Giáo án hình học lớp 11 vectơ trong không gian, hai đường thẳng vuông góc

CHUN ĐỀ VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN BÀI GIẢNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Mục tiêu  Kiến thức + Trình bày tính chất, quy tắc biểu diễn vectơ + Phát biểu tích vơ hướng hai vectơ, góc hai đường thẳng  Kĩ + Chứng minh đẳng thức vectơ, biểu diễn vectơ theo vectơ khơng trùng phương với + Nắm phương pháp chứng minh phương hai vectơ, tìm điều kiện ba vectơ đồng phẳng + Tính góc hai đường thẳng Vận dụng tích vơ hướng hai vectơ để giải tốn   Trang   I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM A VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Các định nghĩa a) Vectơ đoạn thẳng có hướng (có phân biệt điểm đầu điểm cuối)  +) Ký hiệu vectơ: AB (điểm đầu A, điểm cuối B) hay    a, x, y, +) Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ +) Giá vectơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ Sự phương hai vectơ     a phương b0 trùng    k   : a  k b Hai vectơ gọi phương giá    chúng song song trùng  a hướng b0   Hai vectơ phương hướng ngược  k    : a  k b    hướng  a b0 ngược hướng Hai vectơ hai vectơ hướng có    k    : a  k b độ dài  Ba điểm A, B, C thẳng hàng Hai vectơ đối hai vectơ ngược hướng    k   : AB  k AC có độ dài b) Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối c) d) e) f) Các quy tắc tính tốn với vectơ g) Quy tắc ba điểm (với phép cộng)    AB  BC  AC Quy tắc ba điểm (mở rộng)       AX  X X  X X  X n 1 X n  X n B  AB h) Quy tắc ba điểm (với phép trừ)    OB  OA  AB i) Quy tắc hình bình hành    Nếu tứ giác ABCD hình bình hành AB  AD  AC j) Quy tắc hình hộp Nếu ABCD ABC D hình hộp     AC   AB  AD  AA  k) Phép nhân số k với vectơ a  Ta có k a vectơ xác định sau  + hướng với a k  TOANMATH.com Trang    + ngược hướng với a k    + có độ dài k a  k a Một số hệ thức vectơ hay dùng l) Hệ thức trung điểm đoạn thẳng    I trung điểm đoạn thẳng AB  IA  IB     OA  OB  2OI (với O điểm bất kỳ) m) Hệ thức trọng tâm tam giác     G trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC       OA  OB  OC  3OG (với O điểm bất kỳ)    AG  AM (với M trung điểm cạnh BC) n) Hệ thức trọng tâm tứ diện G trọng tâm tứ diện ABCD       GA  GB  GC  GD        OA  OB  OC  OD  4OG (với điểm O bất kỳ)    AG  AA (với A trọng tâm BCD )     GM  GN  (với M, N trung điểm cặp cạnh đối diện) Sự đồng phẳng ba vectơ o) Định nghĩa Trong không gian, ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Hệ Nếu có mặt phẳng chứa vectơ đồng thời song song với giá hai vectơ ba vectơ đồng phẳng Ứng dụng: p) Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng   Trong không gian cho hai vectơ a, b không phương     AB, AC , AD  vectơ c    đồng phẳng  AB  m AC  n AD    Khi đó, a, b c đồng phẳng tồn cặp số     m; n  cho c  ma  nb (cặp số  m; n  nêu nhất) q) Phân tích vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng    Cho ba vectơ a, b c không đồng phẳng  Với vectơ x , ta tìm số TOANMATH.com Chú ý: Trang    m; n; p  cho     x  m.a  n.b  p.c Tích vơ hướng hai vectơ          a) Nếu a  b  a.b  a b cos(a, b) Bình phương vơ hướng vectơ: 2  a a      b) Nếu a  b  a.b  Một số ứng dụng tích vơ hướng        a) Nếu a  b  ta có a  b  a.b  b) Cơng thức tính cơsin góc hợp hai  vectơ khác    a.b cos a, b    a.b   c) Công thức tính độ dài đoạn thẳng   AB  AB  AB B HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GĨC Nhận xét:  Góc hai vectơ khơng gian a) Nếu a vectơ phương đường    Định nghĩa: Trong không gian, cho u v hai vectơ thẳng d vectơ k a với k   khác Lấy điểm A bất kì, gọi B C hai điểm vectơ phương d     AB  u, AC  v Khi ta gọi b) Một đường thẳng khơng gian hồn cho   tồn xác định biết điểm A thuộc d  0  BAC   180 góc hai vectơ u v BAC  vectơ phương a   khơng gian, kí hiệu u , v c) Hai đường thẳng song song với     Vectơ phương đường thẳng   Vectơ a khác gọi vectơ phương đường  thẳng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d chúng hai đường thẳng phân biệt có hai vectơ phương phương   Chú ý Giả sử u, v vectơ phương đường thẳng a b   Đặt u , v     0    90  a, b    Khi  180   90    180 +) Nếu a//b a  b  a , b   0 +) 0   a, b   90 Góc hai đường thẳng TOANMATH.com Trang   Góc hai đường thẳng a b không gian góc hai đường thẳng a b qua điểm Nhận xét a) Nếu hai đường thẳng a, b có   vectơ phương u, v  a  b  u.v  song song với a b a / / b b)  cb c  a Hai đường thẳng vng góc Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 90 Kí hiệu: Đường thẳng a b vng góc với kí hiệu a  b SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA   a, b hướng   a b Vectơ đoạn thẳng có hướng   ab Định nghĩa Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng   a, b ngược hướng   a b   a, b đối Một số hệ thức vectơ trọng tâm Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ  AB  AB Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng VECTƠ TRONG KHƠNG Các phép tốn vectơ GIAN Quy tắc điểm:    AB  BC  AC I trọng tâm hệ n điểm A1 ; A2 ; ; An      IA1  IA2   IAn      a, b không phương a, b  c đồng phẳng tồn    cặp số  m; n  cho c  ma  nb Phép trừ:    OB  OA  AB Sự đồng đẳng ba vectơ Nếu ABCD là hình  bình hành AB  AD  AC Nếu ABCD ABC D hình hộp     AC   AB  AD  AA TOANMATH.com Trang   II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Vectơ khơng gian Bài tốn Xác định vectơ chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp giải Vận dụng kiến thức sau  Định nghĩa khái niệm liên quan đến vectơ;  Tính chất hình học đa giác học;  Các quy tắc tính tốn với vectơ;  Một số hệ thức vectơ hay dùng;  Các tính chất hình hình học cụ thể Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB CD Chứng minh      AC  BD  AD  BC  MN Hướng dẫn giải     Ta có AC  BD  AD  BC      AC  AD  BC  BD    DC  DC (đẳng thức đúng) Do M, N trung điểm cạnh AB CD    AM  BM  nên     NC  ND          Do AD  BC  AM  MN  NB  BM  MN  ND            AM  BM  NB  ND  MN  MN          Vậy AC  BD  AD  BC  MN Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang   Ví dụ Cho hình hộp ABCD ABC D Sử dụng đỉnh hình hộp làm điểm đầu điểm cuối vectơ     a) Hãy kể tên vectơ vectơ AB, AC , AD, AA  b) Hãy kể tên vectơ ln có độ dài độ dài vectơ BC Hướng dẫn giải +) +) +) +) a) Ta có     AB  DC  AB  DC    AC  AC      AD  BC  AD  BC      AA  BB  CC   DD b) Từ tính chất hình bình hành, ta suy  vectơ ln có độ dài độ dài vectơ BC         BC , CB, AD, DA, AD, DA, BC , C B Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành     a) Chứng minh SA  SC  SB  SD     b) Nếu ABCD hình chữ nhật SA  SC  SB  SD Hướng dẫn giải a) Gọi O tâm hình bình hành ABCD O trung điểm đường chéo AC BD       Do SA  SC  SO SB  SD  SO     Vậy SA  SC  SB  SD        b) Ta có SA  SO  OA  SO  OA  2SO.OA ,     SC  SO  OC         SO  OC  SO.OC         Suy SA  SC  SO  OA  OC  SO OA  OC             SO  OA (vì OA OC hai vectơ đối nên OA  OC  )   SO  OA2    Tương tự SB  SD   SO  OB  Mà ABCD hình chữ nhật nên OA  OB     Suy SA  SC  SB  SD Bài toán Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ba điểm thẳng hàng TOANMATH.com Trang   Phương pháp giải  Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, sử dụng cách sau + Chứng minh ba vectơ có giá song song với mặt phẳng + Chứng minh hai vectơ có giá song song với mặt phẳng chứa giá vectơ lại    + Biến đổi vectơ để đẳng thức dạng c  m.a  n.b  Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng    k   : AB  k AC     k   : k MA  1  k  MB  MC Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M N điểm cạnh AD BC cho    AM  MD, BC  NC Chứng minh ba vectơ AB, CD, MN đồng phẳng Hướng dẫn giải      MN  MA  AB  BN    Ta có   MN  MD  DC  CN           Cộng vế theo vế hai đẳng thức ta 3MN  MA  MD  BN  2CN  AB  DC                Do MA  MD  0, BN  2CN  nên MN  AB  CD 3    Vậy AB, CD, MN đồng phẳng Ví dụ mẫu       Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có AA  a, AB  b, AC  c Hãy phân tích vectơ      BC , BC  qua vectơ a, b, c Hướng dẫn giải          Ta có BC  BB  BC   AA  AC  AB   a  b  c          BC   BC  CC   AC  AB  AA  a  b  c TOANMATH.com Trang   Ví dụ Cho hình chóp S.ABC Lấy điểm M N cho     MS  2 MA NC  2 NB Chứng minh ba vectơ    AB, MN , SC đồng phẳng Hướng dẫn giải       Từ giả thiết ta có MS  2MA  0; CN  BN       MN  MS  SC  CN    Lại có   2MN  MA  AB  BN   Cộng vế theo vế ta          3MN  MS  2MA  CN  BN  SC  AB  SC  AB        Vậy AB, MN , SC đồng phẳng Ví dụ Cho hình chóp S.ABC Lấy điểm A, B, C  thuộc tia SA, SB, SC cho SA  a.SA, SB  b.SB, SC  c.SC  , a, b, c số thay đổi Chứng minh mặt phẳng  ABC  qua trọng tâm tam giác ABC a  b  c  Hướng dẫn giải       Từ giả thiết ta suy SA  a.SA, S B  b.SB, SC  c.SC      Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có SA  SB  SC  3SG     G   ABC    SG  x.SA  y.SB  z.SC  với x  y  z       3SG  3x.SA  y.SB  3z.SC  với x  y  z         a.SA  b.SB  c.SC   3x.SA  y.SB  z.SC        a  3x  SA   b  y  SB   c  z  SC       a  3x  b  y  c  3z  (do SA, SB, SC  không đồng phẳng) +) Nếu G   ABC   ta có a  3x  b  y  c  z  (với x  y  z  ) Do a  b  c  +) Nếu a  b  c  , ta đặt x  x yz  a b c , y  , z  3 abc  a  3x  b  y  c  3z  Do G   ABC   TOANMATH.com Trang   Ví dụ Cho tứ diện ABCD, M N điểm thuộc AB CD cho     MA  2MB, ND  2 NC ; điểm I, J, K thuộc AD, MN , BC cho       IA  k ID, JM  k JN , KB  k KC Chứng minh điểm I , J , K thẳng hàng Hướng dẫn giải    OA  2OB   Ta có MA  2MB nên với điểm O OM  Tương tự, ta          OD  2.OC  OA  k OD  OB  k OC  OM  k ON ON  , OI  , OK  , OJ  1 k 1 k 1 k    1   Ta có OJ  OA  2OB  k OD  2k OC 1 k   1  1  k  OI  1  k  OK  1 k       OI  2OK  OI  OK 3         Suy OI  OJ  OK  OJ   JI  JK   IJ  JK 3 3        Suy I , J , K thẳng hàng Ví dụ Cho hình hộp ABCD ABC D Gọi G, G trọng tâm tam giác BDA, CBD Chứng minh điểm A, G, G, C  thẳng hàng Hướng dẫn giải       Đặt AB  a, AD  b, AA  c     Ta có AC   a  b  c (quy tắc hình hộp)        Theo quy tắc trọng tâm, ta có AG  AB  AD  AA  a  b  c 3  TOANMATH.com    Trang 10 ... song với     Vectơ phương đường thẳng   Vectơ a khác gọi vectơ phương đường  thẳng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d chúng hai đường thẳng phân biệt có hai vectơ phương phương... a Hai đường thẳng vng góc Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 90 Kí hiệu: Đường thẳng a b vng góc với kí hiệu a  b SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA   a, b hướng   a b Vectơ đoạn thẳng. .. Góc hai đường thẳng TOANMATH.com Trang   Góc hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a b qua điểm Nhận xét a) Nếu hai đường thẳng a, b có   vectơ phương u, v  a  b  u.v  song