CHUYÊN đề hình học không gian về QUAN hệ VUÔNG góc KIẾN THỨC TỔNG hợp DẠNG bài tập lớp 11

Bài viết bao gồm phần một: kiến thức hình học không gian về quan hệ vuông góc, tổng hợp các dạng bài tập phân loại phương pháp giải kết hợp với hình biểu diễn, và phần về dạng bài tập minh họa được giải khá chi tiết, bài tập vận dụng cho các phương pháp giải nhằm rèn luyện và nâng cao hiệu quả làm bài.

b

β α

1 Góc giữa hai đường thẳng:

 Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau, chúng tạo thành bốn góc Số đo của góc nhỏ nhất trong bốn góc đó gọi là số đo góc hợp bởi a và b hay góc giữa hai đường thẳng a và b

 Trong không gian góc giữa hai đường thẳng a, b là

góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm

và lần lượt song song hoặc trùng với a và b

 Lưu ý: 0 0  ( , )a b  900

* Nhị diện:

 Hình hợp bởi hai nữa mặt phẳng () và ( )  có chung bờ c gọi là nhị diện.Mỗi nữa mặt phẳng ( ) và ( )  gọi là một nữa của nhị diện Đường thẳng c được gọi là cạnh của nhị diện Kí hiệu nhị diện [ , ,c ]

 Mặt phẳng vuông góc với c cắt nhị diện theo góc aIb

Góc aIb gọi là góc phẳng của nhị diện  , ,c 

I

c a b

α

O'

A' B'

Diện tích hình chiếu của một đa giác

Gọi S là diện tích của một đa giác phẳng với S’ là diện tích của đa giác hình chiếu (vuông góc) và  là góc giữa mặt phẳng của đa giác và mặt phẳng hình chiếu, ta có:

 

' cos , ,

4/ Hình chiếu của góc vuông

Định lí: Hình chiếu của góc vuông lên một mặt phẳng ( ) là một góc vuông khi và chỉ khi góc vuông đem chiếu có ít nhất một cạnh song song hoặc nằm trong ( )





90

' ' ' 90 / /( )

( )

AOB

A O B OA

I

M

B A

b' b

2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là

vuông góc với mặt phẳng nếu như nó vuông góc

với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó

mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung

điểm của nó

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập

hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

phương l vuông góc với mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt

D E A

B

C O S

( ) ( ) ( )

( ) ( )

-Hình chóp đều là hình có đáy đáy là

đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau

C O

α

M

-Khi cắt hình chóp cụt đều bởi một mặt phẳng song song

với đáy để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó

được gọi là hình chóp cụt đều.

-Đường nối tâm hai đáy được gọi là đường cao của

3.Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song:

-Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng  

4.Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

-Cho hai mặt phẳng song song     , 

b

c

5.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

-Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường

thẳng đó

 Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

  và  ' là đường thẳng a cắt   ở M và cắt

 ' ở N đồng thời vuông góc với cả   và  '

 Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường

thẳng chéo nhau   và  '

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn

vuông góc chung của hai đườngthẳng đó

 Nhận xét:Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song

và lần lượt đi qua a và b, ta có:

Dạng 2 : Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau

Dạng 4: Tính góc giữa hai đường thẳng

b

β α

-Lấy điểm O tùy ý (ta có thể lấy O thuộc một trong hai đường thẳng) qua đó

vẽ các đường thẳng lần lượt song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng đãcho

-Tính một góc trong các góc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt nhau tại

O

-Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm , nếu góc đó tù thì góc cần tính làgóc bù với góc đã tính

*Cách 2: (theo phương pháp véctơ)

-Phương pháp: Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta

phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau :

của điểm M trên mp(P)

*Cách 3: Dựa vào tính chất trục của tam giác: Cho ABC nằm trên (P), hìnhchiếu vuông góc của điểm M trên (P) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, tức là nếu MA=MB=MC khi đó hình chiếu của điểm M trên mp (P) là tâm Ocủa đường tròn ngoại tiếp ABC

-Nếu MA/ /   d M ,   d A ,  

Dạng 7: Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng

α

A' A

P

I M

Dạng 11: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Dạng 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng

Dang 9: Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng

Dạng 8: khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

a' a

b

M

N K

*Cách 1: Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b Tính

khoảng cách từ b đến mp(P)

*Cách 2: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm

*Cách 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó

Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:

-Từ B dựng đường thẳng song song với OH

cắt a tại A Vậy AB là khoảng cách của hai

đường chéo a và b

*Cách 1: Nếu một hình chóp có các đỉnh còn lại cùng nhìn một cạnh dưới

một góc vuông thì tâm của hình cầu ngoại tiếp hình chóp chính là trung điểmcủa cạnh đó

-Chú ý: Để chứng minh các điểm cùng nhìn đoạn thẳng dưới một góc vuông

*Cách 2: Ta thực hiện theo các bước sau:

Dạng 12: Xác định tâm của mặt hình cầu ngoại tiếp hình chóp ta có

thể làm theo các bước sau

au:

α α

H

G F

+Bước 1 : Xác định trục () của đáy ( tức là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy)

+Bước 2:

Nếu () đồng phẳng với một cạnh bên nào đó của hình chóp, thì trên mặt phằng chứa trục và cạnh bên đó ta dựng đường trung trực (d) của cạnh bên, lúc đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp là giao điểm của () và (d)

Nếu () không đồng phẳng với một cạnh bên nào của hình chóp, thì :1.ta xác định tiếp(’) là trục của một mặt bên nào đó, lúc đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp là giao điểm của () và (’)

2.Nếu không xác định được (’) thì ta xác định mặt phẳng trung trực () một cạnh bên nào đó của hình chóp, lúc đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm của () và ()

b)Tính số đo nhị diện cạnh AD

c)Mặt phẳng qua H vuông góc với AD cắt AD, BD, CD lần lượt tại A’, B’, C’.Tính AH, DH, DB’ và chứng minh rằng tứ giác HB’A’C’ là hình vuông

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a,

SO ABCD Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh của đáy

và vuông góc với cạnh bên đối diện có diện tích bằng nữa diện tích đáy Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy

Bài làm:

Gọi mặt phẳng thiết diện cắt hình chóp S.ABCD là mặt phẳng (P).

Giả sử (P) cắt lần lượt các cạnh SD, SC, SB tại các điểm theo thứ tự F, G, H.Vậy (P) chính là (AFGH)

Vì SO (ABCD)nên hình chiếu của SC lên (ABCD) chính là OC

Ta có: SC, ABCD   =SC,OC = SCO= 

a

Vì SEG SCO

Nên : SEG=SCO

Mà SEG=AEO(Đối đỉnh)

Suy ra: SEG=AEO=SCO=

Xét AEO vuông tại O, EO=cot AO=cot

2

AC

=cot

2 2

a

2 cot

2

2 tan

nên FH=BD( 1 cot   2 )=a 2(1 cot   2 )

Xét AGC vuông tại G vì SCAG, nên AG=sin a 2

AFGH

2AG.FH=1

2(sin a 2)(a 2(1 cot   2 ))Theo đề ta có: S AFGH=1

2 SABCD

O H

N

M

I A

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC đều cạnh a I là trung điểm

của BC, SA vuông góc với (ABC)

a) Chứng minh (SAI) vuông góc với (SBC)

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, AB BE, CF lần lượt là đường cao của SBC Chứng minh (MBE) vuông góc với (SAC) và (NFC) vuông góc với (SBC)

c) Gọi H, O lần lượt là trực tâm của SBC và ABC Chứng minh OH vuông góc với (SBC)

d) Cho () qua A và song song với BC và () vuông góc với (SBC) Tính diện tích của thiết diện S.ABC bởi () khi SA = 2a

e.)Khi SA = a 3 Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) , (SAC) và (SBC)

Bài làm:

(2 ) ( 2)

a a

32 19

EF

19 3

(2 ) ( 2)

a

a a

2 19

a FP

Diện tích thiết diện là: AEF AFP 2

AI a  suy ra:AIS  63 26' 0

Vậy  SBC , ABC   =AIS 63 26' 0

+Tính  SAC , SBC    =?

( ) ( )

( ) (( ),( )) ( , ) ( )

Vậy  SAC , SBC    =AEB=90 

Bài 3: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc

a)Chứng minh:(SBC) ( OF)  S

b) Tính khoảng cách từ tâm O đến mp (SBC)

c)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AD

d)Mặt phẳng(  ) đi qua AD và vuông góc với mặt phẳng (SBC) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng(  ) và tính diện tích thiết diện.e)Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng ( ) và (ABCD)

Bài làm:

K J

F

E O

Suy ra: BE(SOF) mà BE(SBC)

Suy ra: (SOF)(SBC)

Suy ra: JOD đều nên K là trung điểm DJ  OKDJ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: d(AD,SO) = OK = 3

2 2

Vậy (ABCD),(ADMN LKF =30 0

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên

bằng a 2

a)Tính khoảng cách từ S đến mp (ABCD)

b)Tính khoảng cánh giữa đường thẳng AB và (SCD)

c)Tính khoảng cánh giữa hai đường thẳng AB và SC

d)Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (P) Tính diện tích thiết diện

e)Tính góc giữa đường thẳng AB và mp (P)

Bài làm:

R Q

M

J

I O D

P

F

SAC, SBD là các tam giác đều do SA=SB=SC=AC=BD=a 2

a)d(S,(ABCD))=?

Ta có vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên gọi O =AC BD

2

a

Xét SAO vuông tại O

Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB và CD

Gọi N là hình chiếu của I lên SI

Xét AB và (SIJ)

IJ / /IJ

AB BC

Xét SAI vuông tại I, theo định lý Pi Ta go:

sin

7 7

2

a SO SIO

Gọi M là trung điểm SC

Xét mp (SDB) Gọi giao điểm của đường thẳng song song với DB, đi qua giao điểm R của AM và IN và cắt SD, SB lần lượt tại H và P

Vậy thiết diện chính là tứ giác AHMP

2 2 6

(1 ) (1 ) 2

3 6

N M

G

E

F

K H

Suy ra: AB AHMP,( )=AB FB,  B AF

2 sin AF

Bài 5: Cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong mặt

phẳng vuông góc với nhau Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD và

E, F lần lượt là trung điểm của SA, SB

a)Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) và tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

b)Gọi G là giao điểm của CE và DF Chứng minh CE vuông góc với SA và

CF vuông góc với SB Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (GEF) và

(SAB) Hai mặt phẳng này có vuông góc với nhau không?

c)Chứng minh G là trọng tâm của tam giác SHK TÍnh khoảng cách từ G đếnmặt phẳng (SCD)

d)Gọi I là điểm di động trên đoạn SA TÌm quỹ tích hình chiếu của S lên mặtphẳng (CDM)

Bài làm:

AH//CD nên AH//(SCD)

Suy ra: d(A,(SCD))= d(AH,(SCD))=HH’

Suy ra CESA.

Cm CFSB tương tự.

*Tính tan (SAB G),( EF)  ?

Gọi M =EF SH nên M là trung điểm EF

Ta có tam giác EGF cân tại G nên GMEF

Suy ra hai mặt phẳng (SAB) và (GEF) không vuông góc với nhau

c)Chứng minh G là trọng tâm tam giác SHK.

Ta có KM là đường trung tuyến (*)

Mặt khác: Xét hình thang cân EFCD có EF//CD

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có

SA=SB=SC=SD Gọi O là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng:a)Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

b)Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) và đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).

Bài 2: Trong mặt phẳng ( ) cho tam giác ABC vuông ở B Một đoạn thẳng

AD vuông góc với ( ) tại A Chứng minh rằng:

a) ABDlà góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)

b) Mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD)

c) HK//BC với H và K làn lượt là giao điểm của DB và CD với mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với DB

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy

đều bằng a Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

a)Tính độ dài đoạn SO

b)Gọi M là trung điểm của đoạn SC Chứng minh hai mặt phẳng (MBD) và (SAC) vuông góc với nhau

c)Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm I cạnh a

và có góc A bằng 60 , cạnh SC= 6

2

a và SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

a)Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC)

b)Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc với SA tại K Hãy tính độ dài IK.c)Chứng minh BKD=90  và từ đó suy ra mặt phẳng (SAB) vuông góc

với mặt phẳng (SAD)

Bài 5: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H,

K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC

a)Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy

b)Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và HK vuông góc với mặt phẳng (SBD)

c)Xác định đường vuông góc chung của BC và SA

Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

a)Chứng minh rằng B’D vuông góc với mặt phẳng (BA’C’)

b)Tính khoảng cánh giữa hai mặt phẳng (BA’C’) và (ACD’)

c)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’

Bài 7:Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có góc

 60

với mặt phẳng (ABCD) và SO=3

4

a

Gọi E là trung điểm của đoạn BC, F

là trung điểm của đoạn BE

a)Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

b)Tính các khoảng cánh từ O và A dến mặt phẳng (SBC)

Bài 8: Tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng

vuông góc với nhau Tam giác ABC vuông tại A có AB=a, AC=b Tam giác ADC vuông tại D có CD=a

a)Chứng minh các tam giác BAD và BDC là những tam giác vuông

b)Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC Chứng minh IK là đườngvuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a có góc

BAD=60  và SA=SB=SD= 3

2

a)Tính khoảng cánh từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC

b)Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

c)Chứng minh SB vuông góc với BC

d)Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) Tính tan

Bài 10 Cho hình thang ABCD vuông tại A và N, có AD =2a, AB=BC=a

Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy một điểm S Gọi C’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SC và SD Chứng minh rằng:

b) AD’, AC’ và AB cùng nằm trên một mặt phẳng

c) Chứng minh rằng đường thẳng C’D’ luôn luôn đi qua một điểm cố định khi S di động trên tia Ax

Bài 11 Tứ diện S.ABC có ba đỉnh A, B, C tạo thành tam giác vuông cân

đỉnh B và AC=2a, có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA=a.a)Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

b)Trong mặt phẳng (SAB) vẽ AH vuông góc với SB tại H, chứng minh AH

(SBC)

c)Tính độ dài đoạn AH

d)Từ trung điểm O của doạn AC vẽ OK vuông góc với (SBC) cắt (SBC) tại

k Tính độ dài đoạn OK

Bài 12 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh

SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Giả sử ( )  là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với cạnh SC, ( )  cắt SC tại I

a)Xác định giao điểm K của SO với mặt phẳng ( ) 

b)Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và BD//

( ) 

c)Xác định giao tuyến d của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng ( )  Tìm thiết diện cắt hình chóp S.ABCD bởi mặt phẳng ( ) 

Bài 13 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A

và D, có AB=2a, AD=DC=a, có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

và SA=a

a)Chứng minh mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (SCD), mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SCB).

b)Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) Tính tan

c)Gọi ( )  là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC) Hãy xác định ( )  và xác định thiết diện của hình chóp A.ABCD với ( ) 

Bài 14: Cho hai tia Ax và By vuông góc với hau nhận AB làm đoạn vuông

góc chung Gọi M và N là hai điểm di động lần lượt trên Ax và By sao cho AM+BN=MN

Đặt AB=2a, gọi O là trung điểm của AB và H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên đường thẳng MN

a)Chứng minh rằng OH=a, HM=AM, HN=BN

b)Gọi Bx’ là tia song song và cùng chiều với tia Ax và K vuông góc của H trên mặt phẳng(Bx’,By) Chứng minh BK là phân giác của góc  'x By

c)Chứng minh điểm H nằm trên một đường tròn cố định

Bài 15: Hình thoi ABCD tâm O, có cạnh a và có OB= 3

3

a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng(ABCD) tại O ta lấy một điểm S sao

cho SB=a

a)Chứng minh tam giác SAC là tam giác vuông và SC vuông góc với BD.b)Chứng minh (SAD)(SAB), (SCB)(SCD)

c)Tính khoảng cánh giữa hai đường thẳng SA và BD

Bài 16: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc

Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, BE

a)Chứng minh:(SBE) ( OF)  S

b)Tính khoảng cách từ tâm O đến mp (SBC)

c)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AD

d)Mặt phẳng(  ) đi qua AD và vuông góc với mặt phẳng (SBC) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng(  ) và tính diện tích thiết diện.e)Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng ( ) và (ABCD)

Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên các cạnh Â’,

BC và C’D’ lấy các điểm M, N, P sao cho AM=BN=D’P=x với 0 x a  a)Chứng minh tam giác MNP đều Tính diện tích tam giác MNP theo a và x.b)Chứng minh D B'  (MNP) Suy ra rằng khi x thay đổi, mặt phẳng (MNP) luôn song song với một mặt phẳng cố định

c)Tính góc tạo bởi mặt phẳng (MNP) với đáy của hình lập phương

Bài 18: Cho tứ diện S.ABC có ba góc ở đỉnh S đều vuông Đặt a=SA, b=SB,

c=SC Gọi H, G lần lượt là trực tâm , trọng tâm của tam giác ABC