bai giang vecto trong khong gian hai duong thang vuong goc

CHUN ĐỀ VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN BÀI GIẢNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Mục tiêu  Kiến thức + Trình bày tính chất, quy tắc biểu diễn vectơ + Phát biểu tích vơ hướng hai vectơ, góc hai đường thẳng  Kĩ + Chứng minh đẳng thức vectơ, biểu diễn vectơ theo vectơ khơng trùng phương với + Nắm phương pháp chứng minh phương hai vectơ, tìm điều kiện ba vectơ đồng phẳng + Tính góc hai đường thẳng Vận dụng tích vơ hướng hai vectơ để giải tốn   Trang   I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM A VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Các định nghĩa a) Vectơ đoạn thẳng có hướng (có phân biệt điểm đầu điểm cuối)  +) Ký hiệu vectơ: AB (điểm đầu A, điểm cuối B) hay    a, x, y, +) Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ +) Giá vectơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ Sự phương hai vectơ     a phương b0 trùng    k   : a  k b Hai vectơ gọi phương giá    chúng song song trùng  a hướng b0   Hai vectơ phương hướng ngược  k    : a  k b    hướng  a b0 ngược hướng Hai vectơ hai vectơ hướng có    k    : a  k b độ dài  Ba điểm A, B, C thẳng hàng Hai vectơ đối hai vectơ ngược hướng    k   : AB  k AC có độ dài b) Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối c) d) e) f) Các quy tắc tính tốn với vectơ g) Quy tắc ba điểm (với phép cộng)    AB  BC  AC Quy tắc ba điểm (mở rộng)       AX  X X  X X  X n 1 X n  X n B  AB h) Quy tắc ba điểm (với phép trừ)    OB  OA  AB i) Quy tắc hình bình hành    Nếu tứ giác ABCD hình bình hành AB  AD  AC j) Quy tắc hình hộp Nếu ABCD ABC D hình hộp     AC   AB  AD  AA  k) Phép nhân số k với vectơ a  Ta có k a vectơ xác định sau  + hướng với a k  TOANMATH.com Trang    + ngược hướng với a k    + có độ dài k a  k a Một số hệ thức vectơ hay dùng l) Hệ thức trung điểm đoạn thẳng    I trung điểm đoạn thẳng AB  IA  IB     OA  OB  2OI (với O điểm bất kỳ) m) Hệ thức trọng tâm tam giác     G trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC       OA  OB  OC  3OG (với O điểm bất kỳ)    AG  AM (với M trung điểm cạnh BC) n) Hệ thức trọng tâm tứ diện G trọng tâm tứ diện ABCD       GA  GB  GC  GD        OA  OB  OC  OD  4OG (với điểm O bất kỳ)    AG  AA (với A trọng tâm BCD )     GM  GN  (với M, N trung điểm cặp cạnh đối diện) Sự đồng phẳng ba vectơ o) Định nghĩa Trong không gian, ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Hệ Nếu có mặt phẳng chứa vectơ đồng thời song song với giá hai vectơ ba vectơ đồng phẳng Ứng dụng: p) Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng   Trong không gian cho hai vectơ a, b không phương     AB, AC , AD  vectơ c    đồng phẳng  AB  m AC  n AD    Khi đó, a, b c đồng phẳng tồn cặp số     m; n  cho c  ma  nb (cặp số  m; n  nêu nhất) q) Phân tích vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng    Cho ba vectơ a, b c không đồng phẳng  Với vectơ x , ta tìm số TOANMATH.com Chú ý: Trang    m; n; p  cho     x  m.a  n.b  p.c Tích vơ hướng hai vectơ          a) Nếu a  b  a.b  a b cos(a, b) Bình phương vơ hướng vectơ: 2  a a      b) Nếu a  b  a.b  Một số ứng dụng tích vơ hướng        a) Nếu a  b  ta có a  b  a.b  b) Cơng thức tính cơsin góc hợp hai  vectơ khác    a.b cos a, b    a.b   c) Công thức tính độ dài đoạn thẳng   AB  AB  AB B HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GĨC Nhận xét:  Góc hai vectơ khơng gian a) Nếu a vectơ phương đường    Định nghĩa: Trong không gian, cho u v hai vectơ thẳng d vectơ k a với k   khác Lấy điểm A bất kì, gọi B C hai điểm vectơ phương d     AB  u, AC  v Khi ta gọi b) Một đường thẳng khơng gian hồn cho   tồn xác định biết điểm A thuộc d  0  BAC   180 góc hai vectơ u v BAC  vectơ phương a   khơng gian, kí hiệu u , v c) Hai đường thẳng song song với     Vectơ phương đường thẳng   Vectơ a khác gọi vectơ phương đường  thẳng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d chúng hai đường thẳng phân biệt có hai vectơ phương phương   Chú ý Giả sử u, v vectơ phương đường thẳng a b   Đặt u , v     0    90  a, b    Khi  180   90    180 +) Nếu a//b a  b  a , b   0 +) 0   a, b   90 Góc hai đường thẳng TOANMATH.com Trang   Góc hai đường thẳng a b không gian góc hai đường thẳng a b qua điểm Nhận xét a) Nếu hai đường thẳng a, b có   vectơ phương u, v  a  b  u.v  song song với a b a / / b b)  cb c  a Hai đường thẳng vng góc Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 90 Kí hiệu: Đường thẳng a b vng góc với kí hiệu a  b SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA   a, b hướng   a b Vectơ đoạn thẳng có hướng   ab Định nghĩa Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng   a, b ngược hướng   a b   a, b đối Một số hệ thức vectơ trọng tâm Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ  AB  AB Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng VECTƠ TRONG KHƠNG Các phép tốn vectơ GIAN Quy tắc điểm:    AB  BC  AC I trọng tâm hệ n điểm A1 ; A2 ; ; An      IA1  IA2   IAn      a, b không phương a, b  c đồng phẳng tồn    cặp số  m; n  cho c  ma  nb Phép trừ:    OB  OA  AB Sự đồng đẳng ba vectơ Nếu ABCD là hình  bình hành AB  AD  AC Nếu ABCD ABC D hình hộp     AC   AB  AD  AA TOANMATH.com Trang   II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Vectơ khơng gian Bài tốn Xác định vectơ chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp giải Vận dụng kiến thức sau  Định nghĩa khái niệm liên quan đến vectơ;  Tính chất hình học đa giác học;  Các quy tắc tính tốn với vectơ;  Một số hệ thức vectơ hay dùng;  Các tính chất hình hình học cụ thể Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB CD Chứng minh      AC  BD  AD  BC  MN Hướng dẫn giải     Ta có AC  BD  AD  BC      AC  AD  BC  BD    DC  DC (đẳng thức đúng) Do M, N trung điểm cạnh AB CD    AM  BM  nên     NC  ND          Do AD  BC  AM  MN  NB  BM  MN  ND            AM  BM  NB  ND  MN  MN          Vậy AC  BD  AD  BC  MN Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang   Ví dụ Cho hình hộp ABCD ABC D Sử dụng đỉnh hình hộp làm điểm đầu điểm cuối vectơ     a) Hãy kể tên vectơ vectơ AB, AC , AD, AA  b) Hãy kể tên vectơ ln có độ dài độ dài vectơ BC Hướng dẫn giải +) +) +) +) a) Ta có     AB  DC  AB  DC    AC  AC      AD  BC  AD  BC      AA  BB  CC   DD b) Từ tính chất hình bình hành, ta suy  vectơ ln có độ dài độ dài vectơ BC         BC , CB, AD, DA, AD, DA, BC , C B Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành     a) Chứng minh SA  SC  SB  SD     b) Nếu ABCD hình chữ nhật SA  SC  SB  SD Hướng dẫn giải a) Gọi O tâm hình bình hành ABCD O trung điểm đường chéo AC BD       Do SA  SC  SO SB  SD  SO     Vậy SA  SC  SB  SD        b) Ta có SA  SO  OA  SO  OA  2SO.OA ,     SC  SO  OC         SO  OC  SO.OC         Suy SA  SC  SO  OA  OC  SO OA  OC             SO  OA (vì OA OC hai vectơ đối nên OA  OC  )   SO  OA2    Tương tự SB  SD   SO  OB  Mà ABCD hình chữ nhật nên OA  OB     Suy SA  SC  SB  SD Bài toán Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ba điểm thẳng hàng TOANMATH.com Trang   Phương pháp giải  Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, sử dụng cách sau + Chứng minh ba vectơ có giá song song với mặt phẳng + Chứng minh hai vectơ có giá song song với mặt phẳng chứa giá vectơ lại    + Biến đổi vectơ để đẳng thức dạng c  m.a  n.b  Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng    k   : AB  k AC     k   : k MA  1  k  MB  MC Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M N điểm cạnh AD BC cho    AM  MD, BC  NC Chứng minh ba vectơ AB, CD, MN đồng phẳng Hướng dẫn giải      MN  MA  AB  BN    Ta có   MN  MD  DC  CN           Cộng vế theo vế hai đẳng thức ta 3MN  MA  MD  BN  2CN  AB  DC                Do MA  MD  0, BN  2CN  nên MN  AB  CD 3    Vậy AB, CD, MN đồng phẳng Ví dụ mẫu       Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có AA  a, AB  b, AC  c Hãy phân tích vectơ      BC , BC  qua vectơ a, b, c Hướng dẫn giải          Ta có BC  BB  BC   AA  AC  AB   a  b  c          BC   BC  CC   AC  AB  AA  a  b  c TOANMATH.com Trang   Ví dụ Cho hình chóp S.ABC Lấy điểm M N cho     MS  2 MA NC  2 NB Chứng minh ba vectơ    AB, MN , SC đồng phẳng Hướng dẫn giải       Từ giả thiết ta có MS  2MA  0; CN  BN       MN  MS  SC  CN    Lại có   2MN  MA  AB  BN   Cộng vế theo vế ta          3MN  MS  2MA  CN  BN  SC  AB  SC  AB        Vậy AB, MN , SC đồng phẳng Ví dụ Cho hình chóp S.ABC Lấy điểm A, B, C  thuộc tia SA, SB, SC cho SA  a.SA, SB  b.SB, SC  c.SC  , a, b, c số thay đổi Chứng minh mặt phẳng  ABC  qua trọng tâm tam giác ABC a  b  c  Hướng dẫn giải       Từ giả thiết ta suy SA  a.SA, S B  b.SB, SC  c.SC      Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có SA  SB  SC  3SG     G   ABC    SG  x.SA  y.SB  z.SC  với x  y  z       3SG  3x.SA  y.SB  3z.SC  với x  y  z         a.SA  b.SB  c.SC   3x.SA  y.SB  z.SC        a  3x  SA   b  y  SB   c  z  SC       a  3x  b  y  c  3z  (do SA, SB, SC  không đồng phẳng) +) Nếu G   ABC   ta có a  3x  b  y  c  z  (với x  y  z  ) Do a  b  c  +) Nếu a  b  c  , ta đặt x  x yz  a b c , y  , z  3 abc  a  3x  b  y  c  3z  Do G   ABC   TOANMATH.com Trang   Ví dụ Cho tứ diện ABCD, M N điểm thuộc AB CD cho     MA  2MB, ND  2 NC ; điểm I, J, K thuộc AD, MN , BC cho       IA  k ID, JM  k JN , KB  k KC Chứng minh điểm I , J , K thẳng hàng Hướng dẫn giải    OA  2OB   Ta có MA  2MB nên với điểm O OM  Tương tự, ta          OD  2.OC  OA  k OD  OB  k OC  OM  k ON ON  , OI  , OK  , OJ  1 k 1 k 1 k    1   Ta có OJ  OA  2OB  k OD  2k OC 1 k   1  1  k  OI  1  k  OK  1 k       OI  2OK  OI  OK 3         Suy OI  OJ  OK  OJ   JI  JK   IJ  JK 3 3        Suy I , J , K thẳng hàng Ví dụ Cho hình hộp ABCD ABC D Gọi G, G trọng tâm tam giác BDA, CBD Chứng minh điểm A, G, G, C  thẳng hàng Hướng dẫn giải       Đặt AB  a, AD  b, AA  c     Ta có AC   a  b  c (quy tắc hình hộp)        Theo quy tắc trọng tâm, ta có AG  AB  AD  AA  a  b  c 3  TOANMATH.com    Trang 10   Ví dụ Cho hình chóp tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA  OB  a, OC  2a Gọi M trung điểm BC Tính cơsin góc hai đường thẳng AB OM Hướng dẫn giải  AB  a 2, BC  a  Ta có  BC a  OM   2             AB.OM  OB  OA OB  OC  OB  OB.OC  OA.OB  OA.OC 2        a2 a       2 a2   10  AB, OM   cos AB, OM    Vậy cos  AB.OM 10 a a 2     AB.OM   BAD   60, CAD   90 Gọi M trung điểm Ví dụ 10 Cho tứ diện ABCD có AB  AD  a BAC cạnh CD Tính độ dài cạnh AC để cơsin góc hai đường thẳng AC BM Hướng dẫn giải Gọi N trung điểm AD Ta có  BM , AC    BM , MN    Đặt AC  x  MN  x  TOANMATH.com Trang 23   Theo ta có tam giác ABD cạnh a nên BD  a, BN  a Tam giác ACD vuông A nên DC  AD  AC  a  x Xét tam giác ABC ta có BC  a  x  2ax Do BM  a  a  x  2ax a  x 3a  x  4ax   4 3a  x  4ax 3a 2  x  2 4   BM  MN  BN  Ta tính cos BMN BM MN 3a  x  4ax .x  x  4ax x 3a  x  4ax  2x  a 3a  x  4ax Theo giả thiết ta có cos   2x  a 3a  x  4ax  x   x  8ax    x  a Do x  nên x  a  AC  x  2a Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Mệnh đề sau đúng? A Hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng song song với B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với C Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với song song với đường thẳng cịn lại D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng lại   Câu 2: Cho hai đường thẳng a, b có vectơ phương u, v Mệnh đề sau sai?   A Nếu a  b u.v  B Nếu u.v  a  b   u.v u.v D cos  a, b     C cos  a, b     u.v u.v Câu 3: Cho ba đường thẳng a, b, c Mệnh đề sau sai? A Nếu a / / b  a, c    c, b  B Nếu c / / b  a, b    a, c  C Nếu a / / c  a , c   0 D Nếu a  b  a, c    c, b  Câu 4: Cho ba đường thẳng a, b, c Khẳng định sau đúng? A Nếu a  b b  c a / / b B Nếu a  b b  c a  c C Nếu a  c b  c a  b D Nếu a / / b c  b c  a   Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Góc cặp vectơ AB DH A 45 TOANMATH.com B 90 C 120 D 60 Trang 24   Câu 6: Cho hình lập phương ABCD ABC D Chọn khẳng định sai? A Góc AC BD 90 B Góc BD AA 60 C Góc AD BC 45 D Góc BD AC  90   Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Góc cặp vectơ AB EG A 90 B 60 C 45 D 120 Câu 8: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Góc AO CD bao nhiêu? A 0 B 30 C 90 D 60 Câu 9: Cho tứ diện ABCD, M trung điểm cạnh BC Khi cos  AB, DM  A 2 B C D Câu 10: Cho hình hộp ABCD ABC D có tất mặt hình thoi góc đỉnh A 60 Góc hai đường thẳng BD AC  A 90 B 30 Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AC  C 45 D 60   DAB   60, CD  AD Gọi  góc AB CD AD, CAB Chọn khẳng định A cos   B   60 C   30 D cos   Câu 12: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Khẳng định sau đúng? A SA  SC B SA  SB C SA  SD D SA  CD A 60 B 45 C 120 D 90     BAD   60 Góc cặp vectơ AB CD Câu 13: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD BAC Câu 14: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Gọi M điểm đường thẳng AC Số đo góc hai đường thẳng BD, SM A 90 B 120 C 60 D 45   BAD   60, CAD   90 Gọi I J Câu 15: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD BAC   trung điểm AB CD Góc cặp vectơ AB IJ A 120 B 90 C 60 D 45 Câu 16: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Số đo hai đường thẳng BC SA A 45 B 120 C 90 D 60 Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA  3a vng góc với mặt đáy Gọi M trung điểm cạnh SB Cơsin góc hai đường thẳng AM SC A 16 B 11 16 C 8 D     SAB  Khi góc  Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có AB  AC SAC SA, BC  TOANMATH.com  Trang 25   A 30 B 45 C 60 D 90     CSA  Góc SC , AB Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  ASB  BSC  A 120 B 45 C 60  D 90 Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a MN , SC  Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc  A 45 B 30 C 90 D 60 Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Gọi I J trung điểm SC BC Số đo góc  IJ , CD  A 90 B 45 C 30 D 60 Câu 22: Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Gọi M, N trung điểm AC BC  Cơsin góc hai đường thẳng MN BD A 10 10 B C D 10 Câu 23: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC ABC  có đáy ABC tam giác cân   120 , cạnh bên AA  a Góc hai đường thẳng AB BC AB  AC  a, BAC A 90 B 30 C 45 D 60 Câu 24: Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có tất cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC  Cơsin góc hai đường thẳng MN AC A B C D 5 Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có SA, SB, SC đơi vng góc với SA  SB  SC  a Gọi M trung điểm AB Góc hai đường thẳng SM BC A 30 B 60 C 90 D 120 Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Các tam giác SAB, SAD, SAC tam giác vuông A Côsin góc hai đường thẳng SC BD bao nhiêu, biết SA  a 3, AB  a, AD  3a ? A B C 130 65 D 130 65 Câu 27: Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có tất cạnh a Côsin hai đường thẳng AC BC  A 2 B C Câu 28: Cho hình lăng trụ tam giác D ABC ABC  có đáy ABC tam giác vng A, AB  a, AC  a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABC  trung điểm H BC , AH  a Gọi  góc hai đường thẳng AB BC Tính cos  A cos   TOANMATH.com B cos   C cos   D cos   Trang 26     Câu 29: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Góc cặp vectơ AF EG A 90 B 60 C 45 D 120 Câu 30: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N trung điểm BC, AD biết AB  CD  a, MN  a Côsin góc hai đường thẳng AB CD A B 2 C D Câu 31: Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB vng cân S, có SA  a , tam giác ABC vuông cân   60 Gọi M trung điểm SB Cơsin góc hai đường thẳng AB CM C BSC 3            Câu 32: Cho hai vecto a, b thoả mãn, a  4, b  3, a.b  10 Xét hai vecto y  a  b, x  a  2b Gọi    góc hai vecto y, x Tính cos  A 6 A cos  = B 2 15 30 B cos  = C 15 C cos  = D 15 D cos  = 15 Câu 33: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D, AB  6cm, BC  BB  2cm Điểm E trung điểm cạnh BC Một tứ diện MNPQ có hai đỉnh M N nằm đường thẳng C E , hai đỉnh P, Q nằm đường thẳng qua điểm B cắt đường thẳng AD điểm F Độ lớn DF A 1cm TOANMATH.com B 2cm C 3cm D 6cm Trang 27   ĐÁP ÁN Dạng Vecto không gian 1-B 2-C 3-C 4-D 5–C 6–A 7–B 8–C 9–C 10 - C 11 – A 12 – D 13 – D 14 - B 15 – A 16 – B 17 – A 18 – B 19 – A 20 – B 21 – C 22 – A 23 – D 24 – C 25 – B 26 – D 27 – A 28 – D 29 - A 30 – B 31 - A 32 - D 33 - C 34 - D 35 - B 36 - D 37 - B 38 - A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu       Với ABC tam giác ta có AB  AC AB  AC AB   AC nên B sai Câu    Khẳng định (1) sai a, b, c đồng phẳng giá chúng ln song song với mặt mặt phẳng Khẳng định (2) sai vectơ đồng phẳng không yêu cầu phải phương Khẳng định (3) (4) theo điều kiện định nghĩa ba vectơ đồng phẳng Câu 1 AB AC.sin A  AB AC sin A  AB AC 1  cos A 2        AB AC  AB AC cos A  AB AC  AB AC 2 S  Vậy k   Câu           A sai AB  CD  AC  DB  CA  AB  BD  DC  CD  DC (sai)           B sai AB  BD  AB  CD  AC  AB  CD  DB  BC  CB(sai)           C sai AD  BC  AB  DC  AD  AB  DC  CB  BD  DB(sai)           D BA  CD  BD  CA  BA  BD  DC  CA  DA  DA (đúng) Câu        Ta có AB  AC   BA  3CA  BA  3CA  3CA Từ phương án A sai         Ta có AB  3 AC  CB  CA  3CA  CB  4CA  AC Từ phương án B sai       Ta có AB  2 AC  AD  AB, AC , AD đồng phẳng  A, B, C , D đồng phẳng (C đúng)     Phương án D sai B trung điểm đoạn thẳng AC AB  BC mà BC   BC Câu           +) SB  SD  SA  SC  SB  SA  SC  SD  AB  DC  ABCD hình bình hành (A đúng)   +) AB  CD ta phải suy tứ giác ABDC hình bình hành khơng phải ABCD (B sai)      +) C sai AB  BC  CD  DA  với vị trí A, B, C , D    +) D sai với AB  AC  AD AD đường chéo hình bình hành ABCD TOANMATH.com Trang 28   Câu   2 2     Ta có: a  b  a  b  a b cos a, b  32  52  2.3.5.cos120  19     Suy a  b  19 Câu     Ta có O trọng tâm tam giác BCD nên BO  CO  DO  (1)          Ta có: AO  AB  BO; AO  AC  CO; AO  AD  DO            Từ (1) suy AO  AB  AC  AD  AO  AB  AC  AD  AB  AC  AD 3 3     Suy OA   AB  AC  AD (2) 3   Mà AM  AD (3)           Từ (2) (3) suy OM  OA  AM   AB  AC  AD  AD   AB  AC  AD 3 3   Câu C sai cần ba vectơ có giá song song với mặt phẳng ba vectơ đồng phẳng Câu 10   A, B sai OM  OB  M  B O, M , B, A thẳng hàng mà O điểm          C OM  kOA  1  k  OB  OM  OB  k OA  OB  BM  k BA    D sai OM  OA  OB  OAMB hình bình hành Khi M  AB   Câu 11         Ta có: AB  AB  AB.C A   AB AC     a 2 cos   a 4  Câu 12    A sai a, b có giá nằm  P  , cịn c có giá song song với  P               B sai với ba vectơ a, 0, c ta có  0.a  0.c a, 0, c đồng phẳng c  m.a  n.0 a  c phương với        C sai với vectơ d , a, b khác đồng phẳng với ta có d  ma  nb     Khi d  (m  1)a  nb  a          Đặt c  a d  (m  1)a  nb  c a, b, c lại đồng phẳng với Vậy ba khẳng định sai Câu 13      Phương án D sai đẳng thức AB  BC  CD  DA  ln với vị trí không gian bốn điểm A, B, C , D nên không đủ điều kiện để khẳng định A, B, C , D đồng phẳng Câu 14 TOANMATH.com Trang 29      Ta có: AC  AC  BC  BA        BC  BA.BC  BA2  BA.BC   BA2  BC  AC  Câu 15          MN  MS  SN   SA  SB  BN   SA  SB  BC 2     1 3 1   SA  SB  SC  SB   a  b  c 4   Câu 16      Ta có AO  AM  AN , AM  a ; 2           AN  AC  CN  AC  CD  AC  AD  AC  b  c 3 3          Vậy AO   a  b  c   a  b  c 22 3      Câu 17     Gọi G trọng tâm ABC G cố định GA  GB  GC        Ta cos: P  MG  GA  MG  GB  MG  GC            3MG  MG GA  GB  GC  GA2  GB  GC    3MG  GA2  GB  GC  GA2  GB  GC Dấu “=” xảy  M  G Vậy Pmin  GA2  GB  GC với M  G trọng tâm tam giác ABC Câu 18 Ta có AB  AC  AD  BC  BD  CD          AG  GB  AG  GC  AG  GD  BG  GC               BG  GD    CG  GD  2              AG  3BG  3CG  3DG  AG.GB  AG.GC  AG.GD  BG.GD  BG.GD  CG.GD (1)           Mà GA  GB  GC  GD   GA  GB  GC  GD    0  GA2  GB  GC  GD              AG.GB  AG.GC  AG.GD  BG.GD  BG.GD  CG.GD (2)   Từ (1) (2) ta có AB  AC  AD  BC  BD  CD   GA2  GB  GC  GD  TOANMATH.com Trang 30   Câu 19 (I) Đúng       BC  BB  BC   AA  AC  AB         AA  AB  AC  a  b  c   (II) Sai         BC   BB  BC   AA  BC  AA  AC  AB        AA  AB  AC  a  b  c   Câu 20 Ta có:      AG  AA  AG  AA  AI     AA  AB  AC          AG  AA  AB  AC  AA  AB  AC 3     3a  b  c         Câu 21       Đặt AB  a, AD  b, AA  c       Từ MA  k MC , ta có AA  AM  k AC  AM         AA  k AC  k a  b  c  AM   1 k 1 k       Từ NC   l.ND , ta có AC   AN  l AD  AN        AC   l AD a  b  c  lb  AN   1 l 1 l    Suy MN  AM  AN        k a  b  c a  b  c  lb  k   k          1 b    a  c 1 k 1 l  1 k 1 l   1 k  1 k 1 l        Mặt khác BD  AD  AB   a  b  c   Để MN / / BD MN / / BD nên       k  k  2k 1  k   l    k  1  k   l  1 3k     2  k  3  1 k  k     k    1 1 k 1 l   k 1  k  l Từ ta có: 1   l  1 Vậy k  l  4 1 l TOANMATH.com Trang 31   Câu 22 Do tất cạnh hình chóp nên hình chóp S.ABCD hình chóp    Suy OC ; OS ; OD đôi vng góc Do M trung điểm CD nên ta có:       MS  OS  OM   OC  OD  OS 2      CB  OB  OC  OD  OC    Do OC ; OS ; OD đôi vng góc với nên   1 a2 MS CB  OC  OD  OC  2 Câu 23     Đặt PA  xSA; BQ  yBN     Suy ra: PQ  PA  AB  BQ      xSA  SB  SA  yBN       x  1 SA  SB  y SN  SB     y    x  1 SA  1  y  SB  SC   y   x  1 a  1  y  b  c (*)          Lại có CM  SM  SC  SA  SB  SC  a  b  c 2   Để PQ / / CM PQ  kCM hay    y x x   y  x 1  y      y  1 1 1  y   y  2   1 1 2 Thay vào (*) ta PQ   a  b  c 3 Câu 24      C sai AB / /  MNP  ta có AB, MN , NP đồng phẳng AB   MNP  hay giá AB không nằm  MNP  Câu 25         AG  AA  AB  AC  AA  AB  AB  AD 3  Suy AG  AG   AA2  AB  AD   TOANMATH.com    Trang 32    2 a  4a  a   a  Câu 26 Gọi M , N trung điểm AC BD Do O giao điểm AC BD nên      SA  SB  SC  SD  SO           OS  SA  OS  SC  OS  SB  OS  SD              OA  OC    OB  OD            2OM  2ON   OM  ON  O  M  N  ABCD hình bình hành Vậy mệnh đề (I) (II) Bình luận: Để chứng minh mệnh đề (I) (II) đúng, ta áp dụng: Cho A  a, B  b O  a  b   Khi OA  OB  O  A  B   Chứng minh: Nếu A khơng trùng O B khơng trùng O (do OA  OB )  OA  a OB  b   Nhưng OA  OB  O, A, B thẳng hàng  a  b  a  b  a (trái với giả thiết O  a  b ) Câu 27 Từ giả thiết suy SBC vuông cân S ; SAC tam giác          Có SC AB  SC SB  SA  SC.SB  SC.SA   a   SC.SA.cos  ASC  a.a.cos 60     1 a Vậy SC AB  a  2 Câu 28 Gọi M, N trung điểm AC BD         Ta có: SA  SC  SB  SD  SM  SN  SM  SN  M  N  ABCD hình bình hành Câu 29       Ta có y  x  z nên ba vectơ x, y, z đồng phẳng   Câu 30 Khẳng định B sai       Các vectơ x, y, z đồng phẳng  m, n : x  m y  nz    Ta có x  m y  nz 3m  2n             a  2b  4c  m 3a  3b  2c  n 2a  3b  3c  3m  3n  2 (hệ vô nghiệm) 2m  3n    TOANMATH.com    Trang 33      Vậy không tồn hai số m, n : x  m y  nz Câu 31          Ta có AB.EG  AB EF  EH  AB.EF  AB.EH   Do AB  EH nên AB.EH       Suy AB.EG  AB.EF  AB  a   Câu 32 +) A     AC   AB  AD  AA              AB  AD  AA AB AD  AD AA  AA AB     3a  Suy AC   a +) B        AD AB  AA  AD AA  AB  AA  a          AA ' AD  AA AB  AB AD      +) C AB.CD  DC .CD   DC   CD    +) D sai          AB  BC   CD  DA  AB  BC  CD  DA  Câu 33       Đặt AA  a, AB  b, AC  c         Ta có AI  AB  AB  AB  AB  AA  a  b 2         AK  AA  AC   AA  AA  AC  a  c 2       Do MB  k MC  nên AB  AM  k AC   AM                       k  1 AM  k AC   AB  k a  c  a  b   k  1 a  b  kc    Vì bốn điểm A, M , I , K đồng phẳng nên AM , AI , AK đồng phẳng,     k  1 AM  x AI  y AK                k  1 a  b  kc  x  a  b   y  a  c   2   TOANMATH.com Trang 34      k  1  x  y  x  1    1  x   y  1 Vậy k     y k  k    2  Câu 34   Gọi I điểm thỏa mãn SI  IO          P  MI  IS  MI  IA  MI  IB  MI  IC       5MI  IS  IA2  IB  IC  ID  5MI  IS  IA2  IB  IC  ID  5MI  IS  IA2  IB  IC  ID Vậy Pmin  M  I         MI  ID         MI  IS  IA  IB  IC  ID          MI  IS  IO  OA  OB  OC  OD          SI  4IO; OA  OB  OC  OD  0 2 SM  SO Câu 35 Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến, ta có: ME  MA2  MB AB AB   MA2  MB  ME   ME  2a Câu 36       Đặt SA  a, SB  b, SC  c , ta có:      AB  SB  SA  b  a ;         MS  2 MA   SM  2 SA  SM  SM  SA  a ; 3       NB  k NC  SB  SN  k SC  SN        k  1 SN  k SC  SB  kc  b ;           k  1 MN   k  1  SN  SM   kc  b   k  1  a    Để ba vectơ AB, MN , SC đồng phẳng ta có     k  1 MN  x AB  ySC    k  1      kc  b  a  x b  a  yc  TOANMATH.com  Trang 35      k  1  x  1  x     1    x  1  k    k   2 y  k      y  Vậy k   Câu 37       Đặt AB  a, AC  b, AD  c         Theo ta có AM  a  b; AN  a  c ; AP  b 4    Đặt AQ  k AD  kc   1 1 1     MN AN AM a b c      4        Ta có  MP  AP  AM   a  b 12  3 1       MQ  AQ  AM   a  b  kc     Vì M , N , P, Q đồng phẳng nên xMN  yMP  MQ 3 1          x   a  b  c   y   a  b    a  b  kc  12  4    1   3 1  1   x  y  a   x  y  b  xc   a  b  kc  12  4 4 4 3  1 x  4 x  y    1 1    x  y   y  12 4    2 x  k k      AQ Vậy AQ  AD   AD Câu 38               Ta có  m  n  p  q   m.n  m p  m.q  n p  n.q  p.q             Suy m.n  m p  m.q  n p  n.q  p.q  2            2 S  mn  m p  mq  n p  nq  pq                    12  m.n  m p  m.q  n p  n.q  p.q m  n  p  q                 Vậy m  n  m  p  m  q  n  p  n  q  p  q  12   2   16 TOANMATH.com Trang 36       Dấu “=” xảy chẳng hạn m  n  1;0;0  p  q   1;0;0  TOANMATH.com Trang 37 ... C BSC 3            Câu 32: Cho hai vecto a, b thoả mãn, a  4, b  3, a.b  10 Xét hai vecto y  a  b, x  a  2b Gọi    góc hai vecto y, x Tính cos  A 6 A cos  = B 2 15...  0 +) 0   a, b   90 Góc hai đường thẳng TOANMATH.com Trang   Góc hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a b qua điểm Nhận xét a) Nếu hai đường thẳng a, b có   vectơ... nghĩa: Trong không gian, cho u v hai vectơ thẳng d vectơ k a với k   khác Lấy điểm A bất kì, gọi B C hai điểm vectơ phương d     AB  u, AC  v Khi ta gọi b) Một đường thẳng khơng gian