Chuyên đề 3 : Dạy học hình biểu diễn của một hình không gian trong quan hệ vuông góc

Chuyên đề 3 : Dạy học hình biểu diễn của một hình không gian trong quan hệ vuông góc I. Mở đầu Trong dạy học Toán, đi cùng với việc bồi dưỡng tư duy là việc bồi dưỡng trí tưởng tượng không gian cho học sinh. Không có trí tượng không gian thì không có sự sáng tạo nào hết. Bởi vì cái được sáng tạo là cái mới, cái chưa có nên phải tưởng tượng ra nó. Còn các nhà khoa học cũng cho rằng trong khoa học sáng tạo, “trí tưởng tượng quan trọng hơn hiểu biết”. Hình học không gian là một bộ môn Toán học nghiên cứu các tính chất của những hình trong không gian. Việc nghiên cứu các hình trong không gian dựa trên hình biểu diễn của chúng trên mặt phẳng. Việc biểu diễn các hình không gian trên mặt phẳng là công việc thực sự khó khăn, mới mẻ đối với học sinh khi học Hình học không gian. Giáo dục Toán học nhằm phát triển suy luận và vun trồng cho học sinh những khả năng trừu tượng hóa, nó mang đến tính chặt chẽ trong tư duy và chính xác trong diễn đạt. Nó đưa lại những hiểu biết và những kĩ năng trong lĩnh vực số và hình, đồng thời rèn luyện những phương pháp làm việc, nó kích thích trí tưởng tượng. Một yêu cầu quan trọng của việc dạy Hình học không gian là: thông qua việc cung cấp tri thức và rèn luyện kĩ năng, chú ý phát triển các năng lực trí tuệ, trí tưởng tượng không gian tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, tư duy thuật toán, kĩ năng tính toán, . . . đồng thời rèn luyện các phẩm chất của tư duy như linh hoạt, độc lập, sáng tạo . . .

TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương Chuyên đề 3 : Dạy học hình biểu diễn của một hình không gian trong quan hệ vuông góc I. Mở đầu Trong dạy học Toán, đi cùng với việc bồi dưỡng tư duy là việc bồi dưỡng trí tưởng tượng không gian cho học sinh. Không có trí tượng không gian thì không có sự sáng tạo nào hết. Bởi vì cái được sáng tạo là cái mới, cái chưa có nên phải tưởng tượng ra nó. Còn các nhà khoa học cũng cho rằng trong khoa học sáng tạo, “trí tưởng tượng quan trọng hơn hiểu biết”. Hình học không gian là một bộ môn Toán học nghiên cứu các tính chất của những hình trong không gian. Việc nghiên cứu các hình trong không gian dựa trên hình biểu diễn của chúng trên mặt phẳng. Việc biểu diễn các hình không gian trên mặt phẳng là công việc thực sự khó khăn, mới mẻ đối với học sinh khi học Hình học không gian. Giáo dục Toán học nhằm phát triển suy luận và vun trồng cho học sinh những khả năng trừu tượng hóa, nó mang đến tính chặt chẽ trong tư duy và chính xác trong diễn đạt. Nó đưa lại những hiểu biết và những kĩ năng trong lĩnh vực số và hình, đồng thời rèn luyện những phương pháp làm việc, nó kích thích trí tưởng tượng. Một yêu cầu quan trọng của việc dạy Hình học không gian là: thông qua việc cung cấp tri thức và rèn luyện kĩ năng, chú ý phát triển các năng lực trí tuệ, trí tưởng tượng không gian tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, tư duy thuật toán, kĩ năng tính toán, . . . đồng thời rèn luyện các phẩm chất của tư duy như linh hoạt, độc lập, sáng tạo . . . Phân môn Hình học không gian rất có điều kiện để phát triển trí tưởng tượng không gian cho học sinh. Để góp phần giải quyết một số khăn trong việc vẽ hình biểu diễn của hình không gian, rèn luyện một số kĩ năng tư duy trên hình biểu diễn của hình không gian, đồng thời góp phần nâng cao và phát triển trí tưởng tượng không gian cho người học. Hình học không gian ở lớp 11 được thực hiện trong chương 2 và chương 3. Thực tế cho thấy việc dạy học hình biểu diễn của một hình không gian cho học sinh không thể hoàn thiện ngay trong những bài học đầu tiên mà được hoàn thiện dần trong suốt quá TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương trình học của các em. Bằng kinh nghiệm giảng dạy và tham khảo nhiều tài liệu, các giáo viên trong tổ toán đã thực hiện nghiên cứu 3 chuyên đề liên qua tới dạy học hình biểu diễn của hình không gian cho học sinh lớp 11. Chuyên đề 1: Trong chuyên đề này, tác giả đã giúp học sinh biết vẽ những hình trực quan, giúp người học quan sát tốt kết hợp với tư duy logic để có thể nhận biết chính xác vị trí tương đối của các đối tượng cơ bản (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) trên hình. Chuyên đề 2: Bằng việc tiếp nối và phát triển các kết quả của chuyên đề thứ nhất, tác giả đã giúp học sinh nhận thức sâu hơn các tính chất được thể hiện trên hình, học sinh biết huy động kiến thức cũng như áp dụng các kết quả trong hình học phẳng để chứng minh các bài toán quan hệ song song. Khác với quan hệ song song, hình biểu diễn của hình không gian không còn thể hiện đúng các tính chất vuông góc như trong hình học phẳng nữa. Để làm được các bài toán chứng minh hay tính toán trong chương này yêu cầu người học phải tập trung cao độ kết hợp với trí tưởng tượng không gian tốt mới có thể giải được. Nhằm giúp học sinh hoàn thiện hơn trong cách vẽ hình và tư duy trên hình, tôi tiếp tục thực hiện nghiên cứu chuyên đề 3: “Dạy học hình biểu diễn của một hình không gian trong quan hệ vuông góc” TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương NỘI DUNG I. Dạy học vẽ hình Việc vẽ hình lên mặt phẳng là rất quan trọng song thường khó khăn đối với học sinh. Ngay từ những tiết học đầu tiên giáo viên cần phải giúp học sinh làm quen dần với việc biểu diễn này. Kĩ năng biểu diễn hình giúp học sinh phát triển trí tưởng tượng không gian và nhận thức tốt hơn những quan hệ trong hình đó. Thông qua việc vẽ hình sẽ giúp học sinh hiểu sâu hơn và có thể phân biệt được các biểu tượng hình học một cách rõ ràng. Các biểu tượng không gian được khắc sâu và trở thành điểm tựa vững chắc cho việc tiếp thu những biểu tượng không gian mới và nâng cao trí tưởng tượng không gian. Hình không gian rất đa dạng, muôn hình muôn vẽ, ở mỗi góc độ quan sát khác nhau sẽ cho những hình biểu diễn cũng khác nhau. Vì vậy khi vẽ hình, học sinh sẽ tiến hành các hoạt động phân tích thử, vẽ thử, sau đó nhìn nhận ra những điểm chưa tốt của hình vẽ và rút kinh nghiệm, đồng thời người học luôn phải tính toán để thể hiện tốt hơn các chi tiết của bài toán trên hình biểu diễn. Xét một số ví dụ cụ thể:  Khi vẽ hình chóp : Ngoài một số các yêu cầu cơ bản như: vẽ đáy hơi dẹt, không nên vẽ đáy quá rộng, các mặt bên và mặt đáy của hình chóp phải thoáng, không nên vẽ mặt đáy là những tam giác đặc biệt, hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật nên vẽ mặt đáy dẹt với góc nhọn bé hơn hoặc bằng 45 0 , không nên vẽ những hình có quá nhiều nét đứt. Khi sang chương “Quan hệ vuông góc” cần chú ý thêm cho học sinh nên vẽ đường cao song song với lề vở. Chẳng hạn: • Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy: Cũng không nên vẽ TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương • Hình chóp đều hoặc với những bài toán đã xác định chân đường cao dưới mặt đáy nên vẽ đường cao song song với lề vở để dễ hình dung. Đối với trường hợp này nên vẽ đáy trước, vẽ đường cao sau đó mới vẽ các cạnh bên. Học sinh cũng cần tính toán lấy đỉnh trên đường cao sao cho các mặt bên và mặt chéo đều thoáng; tránh trường hợp vẽ các hình không trực quan sẽ gặp nhiều bất cập khi tư duy trên hình như khó phán đoán ra kết quả, nhầm lẫn trong các thao tác phân tích. Chẳng hạn: A S G O Hai hình trên là những hình không tốt, khi tưởng tượng để phân tích, tư duy trên hình sẽ khó khắc sâu các tính chất: AG và SO là các đường cao, nhìn nhận các tam giác vuông… do đó hạn chế trí tưởng tượng không gian của các em.  Vẽ hình biểu diễn của hình hộp + Hình hộp, đặc biệt là các hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương là những hình rất quen thuộc trong cuộc sống. Hình biểu diễn của hình hộp cũng phức tạp hơn hình chóp rất nhiều. + Ngay từ tiết học đầu tiên giáo viên cũng nên rèn luyện cho học sinh vẽ hình biểu diễn của hình hộp. TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương + Hình biểu diễn của hình hộp sẽ là hình biểu diễn “tốt” nếu các chi tiết cơ bản của hình hộp được biểu diễn đúng và trực quan như: các cạnh bên song song với nhau, các mặt bên và mặt đáy phải thoáng, các mặt chéo không quá dẹt, các đường chéo không bị trùng với các cạnh của hình hộp … + Học sinh rất hay vẽ các hình hộp có các đường chéo bị che khuất bởi các cạnh của mặt đáy chẳng hạn: A C D A’ B’ D’ C’ B A C D A’ B’ D’ C’ B Thông thường đa số học sinh chưa có kinh nghiệm nên thường vẽ hình biểu diễn của hình lập phương như sau: TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương Trong đó mặt phẳng (ADD’A’) là hình vuông, còn ABCD là hình bình hành với góc ở đỉnh A xấp xỉ 45 0 . Hình biểu diễn đó không tốt vì khi đó hai đường chéo B’D, A’C và hai đường thẳng A’B’, CD gần như trùng nhau. Hình biểu diễn đó sẽ tốt hơn nếu góc ở đỉnh A của hình bình hành ABCD được vẽ lớn hơn hoặc bé hơn 45 0 . + Một số điểm chú ý khi vẽ hình biểu diễn của hình hộp: • Nên vẽ đáy hơi dẹt, không nên vẽ đáy quá rộng. • Nên vẽ đáy ABCD trước, sau đó vẽ cạnh bên AA’; tính toán, phân tích lấy đỉnh A’ trên cạnh bên sao cho đường chéo A’C của hình hộp không bị che khuất bởi cạnh CD. • Đối với những trường hợp không cho ở dạng đặc biệt thì không nên vẽ hình biểu diễn ở dạng đặc biệt. Học sinh quen với việc vẽ hình hộp đứng nên khi bài toán chỉ cho hình hộp thì lại vẽ hình biểu diễn của hình hộp đứng và khi chứng minh rất dễ nhầm sang sử dụng các tính chất của hình hộp đứng dẫn đến giải bài toán sai. • Kỹ năng đổi đỉnh cũng giúp học sinh nhanh chóng tìm ra hình biểu diễn tốt cho bài toán. Chẳng hạn với bài toán: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xác định giao điểm của A’C với hai mặt phẳng (AB’D’) và (BDC’). Hình đã cho học sinh có thể biểu diễn như các hình sau: A C C’ D’ B’ B A’ D a TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương D C A’ D’ B’ A B C’ b A D C C’ B’ A’ D’ B c Hình a) là hình biểu diễn không đẹp, không trực quan sẽ gây khó khăn cho học sinh tiến hành tưởng tượng và phân tích trên hình khi giải toán. Trong hình b, hai miền tam giác AB’D’ Và BDC’ che lấp nhau. Biểu diễn như hình c) là thuận lợi nhất cho việc giải bài toán hơn. Giáo viên cần chỉ rõ cho học sinh thấy hình b và hình c là như nhau nhưng thay đổi vị trí các đỉnh. TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương Việc hướng dẫn cho học sinh lựa chọn và vẽ những hình biểu diễn “tốt” có ý nghĩa rất quan trọng, góp phần rất lớn vào việc giảm bớt những khó khăn khi giải các bài toán không gian và hiện tượng mệt mỏi khi học bộ môn này. Đó cũng là điều kiện thuận lợi góp phần nâng cao và phát triển trí tưởng tượng không gian cho học sinh. Những hình biểu diễn không tốt sẽ hạn chế sự phát triển trí tưởng tượng không gian và dễ gây ra hiện tượng mệt mỏi, chán nản khi không tìm ra phương pháp giải các bài toán không gian do các em không thể tưởng tượng được không gian khi quan sát hình vẽ. Các ví dụ sau đây sẽ chỉ ra một số các hiện tượng sai lầm khi học sinh không biết cách vẽ hình biểu diễn trực quan dẫn đến gặp khó khăn khi giải toán. Ví dụ 3: ( Bài 30 – Hình học 11 nâng cao – trang 117) Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 0 . Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’. a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy. b) Chứng minh hai đường thẳng AA’ và B’C’ vuông góc với nhau. Tính khoảng cách giữa chúng. Đối với bài toán này học sinh thường vẽ hình như sau: A’ B’ C’ B C A A’ B’ C’ B TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương A H H C Sai lầm của các em đó là: Vẽ hình lăng trụ trước, thậm chí là vẽ hình lăng trụ đứng, sau đó mới biểu diễn AH. Theo bài ra thì AH phải là đường cao, nhưng do thói quen của học sinh là vẽ hình lăng trụ trước nên khi biểu diễn AH không trực quan. Do đó khó hình dung và dẫn đến những sai lầm khi giải toán. Chẳng hạn: • Với câu a, khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là AH, tuy nhiên do không nhìn nhận ra nên học sinh dễ nhầm đường cao là AA’ hay đường cao hạ từ đỉnh A xuống mặt đáy. • Góc giữa cạnh bên AA’ với (A’B’C’) chính là góc giữa hai đường thẳng AA’ và A’H, nhưng học sinh không thấy được A’H là hình chiếu của AH nên dẫn tới xác định góc sai. • Để tính AH học sinh phải dựa vào tam giác AA’H là tam giác vuông tại H nhưng học sinh dễ nhầm với tam giác vuông tại A. TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương Những sai lầm này của học sinh chủ yếu do các em chưa có kinh nghiệm vẽ hình và do trí tưởng tượng không gian kém. Do đó trước mỗi bài toán giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh cách vẽ hình, nhấn mạnh những điểm quan trọng: B’ C’ H A B C A’ • Với các bài toán đã cho đường cao nên ưu tiên biểu diễn đường cao. Với bài toán này nên vẽ đáy A’B’C’ trước, lấy điểm H thuộc B’C’. Vẽ đường thẳng vuông góc với (A’B’C’) tại H. Trên đường thẳng đó lấy điểm A, nối AA’. • Các chi tiết còn lại được biểu diễn thông qua các quan hệ song song, tỉ số độ dài. Chẳng hạn từ B’, C’ vẽ các đường thẳng song song với AA’.Các đỉnh còn lại được xác định dựa vào quan hệ song. Khi biểu diễn hình một cách trực quan, học sinh sẽ tiến hành các thao tác tư duy một cách thuận lợi vào việc giải bài toán không còn nhiều khó khăn nữa. Để bồi dưỡng trí tưởng tượng không gian cho học sinh, đứng trước mỗi bài toán không gian giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh kết hợp vẽ hình với các phép phân tích, so sánh. Ví dụ 4: Cho tứ diện SABC có SBC là các tam giác đều cạnh a. SA = a, AB = AC = a 2 . Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC). Thông thường học sinh sẽ vẽ hình trước rồi mớA B C M [...]... em học sinh lớp 12 Việc dạy học hình học không gian chính là dạy cho các em biết vẽ hình, biết tư duy thao tác trên hình và liên hệ trở lại được với thực tiễn Chuyên đề 3, tác giả đã làm rõ những sai lầm thường gặp của học sinh, cách khắc phục khi vẽ hình biễu diễn của hình không gian, cũng như một vài cách thức dạy học mà tác giả cho rằng có thể phát triển trí tượng tượng không gian cho các em một. .. mặt phẳng với hình, khối không gian, do đó phát triển trí tưởng tượng không gian Mặt khác, để nhìn nhận ra bộ phận phẳng cần tách và biểu diễn những mối quan hệ trong mặt phẳng một cách như vốn có của nó mà trong hình không gian các tính chất này không được bảo toàn Do đó đòi hỏi người học phải có trí tưởng tượng không gian phát triển đến một mức độ nhất định mới có thể làm được Dạy học tách bộ phận... điểm của A’C TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương G = AK ∩ A’O ⇒ G là trọng tâm tam giác AA’C ⇒ = ⇒G là trọng tâm ÄBDA’ Hoạt động vẽ hình biểu diễn của hình không gian là bước đi từ trực quan sinh động đến tư duy trừ tượng” Từ việc quan sát các mô hình cụ thể , qua một quá trình tái hiện lại, tưởng tượng lại biểu tượng không gian mới vẽ được hình biểu diễn của hình không gian. .. tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian chính là bước đi: từ tư duy trừu tượng trở về thực tiễn Từ một mô hình không gian trừu tượng người học phải hình dung ra hình dạng đúng, trực quan của bộ phận phẳng đó để có thể biểu diễn riêng rẽ ra mặt phẳng một cách chính xác các quan hệ của nó như trong thực tế A S D’ B’ C’ B C D O A’ Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Mặt phẳng ( α)... tinh tuý của các hình trong không gian là điều kiện cho học sinh vừa củng cố vừa khai thác triệt để các biểu tượng không gian, vừa tích luỹ được nhiều kinh nghiệm quý báu góp phần bồi dưỡng và không ngừng nâng cao các thao tác tư duy và trí tưởng tượng không gian, bồi dưỡng thế giới quan và tư duy linh hoạt cho học sinh Cũng cần phải nói rằng hình biểu diễn trong sách giáo khoa và hình vẽ của thầy giáo... trọng trong dạy học Hình học không gian Khi học những khái niệm, định lí hình vẽ đúng giúp học sinh dễ nhận dạng các định lí Khi học giải toán, hình vẽ đúng và tốt giúp học sinh hiểu rõ bài toán và giảm bớt sự trừu tượng của các hình biểu diễn cũng như của yêu cầu bài toán, do đó có thể tìm ra lời giải dễ dàng và nhanh chóng hơn Vì vậy chúng ta cần thường xuyên chú ý hướng dẫn cho học sinh vẽ hình đúng... giảng dạy kết hợp với nghiên cứu tâm lí lứa tuổi và trên cơ sở tôn trọng mục tiêu giáo dục của đất nước Do giới hạn đề tài trong chương trình lớp 11, nên đây chưa thể gọi là “hoàn thiện” về các vấn đề về hình biểu diễn của hình không gian Lên lớp 12 các em sẽ tiếp tục các thao tác như cắt, ghép hình, mối liên hệ giữa các hình hình học, … Tác giả hy vọng đề tài sẽ giúp các em có những cơ sở về kiến thức một. .. bộ phận phẳng ra khỏi không gian để rèn luyện cho học sinh cách quan sát tinh tế theo chiều sâu đối với những mô hình trừu tượng trong học tập cũng như trong thực tiễn; hiểu một cách sâu sắc hơn biểu tượng cũng như các kiến thức của Hình TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương không gian Do đó thành thạo kĩ năng này trí tưởng tượng không gian sẽ đạt đến một tầm cao mới Bồi dưỡng... và trực quan Công việc rèn luyện cho học sinh vẽ hình biểu diễn phải được thực hiện liên tục xuyên suốt quá trình học tập Hình học không gian, kể cả trong giải toán Hình không gian Đứng trước mỗi bài toán giáo viên cần tổ chức cho học sinh luyện tập vẽ hình, kết hợp trí tưởng tượng với các thao tác phân tích, so sánh các dữ kiện cũng như yêu cầu bài toán, bao quát bài toán để có thể vẽ được hình đúng... phẳng, do đó tạo hứng thú học tập cho học sinh Việc tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian góp phần phát triển trí tưởng tượng không gian, và ngược lại để tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian cũng đòi hỏi người học phải có trí tưởng tượng không gian phát triển cao mới có thể thực hiện được Thật vậy, bộ phận phẳng được tách ra không chỉ là mặt xung quanh hay mặt đáy của hình không gian mà còn có thể là . trong tổ toán đã thực hiện nghiên cứu 3 chuyên đề liên qua tới dạy học hình biểu diễn của hình không gian cho học sinh lớp 11. Chuyên đề 1: Trong chuyên đề này, tác giả đã giúp học sinh biết. các đối tượng cơ bản (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) trên hình. Chuyên đề 2: Bằng việc tiếp nối và phát triển các kết quả của chuyên đề thứ nhất, tác giả đã giúp học sinh nhận thức sâu hơn các. khi giải toán. Ví dụ 3: ( Bài 30 – Hình học 11 nâng cao – trang 117) Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 0 . Hình chiếu H