Chuyên đề 3 : Dạy học hình biểu diễn của một hình không gian trong quan hệ vuông góc

Chuyên đề 3 : Dạy học hình biểu diễn của một hình không gian trong quan hệ vuông góc I. Mở đầu Trong dạy học Toán, đi cùng với việc bồi dưỡng tư duy là việc bồi dưỡng trí tưởng tượng không gian cho học sinh. Không có trí tượng không gian thì không có sự sáng tạo nào hết. Bởi vì cái được sáng tạo là cái mới, cái chưa có nên phải tưởng tượng ra nó. Còn các nhà khoa học cũng cho rằng trong khoa học sáng tạo, “trí tưởng tượng quan trọng hơn hiểu biết”. Hình học không gian là một bộ môn Toán học nghiên cứu các tính chất của những hình trong không gian. Việc nghiên cứu các hình trong không gian dựa trên hình biểu diễn của chúng trên mặt phẳng. Việc biểu diễn các hình không gian trên mặt phẳng là công việc thực sự khó khăn, mới mẻ đối với học sinh khi học Hình học không gian. Giáo dục Toán học nhằm phát triển suy luận và vun trồng cho học sinh những khả năng trừu tượng hóa, nó mang đến tính chặt chẽ trong tư duy và chính xác trong diễn đạt. Nó đưa lại những hiểu biết và những kĩ năng trong lĩnh vực số và hình, đồng thời rèn luyện những phương pháp làm việc, nó kích thích trí tưởng tượng. Một yêu cầu quan trọng của việc dạy Hình học không gian là: thông qua việc cung cấp tri thức và rèn luyện kĩ năng, chú ý phát triển các năng lực trí tuệ, trí tưởng tượng không gian tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, tư duy thuật toán, kĩ năng tính toán, . . . đồng thời rèn luyện các phẩm chất của tư duy như linh hoạt, độc lập, sáng tạo . . .

Chuyên đề 3 : Dạy học hình biểu diễn của một hình không

gian trong quan hệ vuông góc

I Mở đầu

Trong dạy học Toán, đi cùng với việc bồi dưỡng tư duy là việc bồi dưỡng trí tưởng tượng không gian cho học sinh Không có trí tượng không gian thì không có sự sáng tạo nào hết Bởi vì cái được sáng tạo là cái mới, cái chưa có nên phải tưởng tượng ra nó Còn các nhà khoa học cũng cho rằng trong khoa học sáng tạo, “trí tưởng tượng quan trọng hơn hiểu biết”

Hình học không gian là một bộ môn Toán học nghiên cứu các tính chất của những hình trong không gian Việc nghiên cứu các hình trong không gian dựa trên hình biểu diễn của chúng trên mặt phẳng Việc biểu diễn các hình không gian trên mặt phẳng là công việc thực sự khó khăn, mới mẻ đối với học sinh khi học Hình học không gian

Giáo dục Toán học nhằm phát triển suy luận và vun trồng cho học sinh những khả năng trừu tượng hóa, nó mang đến tính chặt chẽ trong tư duy và chính xác trong diễn đạt

Nó đưa lại những hiểu biết và những kĩ năng trong lĩnh vực số và hình, đồng thời rèn luyện những phương pháp làm việc, nó kích thích trí tưởng tượng

Một yêu cầu quan trọng của việc dạy Hình học không gian là: thông qua việc cung cấp tri thức và rèn luyện kĩ năng, chú ý phát triển các năng lực trí tuệ, trí tưởng tượng không gian tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, tư duy thuật toán, kĩ năng tính toán, đồng thời rèn luyện các phẩm chất của tư duy như linh hoạt, độc lập, sáng tạo

Phân môn Hình học không gian rất có điều kiện để phát triển trí tưởng tượng không gian cho học sinh Để góp phần giải quyết một số khăn trong việc vẽ hình biểu diễn của hình không gian, rèn luyện một số kĩ năng tư duy trên hình biểu diễn của hình không gian, đồng thời góp phần nâng cao và phát triển trí tưởng tượng không gian cho người học

Hình học không gian ở lớp 11 được thực hiện trong chương 2 và chương 3 Thực tế cho thấy việc dạy học hình biểu diễn của một hình không gian cho học sinh không thể hoàn thiện ngay trong những bài học đầu tiên mà được hoàn thiện dần trong suốt quá

trình học của các em Bằng kinh nghiệm giảng dạy và tham khảo nhiều tài liệu, các giáo viên trong tổ toán đã thực hiện nghiên cứu 3 chuyên đề liên qua tới dạy học hình biểu diễn của hình không gian cho học sinh lớp 11

Chuyên đề 1:

Trong chuyên đề này, tác giả đã giúp học sinh biết vẽ những hình trực quan, giúp người học quan sát tốt kết hợp với tư duy logic để có thể nhận biết chính xác vị trí tương đối của các đối tượng cơ bản (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) trên hình

Chuyên đề 2:

Bằng việc tiếp nối và phát triển các kết quả của chuyên đề thứ nhất, tác giả đã giúp học sinh nhận thức sâu hơn các tính chất được thể hiện trên hình, học sinh biết huy động kiến thức cũng như áp dụng các kết quả trong hình học phẳng để chứng minh các bài toán quan hệ song song

Khác với quan hệ song song, hình biểu diễn của hình không gian không còn thể hiện đúng các tính chất vuông góc như trong hình học phẳng nữa Để làm được các bài toán chứng minh hay tính toán trong chương này yêu cầu người học phải tập trung cao độ kết hợp với trí tưởng tượng không gian tốt mới có thể giải được Nhằm giúp học sinh hoàn thiện hơn trong cách vẽ hình và tư duy trên hình, tôi tiếp tục thực hiện nghiên cứu chuyên

đề 3: “Dạy học hình biểu diễn của một hình không gian trong quan hệ vuông góc”

NỘI DUNG

I Dạy học vẽ hình

Việc vẽ hình lên mặt phẳng là rất quan trọng song thường khó khăn đối với học sinh Ngay từ những tiết học đầu tiên giáo viên cần phải giúp học sinh làm quen dần với việc biểu diễn này Kĩ năng biểu diễn hình giúp học sinh phát triển trí tưởng tượng không gian và nhận thức tốt hơn những quan hệ trong hình đó

Thông qua việc vẽ hình sẽ giúp học sinh hiểu sâu hơn và có thể phân biệt được các biểu tượng hình học một cách rõ ràng Các biểu tượng không gian được khắc sâu và trở thành điểm tựa vững chắc cho việc tiếp thu những biểu tượng không gian mới và nâng cao trí tưởng tượng không gian

Hình không gian rất đa dạng, muôn hình muôn vẽ, ở mỗi góc độ quan sát khác nhau

sẽ cho những hình biểu diễn cũng khác nhau Vì vậy khi vẽ hình, học sinh sẽ tiến hành các hoạt động phân tích thử, vẽ thử, sau đó nhìn nhận ra những điểm chưa tốt của hình vẽ

và rút kinh nghiệm, đồng thời người học luôn phải tính toán để thể hiện tốt hơn các chi tiết của bài toán trên hình biểu diễn

Xét một số ví dụ cụ thể:

 Khi vẽ hình chóp : Ngoài một số các yêu cầu cơ bản như: vẽ đáy hơi dẹt, không nên

vẽ đáy quá rộng, các mặt bên và mặt đáy của hình chóp phải thoáng, không nên vẽ mặt đáy là những tam giác đặc biệt, hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật nên vẽ mặt đáy dẹt với góc nhọn bé hơn hoặc bằng 450, không nên vẽ những hình có quá nhiều nét đứt Khi sang chương “Quan hệ vuông góc” cần chú ý thêm cho học sinh nên vẽ đường cao song song với lề vở Chẳng hạn:

 Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy:

Cũng không nên vẽ

 Hình chóp đều hoặc với những bài toán đã xác định chân đường cao dưới mặt đáy nên vẽ đường cao song song với lề vở để dễ hình dung

Đối với trường hợp này nên vẽ đáy trước,

vẽ đường cao sau đó mới vẽ các cạnh bên Học sinh cũng cần tính toán lấy đỉnh trên đường cao sao cho các mặt bên và mặt chéo đều thoáng; tránh trường hợp vẽ các hình không trực quan sẽ gặp nhiều bất cập khi tư duy trên hình như khó phán đoán ra kết quả, nhầm lẫn trong các thao tác phân tích Chẳng hạn:

A S

G

O

A

C D

A’

B’

D’

C’

B

A

C D

A’

B’

D’

C’ B

Hai hình trên là những hình không tốt, khi tưởng tượng để phân tích, tư duy trên hình sẽ khó khắc sâu các tính chất: AG và SO là các đường cao, nhìn nhận các tam giác vuông… do đó hạn chế trí tưởng tượng không gian của các em

 Vẽ hình biểu diễn của hình hộp

+ Hình hộp, đặc biệt là các hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương là những hình rất quen thuộc trong cuộc sống Hình biểu diễn của hình hộp cũng phức tạp hơn hình chóp rất nhiều

+ Ngay từ tiết học đầu tiên giáo viên cũng nên rèn luyện cho học sinh vẽ hình biểu diễn của hình hộp

+ Hình biểu diễn của hình hộp sẽ là hình biểu diễn “tốt” nếu các chi tiết cơ bản của hình hộp được biểu diễn đúng và trực quan như: các cạnh bên song song với nhau, các mặt bên và mặt đáy phải thoáng, các mặt chéo không quá dẹt, các đường chéo không bị trùng với các cạnh của hình hộp …

+ Học sinh rất hay vẽ các hình hộp có các đường chéo bị che khuất bởi các cạnh của mặt đáy chẳng hạn:

Thông thường đa số học sinh chưa có kinh nghiệm nên thường vẽ hình biểu diễn của hình lập phương như sau:

Trong đó

(ADD’A’) là hình vuông, còn ABCD là hình bình hành với góc ở đỉnh A xấp xỉ 450 Hình biểu diễn đó không tốt vì khi đó hai đường chéo B’D, A’C và hai đường thẳng A’B’, CD gần như trùng nhau Hình biểu diễn đó sẽ tốt hơn nếu góc ở đỉnh A của hình bình hành ABCD được vẽ lớn hơn hoặc bé hơn 450

+ Một số điểm chú ý khi vẽ hình biểu diễn của hình hộp:

Nên vẽ đáy hơi dẹt, không nên vẽ đáy quá rộng

Nên vẽ đáy ABCD trước, sau đó vẽ cạnh bên AA’; tính toán, phân tích lấy đỉnh A’ trên cạnh bên sao cho đường chéo A’C của hình hộp không bị che khuất bởi cạnh CD

Đối với những trường hợp không cho ở dạng đặc biệt thì không nên vẽ hình biểu diễn ở dạng đặc biệt Học sinh quen với việc vẽ hình hộp đứng nên khi bài toán chỉ cho hình hộp thì lại vẽ hình biểu diễn của hình hộp đứng và khi chứng minh rất dễ nhầm sang

sử dụng các tính chất của hình hộp đứng dẫn đến giải bài toán sai

 Kỹ năng đổi đỉnh cũng giúp học sinh nhanh chóng tìm ra hình biểu diễn tốt cho bài toán Chẳng hạn với bài toán: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Xác định giao điểm của A’C với hai mặt phẳng (AB’D’) và (BDC’) Hình đã cho học sinh có thể biểu diễn như các hình sau:

C

C’

D’ B’

B

A’

D

a

D

C

A’

D’

B’

C’

b

A

D

C

C’

B’

A’

D’

B

c

Hình a) là hình biểu diễn không đẹp, không trực quan sẽ gây khó khăn cho học sinh tiến hành tưởng tượng và phân tích trên hình khi giải toán Trong hình b, hai miền tam giác AB’D’ Và BDC’ che lấp nhau Biểu diễn như hình c) là thuận lợi nhất cho việc giải bài toán hơn Giáo viên cần chỉ rõ cho học sinh thấy hình b và hình c là như nhau nhưng thay đổi vị trí các đỉnh

Việc hướng dẫn cho học sinh lựa chọn và vẽ những hình biểu diễn “tốt” có ý nghĩa rất quan trọng, góp phần rất lớn vào việc giảm bớt những khó khăn khi giải các bài toán không gian và hiện tượng mệt mỏi khi học bộ môn này Đó cũng là điều kiện thuận lợi góp phần nâng cao và phát triển trí tưởng tượng không gian cho học sinh Những hình biểu diễn không tốt sẽ hạn chế sự phát triển trí tưởng tượng không gian và dễ gây ra hiện tượng mệt mỏi, chán nản khi không tìm ra phương pháp giải các bài toán không gian do các em không thể tưởng tượng được không gian khi quan sát hình vẽ

Các ví dụ sau đây sẽ chỉ ra một số các hiện tượng sai lầm khi học sinh không biết cách vẽ hình biểu diễn trực quan dẫn đến gặp khó khăn khi giải toán

B’

C’

B

C A

A’

B’

C’

B A

H H

C

Ví dụ 3: ( Bài 30 – Hình học 11 nâng cao – trang 117)

Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a, góc tạo bởi cạnh bên

và mặt phẳng đáy bằng 300 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy

b) Chứng minh hai đường thẳng AA’ và B’C’ vuông góc với nhau Tính khoảng cách giữa chúng

Đối với bài toán này học sinh thường vẽ hình như sau:

Sai lầm của các em đó là: Vẽ hình lăng trụ trước, thậm chí là vẽ hình lăng trụ đứng, sau đó mới biểu diễn AH

Theo bài ra thì AH phải là đường cao, nhưng do thói quen của học sinh là vẽ hình lăng trụ trước nên khi biểu diễn AH không trực quan Do đó khó hình dung và dẫn đến những sai lầm khi giải toán Chẳng hạn:

 Với câu a, khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là AH, tuy nhiên do không nhìn nhận ra nên học sinh dễ nhầm đường cao là AA’ hay đường cao hạ từ đỉnh A xuống mặt đáy

 Góc giữa cạnh bên AA’ với (A’B’C’) chính là góc giữa hai đường thẳng AA’ và A’H, nhưng học sinh không thấy được A’H là hình chiếu của AH nên dẫn tới xác định góc sai

C’

H

A

B C

A’

A

B

C M

S

H

A

B

 Để tính AH học sinh phải dựa vào tam giác AA’H là tam giác vuông tại H nhưng học sinh dễ nhầm với tam giác vuông tại A

Những sai lầm này của học sinh chủ yếu do các em chưa có kinh nghiệm vẽ hình và

do trí tưởng tượng không gian kém Do đó trước mỗi bài toán giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh cách vẽ hình, nhấn mạnh những điểm quan trọng:

đáy A’B’C’ trước, lấy điểm H thuộc B’C’ Vẽ

đường thẳng vuông góc với (A’B’C’) tại H

Trên đường thẳng đó lấy điểm A, nối AA’

 Các chi tiết còn lại được biểu diễn

thông qua các quan hệ song song, tỉ số độ dài

Chẳng hạn từ B’, C’ vẽ các đường thẳng song

song với AA’.Các đỉnh còn lại được xác định dựa vào quan hệ song

Khi biểu diễn hình một cách trực quan, học sinh sẽ tiến hành các thao tác tư duy một cách thuận lợi vào việc giải bài toán không còn nhiều khó khăn nữa

Để bồi dưỡng trí tưởng tượng không gian cho học sinh, đứng trước mỗi bài toán không gian giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh kết hợp vẽ hình với các phép phân tích,

so sánh

Ví dụ 4: Cho tứ diện SABC có SBC là các tam giác đều cạnh a SA = a, AB = AC = a 2

Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC)

 Thông thường học sinh sẽ vẽ hình trước rồi mới tính toán

 Học sinh đã quen với một hình chóp đỉnh S, đáy là tam giác ABC hơn nữa cũng dễ dàng tính được diện tích tam giác ABC, do đó việc tính thể tích quy về tính đường cao

SH Tuy nhiên việc tính SH là khá khó khăn

 Nếu linh động người học sẽ có sự phân tích (trên hình

vẽ thử) như sau:

S

C’

B C

A

S

D’

B’

C’

B C

I

TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương

SA = SB =a, AB =a 2 => SAB vuông tại S

SA = SC = a, AC = a 2 => SAC vuông tại S

 AS  (SBC)  AS là đường cao và SA = a

Từ đó học sinh vẽ hình khác trực quan hơn và việc giải bài toán là rất đơn giản

Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với

mặt phẳng (ABCD) Gọi B’,C’,D’ lần lượt là hình chiếu của A lên các cạnh SB, SC, SD a) Chứng minh A, B’,C’,D’ đồng phẳng

b) Chứng minh bốn điểm A, B’,C’,D’ cùng thuộc

một đường tròn

Học sinh thường vẽ hình theo thứ tự các dữ kiện bài

toán:

Với hình vẽ này, khi chứng minh câu a học sinh rất

khó hình dung bốn điểm A, B’,C’,D’ được biểu diễn trên

hình vẽ là đồng phẳng vì vậy sẽ gặp khó khăn trong việc

tìm lời giải

Tuy nhiên, nếu vẽ hình thử và quan tâm đến kết luận của bài toán, sử dụng phép phân tích ngược học sinh sẽ vẽ hình chính xác và tốt hơn

Khi A , B’, C’, D’ đồng phẳng thì ba mặt phẳng (AB’C’D’), (SAC), (SBD) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến SO, B’D’, AC’  ba đường thẳng này đồng quy Từ đó suy

ra hình trên là sai

Học sinh có thể vẽ bằng cách xác định B’, D’

trước; Sau đó xác định giao điểm I của B’D’ với

SO, khi đó C’ = AI  SC

Vẽ hình đúng sẽ dễ dàng cho việc tìm lời giải

của bài toán một cách chính xác hơn

Hình vẽ có vai trò quan trọng trong dạy học

Hình học không gian Khi học những khái niệm,

định lí hình vẽ đúng giúp học sinh dễ nhận dạng các định lí Khi học giải toán, hình vẽ

C A

B

D B’

D’

C’

A’

O G

đúng và tốt giúp học sinh hiểu rõ bài toán và giảm bớt sự trừu tượng của các hình biểu diễn cũng như của yêu cầu bài toán, do đó có thể tìm ra lời giải dễ dàng và nhanh chóng hơn Vì vậy chúng ta cần thường xuyên chú ý hướng dẫn cho học sinh vẽ hình đúng và trực quan

Công việc rèn luyện cho học sinh vẽ hình biểu diễn phải được thực hiện liên tục xuyên suốt quá trình học tập Hình học không gian, kể cả trong giải toán Hình không gian Đứng trước mỗi bài toán giáo viên cần tổ chức cho học sinh luyện tập vẽ hình, kết hợp trí tưởng tượng với các thao tác phân tích, so sánh các dữ kiện cũng như yêu cầu bài toán, bao quát bài toán để có thể vẽ được hình đúng và tốt nhất Sự tinh tuý của các hình trong không gian là điều kiện cho học sinh vừa củng cố vừa khai thác triệt để các biểu tượng không gian,vừa tích luỹ được nhiều kinh nghiệm quý báu góp phần bồi dưỡng và không ngừng nâng cao các thao tác tư duy và trí tưởng tượng không gian, bồi dưỡng thế giới quan và tư duy linh hoạt cho học sinh

Cũng cần phải nói rằng hình biểu diễn trong sách giáo khoa và hình vẽ của thầy giáo trên bảng trong các giờ lên lớp nhất thiết phải là các ví dụ mẫu mực về cách vẽ hình biểu diễn, do đó người thầy cũng phải luôn luôn trau dồi kĩ năng vẽ hình tốt

II Dạy học tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian

Khi giải một bài toán Hình học không gian thông thường ta tiến hành trên từng bộ phận mặt phẳng Do đó để học sinh dễ hiểu và tiện theo dõi giáo viên nên hướng dẫn học sinh tách riêng phần mặt phẳng cần nghiên cứu ra khỏi không gian phức tạp của bài toán Nhiều khi tách bộ phận phẳng giúp học sinh tìm lời giản đơn giản hơn nhiều và tạo sự thuận lợi khi áp dụng các tính chất của Hình học phẳng

Ví dụ 1 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi O là giao điểm của AC và BD Xác

định giao điểm G của AC’ và mặt phẳng (BDA’) Chứng minh G là trọng tâm tam giác BDA’

Giải:

C A

C’

A’

K

O G

A

S

C’

B

C

A’

C’

S A’

C K

I

+ Chứng minh G là trọng tâm tam giác BDA’

Ta chứng minh \f(A’G,A’O = \f(2,3 hay chứng minh G là trọng tâm tam giác AA’C (1)

Để chứng minh (1) ta nên dựa vào mặt phẳng (ACC’A’)

Tách mặt phẳng (ACC’A’) ra khỏi hình hộp và biểu diễn trên mặt phẳng

Bây giờ ta áp dụng tính chất của Hình học phẳng chứng minh G là trọng tâm tam giác AA’C trở nên đơn giản

Đặt K = AC’  A’C  K là trung điểm của A’C

G = AK  A’O  G là trọng tâm tam giác

AA’C  \f(A’G,A’O = \f(2,3 G là trọng tâm

ÄBDA’

Hoạt động vẽ hình biểu diễn của hình không

gian là bước đi từ trực quan sinh động đến tư duy trừ tượng” Từ việc quan sát các mô hình cụ thể , qua một quá trình tái hiện lại, tưởng tượng lại biểu tượng không gian mới vẽ được hình biểu diễn của hình không gian lên mặt phẳng Hoạt động tách bộ phận phẳng

ra khỏi không gian chính là bước đi: từ tư duy trừu tượng trở về thực tiễn Từ một mô

hình không gian trừu tượng người học phải hình dung ra hình dạng đúng, trực quan của

bộ phận phẳng đó để có thể biểu diễn riêng rẽ ra mặt phẳng một cách chính xác các quan

hệ của nó như trong thực tế

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Mặt phẳng ()

cắt SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’ Chứng minh rằng:

\f(SA,SA’ + \f(SC,SC’ = \f(SB,SB’ + \f(SD,SD’

Giải:

+ Dựng mặt phẳng () = (A’B’C’D’)

SB, SC Khi đó D = (A’B’C’)  SD

(K  SO) Từ A kẻ AH // A’C’ (H  SO)

Do AH // A’C’  \f(SA,SA’ = \f(SH,SI