Chuyên đề Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Toán 12 A Lý thuyết 1 Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên[.]
Chuyên đề Sự đồng biến, nghịch biến hàm số - Toán 12 A Lý thuyết Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định K, với K khoảng, nửa khoảng đoạn - Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) K ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) - Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) K ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng K – Nếu hàm số đồng biến khoảng K f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K – Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng K – Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K hàm số đồng biến khoảng K – Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K hàm số nghịch biến khoảng K – Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K hàm số khơng đổi khoảng K Lưu ý – Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K (hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K) f'(x) = số điểm hữu hạn K hàm số đồng biến khoảng K (hoặc nghịch biến khoảng K) B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Cho hàm số y = sin2x - 2x Hàm số A Luôn đồng biến R B Chỉ đồng biến khoảng (0; +∞) C Chỉ nghịch biến (-∞; -1) D Luôn nghịch biến R Lời giải: Tập xác định D = R Ta có : y' = 2.cos2x - = 2(cos2x - 1) ≤ 0; ∀ x (vì -1 ≤ cos2x ≤ 1) Vậy hàm số nghịch biến R Chọn đáp án D Bài 2: Trong hàm số sau, hàm số đồng biến khoảng (-∞; 1) ? Lời giải: Bài 3: Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng xác định A.-2 < m ≤ B m < -2 m > C -2 < m < D m ≠ ±2 Lời giải: Tập xác định Hàm số nghịch biến khoảng Suy m2 - < hay -2 < m < Chọn đáp án C Bài 4: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 3mx - 1, tìm tất giá trị tham số m để hàm số nghịch biến khoảng (0; +∞) A m < B m ≥ C m ≤ -1 D m ≥ -1 Lời giải: Ta có y' = -3x2 + 6x + 3m Hàm số nghịch biến khoảng (0; +∞) y' ≤ khoảng (o; +∞) Cách 1: Dùng định lí dấu tam thức bậc hai Xét phương trình -3x2 + 6x + 3m Ta có Δ' = 9(1 + m) TH1: Δ' ≤ => m ≤ -1 đó, -3x2 + 6x + 3m < nên hàm số nghịch biến R TH2: Δ' > => m > -1; y' = có hai nghiệm phân biệt x = ±√(1+m) Hàm số nghịch biến (0; +∞) + 1+m ≤ 0, vơ lí Từ TH1 TH2, ta có m ≤ -1 Cách 2: Dùng phương pháp biến thiên hàm số Ta có y' = -3x2 + 6x + 3m ≤ 0, ∀x > 3m ≤ 3x2 - 6x, ∀x > Từ suy 3m ≤ min(3x2 - 6x) với x > Mà 3x2 - 6x = 3(x2 - 2x + 1) - = 3(x - 1)2 - ≥ -3 ∀ x Suy ra: min( 3x2 – 6x) = - x= Do 3m ≤ -3 hay m ≤ -1 Chọn đáp án C Bài 5: Cho đồ thị hàm số với hình vẽ Tìm khoảng đồng biến hàm số y = sinx với Lời giải: Trên khoảng đồ thị hàm số lên từ trái sang phải Trên khoảng đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải Do hàm số đồng biến khoảng Chọn đáp án A Bài 6: Cho đồ thị hàm số y = -x3 hình vẽ Hàm số y = -x3 nghịch biến khoảng: A (-1;0) B (-∞;0) C (0;+∞) D (-1;1) Lời giải: Trên khoảng (0; +∞) đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải Do hàm số nghịch biến khoảng (0;+∞), Chọn đáp án C Bài 7: Cho đồ thị hàm số A (-∞;0) B (-∞;0) ∪ (0;+∞) C R D (-∞;0) (0;+∞) hình vẽ Hàm số đồng biến Lời giải: Đồ thị hàm số lên từ trái sang phải hai khoảng (-∞;0) (0;+∞) Chọn đáp án D Ghi Những sai lầm gặp q trình làm bài: - Không ý tập xác định nên chọn đáp án C - Không ý định nghĩa hàm đồng biến nên chọn đáp án B Bài 8: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = Kết luận sau đúng? A Hàm số f(x) nghịch biến khoảng (-∞;1) B Hàm số f(x) đồng biến khoảng (-∞;0) (1;+∞) C Hàm số f(x) đồng biến khoảng (1;+∞) D Hàm số f(x) đồng biến khoảng (1;+∞) Lời giải: Điều kiện: x > Bảng xét dấu : Vậy f(x) đồng biến khoảng (1;+∞) nghịch biến khoảng (0;1) Chọn đáp án D Bài 9: Khoảng nghịch biến hàm số A (1;3) B.(-∞; 1) ∪ (3; +∞) C (-∞; 1) (3; +∞) D (1;+∞) Lời giải: Bảng xét dấu y’ : là: Vậy hàm số nghịch biến khoảng (1;3) Chọn đáp án A Bài 10: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + Kết luận sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; -1) ∩ (0; 1) B Hàm số đồng biến khoảng (-1; 0) ∪ (1; +∞) C Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; -1) ∪ (0; 1) D Hàm số đồng biến khoảng (-1; 0) (1; +∞) Lời giải: Bảng xét dấu y’: Từ ta có: Hàm số đồng biến khoảng (-1; 0) (1; +∞) , nghịch biến khoảng (-∞; -1) (0; 1) Chọn đáp án D II Bài tập tự luận có lời giải Bài 1: Cho hàm số y = sin2x - 2x Hàm số này? Lời giải: Tập xác định D = R Ta có : y' = 2.cos2x - = 2(cos2x - 1) ≤ 0; ∀ x (vì -1 ≤ cos2x ≤ 1) Vậy hàm số nghịch biến R Bài 2: Trong hàm số sau, hàm số đồng biến khoảng (-∞; 1) ? Lời giải: Bài 3: Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng xác định Lời giải: Tập xác định Hàm số nghịch biến khoảng Suy m2 - < hay -2 < m < Chọn đáp án C Bài 4: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 3mx - 1, tìm tất giá trị tham số m để hàm số nghịch biến khoảng (0; +∞) Lời giải: Ta có y' = -3x2 + 6x + 3m Hàm số nghịch biến khoảng (0; +∞) y' ≤ khoảng (o; +∞) Cách 1: Dùng định lí dấu tam thức bậc hai Xét phương trình -3x2 + 6x + 3m Ta có Δ' = 9(1 + m) TH1: Δ' ≤ => m ≤ -1 đó, -3x2 + 6x + 3m < nên hàm số nghịch biến R TH2: Δ' > => m > -1; y' = có hai nghiệm phân biệt Hàm số nghịch biến (0; +∞) Từ TH1 TH2, ta có m ≤ -1 Cách 2: Dùng phương pháp biến thiên hàm số Ta có y' = -3x2 + 6x + 3m ≤ 0, ∀x > 3m ≤ 3x2 - 6x, ∀x > Từ suy 3m ≤ min(3x2 - 6x) với x > Mà 3x2 -6x = 3(x2 -2x + 1) - = 3(x - 1)2 - ≥ -3 ∀ x Suy ra: min( 3x2 – 6x) = - x= Do 3m ≤ -3 hay m ≤ -1 Bài 5: Cho đồ thị hàm số với hình vẽ Tìm khoảng đồng biến hàm số y = sinx với Lời giải: Trên khoảng đồ thị hàm số lên từ trái sang phải Trên khoảng đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải Do hàm số đồng biến khoảng Bài 6: Cho đồ thị hàm số y = -x3 hình vẽ Hàm số y = -x3 nghịch biến khoảng: Lời giải: Trên khoảng (0; +∞) đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải Do hàm số nghịch biến khoảng (0;+∞), Bài 7: Cho đồ thị hàm số hình vẽ Hàm số đồng biến Lời giải: Đồ thị hàm số lên từ trái sang phải hai khoảng (-∞;0) (0;+∞) Ghi Những sai lầm gặp q trình làm bài: - Không ý tập xác định nên chọn đáp án C - Không ý định nghĩa hàm đồng biến nên chọn đáp án B Bài 8: Cho hàm số f(x) có đạo hàm Kết luận sau đúng? A Hàm số f(x) nghịch biến khoảng (-∞;1) B Hàm số f(x) đồng biến khoảng (-∞;0) (1;+∞) C Hàm số f(x) đồng biến khoảng (1;+∞) D Hàm số f(x) đồng biến khoảng (1;+∞) Lời giải: Điều kiện: x > Bảng xét dấu : Vậy f(x) đồng biến khoảng (1;+∞) nghịch biến khoảng (0;1) Bài 9: Khoảng nghịch biến hàm số Lời giải: Bảng xét dấu y’ : Vậy hàm số nghịch biến khoảng (1;3) Bài 10: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + Kết luận sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; -1) ∩ (0; 1) B Hàm số đồng biến khoảng (-1; 0) ∪ (1; +∞) C Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; -1) ∪ (0; 1) D Hàm số đồng biến khoảng (-1; 0) (1; +∞) Lời giải: Bảng xét dấu y’: Từ ta có: Hàm số đồng biến khoảng (-1; 0) (1; +∞) , nghịch biến khoảng (-∞; -1) (0; 1) III Bài tập vận dụng Bài Khoảng nghịch biến hàm số Bài Cho hàm số y = x3 - x2 + (m-1)x + m Tìm điều kiện tham số m để hàm số đồng biến R Bài Cho hàm số Bài Tìm giá trị lớn tham số m để hàm số nghịch biến khoảng (-∞; 1) Bài Tìm tất giá trị tham số m cho hàm số Bài Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + - 2m Tìm giá trị m để hàm số đồng biến đoạn có độ dài Bài Cho đồ thị hàm số có dạng hình vẽ Hàm số đồng biến trên? Bài Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào? Bài Tìm khoảng đồng biến hàm số y = 2x3 - 9x2 + 12x + Bài Khoảng nghịch biến hàm số y = x4 - 2x2 - là? Bài 10 Tìm khoảng đồng biến hàm số f(x)= x + cos2x ... tham số m cho hàm số Bài Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + - 2m Tìm giá trị m để hàm số đồng biến đoạn có độ dài Bài Cho đồ thị hàm số có dạng hình vẽ Hàm số đồng biến trên? Bài Hỏi hàm số đồng biến. .. dụng Bài Khoảng nghịch biến hàm số Bài Cho hàm số y = x3 - x2 + (m-1)x + m Tìm điều kiện tham số m để hàm số đồng biến R Bài Cho hàm số Bài Tìm giá trị lớn tham số m để hàm số nghịch biến khoảng... 1) Vậy hàm số nghịch biến R Bài 2: Trong hàm số sau, hàm số đồng biến khoảng (-∞; 1) ? Lời giải: Bài 3: Tìm m để hàm số ln nghịch biến khoảng xác định Lời giải: Tập xác định Hàm số nghịch biến