Giáo án hình học lớp 12 chuyên đề 7 bài 1 hệ tọa độ trong không gian

CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững định nghĩa hệ trục tọa độ Oxyz không gian, khái niệm tọa độ điểm, tọa độ vectơ + Nắm vững biểu thức tọa độ phép toán vectơ tính chất + Nắm vững biểu thức tọa độ tích vơ hướng, tích có hướng hai vectơ ứng dụng + Nắm vững phương trình mặt cầu, điều kiện để phương trình phương trình mặt cầu  Kĩ + Biết tìm tọa độ điểm, vectơ Tính tổng, hiệu vectơ, tích vectơ với số + Tính tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng: tính độ dài vectơ, tính khoảng cách hai điểm, tính góc hai vectơ; + Xác định tích có hướng hai vectơ vận dụng làm số tốn + Viết phương trình mặt cầu biết tâm bán kính TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hệ tọa độ khơng gian Hệ trục tọa độ Đề-các vng góc khơng gian gồm ba trục x'Ox, y'Oy, z'Oz vng góc với đôi   Gọi i, j , k vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) mặt phẳng tọa độ Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz gọi không gian Oxyz Tọa độ vectơ  Trong không gian Oxyz, cho vectơ u Khi      u   x; y; z   u  xi  y j  zk Chú ý:  1)   0;0;  a1  b1    2) a  b  a2  b2 a  b  3 a1  kb1      3) a phương b b   a  kb a  kb  3   Biểu thức tọa độ phép toán vectơ   Cho hai vectơ a   a1 ; a2 ; a3  , b   b1; b2 ; b3  k số thực tùy ý Khi ta có:    a  b   a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3     a  b   a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3    k a   ka1 ; ka2 ; ka3    a.b   a1.b1  a2 b2  a3 b3  Ứng dụng tích vơ hướng:     a  b  a.b   a1.b1  a b  a b3   2   a  a.a  a12  a 22  a 32   2 a  a  a12  a 22  a 32 TOANMATH.com Trang     a1b1  a b  a b3 a.b cos a; b     a.b a1  a 22  a 32 b12  b 22  b32       Với a  0, b  Tọa độ điểm Trong không gian Oxyz, cho điểm M tùy ý     Khi M ( x; y; z)  OM  xi  y j  zk Chú ý: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M Tính chất  Nếu A  x A ; y A ; y A  B  x B ; y B ; y B   AB  x B  x A ; y B  y A ; z C  z A   Khi AB  AB  (x; y; z) ta có khẳng định sau:  M  O  M  0; 0;   x B  x A    y B  yA    z B  z A  2  Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB  M   Oxy   z  , tức M  x; y;0   M   Oyz   x  , tức M  0; y; z   M   Oxz   y  , tức M  x;0; z   x  x B yA  y B z A  z B  I A ; ;  2    M  Ox  y  z  , tức M  x; 0;0   Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC  M  Oy  x  z  , tức M  0; y;0   x  x B  x C y A  yB  yC z A  z B  z C  G A ; ;  3    M  Oz  x  y  , tức M  0; 0; z   Tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD  x  x B  x C  x D yA  y B  yC  yD zA  zB  zC  z D  G A ; ;  4   Tích có hướng hai vectơ Định nghĩa    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ b   b1 ; b ; b3  Tích có hướng hai vectơ a b vectơ   vng góc với hai vectơ a b , kí hiệu   a a , b       b2 a3 a3 ; b b3 a1 a1 ; b1 b1   a , b  xác định sau:   a2   b2    a b3  a b ;a 3b1  a1b3 ; a1b  a b1  Tính chất       a phương với b   a , b        a , b  vng góc với hai vectơ a b       b , a    a , b  TOANMATH.com Trang         a , b   a b sin a ; b     Phương trình mặt cầu Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I  a; b;c  bán kính R có phương trình  x  a    y  b   z  c 2  R Ngược lại phương trình x  y  z  2Ax  2By  2Cz  D  1 Với A2  B  C  D  phương trình mặt cầu tâm I   A;  B; C  có bán kính R  A2  B  C  D Chú ý: Điều kiện để phương trình (1) phương trình mặt cầu là: A2  B  C  D  TOANMATH.com Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Hệ tọa độ Đề-các vng góc Oxyz gồm ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz    a, b phương       a , b        a , b   a , b Điểm O gốc tọa độ Không gian gắn với   hệ tọa độ Oxyz        a , b   a b sin a ; b     Các mặt phẳng tọa độ: KHƠNG GIAN Tích có hướng hai vectơ vectơ   a   a1 ;a ; a  , b   b1 ; b ; b3  a3 a3 ; b b3  Oxy  ,  Oyz  ,  Ozx  HỆ TỌA ĐỘ Tích có hướng   a a , b       b2 Các vectơ đơn vị trục Ox, Oy,   Oz i, j, k a1 a1 ; b1 b1 a2   b2  Tọa độ vectơ Tọa độ điểm  u   x; y; z       u  xi  y j  zk M  x; y; z       OM  xi  y j  zk  2 u  u  x  y2  z2  AB  x B  x A ; y B  y A ; z C  z A    a b3  a b ;a 3b1  a1b3 ; a1b  a b1  Biểu thức tọa độ phép toán vectơ   a   a1 ;a ; a  , b   b1 ; b ; b3    a  b   a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3   k.a   ka1 ; k a ; k a  với k số thực  a.b  a1.b1  a2 b2  a3 b3 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, vectơ hệ trục Oxyz Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa khái niệm có liên quan đến điểm, vectơ: Tọa độ điểm, vectơ; độ dài vectơ, phép tốn vectơ để tính tổng, hiệu vectơ; tìm tọa độ trọng tâm tam giác, Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang    Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho a  2; 2;0  , b  2; 2;  , c  2; 2;     Giá trị a  b  c A B D 11 C 11 Hướng dẫn giải       Ta có a  b  c   2; 6;  nên a  b  c  22  62  22  44  11 Chọn D Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A 1; 2;3 , B  1;0;1 Trọng tâm G tam giác OAB có tọa độ là: A  0;1;1  4 B  0; ;   3 C  0; 2;  D  2; 2; 2  Hướng dẫn giải 1   0 x G   200   4 Tọa độ trọng tâm tam giác là:  y G    G  0; ;  3  3  1   z G  3  Chọn B Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm A(1;2;3) mặt phẳng (Oyz) A M (0; 2;3) B N 1; 0;3 C P 1; 0;  D Q  0; 2;0  Chú ý: Hình chiếu điểm M(x;y;z) lên mặt phẳng (Oyz) M  0; y; z  Hướng dẫn giải Ta có M  0; 2;3 hình chiếu điểm A 1; 2;3 mặt phẳng (Oyz) Chọn A   Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, góc hai vectơ i u   3; 0;1  A 30o B 120o C 60o  D 150o Hướng dẫn giải   Ta có i  1;0;  u   3; 0;1 , áp dụng cơng thức tính góc hai vectơ,   i, u  3 ta có: i, u      1.2 i.u      Suy góc hai vectơ cần tìm i, u  150o   Chọn D TOANMATH.com Trang    Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho vectơ a  1; 2;  , b   x0 ; y0 ; z0  ) phương với vectơ a   Biết vectơ b tạo với tia Oy góc nhọn b  21 Giá trị tổng x0  y0  z0 A 3 C 6 B D Hướng dẫn giải     Ta có a, b phương nên ta có b  k.a   k; 2k; 4k  ;  k    Lại có b  21 suy k  k  4k  16k  21    k  1   Với k  ta có b  1; 2;  , suy góc b Oy thỏa mãn    b.j cos b, Oy    , b.j  2  b j  Suy góc tạo b Oy góc tù Suy k  không thỏa mãn   Với k  1 ta có b   1; 2; 4  , suy góc b Oy thỏa mãn      b.j cos b, Oy    , b.j   b j  Suy góc tạo b Oy góc nhọn Vậy k  1 thỏa mãn  Do b   1; 2; 4  Suy x0  y0  z0  1    3   Chọn A   Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có A 3; 1;1 , hai đỉnh  B, C thuộc trục Oz AA  (C không trùng với O) Biết vectơ u  ( a; b; 2) (với a, b   ) vectơ phương đường thẳng AC Tính T  a  b A T  B T  16 C T  D T  Hướng dẫn giải Lấy M trung điểm BC AM  BC Khi ta có  nên BC  AM M; AA  BC suy M hình chiếu A trục Oz  M  0; 0;1 AM  Mặt khác AM  AM  AA2  Lại có ABC nên AM  BC   BC   MC  Gọi C  0; 0;c  , c  suy MC  c  TOANMATH.com Trang ... phẳng tọa độ Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz gọi không gian Oxyz Tọa độ vectơ  Trong không gian Oxyz, cho vectơ u Khi      u   x; y; z   u  xi  y j  zk Chú ý:  1)   0;0;  a1... gốc tọa độ Không gian gắn với   hệ tọa độ Oxyz        a , b   a b sin a ; b     Các mặt phẳng tọa độ: KHÔNG GIAN Tích có hướng hai vectơ vectơ   a   a1 ;a ; a  , b   b1... a b3  a b ;a 3b1  a1b3 ; a1b  a b1  Biểu thức tọa độ phép toán vectơ   a   a1 ;a ; a  , b   b1 ; b ; b3    a  b   a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3   k.a   ka1 ; k a ; k a 