Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có SA đáy, đáy là tam giác vuông tại B. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. b) Chứng minh (SBD) là mặt phẳng trung trực của AC và SBD là tam giác vuông[r]
(1)Vấn đề Đường thẳng vng góc với mặt phẳng.
Cách chứng minh đường thẳng d vng góc với mp( ): Cách 1: Ta chứng minh d vng góc với hai đường thẳng a b cắt nằm ( ) Cách 2: Ta chứng minh d song song với đường thẳng d’ vng góc với ( ).
Cách chứng minh đường thẳng a b vng góc: Cách 1: Ta chứng minh góc hai đt 900
Cách 2: Ta chứng minh a//c mà cb.
Cách 3: Ta chứng minh tích vơ hướng hai vectơ phương u v. 0 urr
Cách 4: Ta chứng minh a vng góc với mp() chứa đường thẳng b.
Kết quả: + Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với mp song
song
+ Nếu hai mp phân biệt cùng vng góc với đường thẳng song song
Bài 1 Hai tam giác cân ABC DBC nằm hai mp khác tạo nên tứ diện ABCD Gọi I trung điểm BC
a) Chứng minh BCAD.
b) Gọi AH đường cao tam giác ADI Chứng minh AH(BCD).
Bài 2 Cho tứ diện ABCD có DA(ABC)ABC tam giác cân A với AB = a, BC = 6
5
a
Gọi M trung điểm BC Vẽ AHMD
a) Chứng minh AH(BCD)
b) Cho AD = 4
5
a
.Tính góc hai đường thẳng AC DM
c) Gọi G1, G2 trọng tâm tam giác ABC DBC Chứng minh G1G2(ABC) Bài 3 Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh rằng:
a) SC vng góc với mp(BHK) b) HK vng góc với mp(SBC) Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O Biết SA = SC SB = SD
a) Chứng minh SO (ABCD) ACSD
b) Gọi I, J trung điểm BA, BC Chứng minh IJ (SBD)
Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SAB tam giác SC = a 2 Gọi H, K trung điểm AB, AD
a) Chứng minh SH (ABCD) b) Chứng minh AC SK CK SD.
Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi H trực tâm tam giác ABC biết A’H (ABC) Chứng
minh rằng:
a) AA’BC AA’B’C’
b) Gọi MM’ giao tuyến hai mp(AHA’) (BCC’B’) M BC M’ B’C’ Chứng minh tứ giác BCC’B’ hình chữ nhật MM’ đường cao hình chữ nhật
Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, biết SB = SD a) Chứng minh (SAC) mp trung trực đoạn thẳng BD
b) Gọi H, K hình chiếu A SB, SD Chứng minh SH = SK, OH = OK HK//BD Chứng minh (SAC) mp trung trực HK
Bài 8 Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm hai mp khác cho ACBF Gọi CH FK hai đường cao tam giác BCE ADF Chứng minh:
a) ACH BFK tam giác vuông b) BFAH ACBK.
Bài 9 Cho hình chóp S.ABC có SA đáy, tam giác ABC cân B Gọi G trọng tâm tam giác SAC N
(2)a) BC (SAB) b) NG (SAC)
Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAB tam giác đều, SCD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD
a) Tính cạnh tam giác SIJ chứng minh SI (SCD), SJ (SAB)
b) Gọi SH đường cao tam giác SIJ Chứng minh SH AC tính độ dài SH c) Gọi M điểm thuộc BD cho BM SA Tính AM theo aAM theo a
Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có SA đáy SA = a, đáy ABCD hình thang vng đường cao AB = a,
BC = 2a Ngoài SC BD
a) Chứng minh tam giác SBC vng b) Tính theo a độ dài đoạn AD
c) Gọi M điểm đoạn SA, đặt AM = x, với 0 x a Tính độ dài đường cao DE tam giác BDM theo a x Xác định x để DE lớn nhất, nhỏ
Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có SA đáy SA = 2a, tam giác ABC vuông C với AB = 2a, BAC =
30 Gọi M điểm di đọng cạnh AC, H hình chiếu S BM a) Chứng minh AH BM
b) Đặt AM = x, với 0 x 3 Tính khoảng cách từ S tới BM theo a x Tìm x để khoảng cách lớn nhất, nhỏ
Bài 13 Cho tam giác ABC có BC = 2a đường cao AD = a Trên đường thẳng vng góc với mp(ABC) A lấy điểm S cho SA = a 2 Gọi E, F trung điểm SB, SC
a) Chứng minh BC (SAD).
b) Tính diện tích tam giác AEF
Bài 14 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a cạnh bên AA’ = a vuông góc với đáy a) Gọi I trung điểm BC Chứng minh AI BC’
b) Gọi M trung điểm BB’ Chứng minh AM BC’.
c) Gọi K điểm đoạn A’B’ cho KB’ = 4
a
J trung điểm B’C’ Chứng minh AM (MKJ)
Bài 15 Cho tứ diện ABCD có DA (DBC) tam giác ABC vuông A Kẻ DI BC.
a) Chứng minh BC (AID).
b) Kẻ DH AI Chứng minh DH (ABC).
c) Đặt AID ,ABD ,ACD Chứng minh
2 2
sin sin sin .
d) Giả sử AD = a, 300 Tính BC
Bài 16 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA = SB =
2 3
3
a
a) Kẻ SH (ABC) Chứng minh H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. b) TÍnh đọ dài SH theo a
c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh BC (SAI) d) Gọi góc SA SH Tính
Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA (ABCD) Gọi I , M trung điểm SC AB Cho SA = a
a) Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh IO (ABCD). b) Tính khoảng cách từ I đến CM
Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O, SA (ABCD)
(3)Bài 19 Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a; SA vng góc với đáy Gọi M, N hình chiếu A SB, SD
a) Chứng minh MN//BD SC vng góc với mp(AMN)
b) Gọi K giao điểm SC với mp(AMN) Chứng minh AMKN có hai đường chéo vng góc
Bài 20 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC, tam giác ABC vuông A Gọi I trung điểm BC Chứng minh:
a) BC (SAI) b) SI (ABC)
Bài 21 Cho tứ diện ABCD có DA (ABC) Gọi AI đường cao H trực tâm tam giác ABC Hạ HK DI Chứng minh:
a) HK BC.
b) K trực tâm tam giác DBC
Bài 22 Cho tam giác ABC vuông C Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) A, lấy điểm S di động Gọi D, F hình chiếu A SB, SC Chứng minh: AF SB.
Bài 23 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ASB 1200, BSC 900, CSA600 a) Chứng minh tam giác ABC vng
b) Xác định hình chiếu H S mp(ABC) Tính SH theo a
Bài 24 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD tứ giác có ABD tam giác đều, BCD tam giác cân C có
0 120 BCD
SA đáy.
a) Gọi H, K hình chiếu vng góc A SB, SD Chứng minh SC (AHK).
b) Gọi C’ giao điểm SC với mp(AHK) Tính diện tích tứ giác AHC’K AB = SA = a
Bài 25 Cho tam giác ABC cạnh a, d đường thẳng vng góc với (ABC) A Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh HK (SBC)
Bài 26 Cho hình vng ABCD Gọi H, K trung điểm AB, AD Trên đường thẳng vng góc với mp(ABCD) H, lấy điểm S (khác H) Chứng minh:
a) AC (SHK).
b) CK SD.
Bài 27 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, SA đáy Hạ AH SB, AK SC a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng
b) Chứng minh SHK tam giác vuông
c) Gọi D giao điểm HK BC Chứng minh AC AD.
Bài 28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh tâm O, AB = SA = a, SA đáy Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với SC, (P) cắt SB, SC, SD H, I, K
a) Chứng minh HK//BD
b) Chứng minh AH SB, AK SD.
c) Chứng minh tứ giác AHIK có hai đường chéo vng góc Tính diện tích AHIK theo a
Bài 29 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3, mặt bên SBC vuông B, SCD vng D có SD = a 5
a) Chứng minh SA (ABCD) tính SA.
b) Đường thẳng qua A vng góc với AC, cắt CB, CD I, J Gọi H hình chiếu A SC, K L giao điểm SB, SD với mp(HIJ) Chứng minh AK (SBC) AL (SCD)
c) Tính diện tích tứ giác AKHL
Bài 30 Cho tam giác MAB vuông M nằm mp(P) Trên đường thẳng vng góc với (P) A lấy hai điểm C, D nằm hai phía (P) Gọi C’ hình chiếu C MD, H giao điểm AM CC’
a) Chứng minh CC’ (MBD)
(4)Vấn đề Hai mặt phẳng vng góc.
Cách chứng minh hai mặt phẳng vng góc với nhau:
Cách 1: Ta chứng minh mp chứa đường thẳngvuông góc với mp kia.(đường ta??) Cách 2: Ta chứng minh góc chúng 900
Cách chứng minh đường thẳng d vng góc với mp( ):
Cách 3: Nếu hai mp vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến (nếu có) chúng vng góc với mặt phẳng
Cách 4: Nếu hai mp vng góc với nhau, đường thẳng nằm mp mà vuông góc với giao tuyến vng góc với mp
Kết quả: + S'Scos
+ Nếu hai mp(P) (Q) vng góc với nhau, điểm A thuộc (P) đường thẳng qua
A vng góc với (Q) nằm (P)
Hình lăng trụ đứng Hình hộp chữ nhật Hình lập phương. Hình chóp hình chóp cụt đều.
Hình chóp đều hình chóp có đáy đa giác đều chân đường cao trùng với tâm đáy
Chú ý + Cần phân biệt hai khái niệm Hình chóp đều hình chóp có đáy đa giác đều + Hình chóp đều có cáccạnh bên nhau
+ Hình chóp đều có góc các cạnh bên mặt đáy nhau
Dạng Chứng minh vuông góc
Bài 1 Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác vuông B AD (ABC) Chứng minh (ABD) (BCD) Bài 2 Cho tứ diện ABCD có AB (BCD) Trong tam giác BCD vẽ đường cao BE DF cắt O Trong mp(ACD) vẽ DK AC Gọi H trực tâm tam giác ACD.
a) Chứng minh (ACD) (ABE) (ACD) (DFK) b) Chứng minh OH (ACD)
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật Tam giác SAB vng góc với đáy Gọi H trung điểm AB Chứng minh (SAD) (SAB)
Bài 4 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng C, SAC tam giác nằm mp vng góc với (ABC) Gọi I trung điểm SC
a) Chứng minh (SBC)(SAC) b) Chứng minh (ABI)(SBC) Bài 5 Cho tam giác ABC vuông A Vẽ BB’ CC’ vng góc với mp(ABC)
a) Chứng minh (ABB’)(ACC’).
b) Gọi AH, AK đường cao tam giác ABC AB’C’ Chứng minh hai mp(BCC’B’) (AB’C’) vng góc với mp(AHK)
Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a SA = SB = SC = a
a) Chứng minh (SBD) (ABCD) b) Chứng minh tam giác SBD vuông.
Bài 7.(góc hai mp = 900) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I, có cạnh a
đường chéo BD = a SC = 6 2
a
vng góc với (ABCD) Chứng minh (SAB) (SAD). Bài 8 Cho tam giác ABC vuông B Đoạn thẳng AD(ABC) Chứng minh (ABD)(BCD). Vẽ đường cao AH tam giác ABD, chứng minh AH(BCD).
Bài 9 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh AC’ (A’BD) (ACC’A’)(A’BD)
Bài 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều, SAđáy Gọi H, K trực tâm tam giác ABC DBC Chứng minh:
a) (SAH)(SBC) b) (CHK)(SBC).
Bài 11 Cho tứ diện ABCD Gọi H hình chiếu A (BCD) O trung điểm AH Chứng minh mp(OBC), (OCD), (OBD) đơi vng góc với
(5)a) Chứng minh (SAD)(SBC)
b) Kẻ CIAB, CKSB Chứng minh SB(ICK) c) Kẻ BMAC, MNSC Chứng minh SCBN.
d) Chứng minh (CIK)(SBC) (MBN)(SBC).
e) MB cắt CI G, CK cắt BN H Chứng minh GH(SBC) f) Chứng minh điểm B, C, I, K, M, N cách D
Bài 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, SHđáy với H thuộc đoạn BC a) Chứng minh (SBC)(ABC).
b) Kẻ HIAB, HKAC Tứ giác AIHK có đặc điểm gì? c) Chứng minh (SHI)(SAB) (SHK)(SAC)
d) Kẻ HMSI, HNSK Chứng minh HM(SAB) HN(SAC)
Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên SAB SAD vng góc với (ABCD) Biết ABCD hình vng SA = AB Gọi M trung điểm SC Chứng minh:
a) (SAC) (SBD) b) (SAD) (SCD) c) (SCD) (ABM).
Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O Hai mp(SAC) (SBD) vng góc với đáy Chứng minh (SAC)(SBD)
Từ O kẻ OKBC Chứng minh BC(SOA).
Chứng minh (SBC)(SOK).
Kẻ OHSK Chứng minh OH(SBC).
Bài 16 Cho hình vng ABCD Gọi S điểm không gian cho SAB tam giác nằm mp vng góc với đáy
a) Chứng minh (SAB)(SAD) (SAB)(SBC). b) Tính góc hai mp (SAD) (SBC)
c) Gọi H, I trung điểm AB, BC Chứng minh (SHC)(SDI)
Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Hai mp(ASB) (SAD) vng góc với đáy a) Chứng minh SA(ABCD).
b) Chứng minh (SAC)(SBD).
c) Cho SA = 2a Kẻ AH(SBC) Tính AH?
Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O, AB < BC, AB = a Hai mp(SAD) (SAD) vng góc với đáy
a) Chứng minh SA(ABCD).
b) Chứng minh (CSB)(SAB)
c) Đặt SCA , BSC Chứng minh
2
2
os sin
a SC
c
.
Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có SAđáy, đáy ABCD hình chữ nhật Hạ AHSB, AKSD Chứng
minh:
a) (SBC)(SAB) b) (AHK)(SAC)
Bài 20 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vng góc với
(ABC) D lấy điểm S cho SD = 6 2
a
Chứng minh:
a) (SAB) (SAC) b) (SBC)(SAD).
Bài 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAđáy Gọi M, N điểm thuộc BC CD
sao cho BM = 2
a
,
3 4
a
DN
Chứng minh (SAM)(SMN).
Bài 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, cạnh a, SB = SD = a, BD =
2 3
3
a
(6)a) Chứng minh tam giác SAC vuông S b) Chứng minh (SBC)
(SCD)
Bài 23 Trong mp(P), cho hình thoi ABCD với AB = a, AC =
2 6
3
a
Trên đường thẳng vng góc với mp(P) giao điểm O hai đường chéo AC BD, lấy điểm S cho SB = a Chứng minh:
a) Tam giác ASC vuông b) (SAB)(SAD).
Bài 24 Cho hình chóp tam giác S.ABC, cạnh đáy có độ dài a, M, N trung điểm SB, SC Biết (AMN)(SBC) Tính theo a diện tích tam giác AMN
Dạng Tìm Thiết diện hình chóp sử dụng quan hệ vng góc
Cách xác định mp() qua điểm A vng góc với đường thẳng d: Cách 1: + Kẻ đường thẳng a qua A vuông góc với d
+ Tìm đường thẳng b cắt a bd Khi đó, mp(a,b) mp() cần dựng Cách 2: Sử dụng kết dưới.
Cách xác định mp() chứa đt a vng góc với đường thẳng mp():
+ Chọn điểm A đt a
+ Kẻ đường thẳng qua A vng góc với mp() Khi đó, mp(a,b) mp() cần dựng
Kết quả: + Nếu đường thẳng mp cùng vng góc với đường thẳng song song
Bài 25 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy a, cạnh bên 3 2
a
Chứng minh (SBC) (SAB)
Bài 26 Cho tứ diện SABC có ba đỉnh A, B, C tạo thành tam giác vuông cân đỉnh B AC = 2a, có cạnh SA
mp(ABC) SA = a
a) Chứng minh (SAB)(SBC)
b) Gọi AH đường cao tam giác SAB Chứng minh AH(SBC).
c) Tính độ dài đoạn AH
d) Từ trung điểm O đoạn AC vẽ OK(SBC) Tính độ dài đoạn OK Bài 27 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Gọi O giao điểm AC BD Kẻ CKBD
a) Chứng minh C’KBD
b) Chứng minh (C’BD)(C’CK).
c) Kẻ CHC’K Chứng minh CH(C’BD)
Bài 28 Cho tam giác ACD BCD nằm hai mp vng góc với AC = AD = BC = BD = a CD = 2x Gọi I, J trung điểm AB, CD
a) Chứng minh IJ AB CD.
b) Tính AB IJ theo a x c) Xác định x để (ABC) (ABD)
Bài 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, SAđáy Gọi M trung điểm BC Tìm N CD để (SAM)(SMN)
Bài 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O có cạnh SAđáy Giả sử ( ) mp qua A
vng góc với cạnh SC, () cắt SC I
a) Xác định giao điểm K SO với mp() b) Chứng minh (SBD)(SAC) BD//( )
(7)Bài 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A, hai đáy AD = 2a, BC = a Biết AB = a, SA = a 2 SAđáy
a) Chứng minh (SAC)(SDC)
b) Dựng thiết diện hình chóp cắt mp(P) chứa AB vng góc với mp(SDC) Tính diện tích thiết diện theo a
Bài 32 Cho tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y Tìm hệ thức liên hệ a, b, x, y để:
a) (ABC)(BCD) b) (ABC)(ACD).
Bài 33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAđáy Gọi M, N hai điểm thuộc cạnh
BC, CD cho BM = x, DN = y Tìm hệ thức liên hệ a, x y để (SAM) (SMN)
Bài 34 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = SA = a Gọi I, K trung điểm AB, CD Một mp(P) qua CD vuông góc với (SAB) cắt SA, SB M N
a) Chứng minh (SIK)(SAB).
b) (P) cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a
Bài 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a 2 vng góc với đáy a) Chứng minh (SCD)(SAD).
b) Cắt hình chóp mp(P) chứa AB vng góc với (SCD) Tính theo a diện tích thiết diện
Bài 36 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, cạnh a, SAđáy SA = a 2 Gọi M
điểm thuộc đoạn AO cho AM = x,
2 0
2
a x
a) Gọi H hình chiếu M (SBC) Tính MH
b) Mp(P)AC M cắt hình chóp theo đa giác Trình bày cách dựng thiết diện
này
c) Tìm x để diện tích đa giác lớn
Bài 37 Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông A với AB = a, ABC 600, SB(ABC) SB = 2a.
a) Chứng minh (SAC)(SAB)
b) Lấy điểm M thuộc đoạn AB cho BM = x, < x < a Qua M dựng mp(Q) song song với AC SB.Tính diện tích thiết diện (Q) với hình chóp Tìm x để diện tích lớn
Vấn đề Góc
I. Góc hai đường thẳng.
Cách xác định góc hai đường thẳng chéo a b: Chọn điểm O thích hợp, kẻ hai đường thẳng qua điểm O: a’//a b’//b
Các phương pháp tính góc: + Sử dụng hệ thức lượng tam giác:
Định lí sin: sin sin sin
a b c
A B C Định lí cos:
2 2
cos
2
b c a
A
bc
+ Tính góc theo vectơ phương:
1
1
. os
.
u u c
u u
ur ur ur ur
Chú ý +
0
0 90 + AB CD AB CD. 0.
uur uuur
(8)
Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a 2 Tính góc hai đường thẳng SC AB
Bài 2 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC AD
a) Tính góc AB DM, biết ABCD tứ diện cạnh a b) Tính góc AB CD, biết AB = CD = 2a MN = a 3 c) Tính góc AB CD, biết AB = CD = 2a MN = a 2
d) Tính góc AB CD, biết AB = 2a, CD = 2a 2 MN = a 5
Bài 3 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD BAC BAD600, CAD900 Chứng minh: a) ABCD
b) Nếu I, J trung điểm AB CD IJAB, IJCD
Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, SA = SB SABC Tính góc hai đường thẳng SD
BC
Bài 5 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, H, K trung điểm BC, AC, AD, BD Hãy tính góc hai đường thẳng AB CD trường hợp:
a) Tứ giác IJHK hình thoi có đường chéo IH = 3IJ b) Tứ giác IJHK hình chữ nhật
Bài 6 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a (hình hộp thoi), BAD600,
0 ' ' 120
BAA DAA
.
a) Tính góc cặp đường thẳng AB với A’D AC’ với B’D b) Tính diện tích hình A’B’CD ACC’A’
c) Tính góc đường thẳng AC’ đường thẳng AB, AD, AA’
Bài 7 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b AA’ = c a) Tính góc hai đường thẳng AD’ B’C
b) Tính góc hai đường thẳng AB A’C
Bài 8 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a tam giác SAB, SBC, SCA vuông S Gọi M trung điểm BC Tính góc AC SM
Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a, đáy hình vng Gọi N trung điểm SB Tính góc AN CN, AN SD
Bài 10 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD DBC tam giác cạnh a Cho AD = a 2 a) Chứng minh ADBC
b) Tính góc hai đường thẳng AB CD
II. Góc đường thẳng mặt phẳng.
Cách xác định góc đường thẳng d mp(P):
+Xác định hình chiếu d’ d mp(P) (Bằng cách tìm hình chiếu điểm B mp(P)) + Góc d hình chiếu d’ góc đường thẳng d mp(P)
Chú ý +
0
0 90 .
A
B
B’ d
(9)+ Nếu d / /mp P( )hoặc d mp P( ) 00 + Tính chất trục đường tròn:
a) ĐN Giả sử O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác A A A1 2 n Đường thẳng qua
O vng góc với mp chứa đa giác gọi trục đường tròn ngoại tiếp đa giác cho
b) Tính chất: Nếu SA1 SA2 SAn S thuộc trục đường trịn ngoại tiếp đa
giác A A A1 2 n
Do đó, hình chiếu S mp chứa đa giác tâm đường trịn O
Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAđáy SA = a 2 Tính góc đường thẳng SC mp(ABCD)
Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, BC = a, SA = SA = SC = 3 2
a
Tính góc đường thẳng SA mp(ABC)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAđáy SA = a 6 Tính góc giữa: a) SC (ABCD) b) SC (SAB) a) AC (SBC) d) SB (SAC)
Bài 4 Cho hình chóp S.ABC có SAđáy, đáy tam giác vng B Biết BSC 300 Đặt ACB
Gọi I hình chiếu B SC Xác định để góc BI mp(SAC) 600
Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi Biết SD = a 3, tất cạnh lại a b) Chứng minh (SBD) mặt phẳng trung trực AC SBD tam giác vng c) Xác định góc SD mp(ABCD)
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông A, AB = a nằm mp(P), cạnh AC = a 2 tạo với (P) góc 600 Tính góc BC (P)
Bài 7 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC =
2 3
3
a
đáy ABC tam giác cạnh a a) Gọi H hình chiếu S mp(ABC) Tính SH
b) Tính góc SA (ABC)
Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy, đáy ABCD hình vng cạnh a, biết góc SC mặt đáy 450 Tính số đo góc:
a) Giữa SC (SAD) b) Giữa SC (SAD)
Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a 6 vng góc với đáy a) Tính góc BS CD
b) Tính góc SC (ABCD)
c) Tính góc SC (SAB), SB (SAC), AC (SBC)
Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy, đáy ABCD hình thang vuông A, hai đáy AD = 2a, BC = a Biết SA = 2a, AB = a
a) Chứng minh SCD tam giác vng b) Tính góc SD (SAC)
Bài 11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, tâm O Gọi M, N trung điểm SA, BC Biết góc MN (ABCD) 600
a) Tính MN SO
b) Tính góc MN (SBD)
Bài 12 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Biết BC’ hợp với mp(ABB’A’) góc
0 30 .
a) Tính AA’
(10)Bài 13 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân A Gọi M, N trung điểm AB B’C’ Biết MN = a MN hợp với đáy góc mặt bên (BCC’B’) góc
a) Tính cạnh bên cạnh đáy lăng trụ theo a b) Chứng minh cos 2 sin
III. Góc hai mặt phẳng.
Cách xác định góc hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến c: + Chọn điểm I thích hợp giao tuyến c
+ Qua I vẽ hai đường thẳng vng góc với giao tuyến c nằm hai mp cho Chú ý +
0
0 90
+ Nếu ( ) ( )P P Q ( ) ( )P Q 00 + S'Scos
Bài 1 Cho tứ diện ABCD có AD(BCD) AB = a Biết BCD tam giác cạnh 2a Tính góc hai
mp(ACD) (BCD)
Bài 2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 600 Tính góc mặt phẳng:
a) (SAB) (SCD) b) (SAB) (SBC)
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAđáy, SA = x Tìm x để hai mp(SBC) (SCD) tạo với góc 600
Bài 4 Cho tam giác ABC cạnh a nằm mp(P) Trên đường thẳng vng góc với (P) vẽ từ B C lấy
các đoạn BD = 2 2
a
, CE = a 2 nằm bên (P)
a) Chứng minh tam giác ADE vuông Tính diện tích tam giác b) Tính góc hai mp(ADE) (P)
Bài 5 Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a, AA’ = a A’O(ABCD)
Tính góc hợp bởi:
a) Cạnh bên mặt đáy b) Cạnh bên cạnh đáy
c) (BDD’B’) (ABCD); (ACC’A’) (ABCD)
Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAB tam giác (SAB)(ABCD) Tính góc giữa:
a) (SCD) (ABCD) b) (SCD) (SAD)
Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A D, có AB = 2a, AD = DC = a, có cạnh SA
đáy SA = a
a) Chứng minh (SAB)(SCD) (SAC)(SCB).
b) Gọi góc hai mp(SBC) (ABCD) Tính tan
Bài 8 Cho tứ diện SABC, hai mp(SAB) (SBC) vng góc với SA(ABC), SB = a 2,
0 45 BSC
, ASB .
a) Chứng minh BCSB Tìm điểm cách điểm S, A, B, C b) Xác định để hai mp(SAC) (SCB) tạo với góc 600
Bài 9 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O, BA = a, BC = 2a Lấy điểm S không gian cho SO (ABCD), đặt SO = h Gọi M, N trung điểm AB, CD
a) Tính góc (SMN) với (SAB) (SCD) Tìm hệ thức liên hệ h a để (SMN) vng góc với mp(SAB), (SCD)
b) Tính góc hai mp(SAB) (SCD) Tính h theo a để hai mo vng góc
(11)a) Các góc mp chứa mặt bên mp đáy hình chóp
b) Góc hai mp chứa hai cạnh bên liên tiếp hai mặt bên đối diện hình chóp
Bài 11 Cho tam giác cân ABC, AB = AC = a, BAC 1200 Xét hai tia chiều Bt, Ct’ vng góc với mp(ABC) Lấy điểm B’ thuộc Bt, C’ thuộc Ct’ cho BB’ = 3CC’ Cho BB’ = a Tính góc hai
mp(AB’C’) (ABC), Tính diện tích tam giác AB’C’
Bài 12 Cho hai mp(P) (Q) vng góc với theo giao tuyến d Lấy hai điểm cố dịnh A, B thuộc d cho AB = a Gọi SAB tam giác (P), ABCD hình vng (Q)
a) Tính góc mp(SCD) với mp(P) (Q)
b) Gọi O1 giao điểm B1C A1D, B1, D1 trung điểm SA, SB Gọi H1 giao điểm đường cao SH tam giác SAB với mp(A1B1CD) Chứng minh SO1 vng góc với SA CD Tính góc mp(A1B1O1) với mp(P) (Q) Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB = 2a, SA = a 3
và vng góc với đáy
a) Tính góc hai mp(SAD) (SBC) b) Tính góc hai mp(SCD) (SBC)
Bài 14 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, AA’ = a Tính góc hai mp(ABC’) (BCA’)
Bài 15 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a, SA = 2a vng góc với đáy Gọi M trung điểm AB Tính góc hai mp(SCM) (ABC)
Bài 16 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông đỉnh B, AB = a, BC = a 3, SA = 2a vng góc với đáy Gọi M trung điểm AB
a) Tính góc hai mp(ABC) (SBC) c) Tính góc hai mp(SCM) (ABC)
Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SD = 3 2
a
, đáy hình thoi cạnh a A 600 a) Chứng minh (SAC)(ABCD) SBBC.
b) Tính góc hai mp(SBD) (ABCD)
Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có SAđáy, hai mặt bên (SBC) (SCD) hợp với góc 450 Mặt đáy ABCD có AB = AD = a, CB = CD = a 2 DADC BABC Tính góc giữa:
a) SC (ABCD) b) (SBD) (ABCD)
Bài 19 Cho hình chóp M.ABC có đáy tam giác cạnh a
a) Tính góc hai mp(ABC) (MBC) biết diện tích tam giác MBC =
2 3
2
a
b) Cho MA = a Tính góc hai mp(MBC) (MAB)
Vấn đề Khoảng cách.
I. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng – khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song – khoảng cách hai mặt phẳng song song.
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng V, đến mp(P):
+ d A( , )V AH , H hình chiếu A V
+ d A P( ,( ))AH , H hình chiếu A mp(P).
Khoảng cách hai đường thẳng song song: khoảng cách từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng
Khoảng cách hai mặt phẳng song song: khoảng cách từ điểm nằm mặt phẳng đến mặt phẳng
Cách xác định hình chiếu điểm A mp(P):
(12)+ Dựng mp(Q) qua A vng góc với a Giả sử (Q) cắt (P) theo giao tuyến b
+ Trong (Q), vẽ AHb.
Khi đó, H hình chiếu A mp(P)
Chú ý + Bài tốn tìm khoảng cách nói thực chất tìm hình chiếu điểm đường thẳng hay mặt phẳng
+
( ,( ))
, ( ,( ))
d A P AI
d B P BI với I AB( )P
Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, cạnh a, SAđáy SA = a Gọi I, J trung điểm SC AB
a) Chứng minh IO(ABCD).
b) Tính khoảng cách từ I đến CJ
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AD = 2a, SA đáy SA = a 6
a) Tính khoảng cách từ A, B đến (SCD) b) Tính khoảng cách từ AD đến (SBC)
Bài 3 Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a BADBAA'DAA' 60 Tính khoảng cách hai mp đáy (ABCD) (A’B’C’D’)
Bài 5 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A với BC = 2a, ABC 600 Gọi M trung điểm BC Biết SA = SB = SC = a 5
a) Tính chiều cao hình chóp b) Tính khoảng cách từ S đến AB
Bài 6 Cho hình chóp tứ giác có đáy hình vng tâm O, AB = 2a, SA = 4a Tính: a) Khoảng cách từ O đến (SAB)
b) Khoảng cách từ A đến (SCD)
Bài 7 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AA’ = a, đáy ABC tam giác vng A có BC = 2a, AB = 3
a .
a) Tính khoảng cách từ AA’ đến mp(BCC’B’) b) Tính khoảng cách từ A đến (A’BC)
c) Chứng minh AB(ACC’A’) tính khoảng cách từ A’ đến (ABC’)
d) Gọi M, N, P trung điểm AA’, BB’, CC’ Tính khoảng cách hai mp(BMN) (A’C’P)
Bài 8 Cho tứ diện DABC, ABC tam giác vuông cân B, AC = 2a, DAC tam giác (DAC)(ABC). Gọi O trung điểm AC Tính khoảng cách :
a) Từ D đến (ABC) b) Từ O đến (DBC)
Bài 9 Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, AC = 8cm Trên đường thẳng vng góc với mp(ABC) A lấy điểm S cho AS = 4cm Tính khoảng cách từ O đến BC
Bài 10 Cho góc vng xOy điểm M nằm ngồi mp chứa góc vng Biết OM = 23cm khoảng cách từ M tới hai cạnh góc vng Ox, Oy 17cm Tính khoảng cách từ M đến mp chứa góc vng
Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A, cạnh AB = a nằm mp(P), cạnh AC = a 2 tạo với (P) góc
0 60 .
a) Tính khoảng cách từ C tới (P) b) Tính góc tạo BC (P)
Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có SAđáy, SA = 2a, tam giác ABC vuông C với AB = 2a, BAC 300 Gọi M điểm di động AC, H hình chiếu S BM
(13)b) Đặt AM = x, 0 x 3 Tính khoảng cách từ S đến BM theo a x Tìm x để khoảng cách lớn nhất, nhỏ
Bài 13 Cho tam giác ABC cân đỉnh A có BAC120 ,0 BC a 3 Lấy điểm S nằm mp chứa tam giác cho SA = a Tính khoảng cách từ A tới (SBC)
Bài 14 Cho tứ diện DABC có ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = 2a Các mặt (DAB) (DAC) cùn hợp với (ABC) góc , mp(DBC)(ABC).
a) Tính khoảng cách từ D đến mp(ABC) theo a
b) Tìm số đo biết d = 2
3
a
Khi tính khoảng cách từ C đến (DAB)
Bài 15 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác tâm O, AB = a, mặt bên hợp với mặt đáy góc
0
45 Tính khoảng cách:
a) Từ O đến (SAB) b) Từ C đến (SAB)
Bài 16 Cho hình chóp S.ABC có ASB90 ,0 BSC 60 ,0 ASC1200 SA = SB = SC = a Gọi I trung điểm AC
a) Chứng minh SI(ABC)
b) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC)
Bài 17 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cân A, AB = a, BAC , SA = SB = SC = 2 2
a
Tính chiều cao hình chóp
Bài 18 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B, AC = 2a, SA = a vng góc với đáy a) Chứng minh (SAB)(SBC)
b) Tính chiều cao hình chóp
c) Gọi O trung điểm AC Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
Bài 19 Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông A có BC = 2a, ACB600 Dựng hai đoạn BB’ = a, CC’ = 2a vng góc với mp(P) bên với (P) Tính khoảng cách từ:
a) C đến mp(ABB’)
b) Trung điểm B’C đến mp(ACC’) c) B’ đến mp(ABC’)
d) Trung điểm BC đến mp(AB’C’)
Bài 20 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, mặt bên SBC vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm AB, SA, AC
a) Chứng minh (MNP)//(SBC)
b) Tính khoảng cách hai mp(MNP) (SBC)
Bài 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng đường cao AB = a, BC = 2a, SA = a vng góc với đáy Ngồi ra, cịn có SCBD
a) Chứng minh tam giác SBC vng b) Tính độ dài AD
c) Gọi M điểm SA cho AM = x, 0 x a Tính khoảng cách từ D đến BM theo a x Tìm x để khoảng cách lớn nhất, nhỏ
Bài 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, cạnh a, SAđáy SA = a 3. a) Tính khoảng cách từ A tới mp(SBC)
b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC)
c) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mp(SAC)
Bài 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a SAđáy.
(14)b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SBC đến mp(ABCD)
Bài 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA = a SAđáy Gọi I, M
trung điểm SC, CD
a) Tính khoảng cách từ A đến (SBD) b) Tính khoảng cách từ I đến (SBD) c) Tính khoảng cách từ A đến (SBM)
Bài 25 Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh a AC = a Từ trung điểm H AB dựng SH(ABCD) với SH = a
a) Tính khoảng cách từ H đến (SCD) b) Tính khoảng cách từ O đến (SCD) c) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
Bài 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a vng góc với đáy
a) Tìm mp(ABCD) điểm I cách ba điểm S, B, C Tính SI khoảng cách từ I đến (SBC)
b) Tìm mp(SBC) điểm J cách ba điểm B, C, M với M trung điểm CD Tính JB
Bài 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = 2a SAđáy.
a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC), từ C đến (SBD)
b) Gọi M, N trung điểm AB, AD Tính khoảng cách từ MN đến (SBD)
Bài 28 Cho hình chóp S.ABCD có SA = 2a đáy, đáy hình thang vng A B, AB = BC = a, AD = 2a
a) Tính khoảng cách từ A, B đến (SCD) b) Tính khoảng cách từ AD đến (SBC)
Bài 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a mặt bên SAB tam giác cân S (SAB)mặt
đáy, cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 600 Tính:
a) Chiều cao hình chóp S.ABCD
b) Khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mp(SCD)
c) Diện tích thiết diện hình chóp cắt mp trung trực đoạn BC
Bài 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi với A 1200, BD = a, SAđáy, góc mp(SBC)
mp đáy 600 Tính:
a) Đường cao hình chóp b) Khoảng cách từ A đến (SBC)
Bài 31 Cho hình chóp S.ABCD có SAđáy, đáy hình thoi tâm O, SA = AC = 2a, ABC 600 Tính: a) Khoảng cách từ O đến SC
b) Khoảng cách từ D đến SB
Bài 32 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c a) Tính khoảng cách từ AA’ đến mp(BDD’B’)
b) Gọi M, N trung điểm AA’, BB’ Tính khoảng cách từ MN đến (ABC’D’) c) Chứng minh (AB’D’)//(C’BD) Tính khoảng cách hai mp
Bài 33 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’ = c a) Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(ACC’B’) b) Tính khoảng cách hai mp(AB’C) (A’C’D), trường hợp a = b = c
Bài 34 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh bên cạnh đáy a Cạnh bên lăng trụ tạo với mặt đáy góc 600 hình chiếu vng góc A mp(A’B’C’) trùng với trung điểm B’C’
a) Tính khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ b) Chứng minh mặt bên BCC’B’ hình vng
Bài 35 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác tâm O, cạnh a, hình chiếu C’ mp(ABC) trùng với tâm đáy Cạnh bên CC’ hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Gọi I trung điểm AB TÍnh khoảng cách:
(15)Bài 36 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu C’ (ABC) trùng với tâm O đáy Cạnh CC’ hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính khoảng cách từ C đến mp(ABB’A’)
II. Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau.
Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:
+ Tính thơng qua khoảng cách đường thẳng mp song song
+ Tính thơng qua khoảng cách hai mp song song chứa hai đường thẳng cho + Tính độ dài đường vng góc chung
Cách xác định đường vng góc chung hai đường thẳng chéo nhau: Cách 1:
Cách 2: Cách 3:
Bài 1 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’ = c Tính khoảng cách hai đường thẳng BB’ AC’
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAđáy SA = a Tính khoảng cách hai
đường thẳng:
a) SB AD b) BD SC
Bài 3 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a Gọi G trọng tâm tam giác ABC
a) Tính chiều cao hình chóp
b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SG
Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, cạnh a, góc A 600 có đường cao SO = a a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SB AD
Bài 5 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a AA’ = 2 2
a
Gọi O, O’ trung điểm AB, A’B’
a) Chứng minh AB(COO')
b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB B’C Bài 6 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a) Chứng minh BC’(A’B’CD)
b) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung AB’ BC’ Bài 7 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a, AC’ = 2a
a) Tính khoảng cách từ D đến (ACD’)
b) Tìm đường vng góc chung đường AC’ CD’ Tính khoảng cách hai đường
Bài 8 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = OC = a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung của:
a) OA BC b) AI OC
Bài 9 Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a đáy, đáy tam giác vuông cân B với BA = a Gọi M trung
điểm AC Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng SM BC
Bài 10 Cho hai tam giác cân ABC ABD có chung đáy BC nằm hai mp khác a) Chứng minh ABCD
b) Xác định đường vuông góc chung AB CD
Bài 11 Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác cạnh a, ADBC, AD = a khoảng cách từ D đến BC a
Gọi H trung điểm BC I trung điểm AH
a) Chứng minh BD(ADH) DH = a b) Chứng minh DI(ABC).
c) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung AD BC
(16)a) Tính độ dài MN
b) Tìm hệ thức liên hệ a, b, h để MN đoạn vng góc chung AC SB
Bài 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông C, CA = b, CB = a, SA = h SAđáy Gọi D
trung điểm AB Tính:
a) Góc hai đường thẳng AC SD
b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SD c) Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SD
Bài 14 Cho hình chóp S.ABC có SAđáy, đáy tam giác cạnh a, SA = 3 2
a
Tính khoảng cách hai đường thẳng SB AC
Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, AB = a Đường cao SO hình chóp vng góc với mặt đáy SO = a Tính khoảng cách hai đường thẳng SC AB
Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = h đáy Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung của:
a) SB CD b) SC BD c) SC AB
Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = SB = SC = SD = a 2 Gọi I, K trung điểm AD, BC
a) Chứng minh (SIK)(SBC).
b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SB AD
Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a Các cạnh bên hình chóp bẳng a 2
a) Tính chiều cao hình chóp
b) Gọi E, F trung điểm AB, CD; K điểm thuộc AD Chứng minh khoảng cách hai đường thẳng EF SK không phụ thuộc vào vị trí K, tính khoảng cách theo a
Bài 19 Cho hình vng ABCD cạnh a, I trung điểm AB Dựng IS(ABCD) cho
3 2
a
SI
Gọi M, N, P trung điểm BC, SD, SB Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng sau:
a) AB SD b) SA BD c) NP AC d) MN AP
Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAđáy SA = a Tính : a) Khoảng cách từ S đến mp(A’CD) với A’ trung điểm SA b) Khoảng cách AC SD
Bài 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, tâm O Gọi H trung điểm AD, SHđáy,
SAD tam giác
a) Chứng minh (SAD) ( ABCD).
b) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng SH BC c) Gọi M, N, K trung điểm SA, SC, AB Xác định tính độ dài đoạn vng góc
chung cặp đường thẳng sau: + MN BD + DM NK
Bài 22 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có mặt bên hình vng cạnh a Gọi D, E, F trung điểm cạnh BC, A’C’, C’D’ Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung của:
a) A’B B’C b) DE AB’ c) A’B B’C’ d) DE A’F
Bài 23 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, góc A 600, góc đường chéo AC’ mp đáy 600
a) Tính đường cao hình hộp
(17)Vấn đề Một số toán HHKG đề thi ĐH – CĐ.
Bài 1 (ĐH – CĐ A 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mp(AMN) vng góc với mp(SBC)
Bài 2 (ĐH – CĐ B 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A’B B’D
b) Gọi M, N, P trung điểm AA’, CD, A’D’ Tính góc hai đường thẳng MP C’N
Bài 3 (ĐH – CĐ D 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ A tới mp(BCD)
Bài 4 (ĐH – CĐ B 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD 600 Gọi M, N trung điểm AA’ CC’ Chứng minh điểm B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN hình vng
Bài 5 (ĐH – CĐ D 2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng d Trên d lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mp(P) lấy điểm C, mp(Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với d AC = BD = AB Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) theo a
Bài 6 (ĐH – CĐ B 2004) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy Tính tang góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo
Bài 7 (ĐH – CĐ B 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AD = a 2, AB = a, SA = a SA vng góc với mp(ABCD) Gọi M, N trung điểm AD, SC; I giao điểm BM AC Chứng minh mp(SAC) vuông góc với mp(SMB)
Bài 8 (ĐH – CĐ A 2007) Cho hình chóp tam giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP
Bài 9 (ĐH – CĐ B 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi D điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M, N trung điểm AE BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC
Bài 10 (ĐH – CĐ D 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ABC = BAD = 900, BA = BC =a, AD = 2a Cạnh SA vng góc với đáy SA = a 2 Gọi H hình chiếu cng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính theo a khoảng cách từ H tới mặt phẳng (SCD)
Bài 11 (ĐH – CĐ A 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a 3 hình chiếu vng góc đỉnh A’ mp(ABC) trung điểm cạnh BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA’ B’C’
Bài 12 (ĐH – CĐ B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 mp(SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM DN
Bài 13 (ĐH – CĐ D 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = AC = a, cạnh bên AA’ = a 2 Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM B’C
Bài 14 (ĐH – CĐ D 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = a, A’C = 3a Gọi M trung điểm A’C’, I giao điểm AM A’C Tính khoảng cách từ A đến mp(IBC)
Bài 15 (ĐH – CĐ A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi M, N trung điểm AB, AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mp(ABCD) SH = a 3 Tính theo a khoảng cách DM SC
(18)Nỗi niềm Thị nở
Quang Huy “Người ta bảo dở
Chấp chi miệng lời thị phi Dở dở
Váy em sắn lệch nhiều tình Làng khối kẻ sợ anh
Rượu be với mảnh sành cầm tay Sợ anh chửi suốt ngày
Chỉ em biết anh say hiền Anh không nhà cửa bạc tiền
Không ưa luồn cúi khơng n phận nghèo Cái tên mơ mộng Chí Phèo
Làm em đứt ruột chiều bờ ao Quần anh ống thấp ống cao
Làm em hồn vía nao nao đêm ngày Khen cho Tạo khéo tay
Nồi úp vung Đêm trời cao
Sương đẫm trăng lại nhoà Người ta mặc kệ người ta
Chỉ em thật đàn bà với anh Thôi đắt tiết trinh