Không gian vectơ và sự hình thành tư duy cấu trúc hệ thống trong hoạt động kinh tế kinh doanh6

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Nguyễn Văn Lộc và tgk 79 KHÔNG GIAN VECTƠ VÀ SỰ HÌNH THÀNH TƯ DUY CẤU TRÚC – HỆ THỐNG TRONG HOẠT ĐỘNG KINH TẾ – KINH DOANH SPECTACULAR VECTOR AND TRADITIONAL CONSULTA[.]

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Nguyễn Văn Lộc tgk KHƠNG GIAN VECTƠ VÀ SỰ HÌNH THÀNH TƯ DUY CẤU TRÚC – HỆ THỐNG TRONG HOẠT ĐỘNG KINH TẾ – KINH DOANH SPECTACULAR VECTOR AND TRADITIONAL CONSULTANCY – SYSTEM IN ECONOMIC AND BUSINESS ACTIVITIES NGUYỄN VĂN LỘC ĐINH TIẾN LIÊM TĨM TẮT: Khơng gian vectơ khái niệm toán học trừu tượng, sinh viên làm quen với mơ hình khơng gian mơn tốn bậc phổ thơng, việc hình thành khái niệm không gian vectơ tổng quát thuận lợi nhờ sử dụng mơ hình cụ thể Tri thức không gian vectơ cung cấp công cụ giải toán kinh tế – kinh doanh giúp cho hình thành tư cấu trúc – hệ thống, loại hình tư quan trọng người Từ khóa: khơng gian vectơ; tư cấu trúc - hệ thống ABSTRACTS: Vector space is an abstract mathematical concept, but students have been familiar with its models since high schools, so the formation of the general vector space concept is very advantageous by using these specific models Vector space knowledge provides not only a tool to solve economic and business problems, but also helps to form of system – structural thinking as one of the most important types of human thinking Key words: vector space; structured thinking – the system chung đại số tuyến tính nói riêng mơn học “tự thân” có tiềm trang bị cho sinh viên tri thức Sau hàng nghìn năm sàng lọc, tốn học xác định ba cấu trúc: thứ tự, tô pô, đại số cấu trúc bản, dạy học toán tất yếu phải hướng tới hình thành biểu tượng cấu trúc thông qua vật liệu cụ thể môn học Trong cấu trúc-hệ thống, không gian vectơ ánh xạ tuyến tính cấu trúc đại số - hình học đại mà sinh viên tiếp cận kết nối tri thức toán phổ thơng tri thức tốn cao cấp đại học Do vậy, việc tổ chức dạy học hình ĐẶT VẤN ĐỀ Hoạt động dạy - học Trường Đại học Văn Lang chuẩn bị cho sinh viên có kỹ giỏi thực hành nghề nghiệp mà cịn chuẩn bị cho họ có tầm nhìn chiến lược cấu trúc - hệ thống giới, đối tượng lĩnh vực kinh tế, kinh doanh kỹ thuật để số họ vươn lên thành doanh nhân thành đạt Muốn vậy, đào tạo phải có chương trình chuẩn bị tiềm lực cho sinh viên tri thức cấu trúc - hệ thống, chuẩn bị cho sinh viên tự học, tự đào tạo, tiếp tục học lên bậc học cao Toán học nói  PGS.TS Trường Đại học Văn Lang, nguyenvanloc@vanlanguni.edu.vn ThS Trường Đại học Văn Lang, dinhtienliem@vanlanguni.edu.vn, Mã số: TCKH13-02-2019  79 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Số 13, Tháng 01 - 2019 thành có chủ định biểu tượng khơng gian vectơ có ý nghĩa quan trọng hình thành tư cấu trúc - hệ thống cho sinh viên NỘI DUNG Việc hình thành tư cấu trúc - hệ thống cho sinh viên bắt đầu hoạt động dạy học hình thành cấu trúc tốn học, trước hết cấu trúc đại số - hình học, xây dựng nên từ tập hợp mà phần tử “cộng” với “nhân” với số, từ hình thành biểu tượng khơng gian vectơ tổng qt Chúng ta bắt đầu ví dụ cụ thể mơ hình cấu trúc khơng gian vectơ hình thành nên từ kiến thức mà sinh viên học bậc phổ thơng 2.1 Các mơ hình khơng gian vectơ bậc phổ thông Ở bậc phổ thông, từ tiểu học, học sinh làm quen với phép toán tập hợp số: N, Z, Q, R, bắt đầu làm quen hình thức “ẩn tàng” với biểu tượng không gian vectơ Để thuận lợi cho việc nhận dạng cấu trúc không gian vectơ, “tường minh hóa” biểu tượng không gian vectơ mà học sinh làm quen dạng “ẩn tàng”, trước tiên không gian vectơ hình thành từ phần tử “số” phép tốn tập số 2.1.1 Khơng gian vectơ R làm quen với phép cộng hai vectơ quy cộng tọa độ tương ứng, phép nhân số thực với vectơ quy nhân số thực với tọa độ thành phần, gọi ( x1 , x2 ) vectơ hai thành phần Ký hiệu V  R tập hợp số thực Xét x  ( x1 , x2 ) y  ( y1, y2 ) Phép cộng hai vectơ luật hợp thành V, cho phép tạo từ cặp vectơ x, y V vectơ gọi tổng chúng, ký hiệu x+y Phép nhân vectơ với số, gọi phép nhân với vơ hướng, luật hợp thành ngồi V, cho phép tạo từ vectơ x V số thực k  R vectơ gọi tích chúng, ký hiệu kx Kiểm tra 10 yêu cầu sau thỏa mãn với x, y, z V k , l  R (1) Nếu x, y V x  y V (2) x  y  y  x, x, y V (3) x  ( y  z )  ( x  y )  z, x, y, z V (4) Tồn vectơ  V cho   x  x    x, x V Phần tử  gọi phần tử trung hòa phép + (hay V) (5) Với x V tồn  x V cho x  ( x)  ( x)  x   Phần tử -x gọi phần tử đối xứng (hay phần tử đối) x (6) Nếu k  R x V , kx V (7) k(x+y) =kx +ky (8) (k+l)x = kx +lx (9) k(lx) = (kl)x (10) 1.x = x Theo [5, tr.196-tr.197], xét R tập mà phần tử số thực có thứ tự ( x1, x2 ) , bậc phổ thông, học sinh làm quen với mặt phẳng tọa độ, cặp số ( x1 , x2 )  R2 biểu diễn điểm, mà x1 hoành độ x2 tung Khi đó, tập V  R cịn gọi khơng gian vectơ trường số thực R độ, tọa độ điểm M đồng với tọa độ vectơ OM , học sinh 80 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Nguyễn Văn Lộc tgk Mười yêu cầu (1)-(10) gọi mười tiên đề không gian vectơ Để xác định xem, cấu trúc có phải không gian vectơ hay không, cần xác định tập đóng vai trị tập V, xác định hai phép toán “nghiệm” 10 tiên đề nêu Sau đây, nêu thêm số mơ hình không gian vectơ mà học sinh làm quen dạng “ẩn tàng” bậc phổ thông 2.1.2 Không gian vectơ hình học Theo [5, tr.196], gọi vectơ nhau) với phép cộng vectơ phép nhân vectơ với số thực không gian vectơ 2.1.3 Không gian hàm số liên tục Theo [2, tr.68], gọi C  a, b  tập hàm số liên tục đoạn  a, b  , với a b cho trước Xét hai hàm số: f  C  a, b g  C  a, b Chúng ta xem: f  g f ( x)  g ( x), x   a, b 2  f  g  ( x)  f ( x)  g ( x), x  a, b Hai vectơ xem Phép nhân hàm số liên tục với số thực: chúng: phương, hướng độ dài Trong  kf  ( x)  kf ( x); k  Phép tốn “cộng”: phép cộng vectơ; Phép tốn “nhân”: phép nhân vectơ với số thực vectơ 2   f  ( x)   f ( x), x  a, b Tập C  a, b  với hai phép toán nêu trên, , tích vectơ với số thực vectơ “nghiệm” thỏa mãn tiên đề (1)-(10), C  a , b  không gian vectơ Phần tử trung hịa vectơ khơng ( ), Mở rộng ra, xét tập vectơ có tính chất: a   a, a C  ,   tập hàm số liên tục Phần tử đối vectơ a vectơ a ,  ,   , có tính chất: a  (a)  0, a với phép toán định nghĩa tập C  a, b  C  ,   Với phép toán xác định, kiểm tra được, 10 tiên đề nêu “nghiệm” thỏa mãn, nói , x   a, b Trong tập có: Phần tử trung hịa hàm số đồng không; Phần tử đối xứng hàm f hàm –f xác định sau: định nghĩa phép tốn sau: Khi đó, tổng vectơ C  a, b  định nghĩa phép toán sau: Phép cộng hàm số liên tục: tập vectơ hình học mặt phẳng Như vậy, vectơ mặt phẳng phần tử Trên không gian vectơ 2.1.4 Không gian đa thức Theo [5, tr.200], tập hàm liên tục không gian vectơ trường số thực R C  ,   , xét lớp hàm đặc biệt Một cách tương tự tập R3 vectơ lớp hàm đa thức, định nghĩa sau: hình học khơng gian có chung gốc hay vectơ hình học tự khơng gian (trong đó, đồng 81 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Số 13, Tháng 01 - 2019 Đa thức bậc n (n nguyên dương) có dạng: a0  a1 x  a2 x  thành nên từ tập hợp đối tượng mà sinh viên tiếp xúc mơn học Tốn cao cấp trường đại học 2.2 Các mơ hình khơng gian vectơ toán cao cấp trường đại học  an x n Trong đó: a0 , a1 , a2 , , an gọi hệ số đa thức Gọi Pn tập đa thức có bậc bé n (với n nguyên dương), tức: Pn   p | p : a0  a1 x  a2 x  2.2.1 Không gian Theo [2,  an x n  n Chúng ta thấy, đa thức bậc n hàm số liên tục  ,   , n Trong Pn , hai phép toán cộng nhân q : b0  b1x  b2 x2  định nghĩa hai phép toán: Phép toán “cộng”: x   kan xn n , t  n Với tập với hai phép toán định nghĩa trên, “nghiệm” thỏa   an  bn  x n mãn tiên đề (1)-(10), không gian vectơ Trong tập Pn có: Phần tử trung hịa đa thức không Phần tử đối đa thức n Đặc biệt, n = 1, n trở thành , phép tốn cộng nhân phép toán cộng nhân số thực mà ta biết  an xn là:  p : a0  a1 x  a2 x2  Trên tx  t  x1 , x2 , , xn    tx1 , tx2 , , txn  ; p  q :  a0  b0    a1  b1  x  p : a0  a1 x  a2 x2   Phép tốn “nhân” ngồi: có:  a2  b2  x    x   x1 , x2 , , xn  | xi  xét   x1  y1 , x2  y2 , , xn  yn  ; x, y   an xn ,  bn x n , k  , kp : ka0  ka1 x  ka2 x2  tr.66-tr.67], x  y   x1 , x2 , , xn    y1 , y2 , , yn  xác định cụ thể sau: Cho p : a0  a1 x  a2 x  n Khi n=2, có R không gian vectơ xét 2.2.2 Không gian ma trận cấp  an x n Tập Pn , với hai phép toán nêu Theo [3, tr.90], cho M mn   tập ma trận thực cỡ m  n Trên M mn   định “nghiệm” thỏa mãn tiên đề (1)-(10), Pn không gian vectơ Khi thay n giá trị số cụ thể như: n=2, 3,… Chúng ta thu mô hình cụ thể khơng gian vectơ Trên số mơ hình khơng gian vectơ, hình thành nên từ tập hợp với phần tử có tính chất khác sinh viên tiếp xúc bậc phổ thông Tiếp theo sau, nghiên cứu tiếp số mơ hình khơng gian vectơ hình nghĩa hai phép tốn cộng nhân sau: Phép toán “cộng”: phép cộng ma trận; Phép toán “nhân”: phép nhân số thực với ma trận Phần tử trung hòa tập M mn  ma trận không cỡ m  n 82  n TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Phần tử đối phần tử A  aij  là:  A  aij  Nguyễn Văn Lộc tgk Rõ ràng, T tập n , T có phép tốn cộng nhân mn n Tập T với hai phép toán xác định trên, “nghiệm” thỏa mãn tiên đề (1)(10), vậy, T không gian vectơ Và nữa, xem tập T sinh từ nghiệm gốc hay gọi nghiệm sở (giả sử là:  ,  ), tức mn Tập M mn   với hai phép toán nêu “nghiệm” thỏa mãn tiên đề (1)-(10), M mn   không gian vectơ 2.2.3 Không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Theo [3, tr.104], Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn có dạng:  a11 x1  a12 x2   a1n xn   a x  a x   a x   21 22 2n n     am1 x1  am x2   amn xn  là: T  c  d  ; c, d  Từ mơ hình cụ thể, hình thành nên khái niệm khơng gian vectơ tổng qt sau: Theo “[3, tr.89], [4, tr.65]”, cho tập V   (mỗi phần tử V gọi vectơ), trường số thực, trang bị V hai phép toán: Phép cộng V:  * Và, có kết sau: (0,0,…,0) nghiệm hệ phương trình (*), gọi nghiệm tầm thường hệ; Nếu  c1 , c2 , , cn  ,  d1 , d2 , , dn   : . : t  c1 , c2 , , cn  n    |   1 , , , n  ;  T    ,  , ,     n   đó,  ,   T ; c, d  chúng Phép V  V  x, y  x y nhân  k, x ngoài: kx Khái niệm khơng gian vectơ tổng qt cố phản ví dụ, đưa tập hợp có trang bị phép tốn khơng “đóng kín”, khơng tạo thành khơng gian vectơ Thể toán kinh tế - kinh doanh, phép tốn khơng gian vectơ khơng xét riêng biệt mà thường thể “ẩn tàng” dạng tổ hợp phép toán, gọi tổ hợp tuyến tính, khái niệm tốn học trình bày xác sau: “V khơng gian vectơ, S nghiệm hệ phương trình (*); Mọi tổ hợp tuyến tính nghiệm hệ phương trình (*) nghiệm hệ phương trình (*) Chúng ta gọi, tập nghiệm hệ phương trình tuyến tính (*) là: Khi V V  V Với phép tốn xác định, 10 tiên đề nêu thỏa mãn, ta nói V với phép tốn làm thành không gian vectơ trường nghiệm hệ phương trình (*),  c1 , c2 , , cn    d1 , d2 , , dn   ta có:  c  d   T 83 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Số 13, Tháng 01 - 2019 họ vectơ V: S   x1 , x2 , , xn  Biểu 2.3 Từ cấu trúc toán học tới cấu trúc kinh tế, kinh doanh Theo “[1, tr.81-tr.93], [6, tr.353-tr.395]”, vận dụng tri thức cấu trúc - hệ thống, tích lũy từ tri thức khơng gian vectơ, tập dượt cho sinh viên “nhìn thấy” mối liên hệ có tính cấu trúc - hệ thống yếu tố hoạt động kinh tế - kinh doanh 2.3.1 Cấu trúc - hệ thống hoạt động kinh tế Trong phần này, xét toán kinh tế đưa tổ hợp tuyến tính Bài tốn: Một cơng ty chun quản lý dự án nông nghiệp, ứng dụng quy hoạch tuyến tính để tối đa lợi nhuận dự án dựa bảng số liệu sau đây: thức: c1 x1  c2 x2   cn xn với ci  const  R vectơ thuộc V gọi tổ hợp tuyến tính vectơ họ S, hay nói gọn tổ hợp tuyến tính họ S” Khi đó, với hai phép tốn xác định, với số thực: k1, k2, …, kn, với vectơ: a1 , a2 , ,an  , chúng a  k1 a1  k2 a2   kn an  ta có: , nói: vectơ a biểu diễn tuyến tính qua tổ hợp vectơ a1 , a2 , ,an  Sau đây, nêu “chức kép” không gian vectơ cấu trúc kinh tế - kinh doanh vừa “tri thức nghề - tri thức kỹ thuật” vừa “tri thức chiến lược”, phương tiện hình thành tư cấu trúc - hệ thống Số liệu đầu vào đơn vị sản phẩm Diện tích (ha/tấn) Lượng nước (103m3/tấn) Nhân lực (công/tấn) Lợi nhuận (USD/tấn) 12 40 18 Loại sản phẩm Lúa Đậu nành 10 21 Để giải toán này, người ta làm sau: Bước 1: Xác định biến định Khả lớn nguồn tài nguyên sẵn có 100 180 x 103m3 500 cơng Với toán trên, mục tiêu xét giá trị lớn biểu thức: 18x1  21x2 Chúng ta thấy, biểu thức tổ hợp tuyến tính phần tử tập (nếu ta bỏ qua Gọi: x1 số lúa cần sản xuất; x2 số đậu nành cần sản xuất ràng buộc: x1 , x2 > 0) Tương tự, ràng Bước 2: Xác định hàm mục tiêu Hàm mục tiêu toán cực đại lợi nhuận Z buộc toán tổ hợp tuyến tính phần tử tập Như vậy, với dạng toán kinh tế này, ta đưa tốn xét tổ hợp tuyến tính phần tử tập tập tập tập Max Z = 18x1  21x2 Bước 3: Xác định ràng buộc Ràng buộc diện tích: 4x1  6x2  100 Ràng buộc lượng nước: 12x1  8x2  180 Ràng buộc nhân lực: 40x1  10x2  500 Giá trị biến không âm: xi  với i = 1,2 84 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Nguyễn Văn Lộc tgk 2.3.2 Cấu trúc - hệ thống hoạt động kinh doanh Trong phần này, xét toán hoạt động kinh doanh đưa tổ hợp tuyến tính Bài tốn: Xét thị trường có mặt hàng, biết hàm cung hàm cầu mặt hàng sau: Qs1  4  P1 , Qd  20  P1  P2 , Các ví dụ cịn cho thấy, để tìm giá trị cực đại lợi nhuận Z, hay tìm điểm cân thị trường, phải xét hệ thống điều kiện ràng buộc cấu trúc tổng thể xét đơn lẻ điều kiện tốn, có nghĩa phải xem xét giải toán với phương thức tư cấu trúc - hệ thống 2.4 Đổi phương pháp dạy học toán cao cấp Việt Nam giới 2.4.1 Về phía sinh viên Theo [7] Nguyễn Đức Trung, Đại học Toulouse (Pháp), giảng viên Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, cho rằng:“phương pháp để đạt hiệu đại học học phần Tốn cao cấp “Hồn tồn chủ động tự học kiến thức tự luyện tập trước lên giảng đường” Vì rằng, “ngày nay, em sinh viên có nhiều điều kiện thuận lợi hệ trước nhiều lần dường tính chủ động em lại không phát huy mức Với máy tính điện thoại thơng minh có kết nối mạng em hồn tồn làm chủ kiến thức nhân loại” Để thực điều này, dĩ nhiên cần có trợ giúp giảng viên để “biến trình đào tạo thành q trình tự đào tạo”, cách thơng qua số xemina, hướng dẫn cho sinh viên cách lựa chọn sử dụng tài liệu, cách lập sơ đồ “cây” xác lập mối liên hệ kiến thức,… 2.4.2 Về phía giảng viên Cần trọng sử dụng thành tựu công nghệ thông tin, đặc biệt dạy học giải tập cần kết hợp cách giải truyền thống với cách giải trợ giúp phần mềm Mathematica máy Qs  3  P1 , Qd  45  3P1  3P2 Hãy tìm điểm cân thị trường Giải: Để tìm điểm (giá) cân bằng, ta xét hệ phương trình: Qs1  Qd1 Qs  Qd , tức: 4  P1  20  P1  P2   3  P1  45  3P1  3P2 5P  P  12 hay   P1  P2  16 Giải hệ trên, chúng 14 34 , suy ra: P1  , P2  3 25 Qs1  12, Qs  ta được: Vì: P1 , P2 , Qs1 , Qs dương nên ta có hệ thống giá cân là: 14 34 P1  , P2  3 Với toán này, đưa toán cân thị trường giải hệ phương trình tuyến tính Như vậy, vế trái hai phương trình hệ tổ hợp tuyến tính P1 P2 Hơn nữa, vế phải phương trình hệ khơng, hệ phương trình tuyến tính Vậy, đưa tốn ban đầu toán với tổ hợp tuyến tính 85 ... viên “nhìn thấy” mối liên hệ có tính cấu trúc - hệ thống yếu tố hoạt động kinh tế - kinh doanh 2.3.1 Cấu trúc - hệ thống hoạt động kinh tế Trong phần này, xét tốn kinh tế đưa tổ hợp tuyến tính... 2019 thành có chủ định biểu tư? ??ng khơng gian vectơ có ý nghĩa quan trọng hình thành tư cấu trúc - hệ thống cho sinh viên NỘI DUNG Việc hình thành tư cấu trúc - hệ thống cho sinh viên bắt đầu hoạt. .. R, bắt đầu làm quen hình thức “ẩn tàng” với biểu tư? ??ng không gian vectơ Để thuận lợi cho việc nhận dạng cấu trúc không gian vectơ, ? ?tư? ??ng minh hóa” biểu tư? ??ng khơng gian vectơ mà học sinh làm