Chuyen de 5 Toa do khong gian

Viết phương trình của đường thẳng g đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cắt đường thẳng d ¢.. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính, diện tích của mặt cầu S.[r]

Chuyên đề 5: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A/-KIẾN THỨC CƠ BẢN I/- TỌA ĐỘ ĐIỂM TỌA ĐỘ VECTƠ Vấn đề 1: TỌA ĐỘ VECTƠ ® ® ® ® ®  a (a1;a ;a )  a a1 i  a j  a k   Cho  a  a1;a ;a  , b  b1;b ;b3  a1 b1  a  b  a b a b  + +   ® ® a ± b = ( a1 ± b1;a ± b2 ;a ± b3 ) ® + k a = (ka1;ka ;ka )   + a b a1b1  a b2  a 3b3 ,     Đặc biệt: a  b  a b 0  a1b1  a b2  a 3b3 0  + | a | = a12  a 22  a 32    a, b  +  a a3 a3 b b ;b  3  a1 a1 a  ;   a b3  a 3b ;a 3b1  a1b3 ;a1b  a b1  b1 b1 b  Vấn đề 2: TỌA ĐỘ ĐIỂM ® ® ® ®  M(x M ; y M ;z M ) Û OM = x M i + y M j + z M k A x ; y ; z , B x ; y ;z  Cho  A A A   B B B   + Tọa độ vectơ + AB   xB  AB  x B  x A ; yB  yA ;z B  z A  2 x A    yB  yA    zB  zA  xA  xB  x  M   yA  yB   yM   z  zB  zM  A  M x ; y ;z +  M M M  là trung điểm AB đó:  æx A + x B + x C y A + y B + yC z A + z B + zC ÷ ö Gç ; ; ÷ ç ÷ ç ø 3  G là trọng tâm C thì è 1® ®  SABC   AB, AC  2   Diện tích tam giác : 1® ®  ® VABCD   AB, AC  AD 6   Thể tích tứ diệnVABCD= é® ® ù ® VABCD.A¢B¢C¢D¢ = êAB, ADú.AA ¢ ê ú ë û  Thể tích khối hộp: II/- MẶT PHẲNG Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG: a) Phương trình tổng quát mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = Trong đó:  A, B, C, D là các hệ số thực; A, B, C không đồng thời bằng ®  n = (A;B;C) là VTPT mặt phẳng  b) mp ( ) qua điểm M0(x0; y0; z0) nhận n (a;b;c) làm VTPT có phương trình là: a  x  x   b  y  y   c  z  z  0 b) Cho ba điểm A(a;0;0), B(0; b;0), C(0;0;c) đó a, b, c khác x y z + + =1 mp ( ) qua A, B, C có phương trình là: a b c (Phương trình mp theo đoạn chắn) Vấn đề 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI_KHOẢNG CÁCH 1) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: (): a1x  b1y  c1z  d1 0 (): a x  b y  c z  d 0  (), () cắt  a1 : b1 : c1 a : b : c a1 b1 c1 d1 a1 b1 c1 d1       a b c d a 2  () // ()   ()  ()  b c d  VÍP: ()  ()  a1a  b1b  c1c 0 2) Khoảng cách: a) Khoảng cách từ M (xM;yM;zM) đến mặt phẳng (): ax  by  cz  d 0 : ax  by M  cz M  d d  M,    M a  b2  c2 d (),()) = d ( M,()) b) Cho: () P () , ta có: ( với M Î () d ,()) = d ( M,()) c) Cho:  P () , ta có: ( với M Î  III/-ĐƯỜNG THẲNG: Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ® a  a1;a ;a  Đường thẳng  qua điểm M0(x0; y0; z0) nhận làm VTCP có phương trình:  x x  a1t   :  y y  a t ,  t  R  z z  a t   Phương trình tham số x  x y  y0 z  z :   a a a (với a1.a a ¹ )  Phương trình chính tắc:  Chú ý:    Đường thẳng  qua hai điểm A, B có vectơ phương là a  AB    Đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng () có vectơ phương là a  n     Hai đường thẳng có cùng vectơ phương:  // d suy ra: a  a d Vấn đề 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI_KHOẢNG CÁCH 1) Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d, d ¢ có phương trình tham số là: a1 ïìï x = x ¢ ìï x = x + ta1 + t ¢¢ ïï ï d ¢: ïí y = y0¢+ t ¢¢ a2 d : ïí y = y + ta ïï ïï ïïî z = z ¢ a3 ïïî z = z + ta + t ¢¢ và ìï ® ® ïï a ,a ¢cuøng phöông ïï ïï ïì x + ta1 = x 0¢+ t ¢¢ a1 í ïï ïï ï a (aån t, t ¢) voâ nghieäm ïï heä íï y0 + ta = y0¢+ t ¢¢ ïï ïï z + ta = z ¢+ t ¢¢ a3  d // d  ïî ïî ìï ® ® ïï a ,a ¢cuøng phöông í ïï M (x ; y ;z ) Ï d ¢ M x ; y ;z  d  ïî 0 0 (Trong đó  0  ) ìï x + ta1 = x ¢ a1 + t ¢¢ ïï ïí y + ta = y¢+ t ¢¢ a2 ïï ï z + ta = z ¢ a3 + t ¢¢  d  d  hệ phương trình ïî ẩn t và t ¢có vô số nghiệm ìï ® ® ïï a ,a ¢cuøng phöông í ïï M (x ; y ;z ) Î d ¢ M x ; y ;z  d  ïî 0 0 (Trong đó  0  ) a1 ïìï x + ta1 = x ¢ + t ¢¢ ïï a2 í y0 + ta = y¢ + t ¢¢ ïï ï z + ta = z¢ a3 + t ¢¢  d, d cắt  hệ ïî (ẩn t, t) có đúng nghiệm ỡù ộđ đự đ ìï ® ® ïï êa ,a ¢ú¹ ïï a ,a ¢khoâng cuøng phöông ïí ë û ïí ùù ộđ đự đ ïï ® ® ® ï êa ,a ¢ú.MM ¢= ïïỵ a ,a ¢, M M ¢0 đồng phẳng   ïî ë û ìï ® ® ïï a ,a ¢khoâng cuøng phöông ïï ïï ïì x + ta1 = x ¢ a1 + t ¢¢ í ïï ïï ï a (aån t, t ¢) voâ nghieäm + t ¢¢ ïï heä íï y0 + ta = y¢ ïï ïï z + ta = z¢+ t ¢¢ a3  d, d chéo  ïî ïî ® ® ® ộđ đự đ ê ¢ú ¢, M 0M 0¢ ¢ a ,a Hoặc: d, d chéo  không đồng phẳng  ëa ,a û.M 0M ¹ ® ® ® ® VÍP: d ^ d đí a ^ a đí a a đ= 2) Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng  x x  ta1   y y  ta z z  ta  Cho mặt phẳng (): Ax  By  Cz  D 0 và đường thẳng d: Xét phương trình: A(x  ta1 )  B(y0  ta )  C(z  ta )  D 0 (ẩn t) (*)  d // ()  (*) vô nghiệm  d cắt ()  (*) có đúng nghiệm  d  ()  (*) có vô số nghiệm 3) Vị trí tương đối đường thẳng và mặt cầu  x x  ta1   y y  ta z z  ta 2 2 (1) và mặt cầu (S): (x  a)  (y  b)  (z  c) R (2) Cho đường thẳng d:  Để xét VTTĐ d và (S) ta thay (1) vào (2), phương trình (*)  d và (S) không có điểm chung  (*) vô nghiệm  d(I, d) > R  d tiếp xúc với (S)  (*) có đúng nghiệm  d(I, d) = R  d cắt (S) hai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt  d(I, d) < R 4) Khoảng cách:  x x  a1t   :  y y  a t ,  t    z z  a t  a) Tìm khoảng cách từ M đến đường thẳng  Gọi H(x; y; z) là hình chiếu M lên   H(x  a1t; y  a t;z  a 3t)      Từ điều kiện MH  a   MH.a  0  t  Tọa độ H  Khoảng cách từ M đến  bằng độ dài đoạn MH  Cách khác (NC) ộ đ đự êM M, a ú ê ú ë û d(M, ) = ® a ®   Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng ( ) là: ( qua M0 có VTCP a ) b) Cho 1 P  Tính d( 1;  ) ?  Chọn M  1  Tính d(1;  ) d(M;  ) c) Cho  P mp(P) Tính d( ;(P)) ?  Chọn M    Tính d(;(P)) d(M;(P)) c) Cho hai đường thẳng 1,  chéo Tính d( 1;  ) ?  Viết phương trình mp(P) qua 1 và (P) P   Tính d  1;   d   ;(P)  d  M,(P)   Cách khác d  ,  1)   độ dài đoạn vuông góc chung với M   d  1,   2) (NC) IV/-MẶT CẦU ® ®  ®  a , b  M1M    ® ®  ® ®  a,b   Với: a , b là VTCP của 1,  và: M1  1; M   Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU: Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R > 0:  x  a +  y  b  +  z  c  = R2 2 Dạng 2: x + y + z  2ax  2by  2cz + d = Với: a2 + b2 + c2 - d > 2 Khi đó tâm I(a; b; c) bán kính R = a + b + c  d Lưu ý: R = d  I,α( )  + Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng () có R  IA + Mặt cầu tâm I và qua điểm A có + Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm AB và R IA  AB   + Nếu mặt phẳng tiếp xúc M thì vectơ pháp tuyến mặt phẳng là n IA + Nếu mặt cầu (S) tiếp xúc mặt phẳng () thì bán kính mặt cầu (S) là R d(I,()) Vấn đề 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG: Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và mặt phẳng Aa  Bb  Cc  D d  I,  P    A  B2  C2 Nếu: Tính: d  I,  P    R Û  P    C    ;  d  I,  P    R Û  P    C   P  : Ax  By  Cz  D 0  H;r  R theo giao tuyến là đường tròn  d  I;  P    Với H là hình chiếu tâm I lên mp(P)  x  a    y  b    z  c  R  Lưu ý: Đường tròn không gian có phương trình:  Ax  By  Cz  D 0 d  I,  P   R Û  P  ,  C   tiếp xúc điểm H là hình chiếu tâm I trên (P), (P) gọi là tiếp diện mặt cầu (C) Vấn đề 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG:  Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng   d I,   d  I,    R Û      C   Tính:  Nếu: ; d  I,    R Û      C  điểm phân biệt; d  I,   R Û    ,  C   tiếp xúc nhau,   gọi là tiếp tuyến mặt cầu B/-PHẦN BÀI TẬP MINH HỌA I/-MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU CÓ LỜI HOẶC HƯỚNG DẪN: ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® Bài Cho biết OA 2 i  j  k , OB 3 i  j  k , BC 2 i  j  k 1) Chứng minh điểm ABC không thẳng hàng Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC 2) Tìm tọa độ đỉnh D hình bình hành ADCB 3) Tìm tọa độ giao điểm E đường thẳng AB với mặt phẳng (Oxy) 3) Tính diện tích S của tam giác ABC và tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC GIẢI: 1) Từ giả thiết suy ra: A(2 ; –1; –4) , B(3 ; ; –1) ® ® ® ® ® ® æ ö 10 OC = OB+ BC = i + j + k Þ C(5;2;2) Þ G ç ; ; - 1÷ ÷ ç ÷ ç è3 ø ® ® ® ® AB (1;2;3), BC (2;1;3)  AB k.BC, k   Vậy điểm A, B, C không thẳng hàng ® ® 2) Vì ADCB là hình bình hành nên AD BC ìï x D - = ïï ® ® AD = BC Û ïí y D +1 = Þ D(4;0; - 1) ïï ïïî z D + = Ta có: 3) Ta có: E = AB (Oxy)  E(xE ; yE ; 0) , A, B thẳng hàng Do đó : ìï 10 ïï x E = ïï ïìï x E - = k ï ® ® æ ö ï 10 ÷ ï AE = k.AB Û ïí y E +1 = 2k Þ ïí y E = Þ E ç ; ;0÷ ç ç3 ÷ ïï ïï è ø ïïî = 3k ïï ïï k = ïïî Bài Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P) biết: 1) (P) qua ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; –2) 2) (P) qua ba điểm M(1; 1; –1), N(4; 2; 3), P(2; –2; 1) x  y 1 z 3) (P) chứa điểm A(2; 1; 2) và đường thẳng d có phương trình: =  = 4) (P) song song và cách đều hai đường thẳng: ìï x = + t ¢  x 1  t ïï  ïí y = - 2t ¢ ¢ d :  y 2  2t ïï z 3t ïïî z = d:  HD: x y z ( P) :   1  x  y  z  0 2 1) ® ® 2) Ta có: MN (3;1;4), MP (1;  3;2) ®  ® ®  n  MN, MP  2(7;  1;  5)   mp(P) có VTPT là Phương trình mp(P): 7(x – 1) – (y – 1) – 5(z + 1) =  7x – y – 5z – 11 = ® 3) Đường thẳng d qua điểm B(3; –1; 0) và có VTCP a (2;  2;1) ® Ta có AB (1;  2;  2) ®  ® ® n  AB, a  (  6;  5;2)   Vì mp(P) = mp(A , d) nên mp(P) có VTPT là Vậy PTTQ (P) là: 6(x – 2) + 5(y – 1) – 2(z – 2) =  6x + 5y – 2z – 13 = Bài Viết phương trình tham số đường thẳng (d) biết: 1) d qua điểm A(2; 1; 2) và song song với đường thẳng (d) có phương trình: x  y 1 z = 2 =1 2) d qua điểm B(3; –1; 0) và vuông góc với mp(P): x + 5z – 2013 = 3) d qua điểm C(1; 4; –2) và vuông góc với hai đường thẳng: : x = – t ; y = + 2t ; z = 3t &  /: x = + t/ ; y = – 2t/ ; z = 4) (d) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng  : x 1  t; y 2  2t;z 3t và  ¢: x = + t ¢; y = - 2t ¢;z = HD: 1) d : x = + 2t ; y = – 2t ; z = + t 2) d : x = + t ; y = –1 ; z = 5t ® ® 3) VTCP  và  ¢ là u (  1;2;3) & v (1;  2;0) ® ® ®  a  u , v  3(2;1;0) /   Vì (d) vuông góc với  và  nên (d) có VTCP là Vậy PTTS đường thẳng d là: x = + 2t ; y = + t ; z = –2 Bài Viết phương trình mặt cầu (S) biết: 1) (S) có tâm I(1; –2; 3) và qua điểm M(3; 0; 2) 2) (S) có đường kính AB với A(1; 2; 3) và B(2; 2; –1) 3) (S) qua gốc tọa độ O và A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; –2) 4) (S) qua điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0;–2) và D(2; 4;–2) HD: 1) R IM    3 17 3  I  ;2;1 & R IA      2)  3) Phương trình mặt cầu (S) có dạng: (x – a)2 + (y – b)2 (z – c)2 = R2 Từ giả thiết ta có hệ phương trình: a  b2  c R a  b  c R a 1    b 2 (2  a)  b  c R 4  4a 0     2 2 a  (4  b)  c R 16  8b 0 c   4  4c 0 r 6 2   a  b  (2  c)  r  Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (x – 1)2 + (y – 2)2 (z + 1)2 = ìï x = 12 + 4t ïï  x   2t ï d ¢: ïí y = + 3t /  d :  y 3  4t ïï ïï z = + t / z  5t ïî  Bài Cho điểm I(3; 0;–1) và hai đường thẳng ; 1) Chứng minh hai đường thẳng d và d/ chéo 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm I và song song với d, d/ 3) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và song song với d/ 4) Viết phương trình mp(R) song song và cách đều hai đường thẳng (d), (d/) HD: ® ® 1) d qua A(2;–3; 0) và có VTCP a = (2;–4;–5) , d qua B(12; 9; 1) và có VTCP b = (4; 3; 1) ® é® ® ù é® ® ù ® êa , b ú= 11(1; - 2;2) & AB = (10;12;1) Þ êa , b ú.AB =11(10 - 24 + 2) ¹ ê ú ê ú û ë û Ta có : ë / Vậy d và d chéo  é® ® ù n = êa , b ú= 11(1; - 2; 2) ê ú ë û 2) mp(P) qua I(3; 0;–1) và có VTPT PTTQ mp(P) là: (x – 3) – 2y + 2(z + 1) =  x – 2y + 2z – = ® é® ® ù n = êa , b ú= 11(1; - 2;2) ê ú ë û 3) mp(Q) chứa (d) nên qua A(2;–3; 0) và có VTPT PTTQ mp(Q) là: (x – 2) – 2y + 2(z + 3) =  x – 2y + 2z + = Bài : Trong không gian Oxyz cho A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1) 1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Chứng minh ABCD là tứ diện 2) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 3) Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD HD: ® é® ® ù ® ® n = êAB, ACú= (3;2;1) ê ú ë û 1) AB = (- 1;1;1) ; AC = (0;- 1;2) ; Phương trình: (ABC): 3x + 2y + z – = 3xD + 2yD + zD – = (Sai) Þ D Ï (ABC) Vậy ABCD là tứ diện / 2 S 2) Mặt cầu   có phương trình dạng x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 1 a = ;b = ;c =- ;d =- 2 Thế tọa độ A, B, C, D giải hệ phương trình ta có: 2 Suy phương trình mc (S) : x + y + z + 3x + y - z - = ® ® ® é® ® ù BA = (1; - 1; - 1), BC = (1; - 2;1), BD = (1; - 1;0), êBC, BDú= (1;1;1) ê ú ë û 3) é® ® ù ® VABCD = êBC, BDú.BA = ê ú ë û VABCD = ® ® é ù 3V 3 SBCD = êBC, BDú= Þ VABCD = AH.SBCD Þ AH = ABCD = = ê ú 2ë SBCD 3 û 2 I(1; 2; - 2) và đường thẳng Bài 7: Trong không gian cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + = 0, điểm ìï x =- + 2t ïï d :í y = t ïï ïïî z = + t tÎ  1) Tìm tọa độ giao điểm d và (P) 2) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) 3) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua d và I 4) Viết phương trình đường thẳng d’ nằm (P), cắt d và vuông góc d HD:   2t  2t   t  0  t 0    1) Xét phương trình:  ìï x =- ïï í y=0 ïï A  1; 0;  z=4 Khi t = 0, ta có ïïî Vậy d cắt (P)  + + + 12 R = d(I,(P)) = = =4 + + 2) 2 Phương trình mc(S): (x - 1) + (y - 2) + (z + 2) = 16 ® A   1; 0;  ® 3) Đường thẳng d qua , có vtcp u = (2;1;1) , IA = (- 2; - 2;6) ® é® ® ù n = êu , IA ú= (8; - 14;6) ê ú ë û Mặt phẳng (Q) qua I(1;2; - 2), có VTPT nên có phương trình: 8(x - 1) - 14(y - 2) + 6(z + 2) = Û 4x - 7y + 3z +16 = ® é® ® ù u ¢= êu , n (P) ú= (- 3;3;3) ê ú ë û 4) d ¢ qua A, có VTCP ïìï x =- 1- 3t ï í y = 3t ïï z = + 3t nên có phương trình tham số là: ïïî ìï x = + 2t ïï  :í y = +t ïï ïïî z = + 4t (  ) : 3x 2y z + = Bài 8: Cho mặt phẳng và đường thẳng 1) CMR:  và () song song với 2) Tính khoảng cách đường thẳng  và ( ) 3) Viết phương trình tham số của đường thẳng  ¢là hình chiếu vuông góc của đường thẳng  lên mp () (NC) HD: ® ® ® ® u  = (2;1;4), n ( ) = (3; - 2;- 1), u  n (  ) = 1) M(1;7;3) Î  và M Ï () Þ  P () d ( ,()) = d ( M,()) = = 14 2) 3) Gọi () là mặt phẳng chứa  và vuông góc với () Þ  ¢= () Ç () ® é® ® ù n () = êu  , n (  ) ú= (7;14; - 7) = (1;2; - 1) ú 7ê () qua M có VTPT là ë û Nên () có phương trình: (x - 1) + 2(y - 7) - (z - 3) = Û x + 2y - z - 12 = ® é® ù u ¢= ên (  ) , n () ú= (4;2;8) ê ú ë û  ¢ có VTCP là: ® Xét hệ: ïìï 3x - 2y - z + = í ïïî x + 2y - z - 12 = æ 41 41 ö ¢ z = Þ x = , y = Þ Nç ; ;0÷ ÷ ç ÷Î  ç è ø 8 Cho ìï 41  ¢: í x = + 4m; y = + 2m; z = 8m ïîï 4 Vậy phương trình tham số ìï x = + t ¢ ïìï x =- 2t ïï ï ï ¢  : í y =3 ,  : ợ y = 1- t đ t, t đẽ R ïï ïï ïïî z = + t ïïî z = 2t ' Bài 9: Cho hai đường thẳng: 1) Chứng minh rằng hai đường thẳng  và ’ không cắt vuông góc với 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua  và vuông góc với ’ 3) Tính khoảng cách hai đường thẳng  và ’ ( nâng cao ) 4) Viết phương trình đường vuông góc chung d  và ’ ( nâng cao ) HD: ® ® ® ® 1) u = (- 2;0;1), u ¢= (1; - 1;2) Þ u u ¢= Þ  ^ ¢ nên    ïìï - 2t = + t ¢ ïï í = 1- t ¢ ïï ï + t = 2t ¢ Vì hệ phương trình: ïî vô nghiệm nên suy  và  ¢không cắt Từ đó suy (đpcm) ® ® n (P) = u ¢= (1; - 1;2) 2) Mặt phẳng(P) qua điểm M(0; 3; 1), có VTPT là Nên có mặt phẳng (P) có phương trình: x - (y - 3) + 2(z - 1) = Û x - y + 2z +1 = ® 3) M(0;3;1) Î , M ¢(2;1;0) Î ¢Þ MM ¢= (2 : - 2; - 1) é® ® ù ® êu , u ¢ú.MM ¢ ê ú é® ® ù - 10 - 10 û êu , u ¢ú= (1;52) Þ d ( , ¢) = ë = = ê ú é® ® ù + 25 + 30 ë û êu , u ¢ú ê ú ë û 4) Gọi I =  ¢Ç (P) (2 + t ¢) - (1- t ¢) + 2(2t ¢) +1 = Û t ¢=Xét phương trình: Gọi I¢ là hình chiếu vuông góc I trên  ® æ 5 ö I¢(- 2t;3;1 + t) Þ II¢= ç - 2t - ; ; + t ÷ ÷ ç ÷ ç è ø 3 Ta có ® ® Þ æ 2ö Iç ; ;- ÷ ÷ ç ÷ ç è3 3 ø ® æ 10 5 2ö + + t = Û t =- Þ I¢(4;3;0) Þ II¢= ç ; ; ÷ ÷ ç ÷ ç è 3 3 3ø ìï x = + t ïï í y = + 5t ® ® ïï z = 2t ¢ a = 3II = (1;5;2) d qua I¢, có VTCP nên có phương trình tham số: ïïî Bài 10: Trong không gian Oxyz cho A(3;–1;0) , B(0;–7; 3) , C(–2; 1;–1) , D(3; 2; 6) II¢ u = Û 4t + 1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) 2) Viết phương trình đường thẳng d qua D vuông góc với mặt phẳng (ABC) 3) Tìm tọa độ điểm D¢ đối xứng với điểm D qua mặt phẳng (ABC) 4) Tìm tọa độ điểm C¢ đối xứng điểm C qua đường thẳng AB HD: ® ® 1) AB = (- 3; - 6;3), AC = (- 5;2; - 1) ® é® ® ù n = êAB, ACú= (0; - 18; - 36) ê ú ë û mp(ABC) qua A, có VTPT nên có phương trình dạng: - 18(y +1) - 36z = Û y + 2z +1 = ® ® 2) Mặt phẳng (ABC) có VTPT là n = (0;1;2) , đó d qua D(3;2;6) nhận n = (0;1;2) làm ïìï x = ï í y = 2+t ïï z = + 2t VTCP nên có phương trình tham số: ïïî 3) Xét phương trình: (2 + t) + 2(6 + 2t) +1 = Û t =- vào phương trình tham số d ta ìï x = ïï í y =- Þ I(3; - 1;0) ïï z =0 được: ïïî Hình chiếu vuông góc D trên (ABC) là I(3; - 1;0) ìï x + x D¢ ïï x I = D ïï ìï x D¢ = 2x I - x D = ïï ï y + y ïí y = D ïíï y = 2y - y =- D¢ Þ I D ïï I ïï D¢ ïï ïïî z D¢ = 2z I - z D =- ïï z = z D + z D¢ ï I Þ D¢(3; - 4; - 6) I là trung điểm DD¢ nên ta có: ïî ® 1® AB = (1;2;- 1) 4) Đường thẳng AB có VTCP ìï x = + t ïï í y =- + 2t ïï z =- t Nên Phương trình tham số đường thẳng AB là: ïïî Gọi H là hình chiếu vuông góc C lên đường thẳng AB u =- ® Ta có: H(3 + t; - + 2t; - t), CH = (5 + t; - + 2t :1- t) ® ® u CH = Û + t - + 4t - + t = Û t = Þ H(3; - 1;0) xC  xC    xH   xC  2 xH  xC 8  yC  yC      yC  2 yH  yC   C  8;  3;1  yH     zC  2 z H  zC 1 zC  zC    zH  H là trung điểm CC’ nên ta có  H là trung điểm CC¢nên ta có: x C + x C¢ ïìï ïï x H = ïï ïï y + y C¢ Þ í yH = C ïï ïï ïï z = z C + z C¢ ïïî I ïìï x C¢ = 2x H - x C = ïï í yC¢ = 2y H - yC =- ïï ïîï z C¢ = 2z H - z C = Þ C¢(8;- 3;1) x - y z +1 = = M(1; 2;1) Bài 11: Trong không gian Oxyz, cho điểm và đường thẳng 1) Viết phương trình đường thẳng  qua M và song song với đường thẳng d 2) Viết phương trình mp(P) qua M và vuông góc với đường thẳng d 3) Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng d (NC) ïìï x = + 2t ï  : í y =- + 3t ïï d M,  = ( ) ïïî z = + t ĐS: 1) 2) () : 2x + 3y + z + = 3) Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(2;1;1) và hai đường thẳng: d: x - y + z +1 x - y - z +1 = = và d ¢: = = - 2 - - 1) Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d d: 2) Viết phương trình của đường thẳng g qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cắt đường thẳng d ¢ (NC) HD: 1) Phương trình mp ( ) : x - 3y + 2z - = ìï x = + 2t ïï í y = - 3t ïï z =- - 2t 2) PTTS d ¢: ïïî Thay vào phương trình mp ( ) ta được: t = 1, từ đó có giao điểm ( ) và d ¢ là: B(4; - 1; - 3) ® Đường thẳng g chính là đường thẳng AB, qua A(2; 1; 1), có VTCP là AB nên có PTTS: ìï x = + 2t ïï í y = 1- 2t ïï ïïî z = 1- 4t , t Î  Bài 13 Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 10x + 6y – 8z + = 1) Xác định tọa độ tâm và tính bán kính, diện tích mặt cầu (S) 2) Tìm tọa độ các giao điểm mặt cầu (S) với đường thẳng (d) có phương trình : ìï í x = + t; y =- + 2t; z = - t (t Î R) ïïî 2 3) Chứng tỏ mặt phẳng (P): 4x – 5y + z + = tiếp xúc với mặt cầu (S) Tìm tọa độ tiếp điểm 4) Chứng tỏ mặt phẳng (Q): 4x – 5y + z – 60 = cắt mặt cầu (S) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến HD: 1) (S): (x – 5)2 + (y + 3)2 + (z – 4)2 = 42, suy tâm I(5; –3; 4) và bán kính r = 42 Diện tích mặt cầu S = 4..r2 = 168 (đvdt) 2 æ1 ö æ ö ÷ ÷ ç ç (3 + t - 5) +ç- + 2t + 3÷ - t - 4÷ ç ÷ +è ÷ = 42 ç ç2 è ø ø 2) Xét phương trình: - ± 805 t= 12  12t2 + 14t – 63 =  Thay t vào pt tham số đường thẳng d ta tìm tọa độ hai giao điểm d và (S) 20 +15 + + = 42 16 + 25 + 3) Khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp(P) là: d(I,(P) = =r Vậy mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) M ìï x = + 4t ïï í y =- - 5t ïï z = 4+t Phương trình tham số đường thẳng IM là: ïïî ïìï x = + 4t ïï ï y =- - 5t í ïï z = + t ïï M = IM  (P), nên tọa độ M nghiệm đúng hệ phương trình: ïî 4x - 5y + z + = (*) Giải HPT (*) ta có tọa độ M Bài 14 Cho hai điểm A(1; 2; 1) , B(2; 0; –1) và đường thẳng d có phương trình: x - y +1 z = - =1 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với đường thẳng AB 2) Tìm tọa độ điểm C đối xứng với A qua mặt phẳng (P) 3) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với B qua đường thẳng (d) 4) Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với hai đường thẳng (d) và AB (NC) HD: ® 1) Ta có: AB = (1; - 2; - 2) ® VTCP d là a = (2; - 2;1) , M(3, –1 , 0)  (d) ® é® ® ù n = êAB, a ú= (- 6; - 5;2) ê ú ë û mp(P) có VTPT là: , M(3, –1 , 0)  (P) Suy pt tổng quát mp(P) là: 6(x – 3) + 5(y + 1) – 2z =  6x + 5y – 2z – 13 = ïìï x = + 6t ï í y = + 5t ïï ® z = 1- 2t AC 2) Đường thẳng AC qua A và nhận vectơ làm VTCP nên có PTTS là: ïïî Gọi H = AC  (P) Thế x, y, z từ phương trình đường thẳng AC vào phương trình m(P) ta có: æ 19 60 93 ö 14 t =Þ Hç ; ; ÷ ÷ ç ÷ ç è 65 65 65 ø 65 (1 + 6t) +5 (2 + 5t) – 2(1 – 2t) =  æ 103 10 121ö ÷ Þ Cç ;; ÷ ç ÷ ç è 65 65 65 ø H là trung điểm AC 3) Gọi K là hình chiếu vuông góc B(2; 0;–1) trên d thì K là trung điểm BD và KB  d ® Ta có K( + 2t ; –1 –2t ; t)  BK = (2t +1; - 2t - 1; t +1) ® ® BK a = 2(2t +1) - 2(- 2t - 1) + (t +1) = æ ö æ 17 ÷ 16 ö ç t =- Þ K ç ; ;- ÷ Þ D ; ;- ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø 9 9 9  II/-MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP THÊM BÀI 1: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng () biết: A 1; - 2;5) B( 2;1; - 7) C ( 0; 2; - 2) 1) () qua điểm ( , , ïìï x = + t ï  : í y =- 3t ïï A ( 1; - 2;5) B( 2;1; - 7) ïïî z =- + 2t 2) () qua điểm , và () song song với đường thẳng A 1; - 2;5) B( 2;1; - 7) 3) () qua điểm ( , và () vuông góc mặt phẳng () : 2x + 3y - 6z +1 = ìï x = + t ïï  : í y =- 3t ïï A ( 1; - 2;5) ïïî z =- + 2t 4) () qua điểm và () vuông góc với đường thẳng A 1; - 2;5) 5) () qua điểm ( và () song song với mặt phẳng () : 2x + 3y - 6z +1 = ìï x = + t ïï  : í y =- 3t ïï A ( 1; - 2;5) ïïî z =- + 2t và 6) () qua điểm và () song song với hai đường thẳng x - y +3 z d: = = - ìï x = + t ïï  : í y =- 3t x - y +3 z ïï d: = = z =1 + 2t ï - ïî 7) () chứa hai đường thẳng và ïìï x = + t ï  : í y =- 3t x- y z +1 ïï d : = = ïïî z =- + 2t và - 8) () chứa hai đường thẳng ìï x = + t ïï  : í y =- 3t ïï ïïî z =- + 2t và () song song với đường thẳng 9) () chứa đường thẳng x - y +3 z d: = = - 10) () qua M(1;-2;3) và chứa trục Oy  : x + 3y - 2z +1 = 11) () qua M(1;-2;3) ; N(0;1;-2) và vuông góc với mặt phẳng ( ) 12) () qua B(-3;1;-2) song song với Ox và vuông góc với mp () : x - y + 2z + = ìï x = + t ' ìï x =- 2t ï ïï  :í y =3 , ':ïí y = - t ¢ t, t ' Î R ïï ïï ïïî z = + t ïïî z = 2t ' 13) () qua ∆ và vuông góc với ∆’ với : BÀI 2: Viết phương trình mặt cầu (S) các trường hợp: 1) Mặt cầu (S) qua điểm A(0; – 1;0), B(1;0;1), C(– 2;1;2), D(1;4;– 3) A 1; - 2;5) B( 2;1; - 7) 2) Mặt cầu (S) có đường kính AB biết ( , A 1; - 2;5) B( 2;1; - 7) 3) Mặt cầu (S) qua điểm ( , và có tâm nằm trên đường thẳng ïìï x = + t ï  : í y =- 3t ïï ïïî z =- + 2t I 0; 2; - 2)  : 2x + 3y - 6z +1 = 4) Mặt cầu (S) có tâm ( và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) x- y- z = = 5) Mặt cầu tâm B(1 ; ; 3) , tiếp xúc với d: 6) Mặt cầu qua điểm A(0; – 1;0), B(1;0;1), C(– 2;1;2) và có tâm thuộc mp Oxy x +2 y z +3 = = - 2 và mặt BÀI 3:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) : phẳng (P): 2x + y - z - = 1) Tìm tọa độ điểm A là giao điểm d và (P) 2) Viết phương trình đường thẳng (  ) qua A , nằm (P) và vuông góc với (d) HD: ìï x + y z + ïìï x = ïï = = ï - 2 Þ íy= Þ A í ïï ïï 2x + y - z - = ï î ïîï z = 1) Toạ độ điểm A là nghiệm hệ ® ® 2) Ta có VTPT mặt phẳng (P): n = (2;1; - 1) , VTCP đường thẳng d: u = (1; - 2;2) ; ® é® ® ù u  = êu , n ú= (0;5; - 5) ê ú ë û là VTCP  đường thẳng qua A , từ đó có PTTS x + y +1 z - = = 1 và mặt BÀI 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : phẳng (P): x + 2y - z + = 1) Tìm toạ độ giao điểm A d và (P) 2) Viết phương trình đường thẳng (  ) là hình chiếu vuông góc đường thẳng d lên mp(P) HD: 1) Toạ độ giao điểm A d và (P) là nghiệm hệ ïìï x + y +1 z - ìïï x =- ïí = = Þ íï y = Þ A(- 1;0;4) ïï ïï ïî x + 2y - z + = ïïî z = ìï x =- + t ïï í y =- + 2t ïï z = 3- t B( 3; 1;3) Î d ¢ 2) Phương trình đường thẳng d qua và vuông góc với (P): ïïî ìï x =- + t ïï ïï y =- + 2t í ïï z = - t ïï x + 2y - z + = ¢ B Toạ độ hình chiếu B lên mp(P) thỏa mãn hệ phương trình: ïî Þ t = Þ B¢ ® Phương trình đường thẳng  qua A, B¢ có VTCP AB¢