BIỆN PHÁP rèn LUYỆN kĩ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN CHƯƠNG QUAN hệ VUÔNG góc

BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHƯƠNG QUAN HỆ VNG GĨC - Một số nguyên tắc xây dựng biện pháp rèn luyện kỹ giải toán - Phù hợp với định hướng đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trường trung học phổ thông Định hướng đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trường phổ thơng pháp chế hoá Luật Giáo dục: "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng lực tự học, lòng say mê học tập ý chí vươn lên." (Luật Giáo dục 2005, chương I, điều 5) "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập học sinh." (Luật Giáo dục 2005, chương I, điều 28) Cốt lõi việc đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trường THPT làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Quan điểm chung đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trường THPT tổ chức cho học sinh học tập hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo Như vậy, biện pháp sư phạm để rèn luyện kỹ giải toán phải xây dựng định hướng giúp học sinh học tập cách tích cực, chủ động, biết phát giải vấn đề, phát triển tư linh hoạt, sáng tạo, tinh thần biết tự học - Phù hợp với lí luận dạy học môn Theo [8, tr.134], "quan điểm hoạt động phương pháp dạy học thể tư tưởng chủ đạo sau đây: - Cho học sinh thực tập luyện hoạt động hoạt động thành phần tương thích với nội dung, mục tiêu dạy học - Gợi động cho hoạt động học tập - Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt tri thức phương pháp phương tiện kết hoạt động - Phân bậc hoạt động làm điều khiển trình dạy học” Các tư tưởng chủ đạo coi thành tố sở phương pháp dạy học Khi xây dựng biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh phải dựa quan điểm hoạt động với bốn tư tưởng chủ đạo - Phù hợp với yêu cầu chương trình Theo [10, tr.109] "Chương trình dạy học thiết kế hoạt động dạy học phản ánh yếu tố mục đích dạy học, nội dung phương pháp dạy học, kết dạy học Những yếu tố cấu trúc theo quy trình chặt chẽ thời gian biểu" Vì soạn giảng giáo viên phải đảm bảo yêu cầu nội dung chương trình Bộ Giáo Dục đề - Phù hợp với đối tượng học sinh Nguyên tắc đảm bảo tính vừa sức hoạt động dạy học nói chung dạy học mơn Tốn nói riêng Học sinh với nỗ lực trí tuệ định lĩnh hội tri thức phù hợp với đặc điểm tâm sinh lý cá nhân Theo [5, tr.146] "Mỗi học sinh khoẻ mạnh, bình thường mặt tâm lý khơng bệnh tật có khả tiếp thu mơn Tốn theo u cầu chương trình phổ thông Tuy nhiên, học sinh mặt học Tốn đạt u cầu chương trình đồng thời lại có khác biệt tâm lý cá nhân học sinh với học sinh khác việc học tốn Nói cách khác, khơng phải học sinh có lực tiếp thu Có em tiếp thu nhanh dễ dàng, có em chậm phải cố gắng nhiều hơn, đồng thời có em có khiếu đặc biệt Sự khác biệt cá nhân tồn khách quan." Như vậy, xây dựng biện pháp để rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh ta phải ý cho phù hợp với đối tượng học sinh - Kỹ giải toán hình học khơng gian chương quan hệ vng góc - Kỹ chứng minh Mục đích rèn luyện cho học sinh kỹ năng: chứng minh hai đường thẳng vng góc, chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng, chứng minh hai mặt phẳng vng góc Cách thức thực hiện: giáo viên hướng dẫn học sinh giải tốn từ rèn luyện kỹ cho học sinh giải toán tương tự Với tốn thực theo tiến trình sau: - Giai đoạn 1: Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kỹ đề bài, phân tích đề nêu rõ giả thiết kết luận tốn, vẽ hình - Giai đoạn 2: Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức liên quan đến toán - Giai đoạn 3: Giáo viên yêu cầu học sinh đưa hướng giải - Giai đoạn 4: Giáo viên giúp đỡ học sinh làm theo hướng giải - Giai đoạn 5: Rút học kinh nghiệm, điểm cần ý Dạng 1: Kỹ chứng minh hai đường thẳng vng góc a Phương pháp Cách 1: Sử dụng định nghĩa góc hai đường thẳng: (a,b) = 900 ⇒ a ⊥ b  ⇒ (a, b) = 900 0 (b,c) = 90  a // c Cách 2: Cách 3: a ⊥ (α )   ⇒ a ⊥ b b ⊂ ( α)  Cách 4: Chứng minh hai véc tơ phương hai đường thẳng a, b vng góc (tích vơ hướng 0) Cách 5: Sử dụng định lý ba đường vng góc Cách 6: b // ( α )   ⇒ a ⊥ b a ⊥ ( α )  Cách 7: Nếu a, b đồng phẳng ta sử dụng cách chứng minh vng góc hình học phẳng để chứng minh b Ví dụ Ví dụ [4, tr 98] Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD · · BAC = BAD = 600 a AB ⊥ CD Chứng minh rằng: b Nếu M, N trung điểm AB CD MN ⊥ AB MN ⊥ CD Giai đoạn 1: Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kĩ, phân tích đầu vẽ hình Giai đoạn 2: Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức liên quan đến tốn: - Hình tứ diện - Các cách chứng minh hai đường thẳng vng góc Giai đoạn 3: Dựa cách chứng minh hai đường thẳng vng góc giáo viên u cầu học sinh đưa hướng giải toán - Chứng minh tích vơ hướng hai véc tơ phương - Chứng minh hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng lại - Chứng minh góc tạo hai đường thẳng 900 Giai đoạn 4: Giáo viên giúp đỡ học sinh làm theo hướng giải Tóm tắt lời giải Hình vẽ Cách 1: Sử dụng véctơ uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.CD=AB AD-AC =AB.AD-AB.AC ( ) uuur uuur uuur uuur = AB.AD.cos AB,AD − AB.AC.cos AB,AC = ( (Vì AB = AC = AD ) ( ( ) uuur uuur uuur uuur AB,AD = AB,AC = 600 ) ( Do AB vng góc với CD ) ) Ta có: uuuu r uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuu r MN=MA+AD+DN; MN=MB+BC+CN ⇒ MN= AD+BC ( ) Vậy suy ra: uuuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur MN.AB = AD+BC AB = AD+AC-AB AB 2 uuur uuur uuur uuur = AD.AB+AC.AB-AB2 = ( AD.AB.cos600 +AC.AB.cos600 -AB2 ) = ( ( ) ( ) ) Do MN vng góc với AB Chứng minh tương tự ta có MN vng góc với CD Cách 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng lại Ta có tam giác ACD tam giác BCD cân A B Suy đường trung tuyến AN BN đường cao Suy ra: CD ⊥ AN   ⇒ CD ⊥ ( ANB ) ⇒ CD ⊥ AB CD ⊥ BN  Vẽ hình Sử dụng kí hiệu thích hợp Phân biệt phần khác điều kiện Có thể diễn tả điều kiện thành cơng thức khơng?” Bước 2: Xây dựng chương trình giải toán Đây giai đoạn quan trọng qua trình giải tốn Nó phản ánh thơng hiểu, sáng tạo người thiết lập xây dựng kế hoạch giải Người giải lập kế hoạch giải chủ thể có ý nghĩ, tư tưởng đường khả đạt đến mục đích tập Từ chỗ hiểu toán đến lúc vạch kế hoạch giải chặng đường quanh co, phức tạp chủ thể phải tiến hành q trình tư tích cực huy động tối đa vốn kiến thức kinh nghiệm tích luỹ Sau gợi ý G.Polya bước này, theo [2, tr 224 - 225]: “Bạn gặp toán lần chưa? Hay gặp dạng khác? Bạn có biết tốn có liên quan khơng? Một định lí dùng khơng? Xét kĩ chưa biết (ẩn), thử nhớ lại toán quen thuộc có ẩn hay có ẩn tương tự Đây tốn có liên quan mà bạn có lần giải Có thể sử dụng khơng? Có thể sử dụng kết khơng? Hay sử dụng phương pháp? Có cần phải đưa thêm yếu tố phụ sử dụng khơng? Có thể phát biểu tốn cách khác không? Một cách khác nữa? Nếu bạn chưa giải tốn đề ra, thử giải tốn có liên quan Bạn nghĩ tốn có liên quan mà dễ khơng? Một toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một tốn tương tự? Bạn giải phần tốn khơng? Hãy giữ lại phần điều kiện, bỏ qua phần Khi đó, ẩn xác định đến chừng mực đó, biến đổi nào? Bạn từ kiện rút yếu tố có ích khơng? Bạn nghĩ dự kiến khác giúp bạn xác định ẩn khơng? Có thể thay đổi ẩn, hay kiện, hay hai cần thiết, cho ẩn kiện gần không? Bạn sử dụng kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn điều kiện hay chưa? Đã để ý đến khái niệm chủ yếu toán chưa?” Bước 3: Thực chương trình giải tốn Thực chương trình giải dễ dàng nhiều so với việc tìm Tuy nhiên, giai đoạn đòi hỏi người giải phải tích cực hoạt động Bên cạnh khả nắm vững bước thực hành, thực thao tác quy trình mang tính kĩ thuật người giải phải thực kiên trì, nghiêm túc khoa học Trong phép tính, lập luận, lời giải phải khúc chiết, rõ ràng Và thiết phải có kiểm tra, thử lại bước thực chương trình Việc thực chương trình giải nên để học sinh chủ động trình bày theo ý hiểu Thơng qua trình bày, học sinh biết cách xếp kiến thức tìm tòi theo trình tự lơgic Cũng thơng qua cách trình bày học sinh, giáo viên biết học sinh có hiểu chất tốn hay khơng Bước 4: Nghiên cứu kết lời giải toán Nghiên cứu kết lời giải toán giúp học sinh hiểu lại lần yêu cầu tốn, vượt qua u cầu kiến thức, kỹ năng, cách nghĩ Qua giáo viên giúp học sinh hình dung lại cách suy nghĩ đứng trước toán, giúp học sinh đưa cách làm toán trường hợp tương tự, từ mở rộng, khai thác tốn Trong bước này, ta nên dùng câu hỏi bảng gợi ý G.polya sau, theo [2, tr 225]: “Bạn có kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại tồn q trình giải tốn khơng? Có thể tìm kết cách khác khơng? Có thể thấy trực tiếp kết khơng? Bạn sử dụng kết hay phương pháp cho tốn khác khơng?” Thực tế nhiều học sinh bỏ qua bước nghiên cứu kết lời giải tốn, em coi việc trình bày xong lời giải hoàn thành nhiệm vụ giải toán giáo viên cần cho học sinh thấy lợi ích việc nghiên cứu kết toán tạo cho em thói quen thực cơng việc Chẳng hạn, để rèn luyện tìm tòi lời giải cho học sinh trước tiên giáo viên làm mẫu việc thực bước trình dạy học giải tập hình học khơng gian cho học sinh thơng qua ví dụ sau: Ví dụ 31 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC =AC = AB = a, BC = a Tính góc hai đường thẳng AB SC Bước 1: Tìm hiểu nội dung đầu bài: Giáo viên yêu cầu học sinh: - Đọc kỹ đầu phân tích giải thiết, kết luận tốn - Vẽ hình: ý giả thiết SA = SB = SC =AC = AB = a, BC = a Bước 2: Xây dựng chương trình giải tốn Hình vẽ Giáo viên: - Vị trí tương đối hai đường thẳng SC AB? - Làm cách để tính góc hai đường thẳng này? Học sinh: - SC BD hai đường thẳng chéo - Để tính khoảng cách SC BD ta dựng đường thẳng d cắt SC song song với AB Khi (AB,SC) = (d,SC) Giáo viên: Hãy dựng đường thẳng d Học sinh: Dựng điểm D cho tứ giác ABDC hình bình hành suy ta có CD cắt SC C CD // AB Khi (AB,SC) = (CD,SC) Giáo viên: Hãy xác định (CD,SC) Học sinh: Để tính góc (CD,SC) ta tính góc giác SCD · SCD tam - - Nếu Nếu · SCD > 900 · SCD ≤ 900 (CD,SC) = (CD,SC) = · 1800 − SCD · SCD Giáo viên: Làm để tính góc · SCD Học sinh: Áp dụng hệ thức lượng tam giác SCD ta tính góc · SCD Bước 3: Thực chương trình giải Dựng điểm D cho tứ giác ABDC hình bình hành Vì tam giác ABC vng a AB = AC = a nên suy tứ giác ABDC hình vng cạnh có độ dài a Ta có AB // CD nên (AB,SC) = (CD,SC) Gọi I giao điểm AD BC ta có: IA = ID (do tứ giác ABCD hình vng) (1) Mặt khác ta có hai tam giác SBC ABC (do BC chung, AB =AC =SC = SB) suy IA = IS (2) Từ (1), (2) suy IA = ID = IS SD = AD − AS2 = Vậy ta có: ( ⇒ tam giác SAD vuông S a ) − a2 = a2 = a Vậy xét tam giác SCD ta có: SC = CD = SD = a giác SCD đều, suy · SCD = · SCD = 600 ⇒ tam Vậy (AB,SC) = (CD,SC) = 600 Bước 4: Nghiên cứu kết lời giải toán Qua toán học sinh nhớ cách xác định góc hai đường thẳng chéo Với tốn ta dùng cách khác xác định góc hai véc tơ - Nếu ( - Nếu ( uuur uur AB ,SC ) > 90 uuur uur AB ,SC ≤ 900 ) thì uuur uur AB ,SC uuur uur (AB,SC) = 1800 − (AB,SC) uuur uur (AB,SC) = (AB,SC) Ta có: uuur uur uuur uuu r uuur uuuruuu r uuur uuur a  − ÷ uuur uur AB.SC AB.(SA + AC) AB.SA + AB.AC cos(AB,SC) = uuur uur = = = 2  =− 2 a a a AB SC uuur uur ⇒ (AB,SC) = 1200 ⇒ (AB,SC) = 1800 − 1200 = 600 Vậy (AB,SC) = 600 Ví dụ 32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, có SA = a SA vng góc với (ABCD) Tính khoảng cách hai đường thẳng SC BD Bước 1: Tìm hiểu nội dung đầu Giáo viên yêu cầu học sinh: - Đọc kỹ đầu phân tích giải thiết, kết luận tốn - Vẽ hình: ý giả thiết SA vng góc với mặt phẳng đáy Bước 2: Xây dựng chương trình giải tốn Hình vẽ Giáo viên: - Vị trí tương đối hai đường thẳng SC BD ? - Làm cách để tính khoảng cách hai đường thẳng này? Học sinh: - SC BD hai đường thẳng chéo - Để tính khoảng cách SC BD ta dựng mặt phẳng α ( ) chứa SC song song với BD Khi d(BD,SC) = α d(BD,( )) α Giáo viên: Hãy dựng mặt phẳng ( ) Học sinh: Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB E ta có (SCE) chứa SC song song với BD Khi d(BD,SC) = d(BD,(SCE)) Giáo viên: Hãy xác định d(BD,(SCE)) Học sinh: Ta có d(BD,(SCE)) = d(O,(SCE)) (Với O giao điểm AB CD) Giáo viên: Làm để tính khoảng cách O (SCE) Học sinh: Để tính khoảng cách d(O,(SCE)) ta quy tính khoảng cách điểm A đến mặt phẳng (SCE) Bước 3: Thực chương trình giải Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB E ta có: BD // (SCE) Vậy d(BD,SC) = d(BD,(SCE)) Gọi O giao điểm AC BD ta có : d(BD,SC) = d(BD,(SCE)) = d(O,(SCE)) = d(A,(SCE)) Ta có tứ giác BDCE hình bình hành nên suy : BE = CD = a, EC = BD = a Trong tam giác AEC ta có: AE = 2a, AC = a AE = AC2 + EC ⇒ 2 , EC = a tam giác ACE vuông C ⇒ suy ⊥ EC AC (1) Mặt khác ta ⊥ có EC SA (do ⊥ SA (ABCD)) (2) ⊥ ⊥ Vậy từ (1) (2) suy EC (SAC) suy (SCE) (SAC) theo giao tuyến SC ⊥ Từ A hạ AH vng góc với SC H suy ta có AH (SCE) H Vậy d(A,(SCE)) = AH Trong tam giác SAC vuông A đường cao AH ta có: 1 1 = + = 2+ 2 AH AS AC a a ( Vậy d(SC,BD) = ) = a ⇒ AH = 2a d(A,(SCE) = AH = a Bước 4: Nghiên cứu kết lời giải toán Qua toán học sinh nhớ cách xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo Với tốn ta dùng cách khác để xác định khoảng cách hai đường thẳng SC BD Ta có: d(SC,BD) = h, với h độ dài đoạn vng góc chung SC BD Gọi O giao điểm AC BD, từ O hạ OI vng góc với SC I ⊥ ⊥ ⊥ Ta có: BD AC, BD SA (do SA (ABCD) Suy BD ⊥ ⇒ (SAC) BD vng góc với OI O Vậy ta có OI đoạn vng góc chung SC BD Suy ra: d(SC,BD) = OI Ta có hai tam giác vng SAC OIC đồng dạng (do có góc · SCA chung) Suy ra: SA SC SA.OC a = ⇒ OI = = OI OC SC Vậy d(SC,BD) = OI = a - Kết luận chương Trên sở hai định hướng trang bị kiến thức rèn luyện tri thức phương pháp, tơi đề biện pháp nhằm rèn luyện kỹ giải tốn hình học khơng gian lớp 11 ban chương quan hệ vuông góc Các biện pháp chủ yếu là: - Rèn luyện kĩ chứng minh vng góc - Rèn luyện kỹ tính góc - Rèn luyện kỹ tính khoảng cách - Rèn luyện kỹ tìm tòi lời giải theo bước giải toán G.Polya Tuy nhiên, thực tế áp dụng biện pháp đề xuất cách linh hoạt tình điển hình dạy học mơn Tốn, giúp học sinh có tri thức phương pháp để giải tốn Để thực biện pháp cách khả thi hiệu quả, giáo viên cần phải trọng khai thác kỹ năng, vận dụng biện pháp trình dạy học, bài, kiến thức nhỏ theo định hướng rèn luyện kỹ Thực biện pháp từ truyền thụ tri thức luyện tập, kể ôn tập kỹ cũ trình rèn luyện kỹ ... tồn khách quan. " Như vậy, xây dựng biện pháp để rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh ta phải ý cho phù hợp với đối tượng học sinh - Kỹ giải tốn hình học khơng gian chương quan hệ vng góc - Kỹ chứng... xây dựng biện pháp rèn luyện kỹ giải toán - Phù hợp với định hướng đổi phương pháp dạy học môn Tốn trường trung học phổ thơng Định hướng đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trường phổ thơng pháp chế... thành tố sở phương pháp dạy học Khi xây dựng biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh phải dựa quan điểm hoạt động với bốn tư tưởng chủ đạo - Phù hợp với yêu cầu chương trình Theo