CƠ sở lý LUẬN và THỰC TIỄN rèn LUYỆN kĩ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN CHƯƠNG QUAN hệ VUÔNG góc

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄNRÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHƯƠNG QUAN HỆ VNG GĨC Khái niệm tốn Phương pháp giải tốn Bài toán Trong tài liệu lý luận dạy học mơn Tốn, người ta khơng định nghĩa khái niệm “ Bài tốn” có nhiều cách hiểu khác nhau: Bách khoa tri thức phổ thông định nghĩa [1]: “ Khái niệm tốn hiểu cơng việc hoàn thành nhờ phương thức biết điều kiện cho trước” Theo G Polya [2]: “ Bài tốn đặt cần thiết phải tìm kiếm cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới mục đích trơng thấy rõ ràng khơng thể đạt ngay” Do tốn nghĩa với đề toán, vấn đề, nhiệm vụ - Phân loại toán Để sử dụng toán cách thuận tiện để đạt mục đích định tốn phân loại theo nhiều cách khác Theo G.Polya [3] “ Một phân loại tốt phải chia toán thành loại (kiểu, dạng) cho loại toán xác định trước phương pháp giải” Dựa vào mục đích tốn, ơng chia tốn thành hai loại: tốn tìm tòi tốn chứng minh Bài tốn tìm tòi: gồm tốn tính tốn, dựng hình, tập hợp điểm, tốn giải phương trình bất phương trình u cầu toán dạng thường thể từ: tính, tìm, giải, xác định, dựng Bài toán chứng minh: yêu cầu toán thường thể cụm từ: chứng minh rằng, ra, Phần toán bao gồm: cho (giả thiết) cần chứng minh (kết luận) Để giải dạng tốn loại cần phải tìm mối liên hệ cho biết cần chứng minh Trong thực tế học sinh thường gặp toán mà có phần tốn tìm tòi, có phần tốn chứng minh tốn có nội dung thực tiễn Những tốn gọi tốn tổng hợp Ngồi dựa vào nội dung, tốn phân chia thành loại: toán số học, toán đại số, tốn hình học Với tốn hình học phân thành loại: tốn tính tốn, tốn chứng minh, tốn tìm quỹ tích, tốn dựng hình - Phương pháp giải tốn Dựa tư tưởng tổng quát với gợi ý chi tiết G.Polya cách thức giải toán kiểm nghiệm thực tiễn dạy học, nêu phương pháp chung để giải tốn sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề (hiểu toán) + Phát biểu đề với dạng thức khác để hiểu rõ nội dung toán + Phân biệt cho phải tìm, phải chứng minh + Dùng cơng thức, kí hiệu, hình vẽ hỗ trợ cho việc diễn tả đề Bước 2: Tìm cách giải (xây dựng chương trình giải) Người làm tốn cần tìm tòi, phát cách giải nhờ suy nghĩ có tính chất tìm đốn: biến đổi cho, phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cho phải tìm với tri thức biết, liên hệ toán cần giải với toán cũ tương tự, trường hợp riêng, toán tổng quát Bước 3: Trình bày lời giải (thực chương trình giải) Khi tìm cách giải cần xếp việc phải làm thành chương trình gồm bước theo trình tự thích hợp thực bước Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải +Kiểm tra lời giải cách xem lại bước thực đặc biệt hóa kết tìm đối chiếu kết + Tìm tòi cách giải khác, so sánh chúng để có cách giải hợp lý + Nghiên cứu khả ứng dụng kết lời giải + Nghiên cứu giải toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề ( [7, tr.415]) Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác 3a , cạnh có độ dài a, SA = mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt đáy (ABC) Tính góc tạo hai mặt phẳng (SBC) (ABC) Hướng dẫn giải Bước 1: Tìm hiểu nội dung tốn Giáo viên Học sinh Yêu cầu học sinh đọc kỹ Đọc kỹ đầu bài, xác nội dung đầu bài, xác định định rõ giả thiết kết luận giả thiết kết luận tốn tiến hành vẽ hình tốn, u cầu học sinh vẽ hình Bước 2: Tìm cách giải(xây dựng chương trình giải tốn) Giáo viên Học sinh Cách xác định góc Cách 1: Xác định hai hai mặt phẳng (P) (Q)? đường thẳng a, b vng góc với (P), (Q) ((P),(Q)) = (a,b) Cách 2: - Cần xác định giao tuyến d hai mặt phẳng (P) (Q) - Trong (P) (Q) xác định đường thẳng a, b vng góc với d Vậy với ta nên dùng cách để tính góc ((SBC),(ABC)) - ((P),(Q)) = (a,b) Ta sử dụng cách để tính góc ((SBC),(ABC)) - Giao tuyến hai mặt phẳng (SBC) (ABC) BC - Gọi M trung điểm BC ta chứng minh SM AM vuông góc với BC - Góc ((SBC),(ABC)) = (SM,AM) Bước 3: Thực chương trình giải tốn Tóm tắt lời giải Chứng minh SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) Chứng minh SB = SC từ suy tam giác SBC cân C Gọi M trung điểm BC suy MS MA vuông � góc với BC Từ suy ((SBC),(ABC)) = (SM,AM) = SMA Trong tam giác SMA vuông A có AM = a , SA = 3a ta có: �  SA  � SMA �  600 �   SBC  ,  ABC    600 tanSMA AM Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải Giáo viên yêu cầu học sinh kiểm tra lại toàn lời giải từ tập rút bước tính góc hai mặt phẳng theo cách Giáo viên yêu cầu học sinh tìm tòi lời giải theo cách Với cách học sinh trình bày lời giải sau: Từ A hạ AF vuông góc với SM F Ta chứng minh AF vng góc với (SBC) Mà SA vng góc với (ABC) � Vậy ((SBC),(ABC)) = (SA,AF) = SAF Qua hai cách giải, học sinh nắm bước xác định tính góc tạo hai mặt phẳng với toán cách ngắn gọn hay cách - Chức tập toán Ở thời điểm q trình dạy học, tập tốn có chức sau: chức dạy học, chức giáo dục, chức phát triển, chức kiểm tra Trong đó: - Chức dạy học: qua giải tập tốn nhằm hình thành, củng cố cho học sinh tri thức, kỹ năng, kỹ xảo giai đoạn khác trình dạy học - Chức giáo dục: giải tập tốn nhằm hình thành cho học sinh giới quan vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin phẩm chất đạo đức người lao động - Chức phát triển: toán nhằm phát triển lực tư cho học sinh, đặc biệt rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành phẩm chất tư khoa học Muốn giải tập khoảng cách đòi hỏi học sinh phải có khả tưởng tượng khơng gian, khả vẽ hình biểu diễn, vẽ thêm đường, chọn điểm đặc biệt cho phù hợp, thuận lợi tập Trong chương trình hình học khơng gian lớp 11 học sinh cần có kỹ xác định tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với nó, khoảng cách hai mặt phẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng chéo Vì tập khoảng cách không gian đa dạng phong phú Để có kỹ học sinh cần nắm vững khái niệm: + Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: cho điểm O mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (P) Khi khoảng cách điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P) + Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (P) + Khoảng cách mặt phẳng song song: khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng + Khoảng cách đường thẳng chéo nhau: Đường vng góc chung: đường thẳng d cắt đường thẳng chéo a, b vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung đường thẳng a b Khoảng cách đường thẳng chéo nhau: đường vng góc chung d cắt đường thẳng chéo a b M N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách đường thẳng chéo a b Nhận xét: + Khoảng cách đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại + Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Qua định nghĩa nhận xét vừa nêu ta nhận thấy: tốn tìm khoảng cách đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng chéo đưa tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nếu muốn làm tốt tập khoảng cách khác trước tiên trọng điểm giúp học sinh giải toán tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng -Các yêu cầu rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh trung học phổ thông - Mục tiêu dạy học mơn Tốn trung học phổ thơng Theo chương trình mơn Tốn năm 2006, mục tiêu dạy học mơn Toán gồm: Cung cấp cho học sinh kiến thức, kỹ năng, phương pháp tốn học phổ thơng thiết thực Góp phần quan trọng vào việc phát triển lực trí tuệ, hình thành khả suy luận đặc trưng toán học cần thiết cho sống Góp phần hình thành phát triển phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí thói quen tự học thường xuyên Tạo sở để học sinh tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề vào sống lao động theo định hướng phân ban: ban Khoa học Tự nhiên ban Khoa học Xã hội Nhân văn - Yêu cầu nhiệm vụ mơn Tốn cấp trung học phổ thơng Cấp THPT có nhiệm vụ: Hồn chỉnh giáo dục phổ thông Chuẩn bị cho học sinh sống Chuẩn bị cho phận học lên bậc học cao Định hướng phân ban sở giáo dục toàn diện Do nhiệm vụ cấp học đặc điểm đối tượng, việc dạy học mơn Tốn cấp trung học phổ thơng có u cầu đặc biệt sau: Về tri thức kỹ năng, cần ý tri thức phương pháp, đặc biệt phương pháp khơng có tính thuật giải kỹ tương ứng Về lực trí tuệ, cần có u cầu cao số phẩm chất trí tuệ tính độc lập, tính tự giác Về trị tư tưởng, cần nhấn mạnh yếu tố hình thành giới quan Về yêu cầu tạo sở để học sinh học tiếp vào sống lao động, cần ý mức đặc thù phân ban - Các yêu cầu rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh trung học phổ thông Rèn luyện kỹ toán học kĩ vận dụng toán học vào thực tiễn mà trước tiên kỹ giải toán cần đạt yêu cầu cụ thể sau: Một là, giúp học sinh hình thành nắm vững kiến thức xun suốt chương trình phổ thơng Trong mơn Tốn kể tới mạch kiến thức: Số phép tính tập hợp số thực, số phức Mệnh đề tập hợp; biểu thức đại số, lượng giác; phương trình (bậc nhất, bậc hai, quy bậc bậc hai, lượng giác, mũ, lơgarít); hệ phương trình (bậc nhất, bậc hai); bất phương trình (bậc nhất, bậc hai, quy bậc bậc hai, mũ, lơgarít) hệ bất phương trình bậc (một ẩn, hai ẩn) Hàm số, giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân ứng dụng Các quan hệ hình học số hình thơng dụng (điểm, đường thẳng, mặt phẳng, hình tam giác, hình tròn, elip, hình đa diện, hình tròn xoay); phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng; vectơ toạ độ Thống kê, tổ hợp, xác suất Hai là, giúp học sinh phát triển lực trí tuệ mà cụ thể là: Tư logic ngơn ngữ xác có thuật tốn Khả suy đốn, tư trừu tượng trí tưởng tượng khơng gian Các thao tác tư như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hố, khái qt hố… Các phẩm chất trí tuệ tính độc lập, tính linh hoạt sáng tạo Ba là, coi trọng việc rèn luyện kỹ tính tốn, kỹ thực hành tất học toán gắn với việc rèn luyện kỹ thực hành tính tốn, biểu diễn, vẽ hình Bốn là, giúp học sinh rèn luyện phẩm chất đạo đức thẩm mĩ thể tính cẩn thận, xác, tính kế hoạch, kỉ luật, tính kiên trì, vượt khó, tinh thần trách nhiệm, khả hợp tác lao động, ý chí thói quen học hỏi, rút kinh nghiệm, thái độ phê phán, thói quen tự kiểm tra để tránh sai lầm gặp -Nội dung chương trình yêu cầu dạy học chủđề giải tập hình học khơng gian chương quan hệ vng góc - Nội dung chủđề hình học khơng gian chương quan hệ vng góc chương trình hình học khơng gian lớp 11 Nội dung hình học khơng gian lớp 11 nội dung kiến thức quan trọng, có vai trò to lớn việc hồn thiện tri thức phổ thơng bồi dưỡng tư cho học sinh Với ưu riêng biệt, hình học khơng gian có ưu việc giúp học sinh phát triển trí tưởng tượng khơng gian, tư logic tư sáng tạo Theo chương trình sách giáo khoa nay, nội dung hình học khơng gian lớp 11 gồm hai chương, là: Chương II - Đường thẳng mặt phẳng không gian Quan hệ song song Chương III - Véctơ không gian Quan hệ vng góc Trong chương III sách giáo khoa hình học lớp 11 ban trình bày khái niệm định lý véctơ khơng gian, hai đường thẳng vng góc, đường thẳng vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc, góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, định lý mối liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng - Mục đích, yêu cầu việc dạy học chủđề hình học khơng gian chương quan hệ vng góc - Về kiến thức Những kiến thức mà học sinh cần nắm vững là: Định nghĩa tính chất đường thẳng vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc Tính chất phép chiếu vng góc Các loại khoảng cách: khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng chéo Các loại góc: góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng Định nghĩa tính chất hình chóp, hình lăng trụ, hình đa diện ([8, tr 177 – 178]) - Về kĩ Thông qua nội dung hình học khơng gian lớp 11 chương quan hệ vng góc, học sinh cần có kỹ vận dụng kiến thức hình học khơng gian vào giải toán đời sống Kỹ biểu diễn hình khơng gian lên mặt phẳng theo phép chiếu song song, phép chiếu vng góc Kỹ xác định giao điểm hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng; xác định giao tuyến hai mặt phẳng; kỹ xác định thiết diện Kỹ chứng minh hình học nói riêng chứng minh tốn học nói chung lập luận có cứ, trình bày lời giải mạch lạc Kỹ xác định, tính tốn góc khoảng cách hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng Kỹ phát biểu tốn hình học xuất phát từ thực tiễn, giải số tốn thực tiễn có liên quan đến hình học khơng gian.([8, tr 178]) - Về phương pháp Chú trọng cho học sinh biết khai thác phương pháp khác giải dạng tốn hình học khơng gian chương quan hệ vng góc đường tổng hợp Cần bồi dưỡng cho học sinh lực thiết lập mối liên hệ kiến thức hình học khơng gian hình học phẳng Tạo cho học sinh có lực tách phận phẳng cần nghiên cứu khỏi hình học khơng gian để chuyển toán quen thuộc Tạo cho học sinh lực chuyển tốn khơng gian tốn phẳng nhờ tương tự hố, nhờ sử dụng tính chất bất biến qua phép chiếu song song, đặc biệt phép chiếu vng góc - Thực trạng dạy học giải tập hình học khơng gian chương quan hệ vng góc trường trung học phổ thơng - Thực trạng dạy học giải tập hình học khơng gian chương quan hệ vng góc trường trung học phổ thơng Qua trình giảng dạy thân tham khảo ý kiến đồng nghiệp, tác giả nhận thấy học sinh e ngại học hình học khơng gian chương quan hệ vng góc em nghĩ khó trừu tượng Chính mà có nhiều học sinh học yếu mơn học này, kỹ giải tốn hình khơng gian nhiều học sinh yếu, chí khơng vẽ hình đơn giản Do dạy học giải tập tốn hình học khơng gian nói chung tập tốn chương quan hệ vng góc nói riêng, giáo viên cần có phương pháp giảng dạy hấp dẫn, sinh động, gây hứng thú cho học sinh, giáo viên cần tìm tòi, sáng tạo để soạn tập sở chuẩn kiến thức, kỹ sách giáo khoa, thiết kế hình vẽ rõ ràng giải thuật ngắn gọn hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm kiến thức học, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo giải tốn hình học khơng gian Tuy nhiên, thực tế nhiều giáo viên lại đơn hướng dẫn yêu cầu học sinh làm tập sách giáo khoa Nhiều trường nói chung nhiều giáo viên nói riêng sử dụng đồ dùng dạy học trực quan như: mơ hình hình học khơng gian, bảng phụ có vẽ sẵn hình khơng gian, phần mềm dạy học… Đa phần trường có máy tính, máy chiếu, kết hợp với tiến khoa học công nghệ, nhiều giáo viên tạo mơ hình, bảng phụ phần mềm tốn học giúp học sinh dễ hình dung, dễ tiếp thu học lý thuyết giải tập - Thực trạng kĩ giải tập hình học khơng gian chương quan hệ vng góc học sinh trường trung học phổ thông Học sinh tiếp cận khái niệm hình học không gian chương II Tuy nhiên nội dung khó học sinh Ở lớp dưới, học sinh quen nghiên cứu hình mặt phẳng, hình biểu diễn cách tường minh phản ánh hình dạng kích thước hình vẽ mặt giấy Mọi quan hệ quan hệ liên thuộc, quan hệ thứ tự, quan hệ song song, quan hệ vuông góc đối tượng quan hệ hai đoạn thẳng hay hai góc biểu diễn cách trực quan Nay em bắt đầu tìm hiểu hình học khơng gian, hình vẽ hình biểu diễn mặt phẳng khơng thể phản ánh cách tuyệt đối quan hệ quan hệ hai đoạn thẳng hay hai góc, quan hệ vng góc Do tư trực quan học sinh bị giảm bớt, phải thay tư lôgic trừu tượng kết hợp với trí tưởng tượng khơng gian - Kết luận chương Qua chủ yếu đề cập đến số vấn đề như: kỹ năng, kỹ giải toán, kỹ chung, kỹ giải tốn hình học khơng gian lớp 11…với mục đích làm điểm tựa lý luận cho giải pháp trình bày Thơng qua việc tìm hiểu sơ thực trạng rèn luyện kỹ giải tốn hình học khơng gian trường THPT nơi tác giả dạy, tác giả nhận thấy kỹ giải tốn hình học khơng gian học sinh đặc biệt phần quan hệ vng góc khơng gian Do vậy, tác giả nhận thấy cần thiết phải đề xuất số biện pháp rèn luyện kỹ giải tốn hình học khơng gian chương “quan hệ vng góc” cho học sinh THPT ... tốn học mà có u cầu rèn luyện kỹ khác - Các yêu cầu rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Truyền thụ tri thức rèn luyện kỹ nhiệm vụ quan trọng mơn tốn Rèn luyện kỹ tốn học kỹ vận dụng toán học vào... giúp người học thực chương trình giải Kỹ rèn luyện cho học sinh thao tác tư phương pháp suy luận logic để thực chương trình giải Chương trình giải có nhiều cách giải khác Khi rèn luyện, học sinh... diện Kỹ 1.1 Kỹ vẽ hình biểu diễn hình không gian Một yếu tố cần thiết để học tốt hình học nói chung hình học khơng gian nói riêng vẽ hình Hình vẽ xác, trực quan yếu tố định giúp học sinh tìm hướng