Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề Cực trị của hàm số Toán 12 A Lý thuyết 1 Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm x0∈(a;b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) < f (x0) với mọi x∈(x0−h;x[.]
Chuyên đề Cực trị hàm số - Toán 12 A Lý thuyết Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục khoảng (a; b) điểm x0∈(a;b) - Nếu tồn số h > cho f (x) < f (x0) với x∈(x0−h;x0+h) x≠x0 ta nói hàm số f(x) đạt cực đại x0 - Nếu tồn số h > cho f (x) > f (x0) với x∈(x0−h;x0+h) x≠x0 ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu x0 Điều kiện cần để hàm số có cực trị Định lý 1: Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị điểm xo Khi đó, f(x) có đạo hàm điểm xo f‘(xo) = Lưu ý: - Đạo hàm f‘(x) điểm xo hàm số f(x) không đạt cực trị điểm xo - Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm - Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số 0, hàm số khơng có đạo hàm - Hàm số đạt cực trị xo đồ thị hàm số có tiếp tuyến điểm (xo ; f(xo)) tiếp tuyến song song với trục hồnh Ví dụ : Hàm số y = |x| hàm số y = x3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục K = ( x0 -h: x0 +h ) có đạo hàm K K\{x0} , với h >0 - Nếu f '(x) > khoảng (x0 - h; x0) (x0;x0+h) x0 điểm cực đại hàm số f(x) - Nếu f '(x) < khoảng (x0 - h; x0) f '(x) > (x0;x0+h) x0 điểm cực tiểu hàm số f(x) Minh họa bảng biến thiến Lưu ý: - Như vậy: Điểm cực trị phải điểm tập hợp D (D ⊂ ℝ) Nếu f’(x) không đổi dấu hàm số khơng có cực trị (Nhấn mạnh: xo ∈ (a; b)⊂ D nghĩa xo điểm nằm D) Ví dụ: Hàm số xác định D= [0,+∞) Ta có y ≥ y (0) với x, x = cực tiểu hàm số D khơng chứa lân cận điểm - Nếu hàm số y = f (x) đạt cực đại (cực tiểu) x0 x0 gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số; f (x0) gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số, kí hiệu f CĐ ( fCT ), điểm M (x0;f( x0)) gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số - Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số - Giá trị cực đại (cực tiểu) f(xo) nói chung khơng phải GTLN (GTNN) f(x) tập hợp D - Hàm số đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập hợp D Hàm số khơng có điểm cực trị - xo điểm cực trị hàm số f(x) điểm (xo ; f(xo)) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f(x) Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng (a; b) chứa điểm xo ; f ‘(xo) = f có đạo hàm cấp hai khác điểm xo a) Nếu f ”(xo) < hàm số f đạt cực đại điểm xo b) Nếu f ”(xo) < hàm số f đạt cực tiểu điểm xo Lưu ý: - Khơng cần xét hàm số f(x) có hay khơng có đạo hàm điểm x = xo bỏ qua điều kiện hàm số liên tục điểm xo B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Bài (Đề thi THPTQG năm 2021) Cho hàm số có bảng biến thiên sau: Giá trị cực đại hàm số cho A B -1 C -5 D Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại hàm số y=f(−1)=3 Chọn A Bài (Đề tốt nghiệp 2020 - Đợt Mã đề 103) Cho hàm số có đạo hàm Số điểm cực đại hàm số cho là: A B C D Lời giải Lập bảng biến thiên hàm số Vậy hàm số cho có điểm cực đại Chọn D Bài (Đề tốt nghiệp 2020 - Đợt Mã đề 101) Cho hàm số bậc bốn có bảng biến thiên sau: Số điểm cực trị hàm số A 11 B C D Lời giải Ta chọn hàm Đạo hàm ⇒Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác ⇒Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác khác nghiệm phương trình ( *) Vậy số điểm cực trị hàm số g(x) Chọn B Bài Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y=−2x3+3x2+1 A y=x−1 B y=x+1 C y=−x+1 D y=−x−1 Lời giải Ta có : Suy đồ thị hàm số hai điểm cực trị A(0;1) B(1;2) Khi đó, đường thẳng qua hai điểm cực trị đường thẳng AB có phương trình y=x+1 Chọn B Cách Lấy chia cho , ta : Suy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị phần dư phép chia, y=x+1 Bài Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 - 2x2 +mx + đạt cực đại x = A.m = -1 B m = D Không tồn Lời giải: Ta có y' = 3x2 - 4x + m Hàm số đạt cực trị x = y'(1) = ⇒ 3.12 - 4.1 + m = ⇒ m = Với m = hàm số cho trở thành y = x3 - 2x2 + x + Ta có y' = 3x2 - 4x + 1, y'' = 6x - Vì y''(1) = > nên hàm số đạt cực tiểu x = Do khơng có m thỏa mãn Chọn đáp án D Chú ý Sai lầm gặp phải: giải y'(1) = => m = vội kết luận mà không kiểm tra lại, dẫn đến chọn đáp án B Bài Cho hàm số y = x3 - 2x2 + Điểm M(0; 3) là: A Cực đại hàm số B Điểm cực đại hàm số C Điểm cực đại đồ thị hàm số D Điểm cực tiểu đồ thị hàm số Lời giải: Ta có: y' = 3x2 -4x; y'' = 6x - 4; y''(0) = -4 < Do đó, điểm M(0;3) điểm cực đại đồ thị hàm số Chọn đáp án C Chú ý Phân biệt khái niệm: cực trị, điểm cực trị hàm số, điểm cực trị đồ thị hàm số Bài Tìm điểm cực đại hàm số y = sin2x + A x = B x = π Lời giải: Ta có: cosx + với x ∈ (0; π) Chọn đáp án C Bài Có mệnh đề phát biểu sau? Hàm số khơng có đạo hàm x = Hàm số không liên tục x = Hàm số khơng có cực trị x = Hàm số đạt cực trị x = A B C D Lời giải: Đồ thị hàm số y = |x| có dạng hình vẽ Từ đồ thị hình ta có hàm số y = |x| liên tục x = khơng có đạo hàm điểm Sử dụng định nghĩa cực trị ta có hàm số y = |x| đạt cực tiểu x = Do mệnh đề Chọn đáp án C Bài Cho hàm số y = -3x4 - 2x3 + Hàm số có A Một cực đại hai cực tiểu B Một cực tiểu hai cực đại C Một cực đại cực tiểu D Một cực tiểu cực đại Lời giải: Ta có y' = -12x3 - 4x Xét y'=0 => x = Hàm số có cực đại x = Chọn đáp án C Bài 10 Cho hàm số y = x4 - 2(m - 1)x2 + m2 Tìm m để hàm số có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông A m = B.m= C m= -1 D m = E y = a2x4 - 2x2 + G y = x4 + 2x2 + 3a Lời giải: II Bài tập tự luận có lời giải Bài Tìm cực trị hàm số f(x) = x4 − 2x2 + 10 Lời giải: Hàm số cho xác định với x Ta có: f’(x) = 4x3 – 4x Ta có: f”(x) = 12x2 – Suy ra: f”(0) = – < nên x = điểm cực đại f”(1) = f”(– 1) = > nên x = x = –1 điểm cực tiểu Kết luận: Hàm số f(x) đạt cực tiểu x = x = – 1; fCT = f(1) = f(–1) = Hàm số f(x) đạt cực đại x = fCD = f(0) = 10 Bài Áp dụng quy tắc I, tìm điểm cực trị hàm số sau: a) y = x4 – 2x3 + x2 – 8; Lời giải: a) TXĐ: D = Ta có: y’ = 4x3 – 6x2 + 2x Bảng biến thiên: Hàm số đạt cực tiểu x = x = 1; fCT = f(0) = f(1) = – Hàm số đạt cực đại Phương trình y’ = vơ nghiệm nên hàm số khơng có cực trị Bài Áp dụng quy tắc II, tìm điểm cực trị hàm số sau: a) y = 2x4 – 4x2 + 2; b) y = x5 – 2x3 + x + 1; Lời giải: a) y = 2x4 – 4x2 + TXĐ: D = R Ta có: y’ = 8x3 – 8x Đạo hàm cấp hai: y” (x) = 24x2 – Vì y”(– 1) = 16 > 0; y”(1) = 16 > nên hàm số đạt cực tiểu x = – 1; x = yCT = y(1) = y(– 1) = y” (0) = –8 < nên hàm số đạt cực đại x = yCD = y(0) = b) y = x5 – 2x3 + x + TXĐ: D = R Ta có: y’ = 5x4 – 6x2 + Đạo hàm cấp hai: y” = 20x3 – 12x Và y”(1) = > nên hàm số đạt cực tiểu x = y”(– 1) = – < nên hàm số đạt cực đại x = – Vậy hàm số cho có điểm cực đại, điểm cực tiểu y”(1) = > nên hàm số đạt cực tiểu x = yCT = y(1) = Bài Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 – mx2 + (2m – 3).x – đạt cực đại x = Lời giải: TXĐ: D = R Và y’ = 3x2 – 2mx + 2m – 3; y” (x) = 6x – 2m Để hàm số cho đạt cực đại x = thì: Vậy để hàm số cho đạt cực đại x = m > Bài Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 - 2x2 +mx + đạt cực đại x = Lời giải: Ta có y' = 3x2 - 4x + m Hàm số đạt cực trị x = y'(1) = ⇒ 3.12 - 4.1 + m = ⇒ m = Với m = hàm số cho trở thành y = x3 - 2x2 + x + Ta có y' = 3x2 - 4x + 1, y'' = 6x - Vì y''(1) = > nên hàm số đạt cực tiểu x = Do m thỏa mãn Chú ý Sai lầm gặp phải: giải y'(1) = => m = vội kết luận mà không kiểm tra lại, dẫn đến chọn đáp án B Bài Cho hàm số y = x3 - 2x2 + Điểm M(0; 3) là? Lời giải: Ta có: y' = 3x2 -4x; y'' = 6x - 4; y''(0) = -4 < Do đó, điểm M(0;3) điểm cực đại đồ thị hàm số Chú ý Phân biệt khái niệm: cực trị, điểm cực trị hàm số, điểm cực trị đồ thị hàm số Bài Tìm điểm cực đại hàm số Lời giải: Ta có: Bài Có mệnh đề phát biểu sau? Hàm số khơng có đạo hàm x = 2 Hàm số không liên tục x = Hàm số khơng có cực trị x = Hàm số đạt cực trị x = Lời giải: Hiển thị đáp án Đồ thị hàm số y = |x| có dạng hình vẽ Từ đồ thị hình ta có hàm số y = |x| liên tục x = khơng có đạo hàm điểm Sử dụng định nghĩa cực trị ta có hàm số y = |x| đạt cực tiểu x = Do mệnh đề Bài Cho hàm số y = -3x4 - 2x3 + Hàm số có? Lời giải: Ta có y' = -12x3 - 4x Xét y'=0 => x = Hàm số có cực đại x = Bài 10 Cho hàm số y = x4 - 2(m - 1)x2 + m2 Tìm m để hàm số có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông Lời giải: III Bài tập vận dụng Bài Giá trị m để hàm số y = x3 - 3mx2 + (m2 - 1)x + đạt cực đại x = là? Bài Với giá trị m, hàm số y = (x - m)3 - 3x đạt cực tiểu điểm có hồnh độ x = 0? Bài Với giá trị m, hàm số y = x3 + 2(m - 1)x2 + (m2 - 4m + 1)x + 2(m2 + 1) có hai điểm cực trị x1,x2 thỏa mãn ... hàm số, điểm cực trị đồ thị hàm số Bài Tìm điểm cực đại hàm số Lời giải: Ta có: Bài Có mệnh đề phát biểu sau? Hàm số khơng có đạo hàm x = 2 Hàm số không liên tục x = Hàm số cực trị x = Hàm số. .. giá trị cực đại hàm số y=f(−1)=3 Chọn A Bài (Đề tốt nghiệp 2020 - Đợt Mã đề 103) Cho hàm số có đạo hàm Số điểm cực đại hàm số cho là: A B C D Lời giải Lập bảng biến thiên hàm số Vậy hàm số cho... Chọn đáp án C Bài Có mệnh đề phát biểu sau? Hàm số khơng có đạo hàm x = Hàm số không liên tục x = Hàm số cực trị x = Hàm số đạt cực trị x = A B C D Lời giải: Đồ thị hàm số y = |x| có dạng hình