Đang tải... (xem toàn văn)
Hướng dẫn giải:.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với đáy và SA = a. M là trung điểm của SB. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng:.. a) SC và BD..[r]
(1)Hướng tới kì thi THPTQG 2019
GĨC - KHOẢNG CÁCH
§1. Các dạng tốn liên quan đến tính Góc
1 Góc hai đường thẳng
Góc hai đường thẳnga b khơng gian góc hai đường thẳnga0 vàb0 qua điểm song song với a b
a
a0
b b0 O
L Để xác định góc hai đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại
L Nếu #»u #»v vec-tơ phương a b, đồng thời (#»u ,#»v) = α góc hai đường thẳnga b α 0◦ ≤α ≤90◦ 180◦−α 90◦ < α≤180◦
L Nếua b hai đường thẳng song song trùng góc chúng bằng0◦
!
Xác định góc hai đường thẳng khơng gian Ta thường có hai phương pháp để giải cho dạng tốn
¹ Phương pháp 1:Sử dụng định nghĩa góc hai đường thẳng, kết hợp sử dụng hệ thức lượng tam giác (định lýcos, công thức trung tuyến)
¹ Phương pháp 2: Sử dụng tích vơ hương hai vec-tơ
(2)Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng (BCD) Biết tam giác BCD vuông C AB= a
√
6 ,
AC =a√2, CD =a Gọi E trung điểm củaAC (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng AB DE
bằng
A 45◦ B 60◦ C 30◦ D 90◦ B D
E A
C
Hướng dẫn giải:
Gọi I trung điểm BC, suy EI kAB Khi (AB, DE) = (EI, ED) = IED[
Ta có
DC ⊥BC(giả thiết)
DC ⊥AB(AB ⊥(BCD))
⇒DC ⊥(ABC),
suy DC vng góc với EC Do
DE2 =CD2+EC2 =CD2+ AC
2
4 =
3a2
2 ⇒DE =
a√6
2
Ta có IE = AB =
a√6
4 BC
2 =AC2−AB2 = a
2 Tam giác ICD vuông tạiC nên
DI2 =CD2+IC2 =CD2+ BC
2
4 =
9a2
B D
E A
C I
Áp dụng định lý cô-sin cho tam giác IDE, ta có
cosIED[ = IE
2+DE2−CD2 2IE ·DE =
3a2
8 + 3a2
2 − 9a2
8 2·a
√
6 ·
a√6
2
=
2 ⇒IED[ = 60 ◦
Vậy góc hai đường thẳng AB DE 60◦
! Có thể chứng minhtính góc IED[ đơn giản mà không cần sử dụng định lý cô-sin.EI vuông góc với mặt phẳng(BCD), suy tam giácEID vng tạiI để Ví dụ Cho tứ diệnABCD cóAB vng góc với mặt phẳng(BCD) Biết tam giácBCD
vuông C AB = a
√
6
2 ,AC =a
√
(3)B D E
C A
Góc hai đường thẳng AB CE
A 60◦ B 45◦ C 30◦ D 90◦
Hướng dẫn giải:
Gọi F trung điểm BD, suy EF k AB nên
(AB, CE) = (EF, CE)
Do AB ⊥ (BCD) nên EF ⊥ (BCD), suy 4EF C
vuông F Mặt khác
CD ⊥BC
CD ⊥AB
⇒CD⊥AC
Ta có EF = 2AB =
a√6
4 ,AD =
√
AC2+CD2 =a√3.
4ACD vng C có E trung điểm AD nên
CE =
2AD=
a√3
2 cosCEF[ = EF
EC =
√
2
2 ⇒CEF[ = 45 ◦.
Vậy (AB, CE) = (EF, CE) = CEF[ = 45◦
B D
E
C
F A
Ví dụ
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác cân AB = AC = a, BAC[ = 120◦, cạnh bên AA0 = a√2 Tính góc hai đường thẳng AB0 BC (tham khảo hình vẽ bên)
A 90◦ B 30◦ C 45◦ D 60◦
B
C B0
C0
A A0
(4)Dựng AP cho song song với CB hình vẽ Suy (BC, AB0) = (AP, AB0)
Ta có AP =CB =a√3
Ta lại có AB0 =√B0B2+AB2 =a√3;
B0P =√B0B2 +P B2 =a√3.
Vậy 4AP B0 nên (BC, AB0) = (AP, AB0) = 60◦
B0
C C0
A A0
B P
Ví dụ
Cho tứ diện ABCD có M trung điểm cạnh CD
(tham khảo hình vẽ), ϕ góc hai đường thẳng AM
BC Giá trịcosϕ A
√
3
6 B
√
3 C
√
2
3 D
√
2
M A
B
C
D
Hướng dẫn giải: Giả sử cạnh tứ diện bằnga Ta có:
# »
CB.AM# » = CB# »·(CM# »−CA# ») = CB# »·CM# »−CB# »·CA# »
= CB·CM·cosACM\ −CB·CA·cosACB[ =−a
2
4
cosϕ= cos
Ä# »
BC,AM# Ȋ =
# »
BC·AM# »
BC·AM
=
√
3
Ví dụ
Cho tứ diệnABCDcóABvng góc với mặt phẳng(BCD) Biết tam giácBCDvuông tạiC vàAB= a
√
6
2 ,AC =a
√
2,
CD =a Gọi E trung điểm AD (tham khảo hình vẽ bên)
Góc hai đường thẳng AB CE
A 45◦ B 60◦
C 30◦ D 90◦
A
E
B D
C
(5)GọiH trung điểm củaBD Khi đóEH kABvàEH ⊥(BCD) Góc AB CE góc giữaEH EC HEC\ Ta có EH =
2AB =
a√6
4 , BC =
√
AC2−AB2 = a
√
2 ,
CH2 = 2(CB
2+CD2)−BD2
4 =
3a2
8 ⇒CH =
a√6
4 Vì tanHEC\ = CH
EH =
a√6
4 ÷
a√6
4 = nên HEC\ = 45 ◦. Vậy góc AB CE 45◦
A
E
B D
C H
Ví dụ Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 Góc giữaA0C0 D0C
A 120◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦
Hướng dẫn giải: Ta có A0C0 kAC nên
(A0C0, D0C) = (D0C, AC)
Dễ thấy tam giác ACD0 tam giác nên D\0CA= 60◦, đó
(A0C0, D0C) = (D0C, AC) = 60◦
A B C
D
A0 D0
C0
B0
Ví dụ Cho hình chópS.ABC có SA=SB =SC =AB=AC = 1,BC =√2 Tính góc hai đường thẳng AB,SC
A 45◦ B 120◦ C 30◦ D 60◦
Hướng dẫn giải:
Ta có AB2+AC2 = =BC2 ⇒∆ABC vuông A
cosÄAB,# » SC# »ä =
# »
AB·SC# »
# »
AB
·
# »
SC
=
# »
ABÄAC# »−AS# »ä
1·1
= AB# »AC# »−AB# »AS# »
= 0−1·1·cos 60◦ = −1
2
Suy ÄAB,# » SC# »ä= 120◦
Do góc hai đường thẳng AB SC
bằng 180◦−120◦ = 60◦
C
B S
A
√
(6)Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC,C0D0 Xác định góc hai đường thẳngM N AP
A 60◦ B 90◦ C 30◦ D 45◦
Hướng dẫn giải:
Do AC song song với M N nên góc hai đường thẳngM N
AP góc hai đường thẳng AC AP Tính P C = a
√
5
2 ; AP = 3a
2 ; AC =a
√
2 Áp dụng định lý cosin cho 4ACP ta có cosCAP[ = AP
2+AC2−P C2 2AP ·AC =
9a2 + 2a
2−5a
4 2· 3a
2 ·a
√
2 =
√
2
⇒CAP[ = 45◦
Vậy góc hai đường thẳng M N AP 45◦
P A0
B B0
M
C C0
N A
D D0
Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có tất cạnh a Gọi I, J trung điểm SA,BC Tính số đo góc hợp IJ SB
A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 90◦
Hướng dẫn giải:
A C
B S
I
J M
Gọi M trung điểm AB Khi IM đường trung bình tam giác SAB nên IM k SB
và IM = SB =
a
2 Tương tựM J =
a
2
Mặt khác, dễ dàng chứng minh tam giác IBJ vuông J nên
IJ =√IB2−IB2 =
à Ç
a√3å2
−a2 = a
√
2
(7)Tam giác IM J cóM I =M J = a 2, IJ =
a√2
2 nên tam giác vuông cân tạiM Suy
(IJ, SB) = (IJ, IM) =M IJ[ = 45◦ (do IM kSB)
Ví dụ 10 Tứ diện đềuABCD cạnh a, M trung điểm cạnh CD Cơ-sin góc
AM BD
A
√
3
6 B
√
2
3 C
√
3
3 D
√
2 Hướng dẫn giải:
Gọi N trung điểm BC DoM N kBDnên góc AM
BD góc AM vàM N Suy góc cần tìm gócAM N\ Ta có
cosAM N\ = M A
2+M N2−AN2 2M A·M N
=
Ç
a√3
2
å2
+ a
2
−
Ç
a√3
2
å2
2· a √
3 ·
a
2 =
√
3
D
M
B C
N A
Ví dụ 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, SA=a Gọi M trung điểm củaSB Góc AM BD
A 45◦ B 30◦ C 90◦ D 60◦
Hướng dẫn giải: Cách Ta có
2AM# »·BD# » =ÄAS# »+AB# »äBD# »=AB# »·BD# »
= AB·BD·cos 135◦ =−a·a √
2√2
2 =−a
2. Từ
cosÄAM# »;BD# »ä= # »
AM ·BD# »
AM ·BD =
−a
2
2
a√2
2 ·a
√
2
= −1
2 ⇒
Ä# »
AM;BD# »ä = 120◦
Vậy góc AM BD 60◦
A B
S
D M
(8)B(1; 0; 0), D(0; 1; 0),S(0; 0; 1), M
Å
1 2; 0;
1
ã
Từ đóAM# »=
Å
1 2; 0;
1
ã
,BD# » = (−1; 1; 0) Và
cos (AM;BD) = cos
Ä# »
AM;BD# Ȋ =
# »
AM ·BD# »
# »
AM
·
# »
BD
=
2(−1) + 0·1 + ·0
…
1 4+ +
1 ·
√
1 + + =
2
⇒ (AM;BD) = 60◦
Ví dụ 12 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh BC AD
Biết AB =CD = 2a, M N =a√3 Tính góc hai đường thẳng AB CD
A 45◦ B 90◦ C 60◦ D 30◦
Hướng dẫn giải:
Gọi P trung điểm AC ⇒ M P k AB, M P =
2AB = a
N P kCD, N P =
2CD =a
(AB, CD) = (P M, P N)
Ta có cosM P N\ = P M
2+P N2−M N2 2P M·P N =
a2+a2−3a2 2a2 =−
1 Từ suy M P N\ = 120◦ ⇒(AB, CD) = 60◦
A
B
C
D P
M
N
Ví dụ 13
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 (tham khảo hình vẽ bên) Góc hai đường thẳng AC A0D
A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 90◦
A0
B B0
C C0
A D D0
Hướng dẫn giải:
Ta có: AC kA0C0 ⇒(AC, A0D) = (A0C0, A0D)
Mặt khác: A0C0 =A0D=DC0 =a√2nên suy 4A0DC0 Do đó(A0C0, A0D) = 60◦
A0
B B0
C C0
A D
D0 60
(9)Ví dụ 14 Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCD hình thoi tâmO, cạnh a, gócBAD\= 60◦, có SO vng góc với mặt đáy SO = a Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)
A a
√
57
19 B
a√57
18 C
a√45
7 D
a√52
16 Hướng dẫn giải:
Gọi H hình chiếu O BC, K hình chiếu O SH Khi ta có OK ⊥ (SBC) hay
d(O,(SBC)) =OK Ta có
OK2 =
1
SO2 +
1
OH2 =
1
SO2 +
1
OB2 +
1
OC2
Do BAD\ = 60◦ nên \OBC = 60◦, suy OB = a 2,
OC = a
√
3
2 Thay vào đẳng thức ta OK =
a√57
19
S
K
B A
O
C D
H
Ví dụ 15 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đáy ABCD hình vng, E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC Góc hai đường thẳng M N BD
A 90◦ B 60◦ C 45◦ D 75◦
Hướng dẫn giải:
DoDđối xứng vớiEqua trung điểm củaSAnênSDAE
là hình bình hành, suy EAkSD Ta có # »
M N =
# »
AB+EC# »
2 =
# »
AB+ED# »+DC# »
2 =
# »
AB+AD# »+SD# »+DC# »
2 =
# »
AC+SC# »
2
S
E
I
B A
C D
M
N O
Mà BD⊥AC BD⊥SC (do BD⊥(SAC)) nên # »
BD·M N# »=BD# »·
# »
AC+SC# »
2 =
(10)Ví dụ 16
Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC
(tham khảo hình vẽ bên) Giá trị cơ-sin góc hai đường thẳng AB DM
A
√
3
6 B
√
3
3 C
√
3
2 D
1
D B
M C
A
Hướng dẫn giải: Gọi N trung điểm AC Gọi I trung điểm M N Ta có
M N kAB
DI ⊥M N
⇒(AB, DM) = (M N, DM)
Do vậy, cos(AB, DM) = cos(M N, DM) = cosIM D\
Ta có
DM =
√
3
M I = a
4
⇒cosIM D\=
√
3
6 B D
M
C A
N I
Ví dụ 17
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có AB = a
AA0 =√2a Góc hai đường thẳng AB0 BC0 A 30◦ B 90◦ C 45◦ D 60◦
B0 B
C
C0 A0
A
Hướng dẫn giải:
GọiI, Hlần lượt trung điểm củaAB0vàA0C0 Khi đóIHlà đường trung bình của4A0BC0 nênIH kBC0 ⇒(AB0, BC0) = (AB0, IH) Ta cóAB0 =a√3,B0H = a
√
3
2 , AH = 3a
2 nênB
0H2+HA2 =AB02 , hay 4HAB0 vuông tạiH
IH = AB
0
2 =
a√3
2 ⇒∆B
0IH đều, suy ra (AB0, BC0) = (AB0, IH) = B\0IH = 60◦.
B0 H B
C
C0 A0
A
(11)Ví dụ 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A S, SA
vng góc với mặt phẳng đáy Tính cơ-sin góc đường thẳng SD BC biết AD =
DC =a,AB= 2a, SA=
√
3a
3 A √1
42 B
2
√
42 C
3
√
42 D
4
√
42 Hướng dẫn giải:
S
D C
A M B
• Gọi M trung điểm AB, ta có DM kBC Do (BC, SD) = (DM, SD)
• Ta có SD2 =SA2+AD2 = 4a
3 +a = 7a
2
3 ⇒SD =
a√7
√
3
SM2 =SA2 +AM2 = 4a
2
3 +a
2 = 7a
3 ⇒SM =
a√7
√
3
DM2 =AM2+AD2 =a2+a2 = 2a2 ⇒DM =a√2.
• Ta có cosSDM\ = DS
2+DM2−SM2 2·DS·DM =
7a2 + 2a
2− 7a
3 2·
√
7a
3 ·a
√
2
= √3
14 =
√
42
Ví dụ 19 Cho hình chópS.ABCD có đáy hình vng cạnh a,SA=a vng góc với đáy Gọi M trung điểm củaSB Góc hai đường thẳng AM BD
A 30◦ B 60◦ C 45◦ D 90◦
Hướng dẫn giải:
Lấy N trung điểm SD, suy M N k BD, dẫn tới
(AM, BD) = (AM, M N) = AM N\
Vì SA⊥AB⇒AM = SB =
a√2
2 Tương tựAN =
a√2
2 Lại có M N đường trung bình 4SBD nên ta có
M N = BD
2 =
a√2
2 Suy 4AM N tam giác đều, nên \
AM N = 60◦
S
A M
(12)Ví dụ 20 Cho tứ diệnSABC có SA, SB, SC đơi vng góc SA=SB =SC =a Gọi M trung điểm BC Tính góc hai vec-tơ SM# » AB# »
Hướng dẫn giải: L Cách 1:
Gọiαlà góc hai vec-tơSM# »vàAB# », ta cócosα= # »
SM ·AB# »
SM ·AB
Có BC =AB=√SA2+SB2 =a√2, SM = BC =
a√2
2 Mặt khác ta có SM# »·AB# » =
2( # »
SB +SC# »)·(SB# »−SA# ») =
2( # »
SB2−SB# »·SA# »+SC# »·SB# »−SC# »·SA# ») = a
2 Vậy cosα = a
2
2·a√2·a √
2
=
2 ⇒α= 60 ◦.
L Cách 2:
Gọi N trung điểm AC, ta dễ dàng chứng minh
4SM N
Có (SM ,# » AB# ») = (SM ,# » N M# ») = (M S,# » M N# ») = N M S\ = 60◦
B C
M S
A
N
Ví dụ 21 (Thi thử, THPT chuyên KHTN Hà Nội, 2019) Cho tứ diện ABCD có
AB = CD = a Gọi M, N trung điểm AD BC Biết M N = √3a, góc hai đường thẳng AB CD
A 45◦ B 90◦ C 60◦ D 30◦
Hướng dẫn giải:
Gọi P trung điểm củaAC Khi đó, ta có
P M kCD, P N kAB Suy góc AB CD góc P M vàP N
Ta có P M = CD =
a
2, P N =
AB
2 =
a
2 Xét tam giác P M N có
cosM P N\ = P M
2+P N2−M N2 2·P M·P N
=
a2 +
a2 −
3a2 2· a
2 ·
a
2
=−1
2 Suy M P N\ = 120◦
A
B
C
D M
N P
(13)Ví dụ 22 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a√2 BC = 2a Tính góc hai đường thẳng AC SB
Hướng dẫn giải: L Cách 1:
Ta cóSAB SAC tam giác đều,ABC vàSBC tam giác vuông cân cạnh huyềnBC
Gọi M, N, P trung điểm SA, AB, BC, ta
cóM N kSB, N P kAC nên (AC, SB) = (N P, M N)
M N = SB
2 =
a√2
2 , N P =
AC
2 =
a√2
2
AP =SP = BC
2 =a, SA=a
√
2
Nên4SAP vuông cân P ⇒M P = SA =
a√2
2
Vậy 4M N P ⇒ (AC, SB) = (N P, N M) = M N P\ =
60◦ L Cách 2:
# »
AC·SB# »= (SC# »−SA# »)·SB# »=SC# »·SB# »−SA# »·SB# »
= 0−SA·SB·cosASB[ =−a2
cos(AC, SB) =
AC# »·SB# »
AC·SB =
a2
a√2·a√2 =
1
⇒(AC, SB) = 60◦
B
C P
S
A
M
N
1 Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳngd mặt phẳng (α)
A
O H
d
d0 ϕ
α
L Trường hợp đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α) ta nói góc đường thẳng
d mặt phẳng(α) 90◦
(14)L Xác định giao điểm O d (P)
L Lấy điểm A d (A khác O) Xác định hình chiếu vng góc (vng góc) H A
lên (P) Lúc (d,(P)) = (d, d0) = \AOH
! Nếuϕ góc đường thẳngd mặt phẳng (α) ta ln có 0◦ ≤ϕ≤90◦
Ví dụ 23 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng tạiB, cạnh bênSA vng góc với mặt phẳng đáy, AB = 2a,BAC[ = 60◦ SA= a√2 Góc đường thẳng SB mặt phẳng (SAC)bằng
A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 90◦
Hướng dẫn giải:
Gọi H hình chiếu vng góc B lên AC ⇒BH⊥(SAC) Xét tam giác ABH vng H, ta có
sin\BAH = BH
AB ⇒BH =AB·sin 60
◦ =a√3
SB =√SA2+AB2 =a√6.
Xét tam giác SBH vng tạiH, ta có sin\BSH = BH
SB =
1
√
2 ⇒\BSH = 45 ◦
Vậy [SB,\(SAC)] =\BSH = 45◦
A
B
C S
H
Ví dụ 24 Cho hình chópS.ABC có đáyABC tam giác cạnha,SA⊥(ABC), SA=
a√2
2 Tính góc α SC mặt phẳng (SAB)
A α= 45◦ B α= 30◦ C α= 90◦ D α = 60◦ Hướng dẫn giải:
Gọi H trung điểm AB ⇒ CH ⊥ AB mặt khác SA ⊥
CH ⇒CH ⊥(SAB)⇒(SC,(SAB)) =HSC[
SC =√SA2+AC2 =a
…
3
2; CH =
a√3
2
⇒sinHSC[ = HC
SC =
√
2
2 ⇒α= 45 ◦.
A C
B H S
(15)Cho hình trụ đềuABCD.A0B0C0D0có tất cạnh (tham khảo hình vẽ) Gọiϕ góc hợp đường thẳngAC0
với mặt phẳng (BCC0B0) Tínhsinϕ A sinϕ=
√
10
4 B sinϕ=
√
6 C sinϕ=
√
3
4 D sinϕ=
√
13
B
B0
A0
C0 C A
1
1
1
Hướng dẫn giải:
Gọi H trung điểm củaBC ta có ϕ=AC\0H. Ta có AC0 =√2, AH = a
√
3
2 nên sinϕ=
AH
AC0 =
√
6
B
B0 A
A0
C0 C H
Ví dụ 26 Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác vuông cân B
Biết AB=a, BC0 =a√2 Tính góc hợp đường thẳng BC0 mặt phẳng(ACC0A0)
A 90◦ B 45◦ C 60◦ D 30◦
Hướng dẫn giải:
• Gọi H trung điểm AC Do tam giác ABC vuông cân
B nên BH ⊥ AC Mặt khác ABC.A0B0C0 lăng trụ đứng nên
CC0 ⊥BH Do BH ⊥(ACC0A0) Suy góc BC0 với mặt phẳng (ACC0A0) góc BC\0H.
• Ta có BC =AB=a nên AC =a√2 Do đóHB =
2AC =
a√2
2
• sinBC\0H = HB
BC0 =
1
2 nên BC\
0H = 30◦.
A H C
B0
C0 B
A0
(16)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA=a Gọi H, K hình chiếu vng góc
A SB, SD (hình vẽ bên) Gọi α góc tạo đường
thẳng SD mặt phẳng (AHK), tínhtanα A tanα=√3 B tanα=√2 C tanα= √1
3 D tanα=
√
3
A B
C D
S
K
H
Hướng dẫn giải:
Gọi L giao điểm SC (AHK)
Ta có AK ⊥(SCD) AH ⊥(SBC)nên SC ⊥(AKLH) Do
(SD,(AHK)) = (SK, KL) =SKL[ =α
Xét 4SAC ta có
SA2 =SL·SC ⇔SL= SA
2
SC =
a2
a√3 =
a
√
3
B C
D
S
K
H L
O A
Mặt khác 4SLK ∼ 4SDC nên
LK
DC =
SK
SC ⇔LK =
SK·DC
SC =
a
√
2·a
a√3 =
a
√
6
Xét 4SLK ta có
tanα= SL
KL =
a
√
3
a
√
6
=√2
Vậy tanα =√2
1 Góc hai mặt phẳng L Định nghĩa:
Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Hai mặt phẳng song song trùng góc chúng bằng0◦
α m
β
n
L Diện tích hình chiếu đa giác Cho đa giácH nằm mặt phẳng(α)có diện tích
(17)được tính theo cơng thức sau:
S0 =S·cosϕ
với ϕlà góc (α)và (β)
L Cách xác định góc hai mặt phẳng cắt
Bước Tìm giao tuyếnc (α) (β)
Bước Tìm hai đường thẳng a, b thuộc hai mặt phẳng vng góc với ctại điểm
Bước Góc (α) (β)là góc a b
I c a
b α
β
Muốn tìm góc hai mặt phẳng ta tìm góc hai nửa đường thẳng nằm hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến chúng
Một số trường hợp thường gặp: ¹ Trường hợp 1:∆ABC = ∆DBC
B
C I A
D
Gọi I chân đường cao ∆ABC
NốiDI Vì∆ABC = ∆DBC nên DI ⊥BC
⇒((ABC\),(DBC)) = AID[
¹ Trường hợp 2:Xét góc hai mặt phẳng(M AB) và(N AB) với 4M AB 4N AB cân có cạnh đáy AB
B M
(18)Gọi I trung điểm AB Khi N I ⊥AB M I ⊥AB
⇒((M AB\),(N AB)) = M IN\
¹ Trường hợp 3:Hai mặt phẳng cắt (α)∩(β) = ∆
I
B
A
Tìm giao tuyến ∆của hai mặt phẳng
DựngAB có hai đầu mút nằm hai mặt phẳng vng góc với mặt (giả sử (β)) Chiếu vng góc A hoặcB lên ∆là điểm I
⇒AIB[ góc hai mặt phẳng
¹ Trường hợp 4:Nếu a⊥(α);b⊥(β) ((α\),(β)) = ([a, b)
¹ Trường hợp 5: Trường hợp khó vẽ góc hai mặt phẳng dùng cơng thức phép chiếu diện tích đa giác
Ví dụ 28
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = a,
BC =a√2,AA0 =a√3.Gọiαlà góc hai mặt phẳng (ACD0)và (ABCD) (tham khảo hình vẽ đây) Giá trị tanα
A
√
6
3 B
√
2
3 C D
3√2
A0 D0
B C
D C0 B0
A
(19)Kẻ DO vuông góc với AC
Mà ta có AC ⊥DD0 nên AC ⊥D0O
Do đó, [(ACD0),(ABCD)] = (D0O, DO) = D\0OD =α. Xét tam giác ACD vuông tạiD, đường cao DO, ta có
1
DO2 =
1
AD2 +
1
CD2 =
1 2a2 +
1
a2 =
3 2a2,
suy DO = a
√
6
Tam giác D0DO vng tạiD, ta có
tanα = DD
DO =
a√3
a√6
3 =
√
2
A0 D0
B C
D C0 B0
A
O
Ví dụ 29 Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy, SA = 2BC BAC[ = 120◦ Hình chiếu A đoạn SB, SC M, N Tính góc hai mặt phẳng (ABC)và (AM N)
A 45◦ B 15◦ C 30◦ D 60◦
Hướng dẫn giải:
Đặt BC =a Dựng đường kính AD đường trịn ngoại tiếp đáy
Ta có
CD ⊥AC
CD ⊥SA
⇒CD ⊥(SAC)⇒CD ⊥AN Mà AN ⊥SC ⇒AN ⊥(SCD)⇒AN ⊥SD
Tương tự ta chứng minhSD ⊥AM Suy raSD⊥(AM N) lại có SA ⊥(ABC) nên ((AHK),(ABC)) = (SD, SA) =
[
ASD
Ta có AD = BC sinA =
2a√3 tanASD[ = AD
SA =
2a√3 2a =
√
3
3 ⇒ASD[ = 30 ◦
S
M
C
A B
N
(20)Ví dụ 30 Cho hình chóp S.ABCD
có đáy hình vng cạnh a, cạnh bên
SA = a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi
M, N trung điểmSB SD (tham khảo hình vẽ), α góc hai mặt phẳng (AM N) (SBD) Giá trịsinα
A
√
2
3 B
2√2
S
A B
C M N
D
C
√
7
3 D
1 Hướng dẫn giải:
Gọi O trung điểm củaBD Gọi I =M N ∩SO,P =AI∩SC Ta có
SB ⊥AM
BC ⊥AM
⇒AM ⊥(SBC)⇒AM ⊥SC Tương tự ta có AN ⊥SC
Suy SC ⊥(AM N) Mặt khác
M N kBD
BD⊥(SAO)
⇔M N ⊥(SAO)
Suy góc hai mặt phẳng(AM N)và(SBD)là góc AI SO SIP‘ =α
Xét tam giác vuông SIP vuông tạiP Ta có
SI =
2SO =
√
6 a
SP = SA
2
SC =
√
3
3 a (áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông SAC)
sinα= SP
SI =
2√2
O I
P S
A B
C M N
D
Ví dụ 31 Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABC), đáy ABC tam giác vuông C Cho ASC[ = 60◦,BSC[ = 45◦,sin góc hai mặt phẳng (SAB) và(SBC)
A
√
6
4 B
√
7
7 C
√
42
7 D
√
(21)Dựng AE ⊥ SB, AF ⊥ SC Dễ dàng chứng minh SB ⊥
(AEF)
Góc hai mặt phẳng (SAB) và(SBC) góc AEF[
Giả sử SA= ⇒ SC = 2, BC = 2, AC =√3 AB =√7, SB = 2√2
Từ có AF =
√
3
2 , AE =
√
14
Tam giác AF E vuông F nên sinF EA[ =
√
42
A
C
B S
F E
Ví dụ 32
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a,
SA = a vng góc (ABCD) Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên) Tính cơsin góc hai mặt phẳng (SM D) (ABCD)
A √3
10 B
√
5 C
3 D
1
√
5
S
A
B
C M D
Hướng dẫn giải:
Kéo dàiDM cắtAB E KẻAH ⊥DM
(H ∈ DM) Khi B trung điểm
AE ,góc SHA[ góc (SM D) đáy Ta có AH = √AD·AE
AD2+AE2 =
2a
√
5 tanSHA[ = SA
AH =
√
5
2 ⇒ cosSHA[ =
1
1 + tan2SHA[ =
B S
A H
C
E M
D
Ví dụ 33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB= 2a, SA=a√3và vng góc với mặt phẳng (ABCD) Cơsin góc hai mặt phẳng (SAD) (SBC)bằng
A
√
2
2 B
√
2
3 C
√
2
4 D
√
(22)Gọi I giao điểm AD BC Ta có
BD ⊥AD
BD ⊥SA
⇒BD ⊥(SAD)
Mà SI ⊂(SAD)nên BD ⊥SI Kẻ DE ⊥SI E
Ta có
SI ⊥DE
SI ⊥BD
⇒SI ⊥(BDE)⇒SI ⊥BE
Suy góc (SAD) (SBC) góc DE
BE
Tính: BD=a√3,sinAIS‘ =
SA
SI =
√
3
√
7,
DE =DI·sinAIS‘ =
a√3
√
7 ,
BE =√BD2+DE2 =
√
6
√
7 Khi cosBED\= DE
BE =
a√3
7 ·
√
7 2a√6 =
√
2
A
D
B
C
I S
E
1 Một số toán áp dụng phương pháp tọa độ khơng gian
Ví dụ 34 ( THPT Nghèn - Hà Tĩnh, 2019) Cho khối lập phương ABCD.A0B0C0D0 Gọi M trung điểm AD, φ góc hai mặt phẳng (BM C0) (ABB0A0) Khẳng định đúng?
A cosφ= B cosφ=
5 C cosφ=
3 D cosφ=
3
A B
M
D0 C0
A0
D C
B0
(23)• Cách 1: Tính góc theo cơng thức diện tích hình chiếu
DoABCD.A0B0C0D0 hình lập phương⇒M A, CB, C0B0
vng góc với (ABB0A0)⇒ 4M BC0 có hình chiếu vng góc lên mặt phẳng (ABB0A0)là 4ABB0
Ta có S4ABB0 =S4M BC0 ·cosφ⇒cosφ =
S4ABB0
S4M BC0 Xét tam giác M BC0, ta có
M B = √M A2+AB2 =
a2 +a
2 =
√
5a
2
C0B = √2a
M C0 = √DM2+DC02 =
a2 + 2a
2 = 2a
A B
M
D0 C0
A0
D C
B0
Đặt p= M B+M C
0+BC0
2
Áp dụng cơng thức Hê-rơng ta có
S4M BC0 =
»
p(p−M C0)(p−M B)(p−BC0) = 3a
2
4
Mặt khác S4ABB0 =
a2
2 ⇒cosφ=
S4ABB0
S4M BC0 =
2a : 3a
2
4 =
• Cách 2:Phương pháp tọa độ hóa Khơng tính tổng qt, ta giả sử AB =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với tọa độ điểm sau:
A0(0,0; 0), B0(0; 1; 0), D0(1; 0; 0), A(0; 0; 1)
Khi ta cóB(0; 1; 1), M
Å1
2; 0;
ã
, C0(1; 1; 0)
Ta có BC# »0 = (1; 0;−1), BM# »=
Å
1 2;−1;
ã
, ỵBC# »0;BM# »ó=
Å
−1;−1
2;−1
ã
Từ suy véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (ABB0A0) (BC0M) #»n1 = (1; 0; 0), #»n2 =Å
1;1 2;
ã
Ta có cosφ= | #»
n1· #»n2|
|#»n1| · |#»n2| =
1·1 + 0·
2 + 0·1
√
12+ 02+ 02·
12+
Å
1
ã2
+ =
3
(24)!
Ưu điểm hai cách tính khơng phải dựng góc
a) Cách 1, mở tư thường ta ý việc chuyển tốn tính diện tích thiết diện thành tốn tính góc mà nghĩ đến hướng ngược lại Đặc biệt ta cần “một phần thiết diện ” 4BC0M Việc tính diện tích tam giác đơn giản
b) Cách 2, nhấn mạnh việc tọa độ hóa tốn liên quan đến hình lập phương hướng tốt Khơng cần nhiều tư hình
Ví dụ 35 (Thi thử, THPT Thiệu Hóa - Thanh Hóa, 2019) Cho hình lăng trụ đứng
ABC.A0B0C0 có AB = AC = BB0 = a, BAC[ = 120◦ Gọi I trung điểm CC0 Tính
cosin góc tạo hai mặt phẳng (ABC) (AB0I) A
√
2
2 B
3√5
12 C
√
30
10 D
√
3 Hướng dẫn giải:
B0 C0
B
A0
C A
I
x y
A C
B
a
−a
2
a√3
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A≡O, C thuộc tia Ox, A0 thuộc tia Oy B thuộc góc phần tư thứ II mặt phẳng tọa độ Oxy
Khi đó,A(0; 0; 0), B
Ç
−a
2;
a√3
2 ;
å
, C(a; 0; 0),B0
Ç
−a
2;
a√3
2 ;a
å
, Ia; 0;a
Ta cú:
ã AB# ằ=
ầ
−a
2;
a√3
2 ;
å
và AC# »= (a; 0; 0) suy n#ằ1 =
ợ# ằ
AB,AC# ằú=
ầ
0; 0;−a
2√3
å
ã AB# ằ0 =
ầ
a
2;
a√3
2 ;
å
vàAI# »=
Ç
0; 0;−a
2√3
å
suy ran#»2 =
ỵ# »
AB0,AI# »ó=
Ç
a2√3 ;
5a2 ;−
a2√3
å
Hai mặt phẳng(ABC)và (AB0I)lần lượt nhận n#»1 n#»2 làm véc-tơ pháp tuyến
Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (ABC) (AB0I), ta có
cosϕ=|cos(n#»,n#»)|= | #»
n1·n#»2|
#» #» =
√
30
(25)Ví dụ 36 ( Hà Huy Tập, 2019) Cho hình chópS.ABCD đáy hình thang vng tạiA
và B,AB=BC =a,AD= 2a BiếtSAvng góc với đáy(ABCD),SA=a GọiM,N trung điểm SB, CD Tính singóc đường thẳng M N mặt phẳng (SAC)
A
√
5
10 B
2√5
5 C
√
5
5 D
√
55 10 Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục tọa độOxyznhư hình vẽ Ta cóA(0; 0; 0),
S(0; 0;a),C(a;a; 0),D(0; 2a; 0),B(a; 0; 0),M
a 2; 0;
a
2
,
N
Åa
2; 3a
2 ;
ã
Ta có ỵAS,# » AC# »ó = a2(−1; 1; 0), mặt phẳng (SAC) có véc-tơ pháp tuyến (−1; 1; 0) Mặt khác
# »
M N = (0;3a ;−
a
2), suy đường thẳngM N có véc-tơ phương (0; 3;−1)
Gọi ϕ góc đường thẳngM N (SAC), ta có
sinϕ= p |−1·0 + 1·3 + 0·(−1)|
(−1)2+ 12+ 02·p02+ 32 + (−1)2 = 3√5
10
A
B
D
C
z S
M
x
N
y
Ví dụ 37 (Thi thử, Chuyên Sơn La) Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = a BAC[ = 120◦, cạnh bên BB0 = a, gọi I trung điểm
CC0 Cơsin góc (ABC)và (AB0I) bằng: A
√
20
10 B
√
30 C
√
30
10 D
√
30 Hướng dẫn giải:
C B0
C0
I
A A0
x y
(26)Gọi O trung điểm BC, ta có:
BC2 =AB2+AC2−2AB.ACcos 120◦=a2+a2−2a·acos 120◦= 3a2 ⇒BC =a√3.
Tam giác AOB vng tạiO có: AO=√AB2−BO2 =
…
a2−
4a = a
2 Chọn hệ trục Oxyz (như hình vẽ) Ta có:
A
a 2; 0;
,B0
Ç
0;− √
3 a;a
å
, I
Ç
0;
√
3 a;
a
2
å
Mặt phẳng (ABC) có VTPT #»k = (0; 0; 1)
# »
AB0 =
Ç
−a
2;−
√
3 a;a
å
, AI# »=
Ç
−a
2;
√
3 a;
a
2
å
⇒ỵAB# »0,AI# »ó=
Ç
−3 √
3 a
2;−1 4a
2;−
√
3 a
2
å
=−1
4a
2Ä3√3; 1; 2√3ä. Mặt phẳng (AB0I) có VTPT #»n =Ä3√3; 1; 2√3ä
cos ((ABC),(AB0I)) = cos
Ä#»
k ,#»nä =
#»
k · #»n
#»
k · |
#»n|=
√
30 10
§2. Khoảng cách
2 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng
Để tính khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng(d), ta thực bước sau:
• Trong mặt phẳng (O;d), hạ OH ⊥(d) H
• Tính độ dàiOH dựa công thức hệ thức lượng tam giác, tứ giác đường tròn
O
H
Ví dụ Cho hình chópS.ABC có đáyABC tam giác vng B, cạnh bên SAvng góc với đáy SA= 2a, AB =BC =a Gọi M điểm thuộc AB cho AM = 2a
3 Tính khoảng cách d từS đến đường thẳng CM
A d= 2a
√
110
5 B d=
a√10
5 C d=
a√110
5 D d=
(27)Trong (SM C)kẻ SH ⊥M C H
Có
M C ⊥SH
M C ⊥SA
⇒M C ⊥(SAH)⇒M C ⊥AH
Diện tích tam giác ABC làSABC =
2AB·BC =
a2
2· Diện tích tam giác M BC SM BC =
1
2M B·BC =
a2 ·
⇒SAM C =SABC−SM BC =
a2 −
a2 =
a2 3· Xét 4BM C ⇒M C =√M B2+BC2 =
√
10a
3 · Độ dài cạnh AH = 2SAM C
M C =
2a√10
10 · B
H
C A
S
M
Xét 4AHS ⇒SH =√AH2+SH2 = a
√
110 ·
Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh a Khoảng cách từ điểm A
đến đường thẳng B0D A a
√
3
2 B
a√6
3 C
a√6
2 D
a√3
3 Hướng dẫn giải:
Vì
AD⊥AB (ABCD h.vuông)
AD⊥AA0 (ADD0A0 h.vuông)
⇒AD⊥(ABB0A0)⇒AD⊥AB0
Trong 4ADB0 vuông tạiA ta vẽ đường cao AH Vậy AH = d (A, B0D)
Theo hệ thức lượng 4ADB0
1
AH2 =
1
AD2 +
1
AB02 =
1
a2 +
1 2a2
Suy AH = a
√
6
C0 D0
H A0
A
B0
B C A0
D
Ví dụ Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình vng cạnh Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy(ABCD) Tính khoảng cách từAđến(SCD)
A B
√
21
7 C
2√3
3 D
√
2
(28)Gọi H trung điểm củaAB ⇒SH ⊥(ABCD)
GọiK trung điểm củaCD ⇒HK ⊥CD ⇒CD ⊥(SHK) Trong mặt phẳng (SHK)dựng HI ⊥SK ⇒HI ⊥(SCD) Ta có AH k(SCD)⇒d(A,(SCD)) =d(H, SCD) =HI Tam giác SAB ⇒SH =
√
3
2 HK = Xét ∆SHK có
HI2 =
1
SH2 +
1
HK2 ⇒HI =
√
21
K H
S
A
B C
D I
Ví dụ Cho hình chóp tam giác đềuS.ABC có cạnh đáy bằnga,Glà trọng tâm tam giác
ABC Góc mặt bên với đáy 60◦ Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC)
A a
2 B
a
4 C
3a
4 D
3a
2 Hướng dẫn giải:
Gọi I trung điểm BC
Trong mặt phẳng (SAI), kẻ GH ⊥SI (1) Ta có:
BC ⊥AI
BC ⊥SI
⇒BC ⊥(SAI)⇒BC ⊥GH (2)
Từ (1),(2) ⇒GH ⊥(SBC)⇒d (G; (SBC)) =GH
Có:
(SBC)∩(ABC) =BC
SI ⊥BC
AI ⊥BC
⇒ ((SBC); (ABC)) =
(SI;AI) =SIA‘ =SIG‘ = 60◦
Ta có GI = 3AI =
a√3
6 ⇒GH =GIsin 60 ◦ = a
√
3 ·
√
3 =
a
4
S
A
G
B C I H
Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, SA vng góc với mặt đáy SA=AB =√3 Gọi G trọng tâm tam giácSAB Khoảng cách từG đến mặt phẳng (SBC)
A
√
6
3 B
√
6
6 C
√
3 D
√
(29)A
B G
C M
S
Gọi M trung điểm củaSB ⇒AM ⊥SB (vì tam giác SAB cân) Ta có
BC ⊥AB
BC ⊥SA
⇒BC ⊥(SAB)⇒BC ⊥AM
Và
AM ⊥SB
AM ⊥BC
⇒AM ⊥(SBC)⇒GM ⊥(SBC) M Do đód(G,(SBC)) =GM
SB =AB√2 =√6, AM = SB
2 =
√
6
2 ⇒GM =
AM
3 =
√
6
2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp
Cho mặt phẳng (α) điểmO, gọi H hình chiếu vng góc điểmO mặt phẳng(α) Khi khoảng cáchOH gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α), kí hiệu d(O,(α)) =OH
O
M H
α
Tính chất Nếu đường thẳng dsong song với mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm đường thẳngd đến mặt phẳng (P)
Tính chất Nếu AM# » = kBM# » d(A,(P)) =|k|d(B,(P)), (P) mặt phẳng qua
M
Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng, AB =AC =a Biết tam giác SAB cóABS[ = 60◦ nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính khoảng cách
(30)Ta có
CA⊥AB
(ABC)⊥(SAB) (ABC)∩(SAB) = AB
⇒CA⊥(SAB)
Kẻ AK ⊥SB K AH ⊥CK H Ta có
SB ⊥AK
SB ⊥CA
⇒SB ⊥(ACK)⇒SB ⊥AH
Do
AH ⊥CK
AH ⊥SB
⇒AH ⊥(SBC)⇒d(A; (SBC)) =AH
Xét 4ABK, ta có AK =AB·sinABK\=asin 60◦ = a
√
3
C
A
B
S K
H
Xét 4ACK, ta có
AH2 =
1
AK2 +
1
AC2 =
7
3a2 ⇒AH =
a√21
7
Ví dụ
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh AB=a, AD=a√2, cạnh bên
SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), góc
SC mặt phẳng (ABCD) 60◦ Gọi M trung điểm cạnh SB (tham khảo hình vẽ) Tính khoảng cách từ điểmM tới mặt phẳng(ABCD)
A d (M,(ABCD)) = a B d (M,(ABCD)) = 3a C d (M,(ABCD)) = 2a√3 D d (M,(ABCD)) =a√3
A
B C
D M
S
Hướng dẫn giải: Do SA⊥(ABCD)suy góc SC đáy SCA[ = 60◦ (1) Do ABCD hình chữ nhật nên AC =a√3 (2) Trong tam giác vng SAC có SA=AC·tan 60◦ = 3a
Do M trung điểm cạnh SB nên d(M,(ABCD)) =
2d(S,(ABCD)) = 3a
2
Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60◦ Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)
A a
4 B
a√3
4 C
a√3
2 D
a
(31)Trong H hình chiếu vng góc O lên (SCD), ta có d (B; (SCD))
d (O; (SCD)) =
BD
OD = 2⇒d (B; (SCD)) = 2.d (O; (SCD)) = 2OH
Gọi I trung điểm CD ta có
SI ⊥CD
OI ⊥CD
⇒((SCD) ; (ABCD)) = (OI;SI) =SIO‘ = 60◦
Xét tam giácSOI vng tạiOta cóSO =OI.tan 60◦ = a
√
3 · Do SOCD tứ diện vuông tạiO nên
1
OH2 =
1
OC2 +
1
OD2 +
1
OS2 =
2
a2 +
2
a2 +
4 3a2 =
16 3a2·
⇒OH = a
√
3
4 ⇒d (B; (SCD)) =
a√3
2 · A B C D I H S O 60◦
Ví dụ Cho hình chóp tam giác đềuS.ABCcó cạnh đáy bằnga, cạnh bên bằng2a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
A a
√
165
30 B
a√165
45 C
a√165
15 D
2a√165 15 Hướng dẫn giải:
Gọi O tâm tam giác ABC H trung điểm củaBC Ta có SO =√SA2−AO2 =
s
(2a)2−
Ç
2 ·
a√3
2 å2 = a √ 33 Ta có SH = √SO2+OH2 =
s
Ç
a√33
3
å2
+1 3·
Ç
a√3
2
å2
=
a√15
2 Cách Tính VS.ABC =
1
3 ·SO·S4ABC = ·
a√33
3 ·
a2√3
4 =
a3√11 12 Vậy d[A,(SBC)] = 3VS.ABC
S4SBC
= 3·a
3√11 12
2 ·
a√15
2 ·a = a √ 165 15 S A B C K H O Cách
Ta có d[A,(SBC)] d[O,(SBC)] =
AH
OH = Trong (SAH) vẽOK ⊥SH
Ta có
BC ⊥AH
BC ⊥SO
⇒BC ⊥(SAH)⇒BC ⊥OK
(32)Vì 4SOH vng O cóOK đường cao
OK2 =
1
SO2 +
1
OH2 =
1 11
3 a
+
a2
12
⇒OK = a
√
165 45
Do đód[A,(SBC)] = 3· a √
165 45 =
a√165
15
Ví dụ 10 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằnga Khoảng cách từ điểm D
đến mặt phẳng (AD0B0) A a
√
3
3 B
a√2
2 C
a√6
6 D a
Hướng dẫn giải:
Gọi O, O0 tâm mặt (A0B0C0D0)
ADD0A0
Gọi H hình chiếu vng góc A0 lên AO Do A0B0C0D0 hình vuông nên A0C0 ⊥B0D0 (1)
AA0 ⊥(A0B0C0D0)⇒AA0 ⊥B0D0 (2)
Từ (1) (2) suy B0D0 ⊥AA0O
Kẻ A0H ⊥AO (3)
Vì B0D0 ⊥(AA0O)⇒B0D0 ⊥AH (4) Từ (3) (4) suy A0H ⊥(AB0D0)
⇒A0H =d(A0,(AB0D0))
A
B C
D
A0
B0 C0
D0 O
O0
H
A0C0 =√A0D02+D0C02 =a√2⇒A0O = A
0C0
2 =
a√2
2 Trong tam giác vuông AA0O cóAH = A
0A·A0O
AC =
A0A·A0O
√
A0A2+A0O2 =
a√3
3 Ta có : d(D,(AB0D0)) =d(A0,(AB0D0)) =A0H = a
√
3 Vậy d(D,(AB0D0)) = a
√
3
Ví dụ 11 Cho hình chópS.ABCD có đáy hình thoi tâmO cạnhAB = 2a√3, góc\BAD
bằng120◦.Hai mặt phẳngSAB vàSADcùng vng góc với đáy Góc mặt phẳng(SBC) (ABCD) 45◦.Tính khoảng cách h từO đến mặt phẳng (SBC)
A h= a
√
3
2 B h=
3a√2
4 C h=
a√2
(33)Vì
(SAB)⊥(ABCD) (SAD)⊥(ABCD)
⇒ SA⊥ (ABCD) Từ giả thiết ta suy ∆ABC ∆SBC cân S
Gọi M trung điểm BC Ta có AM ⊥ BC
SM ⊥BC ((SBC),(ABCD)) =SM A\ = 45◦
Gọi I trung điểm AM suy OI k BC ⇒
OI k (SBC) Do d(O,(SBC)) = d(I,(SBC))
Gọi H hình chiếu vng góc củaI lên SM, ta có
d(I,(SBC)) =IH
Vì ∆ABC ∆SAM vng cân nên
AM =SA= 2a
√
3·√3
2 = 3a⇒SM = 3a
√
2
Vì ∆HIM ∼ ∆SAM nên IH = IM ·SA
SM =
1 23a·3a
3a√2 = 3a√2
4
A
D
B
C S
120◦
O M
I H
45◦
Ví dụ 12
Cho khối chópS.ABCD cóSA⊥(ABC), tam giácABC cạnh
avà thể tích khối chópS.ABC a 3√3
12 (tham khảo hình vẽ bên) Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
A h= a
√
3
7 B h= 2a
√
7 C h=
a√3
2 D h=
a√3
√
7
A
B
C S
Hướng dẫn giải:
Gọi H, K hình chiếu A lên BC SH Ta có d (A,(SBC)) =AK
• VS.ABC =
3SABC ·SA ⇒SA=
3VS.ABC
SABC
=
a3√3
a2√3
=a
• Xét tam giác SAH vng A có
AK2 =
1
SA2 +
1
AH2 =
1
a2 +
4 3a2 =
7
3a2 ⇔a=
a√21
7
A
B
C S
H K
Ví dụ 13 Cho hình chóp S.ABCD với đáy hình chữ nhật có AB = a, BC = a√2,
(34)cách từ điểm S đến (P)bằng A 2a
√
2
3 B
a√2
9 C
a√2
3 D
4a√2 Hướng dẫn giải:
Gọi O tâm hình chữ nhậtABCD G giao điểm SO BM
Suy G trọng tâm tam giác SAC SBD Gọi N giao điểm (P) SA H hình chiếu vng góc B lên AC K hình chiếu vng góc H lên BG
Ta có OA= 2AC =
1
√
AB2+BC2 = a
√
3 Gọi I trung điểm AB⇒OI =
2 ·BC =
a√2
2
A
B
N
I
C
D M
G H S
K
O
SABO =
1
2 ·OI·AB=
2 ·BH·OA⇒BH =
OI·AB
AO =
a√6
3
4ABH vng H có AH =√AB2−BH2 = a
√
3
⇒AH = a
√
3
3 =
1
3AC ⇒
OH
AH =
OG
OS =
2
3 ⇒GH kSA Ta có BH ⊥(SAC)⇒BH ⊥N G
Khi
N G⊥BM
BH ⊥N G
⇒N G⊥GH ⇒N GkAC ⇒(P)kAC SN = 2AN
d (S,(P)) = 2d (A,(P)) = 2d (H,(P)) = 2HK
4OSA cóGH = 3SA=
a√3
3 ;4AHB vng H cóBH =
√
AB2−AH2 =
…
a2− a
2
3 =
a√6
3
4GHB vng tạiH có
HK2 =
1
HG2 +
1
HB2 ⇒HK =
HG2·HB2
HG2+HB2 =
a√2
3
Ví dụ 14 Cho hình chóp tam giác đềuS.ABC có cạnh đáy a Góc mặt bên với mặt đáy 60◦ Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
A a
2 B
a
4 C
3a
2 D
3a
(35)Gọi G trọng tâm tam giác ABC, M trung điểm BC, H
là hình chiếu vng góc G lên SM
Theo đề góc (SBC)và (ABC) góc SM A\ = 60◦ Do G trọng tâm tam giácABC ta có AM = 3GM, suy d (A,(SBC)) = 3d (G,(SBC)) = 3GH
Trong 4GHM vng tạiH có
GH =GM ·sin 60◦ = 3·
a√3
2 ·
√
3 =
a
4 Suy d (A,(SBC)) = 3GH = 3a
4
M G
B
C H
A
S
Ví dụ 15 Cho ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD); góc SC với (ABCD) 45◦ Khoảng cách từ trọng tâm Gcủa tam giác SBC đến mặt phẳng (SAC)
A a
√
55
33 B
a√55
22 C
2a√55
33 D
a√21
21 Hướng dẫn giải:
Gọi H trung điểm củaAB
Vì tam giácSAB cân tạiSvà nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) nên SH ⊥(ABCD)
Khi góc SC với (ABCD) SCH[ = 45◦ Suy tam giác SCH vuông cân tạiH nên
SH =CH =√BC2+BH2 = a
√
5
Ta có d(G,(SAC)) d(B,(SAC)) =
GM
BM =
1
3 (vớiM trung điểmSC) Hơn d(B,(SAC))
d(H,(SAC)) =
BA
HA =
Khi d(G,(SAC)) =
3d(H,(SAC))
B H
G E F A
C
D M
S
a
a
45◦
Kẻ HE ⊥AC (trong mặt phẳng (ABCD)) Khi AC ⊥(SHE)
Kẻ HF ⊥SE (trong mặt phẳng(SHE)) Khi HF ⊥(SAC) hay HF = d(H,(SAC)) Ta có tam giácAHE vng cân E AH = a
2 nên HE=
a
2√2 Hơn nữa, tam giác SHE vng H có đường cao HF nên
1
HF2 =
1
HE2 +
1
SH2 =
4 5a2 +
8
a2 ⇔HF =
√
55a
22
(36)Ví dụ 16
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có cạnh đáy a Biết góc hai mặt phẳng (A0BC) (A0B0C0) 60◦, M trung điểm B0C Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (A0BC)
A
8a B
3a C
√
3
6 a D
√
6 a
B0
M
C C0
A A0
B
Hướng dẫn giải: Ta có d(M,(A
0BC)) d(B,(A0BC)) =
M C
B0C =
1 2; d(B
0,(A0BC)) = d(A,(A0BC)). Vì (A0B0C0) k (ABC) nên góc (A0BC) (A0B0C0) góc (A0BC) (ABC)
Kẻ AH ⊥BC H ⇒ A0H ⊥BC Suy ra, A\0HA là góc hai mặt phẳng (A0BC) (ABC) Do đó, A\0HA= 60◦.
Kẻ AK ⊥A0H K ⇒ AK ⊥(A0BC) Do đó, d(A,(A0BC)) =AK
Ta có AH = a
√
3 ;A
0A=AH ·tanA\0HA= 3a
B0
M
C C0
K
A A0
B H
Tam giác A0AH vng A cóAK đường cao, suy AK = AA 0·AH
√
AA02 +AH2 =
3a
4 Vậy d(M,(A0BC) =
2AK = 3a
8
Ví dụ 17 Cho hình chópS.ABC cóSA=a√3, SA⊥(ABC), tam giác ABC vng B
và AB =a Tính khoảng cách từ điểmA đến mặt phẳng (SBC)
Hướng dẫn giải:
Do SA⊥(ABC) SA⊂(SAB)nên (SAB)⊥(ABC) Mà (SAB)∩(ABC) =AB AB ⊥BC
nên BC ⊥(SAB) Do BC ⊂(SBC) nên (SBC)⊥(SAB)
Kẻ AH ⊥SB với H∈SB
Do (SAB)∩(SBC) = SB nên AH ⊥(SBC)⇒d(A,(SBC)) =AH Do SA⊥(ABC) nên SA⊥AB
nên
AH2 =
1
SA2 +
1
AB2 =
1 3a2 +
1
a2 =
4 3a2 Vậy d(A,(SBC)) =
√
3a
A
B
C S
(37)Ví dụ 18 Cho hình chóp S.ABCD có tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD), tứ giácABCD hình vng cạnh a Gọi H trung điểm AB Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD)
Hướng dẫn giải:
Do tam giácSAB vàHlà trung điểm củaABnênSH ⊥AB Mà (SAB)⊥(ABCD)
Nên SH ⊥(ABCD) ⇒SH ⊥CD
Do ABCD hình vng nên gọi E trung điểm CD nên
HE ⊥CD
Vậy CD ⊥(SHE)
Mà CD ⊂(SCD) nên (SCD)⊥(SHE) Ta có (SCD)∩(SHE) = SE
Kẻ HK ⊥SE với K ∈SE nên HK ⊥(SCD) Khi d(H,(SCD)) =HK Vì AB=a nên SH =
√
3a
2 Do ABCD hình vng nên HE =a
Vì SH ⊥(ABCD)nên SH ⊥HE
A
B C
D K
S
H E
Khi
HK2 =
1
SH2 +
1
HE2 =
7
3a2 Nên HK =
√
21a
7 Vậyd(H,(SCD)) =
√
21a
7
Ví dụ 19 Cho hình chópS.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB= 1, AC =√3 Tam giác SBC nằm mặt phẳng vuông với đáy Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC)
Hướng dẫn giải:
Gọi H trung điểm củaBC, suy SH ⊥BC ⇒SH ⊥(ABC)
Gọi K trung điểm AC, suy HK ⊥AC Kẻ HE ⊥SK(E ∈SK)
Khi d(B,(SAC)) = 2d(H,(SAC))
= 2HE = 2.√ SH.HK
SH2+HK2 =
2√39 13
A
E
C
B
S
H K
(38)Gọi O =AC∩BD⇒SO ⊥(ABCD) Ta có d(A,(SBC)) = 2d[O,(SBC)]
Kẻ OE ⊥BC, OF ⊥SE ta có
BC ⊥OE
BC ⊥SO
⇒BC ⊥(SOE) ⇒BC ⊥ OF mà OF ⊥
SE ⇒OF ⊥(SBC)
Ta có SABCD =AB2 = 4a2 ⇒AB= 2a⇒OE =a Ta có AC = 2a√2 ⇒ OA = a√2 ⇒ SO =
√
SA2−OA2 =a√2.
Ta có
OF2 =
1
OS2 +
1
OE2 =
3
2a2 ⇒OF =
a√6
3
⇒d(O,(SBC)) = a
√
6
3 ⇒d(A,(SBC)) = 2a√6
3
A
B C
D O
E F
S
Ví dụ 21 Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA = SB = SC = a SA, SB, SC đôi vuông góc với Tính theo a khoảng cách h từ điểm S đến mặt phẳng (ABC)
Gọi H chân đường cao hạ từ S xuống (ABC)và M =AH∩BC
Ta có SH ⊥(ABC)⇒SH ⊥BC ⇒BC ⊥SH
Lại có
SA⊥SB
SA⊥SC
⇒SA⊥(SBC)⇒SA⊥BC ⇒BC ⊥SA
Như
BC ⊥SH
BC ⊥SA
⇒BC ⊥(SAM)⇒BC ⊥SM
Từ SA⊥(SBC)⇒SA⊥SM
Do
SH2 =
1
SA2 +
1
SM2 =
1
SA2 +
1
SB2 +
1
SC2 =
3
a2 ⇒h=
a
√
3
A
B
C M
S H
2 Khoảng cách đường mặt song song - hai mặt song song a) Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α), để tính khoảng cách d (α) ta thực
hiện
• Chọn điểmA d cho khoảng cách từ A tới (α)được xác định dễ
• Kết luận d(d; (α)) = d(A,(α))
b) Cho hai mặt phẳng song song (α),(β) Để tính khoảng cách hai mặt phẳng ta thực bước
• Chọn điểmA (α) cho khoảng cách từ A tới (β) xác định dễ
(39)Ví dụ 22 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có cạnh a \BAD = BAA\0 = \
DAA0 = 60◦ Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy (ABCD)và A0B0C0D0.
Hướng dẫn giải:
HạA0H ⊥AC Ta cóBD⊥(OAA0)suy raBD⊥A0H ⇒
A0H ⊥ (ABCD) Do (ABCD) k (A0B0C0D) nên A0H khoảng cách hai mặt đáy
A0.ABD hình chóp nên AH = 3AO=
a√3
3
A0H2 =A0A2−AH2 = 2a
2
3 ⇒A
H = a
√
6
C C0
D0
D A
B A0
B0
O
Ví dụ 23 Cho hình chópS.ABCcó đáyABC tam giác cạnh bằnga, mặt bên(SBC) vng góc với đáy Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm AB, SA, AC Tính khoảng cách hai mặt phẳng (M N P) và(SBC)
Ta chứng minh (M N P)k(SBC) Suy d((M N P); (SBC)) = d(P; (SBC))
AP ∩(SBC) = C suy d(P; (SBC)) = AP
ACd(A; (SBC)) =
1
2d(A; (SBC))
GọiK trung điểm củaBC Tam giácABC suy raAK ⊥
BC
Do (ABC)⊥(SBC)theo giao tuyến BC nên AK ⊥(SBC) Do đó, d(A; (SBC)) =AK = a
√
3
Vậy d((M N P); (SBC)) = a
√
3
A
M
C K B S
P N
Ví dụ 24 Cho hình chóp S.ABCD có SA = a√6 vng góc với mặt phẳng (ABCD), đáy (ABCD)là nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AD= 2a
a) Tính khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (SCD)
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC)
c) Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCDvới mặt phẳng (α)song song với mặt phẳng (SAD) cách(SAD) khoảng a
√
(40)Ta có (SCD) ⊥ (SAC) Hạ AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥
(SCD) Suy AH khoảng cách từ A tới (SCD) Xét 4SAB :
AH2 =
1
AC2 +
1
SA2 ⇒AH =a
√
2 Gọi I trung điểm AD, suy
BI kCD ⇒BI k(SCD)⇒d(B,(SCD)) = d(I,(SCD))
Mặt khác, AI ∩(SCD) = D, nên d(I,(SCD)) d(A,(SCD)) =
ID
AD =
1
Suy d(I,(SCD)) = a
√
2
S
A
B C
D I
H
b) Ta cóADkCD ⇒ADk(SBC)⇒d(AD,(SBC)) = d(A,(SBC))
Hạ AK ⊥BC, ta có BC ⊥(SAK)⇒(SBC)⊥(SAK) (SBC)⊥(SAK) = AK Hạ AG⊥SK, suy AG⊥(SBC)
Xét 4SAK, ta có
1
AG2 =
1
SA2 +
1
AK2 ⇒AG=
a√6
3
c) Ta cóAK ⊥(SAD) Giả sử (α)k(SAD)cắt AK E,
d((α),(SAD)) =AE = a
√
3
4 =
1 2AK
Suy raE trung điểm củaAK Ta xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (α)qua
E song song với(SAD)
Thiết diện hình thang vng M N P Q với M, N, Q, P trung điểm củaAB, CD, SB, SC Ta tính SM N P Q=
a2√6
2 Đoạn vuông góc chung, khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp Ta có trường hợp sau:
1) Trường hợp
Giả sử a b hai đường thẳng chéo vàa ⊥b
• Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a vng góc với b
tại B
• Trong (α)dựng BA ⊥a A, ta độ dài đoạn
AB khoảng cách hai đường thẳng chéo
a vàb
α
b
(41)2) Trường hợp
Giả sửavàblà hai đường thẳng chéo khơng vng góc với
• Ta dựng mặt phẳng (α) chứaa song song với b
• Lấy điểm M tùy ý b dựng M M0 vng góc với (α)tại M0
• Từ M0 dựng b0 song song vớib cắt a A
• Từ A dựng AB song song với M M0 cắt b B, độ dài đoạn AB khoảng cách hai đường thẳng chéo a b
α
b
a
B M
A M0
Nhận xét
a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với chứa đường thẳng cịn lại
b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng
Ví dụ 25
Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằng1(tham khảo hình vẽ) Khoảng cách hai đường thẳngAA0 BDbằng
A
2 B
C √2 D
√
2
A
B C
D A0
B0 C0
D0
Hướng dẫn giải:
Gọi O trung điểm củaBD Ta có
AO⊥AA0
AO⊥BD
Suy d(AA0, BD) = AO= AC =
√
2
2 O
A
B C
D A0
B0 C0
D0
Ví dụ 26 Cho tứ diệnABCD cóAB=CD=a >0,AC =BD=b >0, AD=BC =c >
(42)C d =
…
b2+c2−a2
2 D d=
…
b2+a2−c2
2
Hướng dẫn giải:
Gọi E, F trung điểm cảu AB CD
Dễ chứng minh tam giác CED cân E tam giác
AF B cân F
Suy raEF đoạn vng góc chung củaAB vàCD Vậyd = EF Trong tam giácABC trung tuyếnCE2 = b
2+c2
2 −
a2 Trong tam giácCF E vng tạiF có:
F E =√CE2−CF2 =
Åb2+c2
2 −
a2
ã
−a
2
4 Suy d=EF =
…
b2+c2−a2
2
A
D
C
F B
E
Ví dụ 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy SA=a Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CD
A 2a B a√2 C a√3 D a
Hướng dẫn giải:
Vì CD kAB nên CD k(SAB) Mà SB ⊂(SAB) nên
d(CD, SB) = d [CD,(SAB)] = d [D,(SAB)]
Ta có
DA⊥SA(SA⊥(ABCD))
DA⊥AB
⇒DA⊥(SAB),
do
d [D,(SAB)] = DA=a
Vậy khoảng cách hai đường thẳng SB CD làa
S
B C
D A
Ví dụ 28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh 1, biết
SO =√2và vng góc với mặt đáy Tính khoảng cách hai đường thẳngSC vàAB A
√
5
3 B
√
2
3 C
√
2 D
√
(43)Vì AB k (SCD) nên d(AB, SC) = d(AB,(SCD)) = d(M,(SCD)), M trung điểm AB
Gọi N trung điểm CD H hình chiếu vng góc M (SCD) H ∈ SN Tính SN =
…
SO2+BC
2
4 =
3
2 S4SM N =
2SO·M N =
√
2 Do d(AB, SC) = d(M,(SCD)) = M H = 2S4SM N
SN =
2√2
3 B C
A D O S M N H
Ví dụ 29 Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0 có đáy tam giác vuông cân, AB=AC =
a,AA0 = 2a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB0 BC0 A √2a
21 B
a
√
3 C
a
√
21 D
2a
√
17 Hướng dẫn giải:
Gọi I, K trung điểm BC0 AC
⇒AB0 kIK ⇒AB0 k(BKC0)
⇒d(AB0;BC0) = d (AB0; (BKC0)) = d(C; (BKC0)) Mặt khác VC0.BKC =
1
6VABC.A0B0C0 =
a3
BK = a
√
5
KC0 = a
√
17
BC0 =a√6
⇒S∆BKC0 =
a2√21
Suy d(AB0;BC0) = d(C; (BKC0)) = 3VC0.BKC
S∆BKC0
= √2a
21
C I
B0
A0 C0
K A
B
Ví dụ 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh 1, biết
SO =√2và vng góc với mặt đáy Tính khoảng cách hai đường thẳngSC vàAB A
√
5
3 B
√
2
3 C
√
2 D
√
2 Hướng dẫn giải:
Vì AB k (SCD) nên d(AB, SC) = d(AB,(SCD)) =
d(M,(SCD)), M trung điểm củaAB
Gọi N trung điểm CD H hình chiếu vng góc M (SCD) H ∈ SN Tính SN =
…
SO2+BC
2
4 =
3
2 S4SM N =
2SO·M N =
√
2
2S4SM N A D
S
(44)Ví dụ 31 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác vuông A với
AB =a, AC = 2a; cạnh bên AA0 = 2a Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng BC0 AA0
Hướng dẫn giải:
A0 C0
B
C F
A E
B0
H
Ta có AA0 kBB0 ⇒AA0 k(BB0C0C)
Vì (A0B0C0)⊥(BB0C0C) theo giao tuyến B0C0 nên mặt phẳng (A0B0C0), kẻ A0H ⊥B0C0
H, ta có:A0H ⊥(BB0C0C) ⇒A0H ⊥BC0
Trong mặt phẳng (BB0C0C), kẻHF kAA0 (F ∈BC0) Trong mặt phẳng(HF, AA0), kẻ F E kA0H
(E ∈AA0) ⇒F E ⊥BC0
Ta có AA0 ⊥(A0B0C0)⇒AA0 ⊥A0H ⇒AA0 ⊥F E Do đóEF đoạn vng góc chung AA0 BC0 Trong tam giác vuông A0B0C0 ta có:
A0H2 =
1
A0B02 +
1
A0C02 =
1
a2 +
1 4a2 =
5 4a2 Suy EF =A0H = 2a
√
5 Vậy d(AA0, BC0) = 2a
√
5
Ví dụ 32 Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có tất cạnh Xác định đoạn vng góc chung hai đường thẳng A0B B0C
(45)N
E
B0 M
A0 C0
B
A C
I F
N0
Gọi M, N, N0 trung điểm củaAA0, AC,A0C0 Ta có
BN ⊥AC
BN ⊥AA0
⇒BN ⊥(ACC0A0)⇒BN ⊥C0M Mà C0M ⊥A0N nên C0M ⊥(A0BN) Do C0M ⊥A0B Tương tự ta có C0M ⊥(B0N0C) ⇒C0M ⊥CB0
Vậy ta có đường thẳngC0M vng góc với hai đường thẳng A0B B0C
Lấy điểm I thuộc BB0 Gọi E giao điểm củaM I A0B;F giao điểm IC0 B0C Ta cần tìm vị trí I đểEF kC0M
Ta có EF kC0M ⇔ IE
M E =
F I
F C0 ⇔
BI
M A0 =
IB0
CC0
Do CC0 = 2M A0 nên BI
M A0 =
IB0
CC0 ⇔IB
0 = 2BI.
Vậy I điểm thuộc đoạnBB0 cho IB0 = 2BI EE đoạn vng góc chung hai đường thẳng A0B B0C với E giao điểm M I A0B;F giao điểm IC0 B0C
Ví dụ 33 Cho hình chópS.ABC có đáy tam giác cạnh a.SA= 2avà vng góc với mặt đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng SB AC
(46)B S
C A
D
H
I
Trong mặt phẳng (ABC), dựng hình thoi ACBD, ta có:BD kAC ⇒AC k(SBD)
⇒d(AC, SB) =d(AC,(SBD)) =d(A,(SBD))
Gọi I trung điểm BD, ta có: BD⊥AI BD⊥SA ⇒BD⊥(SAI)
⇒(SBD)⊥(SAI)theo giao tuyến SI
Trong mặt phẳng (SAI), kẻ AH ⊥SI H, ta có: AH ⊥(SBD)⇒AH =d(A,(SBD)) Tam giác SAI vng tạiA có đường cao AH
⇒
AH2 =
1
SA2 +
1
AI2 =
1 4a2 +
4 3a2 =
19 12a2
⇒AH2 = 12a
19 hay AH =
2a√57 19
Vậy d(SB, AC) = 2a
√
57 19
Ví dụ 34 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA=a M trung điểm củaSB Tính khoảng cách đường thẳng:
(47)C S
O H
B E
K
I
D
A
M
a) Gọi O giao điểm AC BD Ta có:
BD⊥SA
BD⊥AC
⇒BD⊥(SAC)tại O
Trong mặt phẳng(SAC), kẻOH ⊥SC tạiH, ta cóOH ⊥SC vàOH ⊥BD(vìBD ⊥(SAC)) Vậy OH đoạn vng góc chung BD vàSC
Ta có OH
OC =
SA
SC = sinACS[ ⇒OH =
OC.SA
SC =
a√2
2 ·a
a√3 =
a√6
6
Vậy d(SC, BD) = OH = a
√
6
b) Dựng hình bình hành ACDE, ta có:AC kDE ⇒AC k(SDE)
⇒d(AC, SD) = d(AC,(SDE)) =d(A,(SDE))
Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ AI ⊥DE I, ta có
DE ⊥AI
DE ⊥SA
⇒DE ⊥(SAI)
⇒(SDE)⊥(SAI) theo giao tuyếnSI
Trong mặt phẳng (SAI), kẻ AK ⊥SI K, ta có: AK ⊥(SDE)⇒AK =d(A,(SDE)) Ta có AIDO hình bình hành nênAI =OD = a
√
2 Trong tam giác vng SAI ta có:
AK2 =
1
AI2 +
1
SA2 =
2
a2 +
1
a2 =
3
a2 Suy AK = a
√
3
Vậy d(AC, SD) = d(A,(SDE)) =AK = a
√
3 c) Ta có OM kSD AC kDE nên (AM C)k(SDE)
Suy d(SD, AM) = d((AM C),(SDE)) =d(A,(SDE)) =AK = a
√
(48)2 Một số toán áp dụng phương pháp tọa độ khơng gian
Ví dụ 35 (Thi thử Lần 1, THPT Ninh Bình - Bạc Liêu, Ninh Bình, 2019) Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có tất cạnh a M trung điểm AA0 Tìm khoảng cách hai đường thẳng M B0 BC
A a
2 B
a√3
2 C
a√6
3 D a
Hướng dẫn giải: L Cách 1:
Đặt b= a
2 Gọi O, O
0 lần lượt trung điểm BC,B0C0. Chọn hệ trụcOxyz hình vẽ, ta cóO(0; 0; 0),B(−b; 0; 0),
C(b; 0; 0), B0(−b; 0; 2b), M(0;b√3;b), BC# » = (2b; 0; 0), # »
M B0 = (−b;−b√3;−b), CB# »0 = (−2b; 0; 2b) Khoảng cách M B0 BC
d(M B0, BC) = [
# »
BC,M B# »0]·CB# »0
[
# »
BC,M B# »0]
=b√3 = a
√
3
y x
z
C0
B O
A C
B0 A0
M
L Cách 2:
Do BC kB0C0 nên
d (M B0, BC) = d (BC,(M B0C0)) = d (B,(M B0C0))
Gọi E =M B0∩A0B Ta có BE
AE =
BB0
AM =
Nênd (B,(M B0C0)) = 2d (A0,(M B0C0)) Kẻ A0H ⊥M I suy A0H ⊥(M B0C0) Do
d (A0,(M B0C0)) = A0H = A
0I·A0M
√
A0I2+A0M2
=
a√3
2 ·
a
2
…
3a2 +
a2
= a
√
3
Vậy d (M B0, BC) = 2A0H = a
√
3
B
C
B0
C0 I
A
A0 M
(49)Ví dụ 36 (Thi thử, Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An, 2019-L1) Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh Khoảng cách hai mặt phẳng (AB0D0) (BC0D)bằng
A
√
3
3 B
2√3
3 C
√
3
2 D
√
3
Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ
Ta có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(2; 2; 0), D(0; 2; 0)
A0(0; 0; 2), B0(2; 0; 2), C0(2; 2; 2), D0(0; 2; 2)
Mặt phẳng (AB0D0) qua A có véc-tơ pháp tuyến
−1
4
ỵ# »
AB0,AD# »0ó= (1; 1;−1)nên có phương trình x+y−z =
D0
C D A0
A B0
B
C0
x
y z
Mặt phẳng (BC0D) qua B có véc-tơ pháp tuyến −1
4
ỵ# »
BC0,BD# »ó = (1; 1;−1) nên có phương trình x+y−z−2 =
Ta có (AB0D0)k(BC0D) nên
d((AB0D0),(BC0D)) = d(A,(BC0D)) = p | −2|
12+ 12+t(−1)2 = 2√3
3
Ví dụ 37 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc (SCD)và (ABCD) 60◦ Gọi M trung điểm cạnh AB Biết hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng(ABCD)nằm hình vuông ABCD Khoảng cách hai đường thẳng SM AC
A a
√
5
5 B
a√5
10 C
3a√5
10 D
5a√3 Hướng dẫn giải:
Gọi I trung điểm cạnh CD,
AB ⊥SM
AB ⊥M I
⇒ AB ⊥
(SM I)
Do CD kAB nên CD ⊥(SM I)⇒((SCD),(ABCD)) =SIM[ Vẽ SH ⊥M I H ∈M I SH ⊥(ABCD)
4SM I cóSM2 =M I2+SI2−2M I·SIcosSIM[
⇔3a2 = 4a2 +SI2−2aSI
⇔SI2−2aSI+a2 = 0⇔SI =a
A
B C
D
M H I
S
(50)Theo định lý Pythagore đảo 4SM I vng tạiS ⇒SH = SM ·SI
M I =
a√3
2 Gọi N trung điểm cạnh BC ta có AC kM N
⇒ d(AC, SM) = d(AC,(SM N)) = d(C,(SM N)) = 3VSM N C
S∆SM N Ta có VSM N C =VS.M N B =
1 3SH ·
1
2BM ·BN = ·
a√3
2 ·a·a=
a3√3 12 Tam giác SIC có SC =√SI2+IC2 =√a2+a2 =a√2.
Tam giác SBC có SN2 = SB
2+SC2
2 −
BC2
4 = 2a
2 ⇒SN =a√2.
Tam giác SM N có nửa chu vi p= SM +SN +M N
2 =
a√3 +a√2 +a√2
2
Và diện tích 4SM N S4SM N = p
p(p−SM)(p−SN)(p−BC) = a
2√15
Vậy d(AC, SM) = 3VSM N C
S∆SM N =
3· a
3√3 12
a2√15
= a
√
5 Cách 2:
Ta thấy SM2+SI2 =M I2 nên 4SM I vuông tạiS Suy SH = SM ·SI
M I =
a√3
2 ;HM = 3a
2 Gọi O =AC∩BD; N trung điểm cạnh BC ta có AC k(SM N)
Do đó, d(AC, SM) = d(AC,(SM N)) = d(O,(SM N)) =
3d(H,(SM N))
Gọi K hình chiếu H lên M N, ta có 4HKM vuông cân tạiK nên HK = HM√
2 = 3a√2
4
Vậy d(AC, SM) =
3
SH ·HK
√
SH2+HK2 =
a√5
5
d Tổng Ôn
GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH
Hướng Tới Kì Thi THPTQG 2019 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác với AB = BC = CD = a,
AD = 2a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a Tính góc tạo hai mặt phẳng (SCD) (ABCD)
A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 75◦
(Đề thi thử THPT Hai Bà Trưng, Huế, Lần - 2019)
Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc mặt bên mặt đáy 60◦ Tính khoảng cách từB đến mặt phẳng (SCD)
A a B a√3 C a
√
3
2 D
a
2
(Đề thi thử THPT Hai Bà Trưng, Huế, Lần - 2019)
(51)(Đề tập huấn, Sở GD ĐT - Vĩnh Phúc, 2019)
Câu Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a Gọi M N trung điểm AD
BC Xác định độ dài đoạn thẳng M N để góc hai đường thẳng AB M N 30◦ A M N = a
2 B M N =
a√3
2 C M N =
a√3
3 D M N =
a
4
(Đề tập huấn, Sở GD ĐT - Vĩnh Phúc, 2019)
Câu Cho hình lăng trụ tam giác đềuABC.M N P có tất cạnh Gọi I trung điểm cạnh M P Cơ-sin góc hai đường thẳng BP N I
A
√
15
5 B
√
6
4 C
√
6
2 D
√
10
(Thi thử, Sở GD ĐT - Hà Tĩnh, 2019)
Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B SA vng góc với mặt đáy Biết SA=a, AB =a, BC =a√2 Gọi I trung điểm BC Tính cosin góc hai đường thẳngAI SC
A −
…
2
3 B
2
3 C
…
2
3 D
√
2
(THPT Đội Cần, Vĩnh Phúc, 2019)
Câu
Cho tứ diện ABCD với AC =
2AD, CAB[ = DAB\ = 60 ◦,
CD = AD Gọi ϕ góc hai đường thẳng AB CD Chọn khẳng định góc ϕ
A cosϕ=
4 B ϕ= 30
◦.
C ϕ= 60◦ D cosϕ=
4
A
C
B D
(Thi thử, Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên, 2019)
Câu Cho khối chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a, SA = a√3 SA vng góc với mặt phẳng đáy Cosin góc hai đường thẳng SB AC
A
√
3
4 B
√
2
4 C
√
5
4 D
√
5
( THPT Lê Văn Hưu, Thanh Hóa, 2019)
(52)(Thi thử, THPT chuyên KHTN Hà Nội, 2019)
Câu 10
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, AD C0D0 Tính cosin góc hai đường thẳngM N CP
A
√
10
5 B
√
15
5 C
1
√
10 D
√
10
A0
N B0
B
P
D D0
A M
C0
C
(Đề tập huấn Sở Ninh Bình, 2019)
Câu 11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh a, độ dài cạnh bên a Gọi M, N trung điểm cạnh SA BC Góc M N SC
bằng
A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦
(Thi thử, Toán học tuổi trẻ, 2019-2)
Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a, SA = a
vng góc với mặt phẳng đáy Tang góc đường thẳngSO mặt phẳng(SAB)
A √2 B
√
5
5 C
√
5 D
√
2
(Thi thử lần I, Sở GD&ĐT Sơn La 2019)
Câu 13
Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCD với tất cạnh bằnga Gọi
G trọng tâm tam giác SCD (tham khảo hình vẽ bên) Tang góc AG (ABCD)
A
√
17
7 B
√
5
3 C
√
17 D
√
5
S
G A
B C
D I Q O
(Đề tập huấn số 2, Sở GD ĐT Quảng Ninh, 2019)
Câu 14 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCD hình vng tâmO cạnh bằnga,SA=avàSA
vng góc với mặt phẳng đáy Tan góc đường thẳngSO mặt phẳng (SAB)bằng
A √2 B
√
2
2 C
√
5 D
√
5
(Thi thử, Chuyên Sơn La, 2018)
(53)(Đề Tập Huấn -4, Sở GD ĐT - Hải Phòng, 2019)
Câu 16 Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCD hình chữ nhật vớiAB =a,AD=a√3 Cạnh bênSA vng góc với mặt phẳng đáy vàSA=a Gọiϕlà góc đường thẳng SD mặt phẳng (SBC) Khẳng định đúng?
A tanϕ=
√
7
7 B tanϕ=
7 C tanϕ=
√
7 D tanϕ=− √
7
(Tập huấn, Sở GD ĐT - Bắc Giang, 2019)
Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy SA=a Góc đường thẳngSC mặt phẳng(ABCD) làα Khi tanα
A √2 B √1
3 C D
1
√
2
(Thi thử, Sở GD ĐT - Hà Tĩnh, 2019)
Câu 18 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh 2a Gọi M trung điểm SD Tính tan góc đường thẳng BM mặt phẳng (ABCD)
A
√
2
2 B
√
3
3 C
2
3 D
1
(Thi thử, Sở GD ĐT - Vĩnh Phúc, 2018)
Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABCD) Gọi I trung điểm AB Mệnh đề sai?
A Góc SC mp(ABCD)là góc SCI B SI vng góc với mp(ABCD)
C Góc SC mp(ABCD)là góc SCA D Góc SB mp(ABCD) góc SBA
(Thi thử L1, THPT n Dũng-Bắc Giang, 2018)
Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy vàSA=a√2 Tìm số đo góc đường thẳng SC mặt phẳng(SAD)
A 45◦ B 30◦ C 90◦ D 60◦
(Thi thử L1, Quảng Xương I, 2019)
Câu 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H,K trung điểm cạnh AB, AD Tính sin góc tạo đường thẳng SAvà (SHK)
A
√
7
4 B
√
14
4 C
√
2
4 D
√
2
(54)Câu 22 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác cân vớiAB =AC =a [
BAC = 120◦, cạnh bên BB0 = a, gọi I trung điểm CC0 Côsin góc tạo mặt phẳng (ABC) (AB0I)
A
√
20
10 B
√
30
5 C
√
30 D
√
30 10
(Thi thử lần I, Sở GD&ĐT Sơn La 2019)
Câu 23 Cho tứ diện ABCD có AC =AD =BC =BD =a, CD = 2x, (ACD)⊥ (BCD) Tìm giá trị x để(ABC)⊥(ABD)
A x= a
√
3
3 B x=a
√
2 C x=a D x= a
√
2
(KSCL, Sở GD ĐT - Thanh Hóa, 2018)
Câu 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I, cạnh a, góc \BAD = 60◦
SA = SB = SD = a
√
3
2 Gọi α góc đường thẳng SD mặt phẳng (SBC) Giá trị sinα
A
3 B
2
3 C
√
5
3 D
2√2
(Thi thử, Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An, 2019-L1)
Câu 25 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy cạnh bên a Tính cosin góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD)
A −1
3 B
1
3 C
2√2
3 D −
2√2
(Đề tập huấn Sở Ninh Bình, 2019)
Câu 26 Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình thang vng tạiA Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA=a√2 Biết AB = 2AD = 2DC = 2a Góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC)là
A π
3 B
π
4 C
π
6 D
π
12
(Đề kiểm tra định kì lần 3, Chuyên Bắc Ninh, 2018-2019)
Câu 27 Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 Tính góc hai mặt phẳng(A0B0C)và(C0D0A)
A 45◦ B 30◦ C 60◦ D 90◦
(THPT Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 2, 2018-2019)
Câu 28 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, chiều cao hình chóp
a√3
2 Góc mặt bên mặt đáy
A 60◦ B 75◦ C 30◦ D 45◦
(55)Câu 29 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh a Số đo góc hai mặt phẳng (BA0C) (DA0C)
A 120◦ B 60◦ C 90◦ D 30◦
(GHK2, THPT Yên Định - Thanh Hóa, 2019)
Câu 30 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có BC = a, BB0 = a√3 Góc hai mặt phẳng (A0B0C) (ABC0D0)
A 60◦ B 30◦ C 45◦ D 90◦
(Thi thử L3, Chuyên Quang Trung - Bình Phước, 2019)
Câu 31 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a Các điểm M, N, P thuộc đường thẳng AA0, BB0, CC0 thỏa mãn diện tích tam giác M N P a2 Góc hai mặt phẳng (M N P) (ABCD)
A 60◦ B 30◦ C 45◦ D 120◦
(Thi thử L1, THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, 2019)
Câu 32 Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có diện tích tam giác ABC 2√3 Gọi M,N,P thuộc cạnhAA0,BB0,CC0, diện tích tam giácM N P bằng4 Tính góc hai mặt phẳng
(ABC) (M N P)
A 120◦ B 45◦ C 30◦ D 90◦
( Hàm Rồng, Thanh Hóa, năm 2019)
Câu 33 Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 Tính góc hai mặt phẳng(A0BC)và(A0CD)
A 90◦ B 120◦ C 60◦ D 45◦
(Đề KSCL Quỳnh Lưu 1, Nghệ An, năm 2019, Lần 1)
Câu 34 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên 2a, cạnh đáy bằnga Gọiα góc hai mặt bên hình chóp Hãy tính cosα
A cosα=
15 B cosα=
√
3
2 C cosα=
15 D cosα =
(KSCL Lần Trường THPT Cộng Hiền - Hải Phòng, năm 2018 - 2019)
Câu 35 Cho lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD hình thoi, AC = 2AA0 = 2a√3 Góc hai mặt phẳng (A0BD) (C0BD)
A 90◦ B 60◦ C 45◦ D 30◦
(56)Câu 36 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh √3 Mặt phẳng (α) song song với
AB cắt tất cạnh bên hình lập phương Tính diện tích thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (α) biết (α)tạo với mặt (ABB0A0) góc 60◦
A 2√3 B
2 C D
3√3
(Thi thử lần 1, THPT Thăng Long - Hà Nội, 2019)
Câu 37 Cho hình chópS.ABC có đáyABC tam giác vng cân đỉnhB,AB=a,SA= 2a
và SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên SB,
SC Diện tích tam giácAHK A a
2√3
3 B
a2√2
3 C
2√6a2
15 D
2a2√3
(Thi thử L1, THPT Yên Dũng-Bắc Giang, 2018)
Câu 38 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thang vng A B, biết AB = BC = a,
AD = 2a, SA = a√3 SA ⊥ (ABCD) Gọi M, N trung điểm SB SA Tính khoảng cách từ M đến (N CD) theo a
A a
√
66
22 B 2a
√
66 C a
√
66
11 D
a√66
44
(DTH, Sở GD ĐT - Hà Nam, 2019)
Câu 39 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh a Góc cạnh bên mặt phẳng đáy 60o Khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD) bằng
A a√2 B a
√
6
2 C
a√3
2 D a
(Thi tập huấn, Sở GD ĐT - Bắc Ninh, 2019)
Câu 40 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Góc cạnh bên mặt phẳng đáy 60◦ Khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD)
A a√2 B a
√
6
2 C
a√3
2 D a
(Tập huấn SGD Bắc Ninh, 2019)
Câu 41 Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCD hình vuông cạnha, mặt bênSAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
A h= a
√
21
7 B h=a C h=
a√3
4 D h=
a√3
7
(Đề tập huấn tỉnh Lai Châu,2019)
Câu 42 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B SB ⊥ (ABC) Biết
SB = 3a,AB = 4a, BC = 2a Tính khoảng cách từB đến (SAC) A 12
√
61a
61 B
3√14a
14 C
4a
5 D
12√29a
(57)Câu 43 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có AB =a, AA0 = 2a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB0 A0C
A a
√
3
2 B
2√5
5 a C a
√
5 D
√
17 17 a
(KSCL lần 2, THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
Câu 44 Cho tứ diện ABCD có tất cạnh 2a, gọi M điểm thuộc cạnh AD
sao cho DM = 2M A Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (BCD) A 2a
√
6
9 B a
√
6 C 4a
√
6
9 D
2a√6
(KSCL, THPT Nơng Cống I, Thanh Hóa, lần 1, 2019)
Câu 45 Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCD có cạnh đáy cạnh bên bằnga Khoảng cách từ
AD đến mặt phẳng (SBC)bằng bao nhiêu? A √2a
3 B
√
2a
√
3 C
3a
2 D
a
√
3
(KSCL lần 1, Lưu Đình Chất - Thanh Hóa, 2019)
Câu 46 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, AB = a, AC =a√3, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA= 2a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
A 2a
√
3
19 B
2a√57
19 C
2a√38
19 D
a√57
19
(Đề KSCL, Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa năm 2018-2019)
Câu 47 Cho hình chópS.ABC có đáy tam giác vng cân tạiB,2SA=AC = 2avàSAvng góc với đáy Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)bằng
A 2a
√
6
3 B
4a√3
3 C
a√6
3 D
a√3
3
(Thử sức trước kì thi - THTT, 2019)
Câu 48 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy vàSA=a√3 Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)bằng
A 2a
√
5
5 B a
√
3 C a
2 D
a√3
2
(Thi thử L1, Quảng Xương I, 2019)
Câu 49 Cho hình chópS.ABC cóSAvng góc với mặt phẳng đáy Biết gócBAC[ = 30◦,SA=a
và BA = BC = a Gọi D điểm đối xứng với B qua AC Khoảng cách từ B đến mặt (SCD)
A
√
21
7 a B
√
2
2 a C
2√21
7 a D
√
21 14 a
(58)Câu 50 Cho tam giác ABC có cạnh 3a Điểm H thuộc cạnh AC với HC = a Dựng đoạn thẳng SH vng góc với mặt phẳng (ABC) với SH = 2a Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)bằng
A 3a
7 B
a√21
7 C
3a√21
7 D 3a
(THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 1)
Câu 51 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AD= 2a,SA vng góc với đáy SA=a√3 Gọi H hình chiếu A SB Khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
A a
√
6
3 B
3a√6
8 C
a√6
2 D
3a√6 16
(Thi thử L1, THPT Hậu Lộc 2, Thanh Hố, 2019)
Câu 52 Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD hình vng tâmO cạnh a Tính khoảng cách SC AB biết SO =a vng góc với mặt đáy hình chóp
A a B a
√
5
5 C
2a
5 D
2a
√
5
(De tap huan, So GD&DT Dien Bien, 2019)
Câu 53 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình vng tâm O cạnha,SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) SO=a Khoảng cách SC AB
A a
√
3
15 B
a√5
5 C
2a√3
15 D
2a√5
(DTH, Sở GD ĐT - Hà Nam, 2019)
Câu 54 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB = 6, BC = 8, AC = 10 Tính khoảng cáchd hai đường thẳng SA BC
A d= B d= C d= 10 D d=
(Tập Huấn - Ninh Bình-2019)
Câu 55 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc a Khoảng cách hai đường thẳng OA BC
A a B a√2 C a
√
2
2 D
a√3
2
(Thi thử, Chuyên Sơn La, 2018)
Câu 56 Cho hình chóp S.ABCD có độ dài cạnh đáy a, độ dài cạnh bên a
√
5 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC
A a B a
√
5
2 C
a√3
2 D
a√6
3
(59)Câu 57 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách hai đường thẳngSA, BC kết
A a
√
3
4 B
a√3
2 C
a√5
2 D
a√2
2
(Thi thử, Lào Cai - Phú Thọ, 2019)
Câu 58 Cho tứ diện ABCD cạnh Khoảng cách hai đường thẳng AB CD
bằng
A 2√2 B C D 2√3
(Thi thử, Sở GD ĐT - Hà Tĩnh, 2019)
Câu 59 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có tất cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB
A a
√
6
2 B
a√6
3 C
a√3
3 D
a√3
2
(Thi KSCL,M.V.Lômônôxốp Hà Nội, 2019)
Câu 60 Cho hình chópS.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy Góc SC mặt đáy 45◦ Gọi E trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng DE SC
A a
√
5
19 B
a√38
19 C
a√5
5 D
a√38
5
(Giữa HK1 THPT Hoằng Hóa - Thanh Hóa - 19)
Câu 61 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thoi cạnh a, góc BAC[ = 60◦, tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Mặt phẳng (SCD) tạo với đáy góc 30◦ Tính khoảng cáchd hai đường thẳng SB AD
A d =
√
21
14 a B d =
√
3
5 a C d =
2√3
5 a D d =
√
21 a
(Thi thử L1, THPT Thuận Thành Bắc Ninh, 2019)
Câu 62 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có A.A0B0D0 hình chóp đều, A0B0 = AA0 = a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB0 A0C0
A a
√
22
22 B
a√11
2 C
a√22
11 D
3a√22 11
(Thi thử, THPT Thiệu Hóa-Thanh Hóa, 2018)
Câu 63 Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0 có cạnh bênAA0 =a√2 Biết đáy ABC tam giác vng có BA = BC = a, gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng
AM B0C
(60)(Thi thử, THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang, 2018-2019)
Câu 64 Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy tam giác cạnh Hình chiếu vng góc A0 lên mặt phẳng(ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC GọiM trung điểm cạnh AC Khoảng cách hai đường thẳng BM B0C
A B √2 C D 2√2
(THPT Đội Cấn, Vĩnh Phúc, 2018-2019)
Câu 65 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB
CD
A a
√
2
3 B
a√2
2 C
a√3
2 D
a√3
3
(Thử sức trước kì thi - THTT, 2019)
Câu 66 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OC = 2a, OA =
OB =a Gọi M trung điểm củaAB Tính khoảng cách hai đường thẳngOM AC A 2a
3 B
2√5a
5 C
√
2a
3 D
√
2a
2
(Chuyên Quang Trung, BìnhPhước, Lần2)
Câu 67 Cho hình trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy tam giác ABC vng A có BC = 2a,
AB=a√3 Khoảng cách hai đường thẳng AA0 BC A a
√
21
7 B
a√3
2 C
a√5
2 D
a√7
3
(Thi thử L1, Quảng Xương I, 2019)
Câu 68
Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh 4, góc SC mặt phẳng (ABC) là45◦ Hình chiếu S
lên (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Tính khoảng cáchd hai đường thẳng SA BC
A d=
√
210
45 B d=
√
210 C d=
√
210
15 D d=
2√210 15
S
H
C
A B
(Thi thử, Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên, 2019)
Câu 69 Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác vng, BA = BC = a, cạnh bênAA0 =a√2,M trung điểm củaBC Khoảng cách hai đường thẳngAM vàB0C
A a
√
2
2 B
a√5
5 C
a√7
7 D
a√3
(61)Câu 70 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác vuông BA = BC = a, cạnh bên AA0 =a√2, M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng AM B0C
là A a
√
7
7 B
a√2
2 C
a√5
5 D
a√3
3
(Thi thử, Hải Hậu A, 2019, lần 1)
Câu 71 Cho hình chópS.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Biết mặt bên hình chóp tạo với đáy góc thể tích khối chóp
√
3a3
3 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA vàCD
A √5a B 3√2a C √2a D √3a
(Thi thử L1, Hai Bà Trưng, Huế, 2019)
Câu 72 Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật,AB =a,BC = 2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA=a Khoảng cách hai đườngAC SB
A a
2 B
√
6a
2 C
a
3 D
2a
3
(Đề thi thử THPT Gia Định - HCM, 2019)
Câu 73 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Khoảng cách hai đường thẳng AB SC
bằng A a
√
2
2 B
a√21
7 C
a√7
3 D
a√21
3
(THPT Quảng Xương - Thanh Hóa - 2019)
Câu 74 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng với đường chéo AC = 2a, SA ⊥ (ABCD) Khoảng cách hai đường thẳng SB vàCD
A √a
3 B
a
√
2 C a
√
2 D a√3
(Thi thử, THPT Bạch Đằng - Quảng Ninh, 2019)
Câu 75 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Khoảng cách hai đường thẳng BC
SD
A a B a
√
3
2 C
a√3
3 D
a√2
2
(Thi thử L1, THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, 2019)
(62)(Thi thử, Trường THPT Yên Dũng 2, Bắc Giang-Lần 2-2019)
Câu 77 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD tâm O cạnh 2a, cạnh bên
SA=a√5 Khoảng cách giữaBD SC A a
√
15
5 B
a√30
5 C
a√15
6 D
a√30
6
( Hàm Rồng, Thanh Hóa, năm 2019)
Câu 78 Cho tứ diện OABC cóOA,OB,OC đơi vng góc với nhau, OA=a, OB =OC = 2a Gọi M trung điểm củaBC Khoảng cách hai đường thẳng OM AB
A a
√
2
2 B
2a√5
5 C a D
a√6
3
(Thi thử, Triệu Quang Phục - Hưng Yên Lần 2, 2019)
Câu 79 Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có AC = a, BC = 2a, ACB[ = 120◦ Gọi M trung điểm BB0 Tính khoảng cách hai đường thẳng AM CC0 theo a
A a
√
3
7 B a
√
3 C a
√
7
7 D a
…
3
(Thi thử lần 1, Chuyên Lê Thánh Tông Quảng Nam, 2019)
Câu 80 Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với đáy
SA =a Gọi M, N trung điểm cạnh BC CA Khoảng cách hai đường thẳng AM SN
A a
4 B
a
√
17 C
a
17 D
a
3
(Thi thử, Toán học tuổi trẻ, 2019-2)
Câu 81 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB = 6, BC = 8, AC = 10 Tính khoảng cáchd hai đường thẳng SA BC
A d = B d = C d = 10 D d =
(Đề tập huấn Sở Ninh Bình, 2019)
Câu 82
Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình vng cạnh bằng2; cạnhSA= vng góc với đáy Gọi M trung điểm CD Tính cosα với α
là góc tạo hai đường thẳng SB AM A
5 B −
2
5 C
1
2 D
4
S
A
B C
D M
(63)Câu 83
Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDvới tất cạnh
a Gọi G trọng tâm tam giác SCD (tham khảo hình vẽ bên) Giá trị tan góc AG (ABCD)
A
√
17
17 B
√
5
3 C
√
17 D
√
5
S
B C
O Q
D G
I A
(Đề tập huấn, Sở GD ĐT - Quảng Ninh, 2019)
Câu 84 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SA=SB =SD =a, BAD\= 60◦ Góc đường thẳng SA mặt phẳng (SCD)
A 30◦ B 90◦ C 45◦ D 60◦
(GHK1, THPT Đội Cấn, Vĩnh Phúc, 2018-2019)
Câu 85 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AD k BC), BC = 2a,
AB = AD =DC =a với a > Gọi O giao điểm AC BD Biết SD vng góc AC M
là điểm thuộc đoạn OD; M D =x với x >0.M khác O D Mặt phẳng (α)qua M song song với hai đường thẳng SD AC cắt khối chóp S.ABCD theo thiết diện Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất?
A a
√
3
4 B a
√
3 C a
√
3
2 D a
(Thi thử lần 1, Chuyên Lê Thánh Tông Quảng Nam, 2019)
Câu 86 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAB tam giác (SAB) vng góc với (ABCD) Tính cosϕvới ϕlà góc tạo (SAC) (SCD)
A
7 B
√
3
7 C
√
6
7 D
√
2
(Thi thử lần 1, THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội, 2019)
Câu 87 Cho hình chóp S.ABC có SC ⊥ (ABC) tam giác ABC vuông B Biết AB = a,
AC =a√3,SC = 2a√6 Tính sincủa góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC) A
…
2
3 B
2
√
13 C D
…
5
(De tap huan, So GD&DT Dien Bien, 2019)
Câu 88 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có AB = 2√3 AA0 = Gọi M, N, P
lần lượt trung điểm cạnh A0B0, A0C0 BC Cơ-sin góc tạo hai mặt phẳng (AB0C0)
(64)Câu 89 Cho khối chópS.ABCD có đáy hình bình hành,AB= 3, AD= 4,BAD\= 120◦ Cạnh bên SA= 2√3vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnhSA, AD BC
α góc hai mặt phẳng (SAC) (M N P) Chọn khẳng định khẳng định sau
A α∈(60◦; 90◦) B α∈(0◦; 30◦) C α∈(30◦; 45◦) D α∈(45◦; 60◦)
(Thi thử L1, Quảng Xương I, 2019)
Câu 90 Cho tứ diện ABCD có AB = 3a, AC = a√15, BD = a√10, CD = 4a Biết góc đường thẳng AD mặt phẳng (BCD) 45◦, khoảng cách hai đường thẳng AD
BC 5a
4 hình chiếu A lên mặt phẳng (BCD) nằm tam giác BCD Tính độ dài đoạn thẳng AD biết AD > a
A 5a
√
2
4 B 2a C
√
2a D 3a
√
2
(KSCL, Sở GD ĐT - Thanh Hóa, 2018)
Câu 91 Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0 cóAB= 1,AC = 2, AA0 = BAC[ = 120◦ Gọi
M, N điểm cạnh BB0, CC0 cho BM = 3B0M, CN = 2C0N Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng(A0BN)
A
√
138
184 B
3√138
46 C
9√3
16√46 D
9√138 46
(Đề tập huấn số 2, Sở GD ĐT Quảng Ninh, 2019)
Câu 92 Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0 cóAB=a,AC = 2a,AA0 = 2a√5vàBAC[ = 120◦ Gọi K, I trung điểm cạnh CC0, BB0 Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (A0BK)bằng
A a√15 B a
√
5
6 C
a√15
3 D
a√5
3
(Thi thử Lần 1,THPT Tứ Kỳ, Hải Dương, 2019)
Câu 93 Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 cạnh a GọiM, N trung điểm củaAC
và B0C0 Khoảng cách hai đường thẳng M N B0D0
A a√5 B a
√
5
5 C 3a D
a
3
(Thi thử, Sở GD ĐT -Lạng Sơn, 2019)
Câu 94 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a√6, khoảng cách hai đường thẳng
SA BC 3a
2 Tính thể tích khối chóp S.ABC A a
3√6
2 B
a3√6
8 C
a3√6
12 D
a3√6
(65)Câu 95 Cho hình chớp S.ABCD có đáy hình vng ABCD, SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Biết diện tích mặt cấu ngoại tiếp khối
chóp S.ABCD 4π Khoảng cách hai đường thẳng SD AC gần với giá trị sau
nhất? A
7 B
3
7 C
6
7 D
4
(Hải Phòng, 2018)
Câu 96 Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 cạnha GọiM,N trung điểm BC
và DD0 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng M N BD
A √3a B
√
3a
2 C
√
3a
3 D
√
3a
6
(THPT Nguyễn Huệ, Vĩnh Phúc, 2019)
Câu 97 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Biết diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
S.ABCDlà4π Khoảng cách hai đường thẳngSD vàAC gần với giá trị sau đây?
A
7 dm B
3
7 dm C
4
7 dm D
6 dm
(Đề Tập Huấn -4, Sở GD ĐT - Hải Phòng, 2019)
Câu 98
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách hai đường thẳng AB0 BC0
bằng A a
√
3
3 B
a√2
2 C a
√
3 D a√2
A
A0
B C
D
B0 A
C0
D0
(KSCL Lần Trường THPT Cộng Hiền - Hải Phòng - 2019)
Câu 99 Cho khối lập phương ABCD.A0B0C0D0 Gọi M trung điểm AD, φ góc hai mặt phẳng (BM C0)và (ABB0A0) Khẳng định đúng?
A cosφ= B cosφ=
5 C cosφ=
3 D cosφ=
3
A B
M
A0
D C
(66)(THPT Nghèn - Hà Tĩnh, 2019)
ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1 B B C B B C D B C 10 C
11 A 12 B 13 A 14 D 15 C 16 A 17 D 18 D 19 C 20 B
21 C 22 D 23 A 24 C 25 B 26 A 27 D 28 A 29 B 30 A
31 A 32 C 33 C 34 C 35 A 36 A 37 C 38 D 39 B 40 B
41 A 42 A 43 D 44 C 45 B 46 B 47 C 48 D 49 A 50 C
51 D 52 D 53 D 54 D 55 C 56 C 57 A 58 A 59 B 60 B
61 D 62 C 63 D 64 A 65 D 66 B 67 B 68 B 69 C 70 A
71 D 72 D 73 B 74 C 75 B 76 D 77 B 78 D 79 D 80 B
81 D 82 A 83 A 84 C 85 A 86 A 87 B 88 B 89 A 90 B