Chuyên đề 3: Vectơ trong không gian - Quan hệ vuông góc trong không gian

Tài liệu do Huỳnh Chí Dũng biên soạn, tổng hợp các lý thuyết và bài toán liên quan đến Vectơ trong không gian - Quan hệ vuông góc trong không gian. Tài liệu tổng hợp phần lý thuyết trọng tâm và các bài tập trắc nghiệm liên quan đến chuyên đề này. Mời các bạn cùng tham khảo.

Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 CHUYÊN ĐỀ  VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 64 Bài tập Tốn 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 I VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Định nghĩa phép toán + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB  BC  AC + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB  AD  AC + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có: AB  AD  AA '  AC ' + Hê thức trung điểm đoạn thẳng: I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý IA  IB  , OA  OB  2OI + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC, O tuỳ ý Ta có: GA  GB  GC  0; OA  OB  OC  3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý Ta có: GA  GB  GC  GD  0; OA  OB  OC  OD  4OG + Điều kiện hai vectơ phương: a b phương (a  0) ! k  R : b  ka Sự đồng phẳng ba vectơ  Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng  Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b , c , a b khơng phương Khi đó: a, b , c đồng phẳng  ! m, n  R: c  ma  nb  Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý ! m, n, p  R: x  ma  nb  pc Tích vơ hướng hai vectơ  Góc hai vectơ không gian: AB  u, AC  v  (u, v )  BAC (00  BAC  1800 )  Tích vơ hướng hai vectơ khơng gian: + Cho u, v  Khi đó: u.v  u v cos(u, v ) + Với u  hoaëc v  Qui ước: u.v  + u  v  u.v  A PHÂN DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 65 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 Cho tứ diện ABCD Gọi E, F trung điểm AB CD, I trung điểm EF a) Chứng minh: IA  IB  IC  ID  b) Chứng minh: MA  MB  MC  MD  4MI , với M tuỳ ý c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố định (P) cho: MA  MB  MC  MD nhỏ Chứng minh tứ diện bất kì, đoạn thẳng nối trung điểm cạnh đối đồng qui trung điểm chúng (Điểm đồng qui gọi trọng tâm tứ diện) Cho tứ diện ABCD Gọi A, B, C, D điểm chia cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số k (k  Chứng minh hai tứ diện ABCD ABCD có trọng tâm DẠNG 2: CHỨNG MINH CÁC VECTƠ ĐỒNG PHẲNG Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA lấy điểm M cho MS  2 MA đoạn BC lấy điểm N cho NB   NC Chứng minh ba vectơ AB, MN , SC đồng phẳng ĐS: Chứng minh MN  2 AB  SC 3 Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi M, N, I, J, K, L trung điểm cạnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P Q trung điểm NG JH a) Chứng minh ba vectơ MN , FH , PQ đồng phẳng b) Chứng minh ba vectơ IL, JK , AH đồng phẳng ĐS: a) MN , FH , PQ có giá song song với (ABCD) b) IL, JK , AH có giá song song với (BDG) Cho hình lăng trụ ABC.DEF Gọi G, H, I, J, K trung điểm AE, EC, CD, BC, BE a) Chứng minh ba vectơ AJ , GI , HK đồng phẳng b) Gọi M, N hai điểm AF CE cho FM CN   Các đường thẳng vẽ từ M N FA CE song song với CF cắt DF EF P Q Chứng minh ba vectơ MN , PQ, CF đồng phẳng Cho hình hộp ABCD.ABCD Gọi M N trung điểm CD DD; G G trọng tâm tứ diện ADMN BCCD Chứng minh đường thẳng GG mặt phẳng (ABBA) song Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 66 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 song với ĐS: Chứng minh GG '  1 AB  AA '   AB, AA ', GG ' đồng phẳng Cho tứ diện OABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC a) Phân tích vectơ OG theo ba OA, OB, OC b) Gọi D trọng tâm tứ diện OABC Phân tích vectơ OD theo ba vectơ OA, OB, OC ĐS: a) OG  1 OA  OB  OC  b) OD  1 OA  OB  OC  Cho hình hộp OABC.DEFG Gọi I tâm hình hộp a) Phân tích hai vectơ OI vaø AG theo ba vectơ OA, OC, OD b) Phân tích vectơ BI theo ba vectơ FE, FG, FI ĐS: a) OI  1 OA  OC  OD  , AG  OA  OC  OD b) BI  FE  FG  FI Cho hình lập phương ABCD.EFGH a) Phân tích vectơ AE theo ba vectơ AC, AF, AH b) Phân tích vectơ AG theo ba vectơ AC, AF, AH ĐS: a) AE  1 AF  AH  AC  b) AG  1 AF  AH  AC  DẠNG 3: TÍCH VƠ HƯỚNG HAI VECTƠ Cho hình lập phương ABCD.ABCD a) Xác định góc cặp vectơ: AB vaø A ' C ' , AB vaø A ' D ' , AC ' BD b) Tính tích vơ hướng cặp vectơ: AB A ' C ' , AB vaø A ' D ' , AC ' BD Cho hình tứ diện ABCD, AB  BD Gọi P Q điểm thuộc đường thẳng AB CD cho PA  kPB, QC  kQD (k  1) Chứng minh AB  PQ DẠNG 4: MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q bốn điểm lấy AB, BC, CD, DA Chứng minh ba đường thẳng MN, PQ, AC đôi song song bốn điểm P, Q, M, N đồng phẳng Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 67 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi I, J trung điểm BB’, A’C’ K điểm B’C’ cho KC  2.KB Chứng minh bốn điểm A, I, J, K thẳng hàng Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có BA  a, BB '  b, BC  c M, N hai điểm nằm AC, DC’ cho MC  n AC, C ' N  mC ' D a) Hãy phân tích BD ' theo véctơ a, b, c b) Chứng minh rằng: MN   m  n  a  1  m  b  nc c) Tìm m, n để MN//BD’ Cho hai hình vng ABCD ADD’A’ cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc M, N hai điểm nằm hai đường chéo BD AD’ cho DM = AN = x (0 < x < a a ) Chứng minh rằng: MN//(BCD’A’) Cho tứ diện ABCD, hai điểm M, N thoả mãn: MA  t.MC  0, NB  t.ND  Chứng minh t thay đổi trung điểm I MN di chuyển đường thẳng cố định Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng; M điểm di động a) Chứng minh vectơ v  2MA  MB  3MC vectơ không phụ thuộc vào M b) D điểm thoả mãn AD  v giả sử đường thẳng AD cắt BC N Chứng minh: NB  3NC Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng Tìm tập hợp điểm M, M thoả mãn NA  NB  NC  NB  BA B [1] CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Điều kiện đủ để kết luận ba vectơ a , b , c không đồng phẳng:  a  k1.b A   c  k2 b  k1.k2   C a  k1b  k2c , [2]  k1.k2    a.b   D b c   a.c   Điều kiện đủ để kết luận ba vectơ a , b , c đồng phẳng: A a  k1b  k2c , C a  k1b  k2c , [3]  k1k2  0  a  k1.b B   c  k2 b  k1k2  0 B a  k1b  k2c  k1k2  0  a.b   D b c   a.c   Trong mệnh đề đây, mệnh đề đúng? Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 68 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 A Nếu AB  AC B trung điểm AC B Nếu AB  AC  2AD A,B,C,D đồng phẳng C Nếu AB  AC A trung điểm BC D Nếu AB  AC  2AD A,B,C,D đồng phẳng Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Đẳng thức sau đúng? [4] A BD  D'D  B'D'  B'B B BA  BC  D'D  B'D'  BB' C BA  BC  D'D  B'D'  B'B D BD  DD'  B'D'  BB' Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Đẳng thức sau đúng? [5] A AB  B'C'  DD'  AC' B AB  B'C'  DD'  C AB  B'C'  DD'  A 'C D AB  B'C'  DD'  A 'C' Cho hình chóp S.ABC, gọi M, N hai điểm thỏa MS  2AM, NB   NC Đẳng thức [6] đúng: A MN  AB  SC 2 C MN   AB  SC [7] B MN  AB  SC 2 D MN   AB  SC Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Đẳng thức sau đúng? A AC  BA  DB  C'D  B AC  BA  DB  D'C'  C AC  BA  DB  C'D  CC' D AC  BA  DB  C'D  C'C [8] Cho tứ diện A.BCD có trọng tâm G Gọi M, N trung điểm AB CD Đẳng thức sai?   B MN    D GM  GN  A MN  AD  BC C MN  AB  CD [9]   AC  BD Cho tứ diện A.BCD có G trọng tâm ABC Đẳng thức đúng? A DA  DB  DC  DG C DA  DB  DC  DG B DA  DB  DC  3DG D DA  DB  DC  [10] Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau: A Vì IA  IB  nên I trung điểm AB B Vì I trung điểm AB nên với điểm O ta ln có IO    AO  BO C Vì AB  2AD  AC  nên A,B,C,D đồng phẳng Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 69 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 D Vì AB  CB  CD  AD  nên A,B,C, D đồng phẳng [11] Cho tứ diện A.BCD; M, N, G trung điểm AB, CD, MN, I điểm khơng gian, đẳng thức sai? A IG    IM  IN B AM  AN  2AG C GA  GB  GC  GD  4GI D IA  IB  IC  ID  4.IG [12] Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình bình hành tâm O, I trung điểm SO.đẳng thức sai? A SB  SC  SA  SD B SA  SB  SC  SD  4.SO C IA  IB  IC  ID  2SO D SB  SD  SA  SC [13] Trong không gian, ta xét ABC M điểm thuộc mp(ABC), cho MA  xMB  yMC, x.y  Gọi O điểm khơng gian Đẳng thức đúng? A OM  x y OA  OB  OC x  y 1 x  y 1 x  y 1 B OM  x y OA  OB  OC x  y 1 x  y 1 x  y 1 C OM  1 x y OA  OB  OC x  y 1 x  y 1 x  y 1 D OM  1 x y OA  OB  OC x  y 1 x  y 1 x  y 1 [14] Cho hình chóp S.ABC Trên SA,SB, SC lấy A’, B’, C’ cho SA = aSA’, SB=b.SB’, SC= c.SC’ Mối liên hệ a,b,c để mp(A’B’C’) qua trọng tâm ABC là: A a  b  c  B a  b  c  1 C a  b  c  D a  b  c  3 [15] Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA '  a, AB  b, AC  c Đẳng thức đúng: A B'C  a  b  c B B'C  a  b  c C B'C  a  b  c D B'C  a  b  c [16] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tích vơ hướng AC'.A 'B bằng: B.-a2 A.0 C.a2 D.2a2 [17] Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA '  a, AB  b, AC  c Đẳng thức đúng: A BC'  a  b  c B BC'  a  b  c C BC'  a  b  c D BC'  a  b  c [18] Trong không gian cho điểm A,B,C,D tùy ý Đẳng thức A AB.DC  BC.DA  AC.DB  B AB.DC  BC.DA  AC.AB  C AB.DC  BC.DA  CA.DB  D AB.DC  BC.DA  AD.AB  Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 70 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 [19] Cho tứ diện A.BCD, có AC vng góc BD, AB vng góc CD Kết luận sai: A AD  BC B AC.BD  C AB  CD D AD.BC  AB.CD  [20] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi P, R trung điểm AB, A’D’ Gọi P’, Q, Q’, R’ giao điểm đường chéo mặt ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’, ADD’A’ Xét mệnh đề (I) PP '  QQ'  RR '  (II) Hai tam giác  PQR,  P’Q’R’ có trọng tâm (III) PP’, QQ’, RR’ đồng phẳng Có mệnh đề sai: A.0 B.1 C.2 D.3 [21] Cho tứ diện A.BCD, gọi G, G’ trọng tâm tứ diện A.BCD BCD Khẳng định sai: A GA  GB  GC  GD  B GA  3GG '  C.A,G,G’ thẳng hàng D.G trung điểm AG’ [22] Điều kiện đủ để khẳng định ba điểm A,B,C thẳng hàng A OB   k  1 OA   k  1 OC, k  O điểm B AB  k.AC, k  m  n  C OA  mOB  nOC,  O điểm mn  D AB  k.AC, k  [23] Cho ba vectơ a, b , c khác ba số thực m.n.p  Đặt x  ma  nb , y  pb  mc , z  nc  pa Hệ thức liên hệ ba vectơ x, y, z là: A px  ny  mz  B  p  m  x   n  p  y   m  p  z  C px  ny  mz  D  p  m  x   n  p  y   m  p  z  [24] Cho tứ diện O.ABC, G trọng tâm tứ diện O.ABC, G’ trọng tâm ABC Đẳng thức sai: A OG '  1 OA  OB  OC  B 2OG '  3OG  C DG  1 DA  DB  DC  DO  D OG  1 OA  OB  OC  [25] Cho hình hộp OABC.O’A’B’C’ Gọi I tâm hình hộp Đẳng thức đúng: A OI  OA  OB  OC B OI  Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , 1 OA  OB  OC  Trang 71 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 C OI  1 OA  OB  OC  D OI  1 OA  OB  OC  [26] Cho hình hộp OABC.O’A’B’C’ Gọi I tâm hình hộp Đẳng thức đúng: A AC '  OA  OC  OO ' B AC '  OA  OC  OO ' C AC '  OA  OC  OO ' D AC '  OA  OC  OO ' [27] Cho hình hộp OABC.O’A’B’C’ Gọi I tâm hình hộp Đẳng thức đúng: A BI  B ' A '  B ' C '  B ' I B BI  B ' A '  B ' C '  B ' I C BI  B ' A '  B ' C '  B ' I D BI  B ' A '  B ' C '  B ' I [28] Cho hình lập phương ABCD.EFGH Đẳng thức đúng: A AE  1 AF  AH  AC  B AE  1 AF  AH  AC  C AE  1 AF  AH  AC  D AE  1 AF  AH  AC  [29] Cho hình lập phương ABCD.EFGH Đẳng thức đúng: A AG  1 AF  AH  AC  B AG  1 AF  AH  AC  C AG  1 AF  AH  AC  D AG  1 AF  AH  AC  Cho tứ diện ABCD Ba điểm M, N, P không gian thỏa mãn: OM  OA  t.OB  2OC , [30] ON  OA  2OB  OC , OP  (t  2)OA  2OC Với giá trị t > ba vectơ OM , ON , OP đồng phẳng: A B.1 C.2 D.3 [31] Cho tứ diện ABCD Ba vectơ a, b, c thỏa mãn a  OA  2OC , b  OA  2OB  OC , c  2OA  2OC Biểu diễn v  5OA  10OB  15OC theo ba vectơ a, b, c ta được: A v  20a  5b  10c B v  20a  5b  10c C v  20a  5b  10c D v  20a  5b  10c [32] Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng, I trung điểm BC, G trọng tâm ABC Tập hợp điểm M, M thoả mãn MA  MB  MC  2MA  MB  MC là: A Đường trịn tâm G, bán kính IA B Đường trịn tâm G, bán kính C Mặt cầu tâm G, bán kính IA D Mặt cầu tâm G, bán kính Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , IA IA Trang 72 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 II HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Góc hai đường thẳng: Góc hai đường thẳng a,b góc hai đường a’, b’ qua điểm song song a,b Chú ý: Nếu a//b a  b  a, b   00 00   a, b   900 a a’ Hai đường thẳng vng góc: b’  a  b   a, b   900 b  Lưu ý: Hai đường thẳng vng góc với cắt chéo A PHÂN DẠNG BÀI TẬP Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC ASB  BSC  CSA Chứng minh SA  BC, SB  AC, SC  AB ĐS: Chứng minh SA.BC = Cho tứ diện ABCD, cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD a) Chứng minh AO vng góc với CD b) Gọi M trung điểm CD Tính góc AC BM ĐS: b) cos( AC, BM )  Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c a) CMR đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối diện vng góc với cạnh b) Tính góc hợp cạnh đối tứ diện ĐS: b) arccos a2  c b2 ; arccos b2  c a2 ; arccos a2  b2 c2 Cho hình chóp SABCD, có đáy hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB tam giác vuông cân A, M điểm cạnh AD (M  A D) Mặt phẳng (P) qua M song song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD N, P, Q a) Chứng minh MNPQ hình thang vng b) Đặt AM = x Tính diện tích MNPQ theo a x Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cạnh Chứng minh AC  BD, AB  CD, AD  CB Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 73 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 ĐS: b) SHmax = c bc ;   arctan b Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y Tìm hệ thức liên hệ a, b, x, y để: a) Mặt phẳng (ABC)  (BCD) b) Mặt phẳng (ABC)  (ACD) ĐS: a) x2 – y2 + b2 =0 b) x2 – y2 + b2 – 2a2 = Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  (ABCD) ; M N hai điểm nằm cạnh BC, CD Đặt BM = x, DN = y a) Chứng minh điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vng góc với MN  (SAM) Từ suy hệ thức liên hệ x y b) Chứng minh điều kiện cần đủ để góc hai mặt phẳng (SAM) (SAN) có số đo 300 a(x + y) + ĐS: 10 xy = a2 a) a2 – a(x + y) + x2 = Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A 600, cạnh SC = a SC  (ABCD) a) Chứng minh (SBD)  (SAC) b) Trong tam giác SCA kẻ IK  SA K Tính độ dài IK c) Chứng minh BKD  900 từ suy (SAB)  (SAD) ĐS: b) IK  a DẠNG 3: DIỆN TÍCH HÌNH CHIẾU CỦA ĐA GIÁC Phương pháp: Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q),  =  (P),(Q)  Khi đó: S = S.cos Cho hình thoi ABCD có đỉnh A mặt phẳng (P), đỉnh khác không (P), BD = a, AC = a Chiếu vng góc hình thoi lên mặt phẳng (P) ta hình vng ABCD a) Tính diện tích ABCD ABCD Suy góc (ABCD) (P) Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 91 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 b) Gọi E F giao điểm CB, CD với (P) Tính diện tích tứ giác EFDB EFDB ĐS: a) 450 b) SEFDB = 3a2 3a2 ; SEFDB = 4 Cho tam giác cân ABC có đường cao AH = a , đáy BC = 3a; BC  (P) Gọi A hình chiếu A (P) Khi ABC vng A, tính góc (P) (ABC) ĐS: 300 Cho tam giác ABC cạnh a, nằm mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vng góc với (P) vẽ từ B C lấy đoạn BD = a , CE = a nằm bên (P) a) Chứng minh tam giác ADE vng Tính diện tích tam giác ADE b) Tính góc hai mặt phẳng (ADE) (P) ĐS: a) 3a2 b) arccos 3 Cho hình chóp SABC có mặt bên hợp với đáy góc  a) Chứng minh hình chiếu S mp(ABC) tâm đường tròn nội tiếp ABC b) Chứng minh: SSAB + SSBC + SSCA = S ABC cos  Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đơi vng góc Gọi H trực tâm ABC Chứng minh rằng: a) SH  (ABC) b) (SSBC)2 = SABC.SHBC Từ suy ra: (SABC)2 = (SSAB)2 + (SSBC)2 +(SSCA)2 Trong mặt phẳng (P) cho OAB vuông O, AB = 2a, OB = a Trên tia vng góc với (P) vẽ từ A B bên (P), lấy AA = a, BB = x a) Định x để tam giác OAB vng O b) Tính AB, OA, OB theo a x Chứng tỏ tam giác OAB vuông B Định x để tam giác vuông A c) Cho x = 4a Vẽ đường cao OC OAB Chứng minh CA  AB Tính góc hai mặt phẳng (OAB) (P) ĐS: a) x = b) x = 4a Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , c) arccos 39 26 Trang 92 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 93 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM [1] Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề A Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba song song B Nếu hai mặt phẳng vng góc đường mặt phẳng vng góc với mặt phẳng C Nếu hai mặt phẳng phân biệt   ,    vuông góc với mặt phẳng    giao tuyến d   ,    vuông góc với mp    D Hai mặt phẳng phân biệt   ,    cắt theo giao tuyến d, với điểm A thuộc   B thuộc    AB vng góc d [2] Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau: A Qua đường thẳng d cho trước xác định mặt phẳng (P) chứa d vng góc mp (Q) cho trước B Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với hai mặt phẳng cắt cho trước C Các mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước ln qua đường thẳng cố định D Hai mặt phẳng vng góc đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng cịn lại [3] Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hình lăng trụ đứng có mặt bên hình chữ nhật B Hình lăng trụ có hai mặt bên hình chữ nhật hình lăng trụ đứng C Hình lăng trụ đứng có cạnh bên vng góc với mặt đáy D Hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy hình lăng trụ đứng [4] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c Để ABCD.A’B’C’D’ hình hộp chữ nhật thì: A A ' C  AC '  a  b2  c B A ' C  BD '  a  b2  a  c  b2  c C A ' C  AC '  a  b2  a  c2  b2  c D A ' C  BD '  a  b2  c [5] Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường song song D Hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng song song [6] Chọn câu Dữ kiện kết luận mp  P   mp  Q  ? d   P  A  d   Q  [7] ̂ B ((𝑃), (𝑄))= 900  d   Q  , d1 , d   P  C   d  d1 , d  d D A,B,C Chọn mệnh đề mệnh đề sau A Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 94 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng cắt C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng vng góc với D Đường thẳng d không thuộc mặt phẳng   , d   vng góc với đường thẳng d’ d //   Độ dài đường chéo hình lập phương cạnh a là: [8] B a A a C.2a D.3a Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Kết luận sai: [9] A AC '   A ' BD  B AC '   B ' CD ' C  A ' BD  / /  B ' CD ' ̂′ 𝐶 ′ 𝐷)) = 450 D (𝐴′𝐵, (𝐴𝐵 [10] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Mặt phẳng trung trực AC’ cắt hình lập phương theo thiết diện hình: A Tam giác B Tứ giác C Ngũ giác D Lục giác [11] Cho hai mặt phẳng   ,    cắt nhau, điểm M nằm hai mặt phẳng Qua M dựng mp vng góc với   ,    : A.0 B.1 C.2 D vô số [12] Cho hai mặt phẳng   ,    song song nhau, điểm M nằm ngồi hai mặt phẳng Qua M dựng mp vng góc với   ,    : A.0 B.1 C.2 D vơ số [13] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a Gọi O tâm hình vng ABCD Độ dài SO bằng: A a B a C a D a [14] Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với  P    Q    , lấy A,B thuộc  cho AB = 8cm, C thuộc mp (P), D thuộc mp (Q) AC = 6cm, BD = 24cm AC,BD vng góc AB Độ dài CD là: A 17cm B 612cm C.26cm D.38cm [15] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Mặt phẳng trung trực AC’ cắt hình lập phương theo thiết diện H, diện tích thiết diện là: A 3a B a2 C 3a 2 D a2 [16] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a Gọi O tâm hình vng ABCD Gọi M trung điểm SC, góc (MBD) (SAC) bằng: A 300 B 450 C 600 Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , D 900 Trang 95 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 [17] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a Gọi O tâm hình vng ABCD, M trung điểm SC.Độ dài MO bằng: A a B a C a D a [18] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a Gọi O tâm hình vng ABCD, M trung điểm SC Góc (MBD) (ABCD) A 300 B 450 C 600 D 900 a , SC   ABCD  Trong [19] Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, cạnh a Aˆ  600 , SC  ̂ bằng: SAC dựng OK vuông góc SA K Số đo 𝐵𝐾𝐷 A.300 B.450 C.600 D.900 [20] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc (ABCD), SA = x Với giá trị x góc mp (SBC) (SCD) 600? a A x  B x  a C x  2a D x  3a  AB  AC [21] Cho mp(P) vng góc mp(Q),  P    Q    A,B thuộc  , C   P  , D   Q  cho   AB  BD AB = AC = BD Gọi   mp qua A vng góc với CD Thiết diện tạo   tứ diện A.BCD hình: A Tam giác vng B Tam giác cân C Tam giác D Hình vng  AB  AC [22] Cho mp(P) vng góc mp(Q),  P    Q    A,B thuộc  , C   P  , D   Q  cho   AB  BD AB = AC = BD = a Gọi   mp qua A vng góc với CD Thiết diện tạo   tứ diện A.BCD có diện tích là: A a2 a2 C B a2 a2 D 12 [23] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Mệnh đề sai A Tứ diện A.B’C’D’ có cạnh đối  ABCD.A’B’C’D’ hình hộp chữ nhật B Tứ diện A.B’C’D’ có cạnh đối vng góc  ABCD.A’B’C’D’ hình hộp có mặt bên hình thoi C Tứ diện A.B’C’D’  ABCD.A’B’C’D’ hình lập phương D Cả câu A,B,C sai Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 96 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 [24] Cho hai  ACD  BCD nằm hai mp vng góc nhau, AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x Độ dài AB bằng: A AB  a  x B AB  a  x C AB   a  x  D AB   a  x  [25] Cho hai  ACD  BCD nằm hai mp vuông góc nhau, AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x Gọi I, J trung điểm AB, CD Độ dài IJ bằng: A AB   a2  x2  B AB  a  x C AB  2  a  x  D AB  2  a2  x2  [26] Cho hai  ACD  BCD nằm hai mp vng góc nhau, AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x Với giá trị x (ABC) (ABD) vng góc nhau? A a B a C a D a [27] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a Góc (ABCD) (SBD) bằng: A.300 B.450 C.600 D.900 [28] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a Khi  SBD là: A.Tam giác vng S B.Tam giác vuông B C.Tam giác vuông D D.Tam giác cân B [29] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a Đường cao đỉnh S hình chóp S.ABCD là: A SO, với O giao điểm AC, BD B SB C SG’, G’ trọng tâm  ABC D SG, G trọng tâm  ACD a , SC   ABCD  Góc [30] Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, cạnh a Aˆ  600 , SC  hai mp (SBD) (SAC) bằng: A.300 B.450 C.600 D.900 Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 97 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 a , SC   ABCD  Trong [31] Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, cạnh a Aˆ  600 , SC  SAC dựng OK vng góc SA K Độ dài OK bằng: A a B a D 2a C 2a [32] Cho tứ diện A.BCD có ABC vng cân A, BC = a Góc 2mp (ABC) (BCD) 600 AD vng góc (BCD) D Diện tích BCD bằng: A 2a B a2 C a2 Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , D a2 Trang 98 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 V KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng d ( M , a)  MH d ( M ,(P ))  MH H hình chiếu M a (P) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song d(a,(P)) = d(M,(P)) M điểm nằm a d((P),(Q) = d(M,(Q)) M điểm nằm (P) Khoảng cách hai đường thẳng chéo  Đường thẳng  cắt a, b vng góc với a, b gọi đường vng góc chung a, b  Nếu  cắt a, b I, J IJ gọi đoạn vng góc chung a, b  Độ dài đoạn IJ gọi khoảng cách a, b  Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với  Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng A PHÂN DẠNG BÀI TẬP DẠNG KHOẢNG CÁCH ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo a b Cách 1: Giả sử a  b:  Dựng mặt phẳng (P) chứa b vng góc với a A  Dựng AB  b B  AB đoạn vng góc chung a b Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song  Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a  Chọn M  a, dựng MH  (P) H  Từ H dựng đường thẳng a // a, cắt b B  Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a A Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 99 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986  AB đoạn vng góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)) Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vng góc  Dựng mặt phẳng (P)  a O  Dựng hình chiếu b b (P)  Dựng OH  b H  Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b B  Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A  AB đoạn vng góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = OH Cho hình tứ diện OABC, OA, OB, OC = a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng: a) OA BC ĐS: a) b) AI OC a 2 b) a 5 Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a, SA  (ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) SC BD ĐS: a) a 6 b) AC SD b) a 3 Cho tứ diện SABC có SA  (ABC) Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui b) Chứng minh SC  (BHK), HK  (SBC) c) Xác định đường vng góc chung BC SA ĐS: c) Gọi E = AH  BC Đường vng góc chung BC SA AE a) Cho tứ diện ABCD Chứng minh AC = BD, AD = BC dường vng góc chung AB CD đường nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 100 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 b) Chứng minh đường thẳng nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD tứ diện ABCD đường vuông góc chung AB CD AC = BD, AD = BC ĐS: b) Giả sử BC = a, AD = a, AC = b, BD = b Chứng minh a = a, b = b Cho hình vuông ABCD cạnh a, I trung điểm AB Dựng IS  (ABCD) IS = a Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, SD, SB Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng: a) NP AC ĐS: a) a b) MN AP b) a DẠNG KHOẢNG CÁCH ĐIỂM – MP; ĐƯỜNG THẲNG – MP SONG SONG, HAI MP SONG SONG Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác định đoạn vng góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) Cho hình chóp SABCD, có SA  (ABCD) SA = a , đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kinh AD = 2a a) Tính khoảng cách từ A B đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) c) Tính diện tích thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với mp(SAD) cách (SAD) khoảng ĐS: a) d(A,(SCD)) = a ; a d(B,(SCD)) = a 2 b) a c) a2 Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA  (ABC) AA = a, đáy ABC tam giác vuông A có BC = 2a, AB = a a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB) b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC) c) Chứng minh AB  (ACCA) tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) ĐS: a) a b) a 21 c) a 2 Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 101 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  (ABCD) SA = 2a a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD) b) M, N trung điểm AB AD Chứng minh MN song song với (SBD) tính khoảng cách từ MN đến (SBD) c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt cạnh SA, SD theo thứ tự E, F Cho biết AD cách (P) khoảng a , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) diện tích tứ giác BCFE ĐS: a) a ; a 2 b) a c) a2 Cho hai tia chéo Ax, By hợp với góc 600, nhận AB = a làm đoạn vng góc chung Trên By lấy điểm C với BC = a Gọi D hình chiếu C Ax a) Tính AD khoảng cách từ C đến mp(ABD) b) Tính khoảng cách AC BD ĐS: a) AD = a ; d(C,(ABD)) = a b) a 93 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD  600 Gọi O giao điểm AC BD Đường thẳng SO  (ABCD) SO = 3a Gọi E trung điểm BC, F trung điểm BE a) Chứng minh (SOF)  (SBC) b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC) ĐS: B [1] b) d(O,(SBC)) = 3a 3a , d(A,(SBC)) = CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau: A Đường thẳng  vng góc với đường thẳng a vng góc với đường thẳng b nên  đường vng góc chung a b B Gọi (P) mp song song với hai đường chéo a b  đường vng góc chung a b  vng góc với mp(P) C Gọi  đường vng góc chung hai đường chéo a b  giao tuyến mp  , a  ;  , b  D Gọi  đường vng góc chung hai đường chéo a b Nếu a  b a  mp  b,   [2] Chọn mệnh đề mệnh đề sau: Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 102 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 A Cho a b đường thẳng chéo nhau, M điểm a Đường thẳng  qua M , vng góc cắt b N MN đoạn vng góc chung a b B Nếu  đường vng góc chung hai đường chéo a b a  mp  b,   C Nếu  đường vng góc chung hai đường chéo a b b  mp  a,   D Cho a b đường thẳng chéo nhau, M điểm a, N điểm b Độ dài đoạn thẳng MN ngắn MN đường vng góc chung a,b Cho tứ diện A.BCD cạnh a, khoảng cách AB CD bằng: [3] A a a C a D a Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Khoảng cách từ C đến AC’ bằng: [4] A B 3a B a C a D 2a Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a Khoảng cách từ S tới mp(ABC) [5] bằng: B a A a 17 12 C a D 2a [6] Cho tứ diện A.BCD có AC = BC = AD = BD = a, AB = c, CD = c’ Khoảng cách AB CD bằng: A 2a  c  c '2 B 2a  c  c '2 C 4a  c  c '2 D 4a  c  c '2 [7] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c Khoảng cách từ B đến mp(ACC’A’) bằng: A C [8] A C ab a b 2 ab a  b2 B D ab a  b2  c 2 ab a  b2  c Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c Khoảng cách từ BB’ AC’ bằng: ab a b 2 ab a  b2 B D ab a  b2  c2 ab a  b2  c Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 103 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Góc tạo cạnh bên mp đáy 300 Hình [9] chiếu vng góc H A lên (A’B’C’) thuộc B’C’ Khoảng cách hai mp đáy? A a B a C a D a [10] Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Góc tạo cạnh bên mp đáy 300 Hình chiếu vng góc H A lên (A’B’C’) thuộc B’C’ Khoảng cách AA’ B’C’ bằng: A 4a B a C 2a D a D a [11] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’C’ cạnh a Khoảng cách BC’ CD’ bằng: A a B a C a [12] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’C’ cạnh a Khoảng cách BD’ B’C bằng: A 3a B a C a D a [13] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’=a, AC = 2a Khoảng cách từ D đến mp(ACD’) bằng: A a B a C a 10 D a 10 [14] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’=a, AC = 2a Khoảng cách AC’ CD’ bằng: A a B a C a D a ̂ = 𝐷𝐴𝐴′ ̂ = 600 Khoảng cách ̂ = 𝐵𝐴𝐴′ [15] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh a 𝐵𝐴𝐷 hai mặt đáy (ABCD) (A’B’C’D’) là: A 3a B a C 2a D a [16] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a Các cạnh bên hình chóp a Khoảng cách từ S đến mp (ABCD) bằng: A a B 3a Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , C a D 5a Trang 104 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 [17] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a Các cạnh bên hình chóp a Gọi E, F trung điểm AB CD, K điểm thuộc AD Khoảng cách EF SK bằng: A 3a B a 21 C 7a D a 21 ̂ = 600 SO vng góc mp (ABCD) [18] Hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a, góc 𝐵𝐴𝐷 SO  3a E trung điểm BC, F trung điểm BE Góc (SOF) (SBC) bằng: A 300 B 450 C 600 D 900 ̂ = 600 SO vng góc mp (ABCD) [19] Hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a, góc 𝐵𝐴𝐷 SO  3a Khoảng cách từ O đến mp (SBC) bằng: A 3a B 8a C 9a 64 D 64a ̂ = 600 SO vng góc mp (ABCD) [20] Hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a, góc 𝐵𝐴𝐷 SO  A 3a Khoảng cách từ A đến mp (SBC) bằng: a B 2a Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , C 3a D 4a Trang 105 ... góc OA = 2OB = OC Khi đó: A ABC có góc A góc tù C ABC có góc B góc tù B ABC có góc C góc tù D ABC có góc nhọn [11] Cho tứ diện O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc Khi hình chiếu vng góc. .. vng góc C Trong mặt phẳng, hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ ba chúng song song D Trong mặt phẳng, hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba chúng vng góc [2] Trong mệnh đề sau,... thẳng vng góc với hai đường thẳng song song song song với đường thẳng Cho a, b, c ba vectơ không phương khác Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: [4] A Nếu c vng góc hai vectơ a, b, ba vectơ a, b, c không