng minh: SB SD a) BD ⊥ SC ; b) IK ⊥ ( SAC ) Lời giải: a) Ta có: SA ⊥ (ABCD) SA ⊥ BD a) SA = SC SAC cân S O trung điểm AC suy SO đường trung tuyến đồng thời đường cao tam giác cân nên SO ⊥ AC Chứng minh tương tự ta có: SO ⊥ BD Lại có ABCD hình thoi nên BD ⊥ AC BD ⊥ SA BD ⊥ (SAC) Do đó: BD ⊥ AC SA,AC (SAC) BD ⊥ SC SI SK = b) Vì suy IK // BD (theo định lý Ta -lét đảo) SB SD Mà BD ⊥ (SAC) IK ⊥ (SAC) Bài tập trang 105 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ diện SABC có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC) có tam giác ABC vng B Trong mặt phẳng SM SN = (SAB) kẻ AM vng góc với SB M Trên cạnh SC lấy điểm N cho SB SC Chứng minh rằng: a) BC ⊥ ( SAB ) AM ⊥ ( SBC ) ; BC ⊥ SB MN ⊥ SB (6) BC∥ MN Từ (5) (6) suy SB ⊥ (AMN) suy SB ⊥ AN Bài tập trang 105 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho điểm S khơng thuộc mặt phẳng (α) có hình chiếu (α) điểm H Với điểm M (α) không trùng với H, ta gọi SM đường xiên đoạn HM hình chiếu đường xiên Chứng minh rằng: a) Hai đường xiên hai hình chiếu chúng nhau; b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên lớn có hình chiếu lớn ngược lại, đường xiên có hình chiếu lớn lớn Lời giải: b) SB ⊥ AN Lời giải: a) SA ⊥ (ABC) SA ⊥ BC (1) Tam giác ABC vuông B nên BC ⊥ AB (2) Từ (1) (2) suy BC ⊥ (SAB) BC ⊥ (SAB) nên BC ⊥ AM (3) AM ⊥ SB (giả thiết) (4) Từ (3) (4) suy AM ⊥ (SBC) b) AM ⊥ (SBC) nên AM ⊥ SB (5) SM SN = nên theo định lí ta lét ta có: MN // BC SB SC BC ⊥ (SAB) BC ⊥ SB Ta có: a) Gọi SN đường xiên khác SH ⊥ HM SHM, SHN vuông H SH ⊥ () SH ⊥ HN Xét hai tam giác vuông SHM SHN có SH cạnh chung Nếu SM = SN SHM = SHN (cạnh huyền - cạnh góc vng) HM = HN Ngược lại HM = HN SHM = SHN (hai cạnh góc vng) SM = SN b) Xét tam giác vuông SHM SHN có SH cạnh chung Giả sử SN > SM Áp dụng định lí Pytago vào hai tam giác vng SHM SHN ta được: HN = SN − SH suy HN > HM 2 HM = SM − SH Phần đảo chứng minh tương tự ... lớp 11 Hình học: a) Trong không gian hai đường thẳng a b vng góc với đường thẳng c a b có song song với khơng? b) Trong khơng gian đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc. ..a) Góc AB B’C’ góc AB BC (vì B’C’//BC) Suy góc AB B’C’ là: ABC = 90 b) Góc AC B’C’ góc AC BC (vì B’C’//BC) Suy góc AC B’C’ là: ACB = 45 c) Góc A’C’ B’C góc AC B’C (vì A’C’//AC)... trang 1 13 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vng B Một đoạn thẳng AD vng góc với (α) A Chứng minh rằng: a) ABD góc hai mặt phẳng (ABC) (DBC); b) Mặt phẳng (ABD) vng góc