Bài 16: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz.[r]
(1)BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH 1
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1) Lập phương trình mặt cầu (S) qua A, B, C có tâm nằm mặt phẳng (P): x + y – 2z + =
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2), D(–1;–3;1) Chứng tỏ A, B, C, D đỉnh tứ diện tìm trực tâm tam giác ABC
Bài 3 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x- 3y + 2z – = đường thẳng
1
:
2
x t
y t
z t
Lập phương trình đường thẳng ' hình chiếu vng góc đường thẳng mặt phẳng (P) Bài : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định toạ độ tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3)
Bài : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – = cho MA = MB = MC
Bài 6:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x y 2z 1 0, đường thẳng
5
:
1
x t
d y t
z t
Lập phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng (P), cắt vng góc với đường thẳng (d)
Bai 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d d’ lần lợt có phơng trình : d :
x=y −2
−1 =z vµ d’ : x −2
2 =y −3= z+5
−1
Viết phơng trình mặt phẳng () qua d tạo với d góc 300
Bi 8: Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng d1 :1
x y z
; d2
1 2 1
x t
y t z t
và điểm M(1;2;3).
1.Viết phương trình mặt phẳng chứa M d1 ; Tìm M’ đối xứng với M qua d2 2.Tìm A d B d 1; 2 cho AB ngắn
Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x 1) 2(y 2) 2(z 3) 64 mặt phẳng (P) : 2x y 2z 13 0 cắt theo giao tuyến đường tròn (C) Xác định tâm bán kính đường trịn
Bài 10: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: x −1 =
y 1=
z+2
−3 mặt phẳng
(P):2x+y+z −1=0 Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d với mặt phẳng (P) Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm A vng góc với d nằm (P)
Bài 11: Trong không gian (oxyz) cho hai mặt phẳng: (P1): x - 2y + 2z - = (P2): 2x + y - 2z - = đường thẳng (d): x−+21 = y
−2= z −4
3 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I (d) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1), (P2)
Bài 12: Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x 4y 2z + = mặt phẳng (P): x -2y + 2z - = Tìm điểm M (S), N (P) cho MN có độ dài nhỏ
Bài 13:Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(1;1;1),cắt đường thẳng (d1): x+2
3 = y 1=
z −1 −2 vng góc với đường thẳng (d2):x=−2+2t ; y=−5t ; z=2+t ( t∈R )
Bài 14: Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng (P): x+y+z-1=0 đồng thời cắt hai đường thẳng (d1):
x −1 =
y+1 −1 =
z
1 (d2):x=−1+t ; y=−1; z=−t , với t∈R
Bài 15: Trong không gian Oxyz Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 mặt cầu (S):
2 2 2 4 2 3 0
(2)Bài 16: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2) Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A tam giác ABC
GIẢI:
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1) Lập phương trình mặt cầu (S) qua A, B, C có tâm nằm mặt phẳng (P): x + y – 2z + =
Bài 1: PT mặt cầu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 =
(S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = (S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = Tâm I (P): a + b – 2c + =
Giải ta được: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3 Vậy (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – = 0
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2), D(–1;–3;1) Chứng tỏ A, B, C, D đỉnh tứ diện tìm trực tâm tam giác ABC
Bài 2 Ta có
1
( 3;1;4); ( 1;1;1)
AB a AC
PT mặt phẳng (ABC): 3x + y + 2z – = D(ABC) đpcm
Đường cao
3 A(3;0;0)
AA ' : AA ' :
vtcp (1;1; 2)
2
x t
qua
y t
BC
z t
,
Đường cao
' (0;1; 4)
' ' : '
( 1;1;1)
4 '
x t
quaB
BB BB y t
vtcp AC
z t
AA ' ' 1; ' (2; 1;2)
H BB t t H
Bài 3 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x- 3y + 2z – = đường thẳng
1
:
2
x t
y t
z t
Lập
phương trình đường thẳng ' hình chiếu vng góc đường thẳng mặt phẳng (P)
Bài :Mặt phẳng P đường thẳng không song song không trùng cắt P Phương trình
tham số
1 2
x t
y t
z t
A P 1 2t 3 t 4 6t 0 5t-5= 0 t= A(1, 2, 5)
Chọn B (-1, 1, 2) Lập phương trình đường thẳng d qua B d vng góc( P )
' '
' (1, 3, 2)
2
d p
x t
U n d y t
z t
C giao điểm d (P) -1 +t’-3+9t’+4+4t’ – =0 t’=
14 C(
9 38 ; ; ) 14 14 14
Đường thẳng AC đường thẳng cần tìm:
23 29 32
( ; ; )
14 14 14
(3)cùng phương với véc tơ U
(23,29,32) =>
1 '
1 1 23
: 29
5 32
x t
y t
z t
Bài : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định toạ độ tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3)
Bài 4: Ta có: AB(2; 2; 2), AC(0; 2; 2)
Suy phương trình mặt phẳng trung trực AB, AC là:
1 0,
x y z y z
Vectơ pháp tuyến mp(ABC) nAB AC, (8; 4; 4).
Suy (ABC): 2x y z 1
Giải hệ:
1 0
3
2 1
x y z x
y z y
x y z z
Suy tâm đường trịn I(0; 2;1) Bán kính R IA ( 0) 2(0 2) 2(1 1)
Bài : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – = cho MA = MB = MC
Bài : Ta có AB(2; 3; 1), AC ( 2; 1; 1) n(2;4; 8)
vtpt (ABC) Suy pt (ABC) (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = hay ( ABC) :x + 2y – 4z + = M(x; y; z) MA = MB = MC …
M thuộc mp: 2x + 2y + z – = nên ta có hệ, giải hệ x = 2, y = 3, z = -7
Bài 6:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x y 2z 1 0, đường thẳng
5
:
1
x t
d y t
z t
Lập phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng (P), cắt vng góc với đường thẳng (d)
Bài : +) nP (3; 1;2), ud (1;3; 1)
Giao điểm (d) (P) điểm A(15; 28; - 9)
+) Đường thẳng (d’) cần tìm qua A nhận n uP, d ( 4;5;10)
laø VTCP ( ') :d
15 28
4 10
x y z
Bai 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d d’ lần lợt có phơng trình : d :
x=y −2
−1 =z vµ d’ : x −2
2 =y −3= z+5
−1
ViÕt ph¬ng trình mặt phẳng () qua d tạo với d góc 300
Bi 7: .Đờng thẳng d đi qua điểm M(0;2;0) có vectơ phơng u(1;1;1)
Đờng thẳng dđi qua điểm M '(2;3;5) có vectơ phơng u '(2;1;1) Mp () phải qua điểm M có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u
|cos(n ;u ')|=cos 600 =1
2 Bởi đặt n=(A ; B;C) ta phải có :
¿
A − B+C=0
|2A+B− C|
√6√A2+B2+C2 =1
2
¿{
¿
⇔
B=A+C A+C¿2+C2
¿ ¿⇔
¿ ¿B=A+C
¿ ¿ A2+¿
(4)Ta cã 2A2−AC−C2=0⇔(A −C)(2A+C)=0 VËy A=C hc 2A=−C
Nếu A=C ,ta chọn A=C=1, B=2 , tức n=(1;2;1) mp(α) có phơng trình x+2(y −2)+z=0 hay x+2y+z −4=0
Nếu 2A=−C ta chọn A=1, C=−2 , B=−1 , tức n=(1;−1;−2) mp(α) có ph-ơng trình x −(y −2)−2z=0 hay x − y −2z+2=0
Bài 8: Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng d1 :1
x y z
; d2
1 2 1
x t
y t z t
và điểm M(1;2;3).
1.Viết phương trình mặt phẳng chứa M d1 ; Tìm M’ đối xứng với M qua d2 2.Tìm A d B d 1; 2 cho AB ngắn
Bài 8:.+ Phương trình mặt phẳng chứa M d1 … Là (P) x + y – z =
+ Mp(Q) qua M vng góc với d2 có pt 2x – y - z + =
+ Tìm giao d2 với mp(Q) H(-1 ;0 ;1) …
Điểm đối xứng M’ M qua d
2 M’(-3 ;-2 ;-1)
2.Tìm A d B d 1; 2 cho AB ngắn
Gọi A(t;t;2t) B(-1-2t1 ;-t1 ;1+t1) AB ngắn đoạn vng góc chung hai đường
thẳng d1 d2
1
AB v AB v
……. tọa độ
3 ; ; 35 35 35
A
1 17 18
; ;
35 35 35 B
Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ vng góc Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x 1) 2(y 2) 2(z 3) 64 mặt phẳng (P) : 2x y 2z 13 0 cắt theo giao tuyến đường tròn (C) Xác định tâm bán kính đường trịn
Bài 9: Ta có:BC2; 4;0 ; D B 0; 4;3 BC B D 12; 6;8
Mp(BCD) qua B có vtpt n6; 3; 4
nên (BCD): 6x – 3y + 4z + 16 =
Gọi (d) đường thẳng qua A vng góc (BCD)
4
( ) :
4
x t
d y t
z t
Hình chiếu vng góc H A lên (BCD) giao điểm d với (BCD) Tọa độ H nghiệm hệ:
4
7
2; 4;
4
6x 4z 16
x t t
y t x
H
z t y
y z
Bài 10: Tìm giao điểm d (P) ta
1
2
2
A ; ;
Ta có ud 2 3; ; ,nP 2 1; ; u u ;nd p 1 0; ; uur uur uur uur uur
Vậy phương trình đường thẳng Δ
1
2
2
: x t; y t; z .
(5)Bài 11: Trong không gian (oxyz) cho hai mặt phẳng: (P1): x - 2y + 2z - = (P2): 2x + y - 2z - = đường thẳng (d): x+2
−1 = y −2=
z −4
3 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I (d) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1), (P2)
Bài 11:(P1): x - 2y + 2z - = (P2): 2x + y - 2z - =
Giả sử I (x0 ; y0 ; z0) (d): x−+21 =−y2=z −34 ⇒ I (-2 - t ; 2t ; + 3t) tâm mặt cầu (S)
Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P1), (P2) ⇔ d (I, (P1)) = d (I ; (P2))
⇔
3|9t+3|=
3|10t+16|⇔ t=−13
¿ t=−1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
0,25đ
⇒ I1 = (11 ; 26 ; -35) ; I2 (-1 ; ; 1)
⇒ R1 = 38 ; R2 = 0,25đ
Vậy, có hai mặt cầu cần tìm:
(S1): (x - 11)2 + (y - 26)2 + (z + 35)2 = 382 (S2): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 22
Bài 12: Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x 4y 2z + = mặt phẳng (P): x -2y + 2z - = Tìm điểm M (S), N (P) cho MN có độ dài nhỏ
Bài 12:(S): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = Tâm I (-1 ; ; 1), bán kính R = 1 (P): x - 2y + 2z - = ⇒ d (I ;(P)) = ⇒(P)∩(S)=Ø
Giả sử tìm N0 (P) ⇒ N0 hình chiếu vng góc I (P) 0,25đ ⇒N0=(d)∩(P) , với:
¿
(d)∋I(−1;2;1) (d)⊥(P)⇒ud=(1;−2;2)
¿{
¿
⇒(d): x=−1+t y=2−2t z=1+2t
¿{{
⇒N0(−1 3;
2 3;
7
3) 0,25đ
(d)∩(S)=¿ {M1 ; M2} ⇒M1(−2
3; 3;
5
3) , M2(− 3;
8 3;
1
3) 0,25đ
M1M0 = < M2M0 =
M0 (S) để M0N0 nhỏ ⇒ M0 M1
Vậy, điểm cần tìm thoả mãn u cầu tốn M(−2 3;
4 3;
5
3) , N(− 3;
2 3;
(6)Bài 13:Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(1;1;1),cắt đường thẳng (d1): x+2
3 = y 1=
z −1 −2 vng góc với đường thẳng (d2):x=−2+2t ; y=−5t ; z=2+t ( t∈R )
Bài 13: VTCP d2 v=(2;−5;1) VTPT mp(P) qua M vng góc với d2 Pt mp(P) là: 2x −5y+z+2=0 Gọi A giao điểm d1 mp(P) nên A(−2+3t ;t ;1−2t)
Thay vào phương trình mp(P) t=−1⇒A(−5;−1;3)
* Đường thẳng d cần lập pt có VTCP u=(3;1;−1)doMA=(−6;−2;2) Vậy phường trình đường thẳng d là: x −1
3 = y −1
1 = z −1
−1 (vì d ≠ d2)
Bài 14: Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng (P): x+y+z-1=0 đồng thời cắt hai đường thẳng (d1):
x −1 =
y+1 −1 =
z
1 (d2):x=−1+t ; y=−1; z=−t , với t∈R
Bài 14: Điểm M∈(d1) , nên toạ độ M=(1+2t1;−1−t1;t1)
điểm N∈(d2) , nên toạ độ N=(−1+t ;−1;−t) Suy MN=(t −2t1−2;t1;− t −t1)
Với M , N∈(d) mặt phẳng (P) có VTPT n=(1;1;1) Suy ra:
(d)⊥mp(P)⇔MN=k.n; k∈R❑⇔t −2t1−2=t1=−t − t1
Giải ta {
t=4 t1=−2
5
, M=(1 5;−
3 5;−
2 5) Vậy phuơng trình đường thẳng (d) là: x −1
5=y+ 5=z+
2
Bài 15: Trong không gian Oxyz Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 mặt cầu (S):
2 2 2 4 2 3 0
x y z x y z Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) A(3;-1;1) song song với mặt phẳng (P).
Bài 15: Mp(P) có vtpt nP
= (1;1;-2) (S) có tâm I(1;-2;-1)
* IA = (2;1;2) Gọi vtcp đường thẳng u tiếp xúc với (S) A u
IA Vì // (P) u
nP
* Chọn u0
= [IA
,nP
] = (-4;6;1)
* Phương trình tham số đường thẳng :
3
x t
y t
z t
Bài 16: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2) Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A tam giác ABC
Bài 16: Gọi d đường cao tương ứng với đỉnh A ABC d giao tuyến (ABC) với ( ) qua A vng góc với BC. * Ta có: AB
= (1;3;-3), AC= (-1;1;-5) , BC
= (-2;-2;-2) [AB
, AC
] = (18;8;2) mp(ABC) có vtpt n
=
1
4[AB, AC] = (-3;2;1)
mp( ) có vtpt n
' = -1
(7)* Đường thẳng d có vtcp u
=[n
, n
' ] = (1;4;-5)
* Phương trình đường thẳng d:
2
x t
y t
z t
(Lấy từ 143 – 176)