Giáo án hình học lớp 11 góc trong không gian

VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN BÀI GIẢNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm khái niệm góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng + Nắm phương pháp tính góc trường hợp cụ thể  Kĩ + Thành thạo bước tính góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng +   Vận dụng quy tắc tính góc vào giải tập liên quan Trang   I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Góc hai đường thẳng Định nghĩa: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a' b' qua điểm song song trùng với a b Nhận xét: Để xác định góc hai đường thẳng a, b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng cịn lại Góc đường thẳng mặt phẳng   ,  P     d , d    AIH b) d   P    d a) d   P   d ,  P   90o ; (với d' hình chiếu d lên (P))   Chú ý: 0o  d ,  P   90o Góc hai mặt phẳng Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng TOANMATH.com Trang   a           ,     a , b b            Chú ý:   / /        ,     0o ;   ,      0o          Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác H nằm mặt phẳng  P  ; S' diện tích hình chiếu H' H mặt phẳng  P   góc hai mặt phẳng  P  P  S   S cos  SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA GĨC Góc hai Góc đường thẳng Góc hai đường thẳng a, b d mặt phẳng (P) mặt phẳng Góc hai đường thẳng a b góc hai đường   d   P   d ,  P   90o ; thẳng a' b' qua a      b        ,     a ,b       điểm song song trùng với a b d  P   ,  P     d , d    A IH  d (với d' hình chiếu a  b   a, b   90o TOANMATH.com d lên (P)) Trang   II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Góc hai đường thẳng Phương pháp giải Để tính góc hai đường thẳng d1, d2 khơng gian ta thực sau Bước Chọn điểm O thích hợp (O thường nằm hai đường thẳng) Bước Từ O dựng đường thẳng d1 , d 2 song song (có thể trùng O nằm hai đường thẳng) với d1 d2 Góc hai đường thẳng d1 , d 2 góc hai đường thẳng d1, d2 Lưu ý: Để tính góc ta thường sử dụng định lí cơsin tam giác: cos A    Cách khác: Tìm hai vec tơ phương u1 , u2 hai đường thẳng d1, d2   u1.u2 Khi góc hai đường thẳng d1, d2 xác định cos  d1 , d     u1 u2 b2  c  a 2bc Ví dụ: Góc d1, d2 góc d1 , d 2 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Góc hai đường thẳng CD' A'C' A 30° B 90° C 60° D 45° Hướng dẫn giải       , AC   CD , AC   Ta thấy AC  / / AC  CD Do mặt hình lập phương nên đường chéo TOANMATH.com Trang   Ta có AC  CD  AD  a Suy ACD' nên  CD, AC     60o Chọn C Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Gọi I J trung điểm SC BC Số đo góc  IJ , CD  A 30° B 45° C 60° D 90° Hướng dẫn giải       , CD  SB , AB Từ giả thiết ta có IJ / / SB (do IJ đường trung bình SCB) AB / / CD  IJ   60o Mặt khác, ta lại có SAB nên SBA Suy  SB, AB   60o   IJ , CD   60o Chọn C Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB  a, SA  a SA vng góc với (ABCD) Góc hai đường thẳng SB CD A 60° B 30° C 45° D 90° Hướng dẫn giải Ta có ABCD hình bình hành nên AB / / CD  SB, CD    SB, AB   SBA Do  Vì SA   ABCD   SA  AB  SAB vuông A  Xét tam giác vng SAB ta có tan SBA TOANMATH.com SA a   60o    SBA AB a Trang   SB, CD   60o Vậy  Chọn A Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA   ABCD  , SA  a, AB  a, BC  a Côsin góc tạo hai đường thẳng SC BD A 10 B C D 10 Hướng dẫn giải SC , BD    OM , BD  Kẻ OM / / SC   Ta có ABCD hình chữ nhật có AB  a, BC  a  AC  BD  2a BD SC SA2  AC a a ; BM  MA2  AB   a, OM    2 2 2 2   OM  BO  BM   cos SC  cos MOB , BD  2OM BO 5 BO    Chọn B Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, C'D' Góc hai đường thẳng MN AP A 45° B 30° C 60° D 90° Hướng dẫn giải Giả sử hình lập phương có cạnh a MN , AP    AC , AP  Do MN / / AC nên  TOANMATH.com Trang    Ta cần tính góc PAC a a Vì A'D'P vng D' nên AP  AD  DP  a     2 2 2 a 5 3a AA'P vuông A' nên AP  AA  AP  a       2 CC'P vuông C' nên CP  CC 2  C P  a  a2 a  Ta có AC đường chéo hỉnh vuông ABCD nên AC  a Áp dụng định lý Côsin tam giác ACP ta có:   cos CAP    CAP   45o  90o CP  AC  AP  AC AP.cos CAP   45o hay  Suy  AC , AP   CAP MN , AP   45o Chọn A Lưu ý: Cách khác: tính trực tiếp      MN AP Áp dụng công thức cos MN , AP    MN AP   Ta tính   3a MN AP    2a MN AP    Suy cos MN , AP    MN , AP   45o   Ví dụ Cho lăng trụ ABC.DEF có cạnh đáy a, chiều cao 2a Cosin góc tạo hai đường thẳng AC BF A 10 B C D 10 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang   Gọi M, N, K trung điểm đoạn thẳng BC, CF, AB  MN / / BF Khi    AC , BF    MN , MK  MK AC / /  Xét tam giác MNK, ta có: 1 a BF  BC  CF  a  4a  ; 2 2 a a MK  AC  , CK  ; 2 MN  3a a  a2  NK  KC  NC  a 5a a   4    ME  MN  EN  Suy cos EMN ME.MN a a 5 2 2   Vậy cos  AC , BF   cos EMN 10 Chọn A Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC AD, biết AB  CD  a, MN  a Tính góc hai đường thẳng AB CD Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm AC  IM / / AB   Ta có    AB, CD    IM , IN   IN / / CD    Đặt MIN Xét tam giác IMN có IM  AB a CD a a  , IN   , MN  2 2 Theo định lí cơsin, ta có: TOANMATH.com Trang   2 a a a 3        IM  IN  MN         120o      MIN cos   a a IM IN 2 2 AB, CD   60o Vậy  Cách khác:    Ta có  AB, CD    IM , IN  nên ta tính cos IM , IN    MN  IN  IM     MN  IN  IM    IM  IN  IN IM       IM  IN  MN a2  Suy IN IM  Vậy cos  AB, CD   Do  AB, CD   60o Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 (tham khảo hình vẽ bên) Góc đường thẳng AD BB1 A 30° B 60° C 45° D 90° Câu Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Góc hai đường thẳng BA' B'D' A 45° B 90° C 30° D 60° Câu Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có I, J tương ứng trung điểm BC BB' Góc hai đường thẳng AC IJ A 45° B 60° C 30° D 120° Câu Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  tam giác ABC vuông B, SA  a, AB  a, BC  a Gọi I trung điểm BC Cơsin góc đường thẳng AI SC A  B C D Câu Cho tứ diện OABC có OA  OB  OC  a; OA, OB, OC vuông góc với đơi Gọi I trung điểm BC Góc hai đường thẳng AB OI A 45° B 30° C 90° D 60° Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC, AD Biết AB  CD  a MN  a Góc hai đường thẳng AB CD TOANMATH.com Trang   A 30° B 90° C 120° D 60° Câu Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a Gọi M, N trung điểm AD BC Biết MN  a 3, góc hai đường thẳng AB CD A 45° B 90° C 60° D 30° Câu Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M trung điểm BC Cơsin góc hai đường thẳng AB DM A B C D Câu Cho tứ diện S.ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a; BC  a Góc hai đường thẳng AB SC A 0° B 120° C 60° D 90° Câu 10 Cho tứ diện ABCD có tất cạnh m Các điểm M, N trung điểm AB CD Góc đường thẳng MN với đường thẳng BC A 30° B 45° C 60° D 90° Dạng Góc đường thẳng mặt phẳng Bài toán Bài tập củng cố lý thuyết Phương pháp giải Nắm vững lý thuyết để xác định góc đường thẳng mặt phẳng Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tứ diện ABCD có cạnh BA, BC, BD vng góc với đơi Góc đường thẳng CD mặt phẳng (ADB) góc  A CDA  B CAB  C BDA  D CDB Hướng dẫn giải CB  BD Ta có   CB   ABD  CB  BA Do BD hình chiếu CD (ABD)  Suy góc CD (ABD) CDB Chọn D Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SB vng góc (ABC) Góc SC với (ABC) góc A SC AC B SC AB C SC BC D SC SB Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 10 ... tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác H nằm mặt phẳng  P  ; S'' diện tích hình chiếu H'' H mặt phẳng  P   góc hai mặt phẳng  P  P  S   S cos  SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA GÓC Góc. .. u1.u2 Khi góc hai đường thẳng d1, d2 xác định cos  d1 , d     u1 u2 b2  c  a 2bc Ví dụ: Góc d1, d2 góc d1 , d 2 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A''B''C''D'' có cạnh a Góc hai... Chọn C Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB  a, SA  a SA vng góc với (ABCD) Góc hai đường thẳng SB CD A 60° B 30° C 45° D 90° Hướng dẫn giải Ta có ABCD hình bình hành nên